Dieser Paragraph enth¨ alt eine kurze Zusammenfassung des Stoffes von Kapitel 3,

1

Kapitel 1 Holomorphiegebiete

§ 0 Einf¨ uhrung

Dieser Paragraph enth¨ alt eine kurze Zusammenfassung des Stoffes von Kapitel 3,

§1 – 3, aus Funktionentheorie 2.

Ist r = (r

, . . . , r

) ∈ R

, alle r

> 0, und z

= (z

, . . . , z

) ∈ C

, so heißt P

(z

, r) := {z ∈ C

: |z

− z

| < r

f¨ ur ν = 1, . . . , n}

Polyzylinder mit Polyradius r und Zentrum z

. Ist r ∈ R

und r := (r, . . . , r), so schreiben wir P

(z

) statt P

(z

, r). Bezeichnet man mit ∆ die (offene) Einheits- kreisscheibe in C , so ist P

:= P

(0) = ∆ × · · · × ∆

| {z }

nmal

der Einheits-Polyzylinder um 0.

Die Menge

T

(z

, r) = {z ∈ C

: |z

− z

| = r

f¨ ur ν = 1, . . . , n} .

nennt man den ausgezeichneten Rand des Polyzylinders P

(z

, r). Der ausgezeich- nete Rand ist das kartesische Product von n Kreisen, also diffeomorph zu einem n-dimensionalen Torus.

Die Menge

V := {r = (r

, . . . , r

) ∈ R

: r

≥ 0 f¨ ur ν = 1, . . . , n}

nennt man den absoluten Raum, die Abbildung τ : C

→ V mit τ (z

, . . . , z

) :=

|z

|, . . . , |z

|

die nat¨ urliche Projektion. F¨ ur r ∈ V ist die Urbildmenge τ

(r) der Torus T

(0, r). F¨ ur z ∈ C

setzen wir P

:= P

(0, τ (z)) und T

:= T

(0, τ (z)) = τ

(τ (z)). Ein Gebiet G ⊂ C

heißt Reinhardtsches Gebiet, wenn mit jedem z ∈ G auch der Torus T

zu G geh¨ ort.

Ein Reinhardtsches Gebiet G heißt 1. eigentlich, falls 0 ∈ G ist,

2. vollst¨ andig, falls f¨ ur alle z ∈ G ∩ ( C

)

gilt: P

⊂ G.

Ist M ⊂ C

eine beliebige Menge und {f

: ν ∈ N

} eine Familie von komplex- wertigen Funktionen auf M , so heißt die Reihe P

ν≥0

f

normal konvergent auf M , falls die Reihe der positiven reellen Zahlen P

ν≥0

kf

k

konvergent ist. Dabei bezeichnen wir mit kf

k

das Supremum von |f

| auf M . Die Reihe ist dann punktweise konvergent, und f¨ ur jede bijektive Abbildung ϕ : N → N

ist die Reihe P

i=1

f

gleichm¨ aßig konvergent auf M.

0.1 Abel’sches Lemma. Seien P

⊂⊂ P ⊂ C

Polyzylinder um den Ursprung.

Wenn die Potenzreihe P

ν≥0

a

z

in einem Punkt des ausgezeichneten Randes von

P konvergiert, dann konvergiert sie normal auf P

.

Ist S(z) = P

ν≥0

a

z

eine formale Potenzreihe im Nullpunkt und B := {z ∈ C

: S(z) konvergent},

so ist

◦

B ein vollst¨ andiges Reinhardtsches Gebiet, und S(z) konvergiert in

◦

B kom- pakt (also auf jeder kompakten Teilmenge normal). Die Menge

◦

B nennt man das Konvergenzgebiet von S(z).

Definition. Sei B ⊂ C

eine offene Menge. A Funktion f : B → C heißt holomorph, falls es zu jedem Punkt z

∈ B eine Umgebung U = U (z

) ⊂ B und eine Potenzreihe S(z) := P

ν≥0

a

(z − z

)

gibt, die auf U gegen f (z) konvergiert.

Die Menge der holomorphen Funktionen auf B wird mit O(B) bezeichnet.

Eine komplexwertige Funktion f auf einer offenen Menge B ⊂ C

heißt komplex differenzierbar in z

∈ B , falls es eine Abbildung ∆ : B → C

gibt, so dass gilt:

1. ∆ is stetig in z

.

2. f(z) = f(z

) + (z − z

) · ∆(z)

f¨ ur z ∈ B .

Der Wert der Funktion ∆ bei z

ist eindeutig bestimmt. Die Zahlen

∂f

∂z

(z

) = f

(z

) := e

· ∆(z

)

werden die partiellen Ableitungen von f in z

genannt, der Vektor

∇f (z

) := (f

(z

), . . . , f

(z

)) = ∆(z

) der komplexe Gradient.

Eine Funktion f heißt schwach holomorph auf B, falls sie dort stetig und partiell differenzierbar ist. Man kann zeigen, dass f genau dann komplex differenzierbar auf B ist, wenn f dort schwach holomorph ist.

Sei r = (r

, . . . , r

) ein Element von R

, P = P

(0, r), T = T

(0, r) und f eine stetige Funktion auf T . Dann heißt

C

(z) :=

1 2π i

Z

|ζ₁|=r₁

· · · Z

|ζn|=rn

f (ζ) dζ

(ζ

− z

) · · · dζ

(ζ

− z

) das Cauchy -Integral von f uber ¨ T .

0.2 Cauchy’sche Integral-Formel. Ist U = U(P ) eine offene Umgebung des Abschlusses von P und f schwach holomorph auf U , so ist C

(z) = f(z) f¨ ur alle z ∈ P .

Ist f : T → C eine stetige Funktion, so gibt es eine Potenzreihe P

ν≥0

a

z

, die auf

ganz P gegen C

(z) konvergiert. Die Koeffizienten a

sind durch

0 Einf¨ uhrung 3

a

= 1

2π i

Z

T

f (ζ

, . . . , ζ

) ζ

· · · ζ

dζ

· · · dζ

.

gegeben.

