Modellreduktion mittels Proper Orthogonal Decomposition

(1)

Modellreduktion mittels Proper Orthogonal Decomposition

Arthur Fleig

Universit¨at Bayreuth

18. Juli 2012

(2)

Gliederung Problemstellung und Motivation Die POD-Methode Anwendungen der POD-Methode

Gliederung

1 Problemstellung und Motivation

Berechnung einer POD-Basis

3 Anwendungen der POD-Methode

Galerkin-Projektion f¨ur dynamische Systeme Anwendung auf Optimalsteuerungsprobleme

(3)

Gliederung Problemstellung und Motivation Die POD-Methode Anwendungen der POD-Methode

Gliederung

2 Die POD-Methode Grundidee

(4)

Gliederung

2 Die POD-Methode Grundidee

(5)

Gliederung Problemstellung und Motivation Die POD-Methode Anwendungen der POD-Methode Problemstellung

Optimalsteuerungsproblem mit pDGLn als Nebenbedingungen Seien Ω⊂R² beschr¨anktes Gebiet undT, λ >0. Betrachte

min

(y,u)∈W×UJ(y,u) := 1 2

T

Z

0

Z

Ω

|y−y_Q|²dxdt +λ 2

T

Z

0

Z

Ω

|u|²dxdt

unter den Nebenbedingungen

∂ty−∆y =Bu auf ]0,T[×Ω =:Q y =y_D auf ]0,T]×Γ_D

∂y

∂ν =y_N auf ]0,T]×Γ_N

y(0,·) =y₀ auf Ω (Temperaturstartverteilung) wobei∂Ω =: ΓD ∪˙ ΓN,yQ,yD,yN,y0 vorgegeben,

W =U =L²(Q) und B:U →L²(0,T;V⁰) (→ schwache Form.).

(6)

min

(y,u)∈W×UJ(y,u) := 1 2

T

Z

0

Z

Ω

T

Z

0

Z

Ω

|u|²dxdt

∂ty−∆y =Bu auf ]0,T[×Ω =:Q y =yD auf ]0,T]×ΓD

∂y

y(0,·) =y₀ auf Ω (Temperaturstartverteilung)

(7)

min

(y,u)∈W×UJ(y,u) := 1 2

T

Z

0

Z

Ω

T

Z

0

Z

Ω

|u|²dxdt

∂ty−∆y =Bu auf ]0,T[×Ω =:Q y =yD auf ]0,T]×ΓD

∂y

y(0,·) =y₀ auf Ω (Temperaturstartverteilung) wobei∂Ω =: Γ_D ∪˙ Γ_N,y_Q,y_D,y_N,y0 vorgegeben,

W =U =L²(Q) und B:U →L²(0,T;V⁰) (→ schwache Form.).

(8)

Gliederung Problemstellung und Motivation Die POD-Methode Anwendungen der POD-Methode Motivation

Numerische L¨osung solcher Probleme. . .

. . . ist problematisch, da sie zu Optimierungsproblemen mit sehr vielen Variablen f¨uhren.

(9)

Gliederung Problemstellung und Motivation Die POD-Methode Anwendungen der POD-Methode Motivation

→Neue Techniken sind erforderlich.

→Reduced order methods, z.B. POD-Verfahren.

(10)

→Neue Techniken sind erforderlich.

→Reduced order methods, z.B. POD-Verfahren.

(11)

Gliederung Problemstellung und Motivation Die POD-Methode Anwendungen der POD-Methode Grundidee

Grundidee

Projiziere das gegebene dynamische System in einen Unterraum, in dem die Hauptdynamik stattfindet, d.h. versuche, die wesentlichen Informationen mit wenigen Basiselementen zu behalten.

Diese Basiselemente sollen Eigenschaften/Charakteristika der erwarteten L¨osung besitzen (vgl. Finite Elemente).

Vorgehen

Wie geht man dabei vor?

