Integrals -atze

⑤ I

.

Integrals ^-atze

^der

^Vektor analysis

Def

^{. i Eine}

Kompakt _Menge

^{A ER " hat}

_g

^latten

^Rand

,

wenn es

fair jerks

^{a c- 2A}

eine

offense Umgebung

^{U und RE}

^{C' (}

^{4,112 )}

gibt

^{, so dass}

(

ⁱ

) An U

^:

f

^{x EU I aCx ) - O}

}

,

Cii

)

P x Le ) to

the

U

.

Bsp

^{. :}

^{Die Voll} Kugel

^A:.-

fxc.IR

^"

/ Hell

, ER

} ^hat _gluten ^Rand

^{. Wir}

^Kohnen

a

(

^x)

Hell !

^{- R'}

^Wahlen

^.

Satz : Sei Ae R^"

Kompakt

^mit

glaltem

^{Rand .}

^Daun gilt

^:

1)

JA ist eine I^{u- r}) ^- dim . UNF von IR^"

(

d.h. eine

, ,

Hyper ^f

^tache

"

)

2)

^{lokal Kann JA}

(

^bis

auf

Permutation der

hoordiuaten )

^als

_Graph

^einer

Fun _Wion

f

^{c- C'}

⁽

^{VE IR" ' , IR}

⁾ dargestellt

^{werden .}

3)

^Es

gibt

^{ein ein}

denting bestimmtes Vektorfeld

^{ve C}

⁽

^{2A , S " - ' ER "}

⁾

.

das soy^.

oiufbere

^Normal

enfold

,

fir

^das

gilt

ⁱ

(ⁱ) Fat JA i v la) ^E _span

I

^{Vala )}

}

(ii) I Eso V-8 c-(o.E) ⁱ at Sula) ¢ A

Ciii ) 1st Jan U ^:

I

^{(x', xn) E IR" 'x IR n U I xn =}

fli

⁾

)

,

dann

gilt

v( ^{x', xn} ) ⁼

(

^-

Dfli

) .

7)

✓

It

Honey

^11,2

'

t

( ^" ik ) ^{Edan U} .

Bewisi 2)

gilt ^fir

^{alle UNE non IR" und}

folgt

^{somit ans 1}

⁾

^.

^

)

^{Da A}

gla

^{Hen Rand hat ,}

gibt

^{es ein a e C'}

⁽

^U,IR

⁾

^unit

A n U ^e

I

^{x e}

^UI

^{ale) E O}

}

^{n the U:} a' Let €0 .

Man

vergewissert

^{sich zuuoichst , dass JA n U --}

f

^{x EU I a Cx ) = 0}

}

^.

④

.#

N.R. i

"

a

"

1st x EU unit ale ) ^- O

, dawn

gilt

^{dies arch in einer Kwun}

often

^eh

Umgebung

^{von x . Also ist x -42A .}

"

z ^" Sei ^xe U unit ale ) ⁼ O

,

Dale ) to .

t ts a Lett ^Pale)) ⁼ t t

1/0×41112

t Oct)

= O

wechselt ^bei t ^--O das Vor zeicheu . Damiteuthalt

je

^de

Umgebung

von x Punkte inner halls d

avperhalb

^{von A. Also rt 2A .}

L

Da 2A lokal

Nwllstellenmenge

^einer

regular

^en

⁽

^{d. h.}

Dat

^o

⁾

^C

'

- Funk Hon ist

,

ist JA eine C^'- UME non IR^"

(

s. Satz 16.3 . ans

Analysis 2)

^.

Pala )

3)

ula ) er

fillet

^{re C}

(

SA

^HPa

^Lash

^{, S ""}

⁾

^and

(ⁱ)

gilt

^per konstruklion

Iii) a

(

at Sula )

)

^{.- ala} ) i SH Pala) It t o (S) ^s O

fir

hiureicheud Kleine s S

.

Liii) Wahle a( ^x', xu ) ^..= Xu ^-

f

^{(x'I bei a-. ( x' , xn}

⁾

^{C- JA} .

Dann

^{ist Pala) :}

(

^-

Dflx

^.) ,

n

)

D

Bein

^{. i o}

Es gilt

^{v La ) t}

^Tada

^{tf a C- JA .}

° Ein

stekges

^Normale

nfeld

^{ve C}

⁽

^{MEIR " , S " '}

⁾

^unit

Vast Tatti

^{existent nicht}

fir jerk

^{n- n - dim . UNF non IR".}

^Bsp

^{.: Mobius band .}

@

Ganplscher lntegralsatz fir

^{Quader :}

Betrachte

Q :[ an_,bn ] x. . .×[ an

,bn

] ER ^" .

Q ^{= : Q' ×} [ an_, bn

]

unit Q^{' e} R ^""

und ein

Vektorfeld

Fe C^'

(

U2Q _, R

"

)

.

bu a

Dann

gilt a) ^Ju

^{E (×) dx |}

^¥ ;

^.

⁾

an ^{Jx. F (×', xn ) dxn dx'}

Fubini

=p

¥

^.

⁽

^{Fn (×'.bn) -}

)dx

^{Fu (x', an ) '}

÷

-

)

^{Fu (× ) vu}

⁽

^{×) dscx ) (*)}

JQ

wobei

f.

^{... als}

^Summe

^{alter Zu}

Quadufloichen

^{zn verstehen ist &}

v :2Q ^→ IR

"

das nach

anpen gcrichtete Normaleufeld

^{ist , so class}

anti i

.ie?aoYxtIeI-.EH#

"

•->v

← ^to •

\ th t

(*)

gilt ^analog fir

^alle

komponenteu

^{, d. h.}

^fir

j^{. 1, ... in :}

↳

^{2, Fs (x) dx =}

)

^Fs(×)

^ylx

^{) ds (×)}

2Q

und uach Summation uiber

ji

g)

^{div FCx) dx .}

)

^{< FC×), v (×) > IS (×)}

OQ