Insbesondere ist f genau dann komplex differenzierbar, wenn f holomorph ist.

0.3 Weierstraß’scher Konvergenzsatz. Sei G ⊂ C

ein Gebiet und (f

) eine Folge von holomorphen Funktionen, die auf G gleichm¨ aßig gegen eine Funktion f konvergiert. Dann ist f holomorph.

Es gelten auch der Identit¨ atssatz und das Maximumprinzip, sowie die Cauchy’schen Ungleichungen:

Ist G ⊂ C

ein Gebiet, f : G → C holomorph, z

∈ G ein Punkt und P = P

(z

, r) ⊂⊂ G ein Polyzylinder mit ausgezeichnetem Rand T , so ist

|D

f(z

)| ≤ ν!

r

· sup

T

|f|.

Ist f : B → C reell differenzierbar in z

, so gibt es eine Darstellung f(z) = f(z

) + (z − z

) · ∆

(z)

+ (z − z

) · ∆

(z)

, wobei ∆

and ∆

in z

stetig sind. Die eindeutig bestimmten Zahlen

∂f

∂z

(z

) = f

(z

) := e

· ∆

(z

)

und

∂f

∂z

(z

) = f

(z

) := e

· ∆

(z

)

heißen die Wirtinger-Ableitungen von f in z

.

Die komplex-linearen (bzw. antilinearen) Abbildungen (∂f)

: C

→ C und (∂f )

: C

→ C werden definiert durch

(∂f )

(w) :=

n

X

ν=1

f

(z

)w

und (∂f)

(w) :=

n

X

ν=1

f

(z

)w

,

und das Differential von f in z

durch (df )

:= (∂f )

+ (∂f )

.

Wir f¨ uhren auch noch den holomorphen (bzw. antiholomorphen) Gradient ein:

∇f := (f

, . . . , f

) und ∇f := (f

, . . . , f

).

Dann ist (∂f )

(w) = w · ∇f(z

)

und (∂f )

(w) = w · ∇f (z

)

.

Ist f eine in z

komplex-wertige reell differenzierbare Funktion, so ist

f

(z

) = 1

2 (f

(z

) − i f

(z

)), f

(z

) = 1

2 (f

(z

) + i f

(z

)).

Sei B ⊂ C

eine offene Menge. Eine Abbildung

f = (f

, . . . , f

) : B → C

heißt holomorph, falls alle Komponenten f

holomorph sind.

J

(z) =







(f

)

(z) · · · (f

)

(z)

.. . .. .

(f

)

(z) · · · (f

)

(z)







heißt komplexe Jacobi-Matrix von f in z. Der Umkehrsatz und der Satz ¨ uber implizite Funktionen gelten wie im Reellen.

Definition. Sei G ⊂ C

ein Gebiet. Eine Teilmenge A ⊂ G heißt analytisch, falls es zu jedem Punkt z

∈ G eine offene Umgebung U = U (z

) ⊂ G und holomorphe Funktionen f

, . . . , f

auf U gibt, so dass gilt:

U ∩ A = N (f

, . . . , f

)

:= {z ∈ U : f

(z) = · · · = f

(z) = 0}.

Besitzt die analytische Menge A einen inneren Punkt, so ist A = G. Andernfalls ist A nirgends dicht in G und G \ A zusammenh¨ angend.

Die analytische Menge heißt in z ∈ A regul¨ ar von der Codimension q, falls es eine Umgebung U = U(z) ⊂ G und holomorphe Funktionen f

, . . . , f

auf U gibt, so dass gilt:

1. A ∩ U = N (f

, . . . , f

).

2. rg

(f

, . . . , f

) = q.

Die Zahl n − q nennt man die Dimension von A in z. Ist A in z nicht regul¨ ar, so nennt man A dort singul¨ ar. Die Menge der regul¨ aren Punkte von A bezeichnen wir mit Reg(A), die der singul¨ aren Punkte mit Sing(A).

Eine k-dimensionale komplexe Untermannigfaltigkeit eines Gebietes G ⊂ C

ist eine analytische Menge A ⊂ G, die ¨ uberall regul¨ ar von der Codimension n − k ist.

Sei jetzt G ⊂ C

ein eigentliches Reinhardtsches Gebiet und f holomorph auf G.

Dann stimmt f¨ ur alle z ∈ G ∩ ( C

)

das Cauchy-Integral C

in einer Umgebung

des Nullpunktes mit f uberein. Es gibt sogar eine Potenzreihe ¨ S(z), die in G gegen

f konvergiert.

0 Einf¨ uhrung 5

Die Menge

G b := [

z∈G∩(C^∗)ⁿ

P

nennt man die vollst¨ andige H¨ ulle von G. Sie ist das kleinste vollst¨ andige Reinhardt- sche Gebiet, das G enth¨ alt, und man kann zeigen, dass jede holomorphe Funktion f auf G eine eindeutig bestimmte holomorphe Fortsetzung f b auf G b besitzt.

Das wichtigste Beispiel ist die Hartogs-Figur:

Sei n ≥ 2, P

der Einheitspolyzylinder, q

, . . . , q

reelle Zahlen mit 0 < q

< 1 f¨ ur ν = 1, . . . , n, und

H = H(q) := {z ∈ P

: |z

| > q

oder |z

| < q

f¨ ur µ = 2, . . . , n}.

Dann nennt man (P

, H) eine Euklidische Hartogs-Figur. H ist ein Reinhardtsches Gebiet und P

seine vollst¨ andige H¨ ulle.

|z

|

|z

|

H q

q

Es gilt der

0.4 Satz von Hartogs. Sei (P

, H) eine Euklidische Hartogs-Figur. Dann besitzt jede holomorphe Funktion f auf H eine holomorphe Fortsetzung f b auf P

.

Definition. Sei g = (g

, . . . , g

) : P

→ C

eine injektive holomorphe Ab- bildung, P e := g(P

) und H e := g(H). Dann nennt man P , e H e

eine allgemeine Hartogs-Figur.

Entscheidend f¨ ur alles weitere ist der

0.5 Kontinuit¨ atssatz. Sei G ⊂ C

ein Gebiet, P , e H e

eine allgemeine Hartogs- Figur mit H e ⊂ G, f eine holomorphe Funktion auf G. Ist G∩ P e zusammenh¨ angend, so kann f eindeutig nach G ∪ P e fortgesetzt werden.

Eine Anwendung ist z.B. der folgende Spezialfall des

” Kugelsatzes“:

Sei n ≥ 2. Sind P

⊂⊂ P konzentrische Polyzylinder um den Nullpunkt in C

,

so kann jede holomorphe Funktion f auf P \ P

eindeutig zu einer holomorphen

Funktion auf P fortgesetzt werden.

0.6 Riemann’scher Hebbarkeitssatz. Sei G ⊂ C

ein Gebiet und A ⊂ G eine echte analytische Teilmenge. Ist f eine holomorphe Funktion auf G \ A, die entlang A beschr¨ ankt ist, so kann f nach G holomorph fortgesetzt werden.

Im Falle h¨ oherer Codimension gibt es noch st¨ arkere Aussagen.

0.7 Satz. Sei n ≥ 2 und P

= P

(0, 1) der Einheitspolyzylinder im C

, k ≥ 2 und

E := {z = (z

, . . . , z

) ∈ C

: z

= · · · = z

= 0}.

Dann kann jede holomorphe Funktion f auf P

\ E holomorph nach P

fortgesetzt werden.

Ist also n ≥ 2, so ist jede isolierte Singularit¨ at einer holomorphen Funktion von

z

, . . . , z

hebbar.

1 Das Kontinuit¨ atsprinzip 7

§ 1 Das Kontinuit¨ atsprinzip

Manchmal benutzt man an Stelle einer Hartogs-Figur eine Familie von analytischen Scheiben.

Definition. Eine Familie von analytischen Scheiben wird durch eine stetige Ab- bildung ϕ : ∆ × [0, 1] → C

gegeben, so dass ϕ

(ζ) := ϕ(ζ, t) in ∆ holomorph ist, f¨ ur alle t ∈ [0, 1]. Die Menge S

:= ϕ

(∆) nennt man eine analytische Scheibe und bS

:= ϕ

(∂∆) ihren Rand.

Man beachte, dass bS

i.a. nicht der topologische Rand von S

ist.

Definition. Ein Gebiet G ⊂ C

gen¨ ugt dem Kontinuit¨ atsprinzip, falls f¨ ur alle Familien {S

, t ∈ [0, 1]} von analytischen Scheiben in C

mit S

0≤t≤1

bS

⊂ G und S

⊂ G folgt, dass S

0≤t≤1

S

⊂ G ist.

Beispiel.

Sei P

der Einheitspolyzylinder und {S

, t ∈ [0, 1]} eine Familie von analy- tischen Scheiben in C

mit S

0≤t≤1

bS

⊂ P

und S

⊂ P

. Weil S

und die Vereinigung aller R¨ ander bS

kompakte Mengen sind, gibt es ein ε > 0, so dass gilt:

[

0≤t≤1

bS

⊂ P

(0, 1 − ε) und S

⊂ P

(0, 1 − ε).

Wir nehmen an, dass S

0≤t≤1

S

nicht in P

enthalten ist, und definieren t

:= inf{t ∈ [0, 1] : S

6⊂ P

}.

Es ist klar, dass t

> 0, S

6⊂ P

und S

⊂ P

f¨ ur 0 ≤ t < t

ist. Dann enth¨ alt S

einen Punkt z

= z

, . . . , z

∈ ∂P

. Ist die Familie von analytischen Scheiben gegeben durch die Abbildung ϕ : ∆ ×[0, 1] → C

und bezeichnet w

die µ-te Koordinatenfunction, so ist f

(ζ) := w

◦ ϕ(ζ, t) auf ∆ stetig und in ∆ holomorph. W¨ ahlt man µ so, dass |z

| = 1 ist, so gibt es ein ζ

∈ ∆ mit f

(ζ

) = z

und |f

(ζ

)| = 1. Aber nach dem Maximumprinzip ist

|f

(ζ

)| ≤ sup

∂∆

|f

| ≤ 1 − ε, f¨ ur t < t

.

Weil t 7→ f

(ζ

) stetig ist, stellt dies einen Widerspruch dar. Also gen¨ ugt P

dem Kontinuit¨ atsprinzip.

Definition. Ein Gebiet G ⊂ C

heißt Hartogs-konvex, falls gilt: Ist P , e H e eine allgemeine Hartogs-Figur mit H e ⊂ G, so ist P e ⊂ G.

Nun folgt unmittelbar:

Das biholomorphe Bild eines Hartogs-konvexen Gebietes ist wieder Hartogs- konvex.

1.1 Theorem. Sei G ⊂ C

ein Gebiet, das dem Kontinuit¨ ats-Prinzip gen¨ ugt.

Dann ist G Hartogs-konvex.

Beweis: Sei P , e H e

eine allgemeine Hartogs-Figur mit H e ⊂ G. Sie sei das biho- lomorphe Bild (g(P

), g(H)) einer euklidischen Hartogs-Figur (P

, H) mit

H = {z : |z

| > q

oder |z

| < q

f¨ ur µ = 2, . . . , n}.

Um analytische Scheiben zu definieren, w¨ ahlen wir ein r mit q

< r < 1 und f¨ uhren die affinen analytischen Scheiben

D

:= {z = (z

, z

) ∈ P

= P

× P

: |z

| < r und z

= w}

ein. Da D

⊂ P

f¨ ur jedes w ∈ P

ist, k¨ onnen wir ϕ

: ∆ × [0, 1] → C

durch ϕ

(ζ, t) := g(rζ, tw) definieren. Dann ist eine Familie {S

(w) : 0 ≤ t ≤ 1} von analytischen Scheiben in P e gegeben durch

S

(w) := ϕ

(∆ × {t}) = g(D

).

Es folgt, dass bS

(w) ⊂ G f¨ ur jedes w ∈ P

und jedes t ∈ [0, 1] ist, und außerdem S

(w) = g(D

) ⊂ G.

|z

| z

w s

D

q

r

P

× P

Da G dem Kontinuit¨ atsprinzip gen¨ ugt, ist g(D

) = S

(w) in G enthalten. Dies gilt f¨ ur jedes w ∈ P

. Also ist P e ⊂ G, und G ist Hartogs-konvex.

1.2 Folgerung. Der Einheitspolyzylinder P

ist Hartogs-konvex.

Definition. Sei G ⊂ C

ein Gebiet, f holomorph in G und z

∈ ∂G ein Punkt.

Die Funktion f heißt vollst¨ andig singul¨ ar in z

, falls es auf keiner zusammenh¨ angen- den Umgebung U = U (z

) ⊂ C

eine holomorphe Funktion g gibt, die auf einer Zusammenhangskomponente C von U ∩ G mit f ubereinstimmt. ¨

Beispiel.

Sei G := C \ {x ∈ R : x ≤ 0} und f ein Zweig des Logarithmus auf G. Dann

ist f vollst¨ andig singul¨ ar in z = 0, aber in keinem Punkt x ∈ R mit x < 0.

1 Das Kontinuit¨ atsprinzip 9

Definition. Ein Gebiet G ⊂ C

heißt schwaches Holomorphiegebiet, falls es zu jedem Punkt z ∈ ∂G eine Funktion f ∈ O(G) gibt, die in z vollst¨ andig singul¨ ar ist.

Das Gebiet G heißt ein Holomorphiegebiet, falls eine Funktion f ∈ O(G) existiert, die in jedem Punkt z ∈ ∂G vollst¨ andig singul¨ ar ist.

Beispiele.

1. Da der C

keinen Randpunkt besitzt, erf¨ ullt er trivialerweise die Bedingungen eines Holomorphiegebietes.

2. Man sieht sofort, dass jedes Gebiet G ⊂ C ein schwaches Holomorphiegebiet ist: Ist z

ein Randpunkt von G, so ist f (z) := 1/(z − z

) in G holomorph und vollst¨ andig singul¨ ar in z

.

F¨ ur G = ∆ k¨ onnen wir sogar mehr zeigen! Die Funktion f (z) := P

ν=0

z

ist holomorph im Einheitskreis und wird in jedem Randpunkt vollst¨ andig sin- gul¨ ar. Deshalb ist ∆ ein Holomorphiegebiet. Am Ende dieses Kapitels werden wir sehen, dass jedes Gebiet in C ein Holomorphiegebiet ist.

3. Ist f : ∆ → C eine holomorphe Funktion, die in jedem Randpunkt vollst¨ andig singul¨ ar wird, so gilt das gleiche f¨ ur f b : P

= ∆ × · · · × ∆ → C , definiert durch f(z b

, . . . , z

) := f (z

) + · · · + f (z

). Ist n¨ amlich z

ein Randpunkt von P

, so gibt es ein i, so dass die i-te Komponente z

ein Randpunkt von ∆ ist. Wenn f b holomorph ¨ uber z

hinweg fortgesetzt werden k¨ onnte, dann h¨ atte auch f b

(ζ) := f(z b

, . . . , ζ, . . . , z

) eine holomorphe Fortsetzung.

Aber dann k¨ onnte f in z

nicht vollst¨ andig singul¨ ar sein. Deshalb ist der Einheitspolyzylinder ein Holomorphiegebiet.

4. Ist (P

, H) eine euklidische Hartogs-Figur, so ist H kein Holomorphiegebiet.

1.3 Satz. Sei G ⊂ C

ein Gebiet. Wenn es zu jedem Punkt z

∈ ∂G eine offene Umgebung U = U (z

) ⊂ C

und eine holomorphe Funktion f : G ∪ U → C mit f (z

) = 0 und f(z) 6= 0 f¨ ur z ∈ G gibt, dann ist G ein schwaches Holomorphiege- biet.

Beweis: Wir zeigen, dass 1/f in z

vollst¨ andig singul¨ ar ist. Dazu nehmen wir an, es gebe eine zusammenh¨ angende offene Umgebung V = V (z

), eine Zusam- menhangskomponente C ⊂ V ∩ G und eine holomorphe Funktion F auf V mit F |

= (1/f )

. Die Menge V

:= V \ N (f ) ist immer noch zusammenh¨ angend und enth¨ alt C. Nach dem Identit¨ atssatz m¨ ussen die Funktionen F und 1/f in V

¨ ubereinstimmen. Dann ist F offensichtlich nicht holomorph in z

. Widerspruch!

1.4 Folgerung. Jedes konvexe Gebiet G im C

ist ein schwaches Holomorphie- gebiet.

Beweis: Ist z

∈ ∂G, so gibt es wegen der Konvexit¨ at von G eine reelle Linear-

form λ auf C

mit λ(z) < λ(z

) f¨ ur z ∈ G. Wir k¨ onnen λ in der Form

λ(z) =

n

X

ν=1

α

z

+

n

X

ν=1

α

z

, mit α := (α

, . . . , α

) 6= 0,

schreiben. Daher ist λ = Re h(z), wobei h(z) := 2 · P

ν=1

α

z

holomorph auf C

ist.

Da die Funktion f (z) := h(z) − h(z

) auf C

holomorph, f (z

) = 0 und f(z) 6= 0 auf G ist, kann der Satz angewandt werden.

Wir wollen zeigen, dass jedes schwache Holomorphiegebiet Hartogs-konvex ist. Als Hilfsmittel ben¨ otigen wir das folgende einfache geometrische Lemma, das auch in anderen Situationen n¨ utzlich sein wird.

1.5 Lemma (¨ uber Randkomponenten). Sei G ⊂ C

ein Gebiet, U ⊂ C

eine offene Menge mit U ∩ G 6= ∅ und ( C

\ U) ∩ G 6= ∅ .

Dann ist G ∩ ∂C ∩ ∂U 6= ∅ f¨ ur jede Zusammenhangskomponente C von U ∩ G.

Beweis: Wir w¨ ahlen Punkte z

∈ C ⊂ U ∩ G und z

∈ ( C

\ U ) ∩ G. Dann gibt es einen stetigen Weg γ : [0, 1] → G mit γ(0) = z

und γ(1) = z

. Sei t

:= sup{t ∈ [0, 1] : γ(t) ∈ C} und z

:= γ(t

). Offensichtlich ist z

∈ ∂C ∩ G, aber z

6∈ C. Da C eine Zusammenhangskomponente von U ∩ G ist, kann z

nicht in U ∩ G und daher auch nicht in U liegen. Wegen γ(t) ∈ U f¨ ur t < t

folgt, dass z

∈ ∂U ist.

1.6 Theorem. Sei G ⊂ C

ein schwaches Holomorphiegebiet. Dann ist G Hartogs-konvex.

Beweis: Wir nehmen an, dass G nicht Hartogs-konvex ist. Dann gibt es eine allgemeine Hartogs-Figur (P, H ) mit H ⊂ G, aber P ∩ G 6= P . Wir w¨ ahlen einen beliebigen Punkt z

in H und setzen C := C

(z

).

Da H in P ∩ G liegt und zusammenh¨ angend ist, folgt, dass H ⊂ C ist. Außerdem ist C $ P .

Da P ∩ G 6= ∅ und ( C

\ G) ∩ P 6= ∅ ist, gibt es nach dem Lemma einen Punkt z

∈ ∂C ∩ ∂G ∩ P .

z r

r z

H

G P

1

Mit C

(z) bezeichnen wir die Zusammenhangskomponente von z in M .

1 Das Kontinuit¨ atsprinzip 11

Sei f eine beliebige holomorphe Funktion auf G. Dann ist auch f |

holomorph und besitzt nach dem Kontinuit¨ atssatz eine holomorphe Fortsetzung F auf P . Da P eine offene zusammenh¨ angende Umgebung von z

ist, kann f nicht vollst¨ andig singul¨ ar in z

sein. Das ist ein Widerspruch.

Es folgt z.B., dass jedes konvexe Gebiet Hartogs-konvex ist. Insbesondere ist jede Kugel Hartogs-konvex.

1.7 Theorem. Jedes Holomorphiegebiet ist Hartogs-konvex.

Der Beweis ist trivial.

Um die Umkehrung dieses Satzes zu zeigen, muss man zu jedem Hartogs-konvexen Gebiet eine globale holomorphe Funktion konstruieren, die in jedem Randpunkt vollst¨ andig singul¨ ar wird. Das ist sehr schwierig. Es wurde 1910 in sehr speziellen F¨ allen von E.E. Levi durchgef¨ uhrt. Der allgemeine Fall wurde als Levi-Problem bezeichnet.

1942 lieferte der japanische Mathematiker K. Oka einen Beweis f¨ ur n = 2. Anfang der 50er l¨ osten Oka, Bremermann und Norguet das Levi-Problem f¨ ur beliebiges n.

Das Ergebnis wurde auf komplexe Mannigfaltigkeiten (H. Grauert, 1958) und kom- plexe R¨ aume (R. Narasimhan, 1962) verallgemeinert. Schließlich ver¨ offentlichte L.

H¨ ormander 1965 einen Beweis, der Hilbertraum-Methoden und partielle Differen-

tialgleichungen benutzte.

§ 2 Plurisubharmonische Funktionen

Wir beginnen mit einigen Fakten aus der 1-dimensionalen komplexen Analysis.

Eine zweimal differenzierbare reell-wertige Funktion h auf einem Gebiet G ⊂ C heißt harmonisch, falls h

(z) ≡ 0 auf G ist. Der Realteil einer holomorphen Funk- tion ist immer harmonisch, und auf einer offenen Kreisscheibe ist jede harmonische Funktion der Realteil einer holomorphen Funktion.

Ist D = ∆(a, r) ⊂ C eine offene Kreisscheibe und β : R → R eine stetige peri- odische Funktion mit Periode 2π, so gibt es eine stetige Funktion h : D → R , die harmonisch auf D ist, so dass h(a + re

) = β(t) f¨ ur alle t gilt (Dirichlet’s Prinzip).

Eine nach oben halbstetige

Funktion ϕ : G → R ∪ {−∞} gen¨ ugt der schwachen Mittelwerteigenschaft, falls gilt:

Zu jedem a ∈ G gibt es ein r > 0 mit ∆(a, r) ⊂⊂ G und ϕ(a) ≤ 1

2π Z

0

ϕ(a + %e

) dt f¨ ur 0 < % ≤ r.

Bemerkungen.

1. Ist ϕ : G → R ∪ {−∞} eine nach oben halbstetige Funktion, so sind die Mengen U

:= {z ∈ G : ϕ(z) < c} offen, und deshalb ist ϕ messbar und auf jeder kompakten Teilmenge K ⊂ G nach oben beschr¨ ankt. Es folgt, dass das Integral in der Definition der schwachen Mittelwerteigenschaft existiert (eventuell mit dem Wert −∞).

2. Harmonische Funktionen gen¨ ugen der schwachen Mittelwerteigenschaft (so- gar der strengen Mittelwerteigenschaft mit

” =“ an Stelle von

” ≤“).

3. Ist f : G → C eine nirgends identisch verschwindende holomorphe Funkti- on, so gen¨ ugt log|f | der schwachen Mittelwerteigenschaft. Tats¨ achlich ist die Funktion ϕ := log|f| harmonisch auf G \ N (f ), weil sie lokal als Re(log f) geschrieben werden kann, mit einem geeigneten Zweig des Logarithmus. In jedem Punkt z

∈ N (f) ist ϕ(z

) = −∞, also ist dort die Ungleichung in der schwachen Mittelwerteigenschaft erf¨ ullt.

2.1 Satz. ϕ : G → R gen¨ uge der schwachen Mittelwerteigenschaft. Hat ϕ ein globales Maximum in G, so ist ϕ konstant.

Beweis: Sei a ∈ G ein Punkt mit c := ϕ(a) ≥ ϕ(z) f¨ ur z ∈ G. Wir w¨ ahlen ein r > 0, so dass gilt:

∆(a, r) ⊂⊂ G und ϕ(a) ≤ 1 2π

Z

ϕ(a + %e

) dt f¨ ur 0 < % ≤ r.

2

ϕ ist in z

∈ G halbstetig nach oben, falls gilt: Ist ϕ(z

) < r, so gibt es eine Umgebung

U (z

) ⊂ G, so daß ϕ(z) < r f¨ ur z ∈ U ist.

2 Plurisubharmonische Funktionen 13

Wir nehmen an, dass es ein b ∈ ∆(a, r) mit ϕ(b) < ϕ(a) gibt. Dann schreiben wir b = a + %e

und erhalten

ϕ(a) ≤ 1 2π

Z

ϕ(a + %e

) dt < 1 2π

Z

ϕ(a) dt = ϕ(a).

Dies ist ein Widerspruch, also muss ϕ konstant auf ∆(a, r) sein. Wir setzen M :=

{z ∈ G : ϕ(z) = c}. Offensichtlich ist M in G abgeschlossen und nicht leer. Da M sowieso offen ist, ist M = G und ϕ konstant.

Definition. Sei G ⊂ C ein Gebiet. Eine Funktion s : G → R ∪ {−∞} heißt subharmonisch, falls folgendes gilt:

1. s ist halbstetig nach oben auf G.

2. Ist D ⊂⊂ G eine Kreisscheibe, h : D → R stetig, h|

harmonisch und h ≥ s auf ∂D, so ist h ≥ s auf D.

2.2 Satz. Sei s

: G → R ∪ {−∞} eine monoton fallende Folge von subharmoni- schen Funktionen. Dann ist auch s := lim

s

subharmonisch.

Beweis: Die Grenzfunktion s = lim

s

= inf{s

} ist halbstetig nach oben.

Sei nun D ⊂⊂ G eine Kreisscheibe, h : D → R stetig und harmonisch auf D, mit s ≤ h auf ∂D. F¨ ur ein festes ε > 0 betrachten wir die kompakten Mengen

K

:= {z ∈ ∂D : s

(z) ≥ h(z) + ε}.

Es ist K

⊂ K

und T

ν=1

K

= ∅ . Deshalb gibt es ein ν

∈ N mit K

= ∅ f¨ ur ν ≥ ν

. Das bedeutet, dass s

< h + ε f¨ ur ν ≥ ν

auf ∂D ist, und dann gilt dasselbe auch auf D. Da die s

monoton fallen, ist s < h + ε auf D. Das gilt f¨ ur jedes ε > 0, also ist s ≤ h auf D.

2.3 Satz. Sei (s

)

eine Familie von subharmonischen Funktionen auf G. Ist s := sup s

halbstetig nach oben und ¨ uberall endlich, so ist s subharmonisch.

Beweis: Ist s ≤ h auf ∂D, wobei D ⊂⊂ G und h : D → R stetig und auf D harmonisch ist, so ist s

≤ h auf ∂D, f¨ ur jedes α ∈ A. Da die s

subharmonisch sind, folgt, dass s

≤ h auf D ist, f¨ ur jedes α ∈ A. Dann ist auch s ≤ h auf D.

Beispiele.

1. Offensichtlich ist jede harmonische Funktion subharmonisch.

2. Sei s : G → R eine stetige subharmonische Funktion, so dass auch −s subhar-

monisch ist. Dann ist s harmonisch. Um dies zu zeigen, betrachten wir einen

beliebigen Punkt a ∈ G und w¨ ahlen ein r > 0, so dass D := ∆(a, r) ⊂⊂ G

ist. Dann gibt es eine stetige Funktion h : D → R mit h|

= s|

, die auf D

harmonisch ist (Dirichlet’sches Prinzip). Es folgt, dass s ≤ h auf D ist. Aber weil auch −h harmonisch ist, haben wir −s ≤ −h auf D. Zusammen ergibt das s = h auf D.

3. Sei f : G → C eine holomorphe Funktion. Dann ist s := log|f| subharmo- nisch. Ist n¨ amlich f(z) ≡ 0 auf G, so ist s(z) ≡ −∞ und es bleibt nichts zu zeigen. Andernfalls ist s harmonisch auf G \ N (f), und wir m¨ ussen nur eine isolierte Nullstelle a von f betrachten. Dann w¨ ahlen wir eine Scheibe D = ∆(a, r) ⊂⊂ G und eine Funktion h, die auf D stetig und auf D harmo- nisch ist, mit s ≤ h auf ∂D. Wir wissen, dass s und daher auch s − h auf D die schwache Mittelwerteigenschaft besitzen. Da s nicht konstant ist, muss s − h sein Maximum (≤ 0) auf dem Rand ∂D annehmen. Das bedeutet, dass s ≤ h auf D ist.

4. Sei G ⊂ C ein beliebiges Gebiet. Die Randdistanz δ

: G → R

∪ {+∞} ist definiert durch

δ

(z) := sup{r ∈ R : ∆(z, r) ⊂ G}.

Behauptung: s := − log δ

ist subharmonisch auf G.

Beweis: Ist G = C , so ist s(z) ≡ −∞ und daher nichts zu zeigen. Ist G 6= C , so ist s reellwertig und stetig. F¨ ur w ∈ ∂G definieren wir s

: G → R durch s

(z) := − log|z − w|. Dann ist s(z) = sup{s

(z) : w ∈ ∂G}. Aus dem obigen Satz folgt die Behauptung.

2.4 Maximumprinzip. Sei s : G → R ∪ {−∞} eine subharmonische Funktion auf einem Gebiet G ⊂ C . Wenn s in G sein Maximum annimmt, dann muss s konstant sein.

Beweis: Wir nehmen an, dass c := s(a) ≥ s(z) f¨ ur alle z ∈ G gilt. Wie bei den Funktionen, die die schwache Mittelwerteigenschaft besitzen, gen¨ ugt es zu zeigen, dass s in einer Umgebung von a konstant ist. W¨ are dies nicht der Fall, so g¨ abe es eine kleine Scheibe D = ∆(a, r) ⊂⊂ G und ein b ∈ ∂D mit s(a) > s(b). Da s halbstetig nach oben ist, gibt es eine stetige Funktion h auf ∂D mit s ≤ h ≤ c und h(b) < c. Die L¨ osung des Dirichlet’schen Problems liefert eine harmonische Fortsetzung von h in D. Dann ist aber

h(a) = 1 2π

Z

h(a + re

) dt < c = s(a), und das ist ein Widerspruch.

Manchmal erweist sich das folgende Kriterium f¨ ur Subharmonizit¨ at als n¨ utzlich:

2.5 Theorem. Sei G ⊂ C ein Gebiet und s : G → R ∪ {−∞} eine nach oben

halbstetige Funktion. F¨ ur jede Scheibe D ⊂⊂ G und jede Funktion f ∈ O(D) mit

s < Re(f ) auf ∂D sei s < Re(f ) auf D. Dann ist s subharmonisch.

2 Plurisubharmonische Funktionen 15

Beweis: Sei D = ∆(a, r) ⊂⊂ G, h : D → R stetig und auf D harmonisch, sowie s ≤ h auf ∂D. Der Einfachheit halber sei a = 0.

F¨ ur ν ∈ N wird eine harmonische Funktion h

auf D

:= ∆(0, (ν/(ν − 1))r) ⊃ D gegeben durch

h

(z) := h 1 − 1

ν

z .

Dann konvergiert (h

) auf D gleichm¨ aßig und monoton wachsend gegen h. Außer- dem gibt es zu jedem ν eine holomorphe Funktion f

auf D

mit Re(f

) = h

. Sei ε > 0 gegeben. Dann gibt es ein ν

mit |h − h

| < ε auf D f¨ ur ν ≥ ν

. Daher ist s < h

+ ε = Re(f

+ ε) auf ∂D f¨ ur ν ≥ ν

. Nach Definition folgt, daß s < h

+ ε auf D ist. Da die (h

) wachsen, ist s < h + ε und damit s ≤ h auf D.

2.6 Hilfssatz. Sei s : G → R eine C

-Funktion und s

> 0 auf G. Dann ist s subharmonisch.

Beweis: Sei D = ∆(a, r) ⊂⊂ G und eine stetige Funktion h : D → R gegeben, so dass h auf D harmonisch und s ≤ h auf ∂D ist. Wir setzen ϕ := s − h.

Wir nehmen an, dass ϕ sein Maximum in einem inneren Punkt z

von D annimmt.

Dann betrachten wir die Taylor-Entwicklung von ϕ in z

in einer kleinen Umgebung um z

:

ϕ(z

+ z) = ϕ(z

) + 2 Re Q(z) + ϕ

(z

)zz + R(z),

wobei Q(z) := ϕ

(z

)z+

ϕ

(z

)z

holomorph ist und R(z)/|z|

→ 0 f¨ ur z → 0. Die Funktion ψ(z) := 2 Re Q(z) ist harmonisch, mit ψ(0) = 0. Da sie kein Maximum oder Minimum annehmen kann, muss sie in Punkten, die beliebig nahe bei Null liegen, aber 6= 0 sind, Nullstellen besitzen. Andererseits ist ϕ(z

+ z) − ϕ(z

) ≤ 0 und ϕ

(z

)zz > 0 außerhalb z = 0. Das ist ein Widerspruch! Also muss ϕ sein Maximum auf dem Rand von D annehmen und s ≤ h auf D sein.

2.7 Theorem. Sei s : G → R eine C

-Funktion. s ist genau dann subharmonisch, wenn s

≥ 0 auf G ist.

Beweis: (a) Sei s

(z) ≥ 0 in jedem z ∈ G. Dann definieren wir s

auf G durch s

:= s + (1/ν)zz. Offensichtlich ist (s

)

= s

+ (1/ν) > 0. Dann ist s

subharmonisch, nach dem obigen Lemma. Da (s

) monoton fallend gegen s konvergiert, ist s subharmonisch.

(b) Sei umgekehrt s subharmonisch auf G. Wir nehmen an, dass s

(a) < 0 in einem

a ∈ G ist. Dann gibt es eine zusammenh¨ angende offene Umgebung U = U (a) ⊂ G,

so dass s

< 0 auf U ist. Aus dem Lemma folgt, dass −s auf U subharmonisch

ist. Dann muss s harmonisch auf U sein. Also ist s

(a) = 0, im Widerspruch zur

Annahme.

Wir kehren zu den Gebieten in beliebigen Dimensionen zur¨ uck. Sei G ⊂ C

ein Gebiet, a ∈ G ein Punkt und w ein Vektor im C

. Wir benutzen die holomorphe Abbildung α

: C → C

mit α

(ζ) := a + ζw.

Definition. Eine nach oben halbstetige Funktion p : G → R ∪ {−∞} heißt plurisubharmonisch auf G, falls f¨ ur jeden Punkt a ∈ G und jeden Vektor w im C

die Funktion

p

(ζ) := p ◦ α

(ζ) = p(a + ζw)

subharmonisch auf der Zusammenhangskomponente G(a, w) der Menge α

(G) ⊂ C ist, die 0 enth¨ alt.

Bemerkungen.

1. Plurisubharmonizit¨ at ist eine lokale Eigenschaft.

2. Ist f ∈ O(G), so ist log|f | plurisubharmonisch.

3. Sind p

, p

plurisubharmonisch, so auch p

+ p

.

4. Ist p plurisubharmonisch und c > 0, so ist c · p plurisubharmonisch.

5. Ist (p

) eine monoton fallende Folge von plurisubharmonischen Funktionen, so ist auch p := lim

p

plurisubharmonisch.

6. Sei (p

)

eine Familie von plurisubharmonischen Funktionen. Ist p :=

sup(p

) halbstetig nach oben und endlich, so ist p auch plurisubharmonisch.

7. Wenn eine plurisubharmonische Funktion p ihr Maximum in einem Punkt des Gebietes G annimmt, so ist p konstant auf G.

Ist a ∈ C

, so nennen wir die Menge T

aller Paare (a, w), w ∈ C

, den Tangenti- alraum in a. Offensichtlich ist T

ein n-dimensionaler C -Vektorraum.

Definition. Sei U ⊂ C

eine offene Menge, f ∈ C

(U; R ) und a ∈ U . Die quadratische Form

Lev(f) : T

→ R mit

Lev(f )(a, w) := X

ν,µ

f

(a)w

w

heißt die Leviform von f in a.

Offensichtlich ist Lev(f ) linear in f . Beispiele.

1. Im Falle n = 1 haben wir Lev(s)(a, w) = s

(a)ww. Also ist s genau dann subharmonisch, wenn Lev(s)(a, w) ≥ 0 f¨ ur jedes a ∈ G und w ∈ C ist.

3

Ist H : T × T → C eine Hermite’sche Form auf einem komplexen Vektorraum, so ist die

assoziierte quadratische Form Q : V → R gegeben durch Q(v) := H(v, v).

2 Plurisubharmonische Funktionen 17

2. Sei f (z) := kzk

= P

i=1

z

z

. Dann ist Lev(f)(a, w) = kwk

in jedem a.

3. Ist f ∈ C

(U ; R ) und % : R → R zweimal stetig differenzierbar, so ist Lev(% ◦ f )(a, w) = %

(f (a)) · |(∂f )

(w)|

+ %

(f(a)) · Lev(f )(a, w).

4. Ist F : U → V ⊂ C

eine holomorphe Abbildung und g ∈ C

(V ; R ), so ist Lev(g ◦ F)(a, w) = Lev(g)(F(a), F

(a)(w)).

5. F¨ ur f ∈ C

(U; R ) ergibt die Taylor-Entwicklung in a ∈ U die Gleichung f(z) = f(a) + 2 Re(Q

(z − a)) + Lev(f)(a, z − a) + R(z − a), wobei Q

(w) = P

ν=1

f

(a)w

+

P

ν,µ

f

(a)w

w

ein holomorphes qua- dratisches Polynom ist, und

z→a

lim

R(z − a) kz − ak

= 0.

Die Beweise seien dem interessierten Leser als ¨ Ubungsaufgabe ¨ uberlassen.

2.8 Theorem. Eine Funktion f ∈ C

(U ; R ) ist genau dann plurisubharmonisch, wenn Lev(f)(a, w) ≥ 0 f¨ ur jedes a ∈ U und jedes w ∈ T

ist.

Beweis: Sei (a, w) ein Tangentialvektor mit a ∈ G und α(ζ) := α

(ζ) = a + ζw. Dann ist f ◦ α(0) = f(a) und

(f ◦ α)

(0) = Lev(f ◦ α)(0, 1) = Lev(f)(a, w).

Aber f ist genau dann plurisubharmonisch, wenn f ◦ α subharmonisch nahe 0 ist, f¨ ur jedes α = α

. Das ist ¨ aquivalent dazu, dass (f ◦ α)

(0) ≥ 0 f¨ ur jedes solche α ist. Und das gilt wiederum genau dann, wenn Lev(f)(a, w) ≥ 0 f¨ ur jeden Tangentialvektor w in a ∈ G ist.

2.9 Folgerung. Seien G

⊂ C

und G

⊂ C

Gebiete, F : G

→ G

eine holomorphe Abbildung und g ∈ C

(G

; R ) eine plurisubharmonische Funktion. Dann ist g ◦ F plurisubharmonisch auf G

.

Beweis: Das ist trivial, nach der Formel im Beispiel 4 oben.

F¨ ur jedes Gebiet G ⊂ C ist die Funktion − log δ

subharmonisch. In h¨ oheren

Dimensionen gilt nicht, dass diese Funktion f¨ ur jedes Gebiet G plurisubharmonisch

ist.

Definition. Sei G ⊂ C

ein Gebiet. Eine nicht-konstante stetige Funktion f : G → R heißt eine Aussch¨ opfungsfunktion f¨ ur G, falls f¨ ur c < sup

(f) alle Subniveaumengen

G

(f ) := {z ∈ G : f(z) < c}

relativ-kompakt in G sind.

Beispiel.

F¨ ur G = C

ist die Funktion f (z) := kzk

eine Aussch¨ opfungsfunktion. F¨ ur G 6= C

definieren wir die Randdistanz δ

durch

δ

(z) := dist(z, C

\ G).

Dann ist −δ

eine beschr¨ ankte und − log δ

eine unbeschr¨ ankte Aussch¨ opfungs- funktion. Wir m¨ ussen nur zeigen, daß δ

stetig ist:

Zu jedem Punkt z ∈ G gibt es einen Punkt r(z) ∈ C

\ G, so dass gilt:

δ

(z) = dist(z, r(z)) ≤ dist(z, w) f¨ ur jedes w ∈ C

\ G.

Dann haben wir f¨ ur beliebige Punkte u, v ∈ G

δ

(u) = ku − r(u)k ≤ ku − r(v)k ≤ ku − vk + δ

(v), und genauso δ

(v) ≤ ku − vk + δ

(u).

Daher ist |δ

(u) − δ

(v)| ≤ ku − vk.

Definition. Eine Funktion f ∈ C

(G; R ) heißt streng plurisubharmonisch, falls Lev(f )(a, w) > 0 f¨ ur a ∈ G, (a, w) ∈ T

und w 6= 0 ist.

F¨ ur einen Beweis des folgenden Ergebnisses verweisen wir auf das Buch von Michael Range, Chapter II, Proposition 4.14.

2.10 Gl¨ attungs-Lemma. Sei G ⊂ C

ein Gebiet, f : G → R eine stetige plurisubharmonische Aussch¨ opfungsfunktion, K ⊂ G kompakt und ε > 0. Dann gibt es eine C

-Aussch¨ opfungsfunktion g : G → R , so dass gilt:

1. g ≥ f auf G.

2. g ist streng plurisubharmonisch.

3. |g(z) − f (z)| < ε auf K.