⇒Berechnung der Basiselemente

(12)

Grundidee

Projiziere das gegebene dynamische System in einen Unterraum, in dem die Hauptdynamik stattfindet, d.h. versuche, die wesentlichen Informationen mit wenigen Basiselementen zu behalten. Diese Basiselemente sollen Eigenschaften/Charakteristika der erwarteten L¨osung besitzen (vgl. Finite Elemente).

(13)

Grundidee

Vorgehen

(14)

Grundidee

Vorgehen

(15)

Gliederung Problemstellung und Motivation Die POD-Methode Anwendungen der POD-Methode Berechnung der POD-Basis (endlich-dimensionaler Fall)

POD als Optimierungsproblem

Betrachte ein dynamisches System, dessen Zustandy =y(x,t) mit Hilfe der Finiten Elemente diskretisiert wurde, d.h.

yh(x,tj) =

n

X

i=1

Y˜ijϕi(x), x ∈Ω, j = 1, . . . ,m

wobei Ω⊂R^d,d ∈ {2,3} beschr¨anktes Gebiet, ϕ_i,i = 1, . . . ,n die Finite-Element-Funktionen beschreiben und in ˜Y ∈R^n×m die Koeffizienten des Galerkin-Ansatzes stehen.

Ziel:Approximation derL²-Funktionen {y_h(·,tj)}^m_j₌₁

(16)

Betrachte ein dynamisches System, dessen Zustandy =y(x,t) mit Hilfe der Finiten Elemente diskretisiert wurde, d.h.

yh(x,tj) =

n

X

i=1

Y˜ijϕi(x), x ∈Ω, j = 1, . . . ,m

wobei Ω⊂R^d,d ∈ {2,3} beschr¨anktes Gebiet, ϕ_i,i = 1, . . . ,n die Finite-Element-Funktionen beschreiben und in ˜Y ∈R^n×m die Koeffizienten des Galerkin-Ansatzes stehen.

Ziel:Approximation derL²-Funktionen {y_h(·,tj)}^m_j₌₁

(17)

Zunächst: Approximiere die L²-Funktionen{y_h(·,t_j)}^m_j₌₁ durch eine einzige normierteL²-Funktionψ∈span{ϕ₁, . . . , ϕn} im Mittel bestmöglich, d.h. löse das folgende Optimierungsproblem:

max

m

X

j=1

|hy_h(·,tj), ψi_L2(Ω)|² s.t. kψk²_L2(Ω)= 1 (P1)

Die POD-Basisfunktionψ kann geschrieben werden als ψ(x) =

n

P

i=1

v_iϕ_i(x) und weil dieϕ_i fest sind, l¨asst sich (P₁) umschreiben zu:

max

m

X

j=1

*

y_h(·,t_j),

n

X

i=1

v_iϕ_i +

L²(Ω)

2

s.t.

n

X

i=1

v_iϕ_i

2

L²(Ω)

= 1

(18)

Zunächst: Approximiere die L²-Funktionen{y_h(·,t_j)}^m_j₌₁ durch eine einzige normierteL²-Funktionψ∈span{ϕ₁, . . . , ϕn} im Mittel bestmöglich, d.h. löse das folgende Optimierungsproblem:

max

m

X

j=1

|hy_h(·,tj), ψi_L2(Ω)|² s.t. kψk²_L2(Ω)= 1 (P1) Die POD-Basisfunktionψkann geschrieben werden als

ψ(x) =

n

P

i=1

v_iϕ_i(x) und weil dieϕ_i fest sind, l¨asst sich (P₁) umschreiben zu:

max

m

X

j=1

*

yh(·,tj),

n

X

i=1

viϕi

+

L²(Ω)

2

s.t.

n

X

i=1

viϕi

2

L²(Ω)

= 1

(19)

Seiv := (v₁, . . . ,v_n)^T. Die zu (P₁) geh¨orige Lagrange-Funktion L:Rⁿ×R→Rist gegeben durch:

L(v, λ) :=

m

X

j=1

*

y_h(·,t_j),

n

X

i=1

v_iϕ_i +

L²

2

+λ



1−

n

X

i=1

v_iϕ_i

2

L²





Man kann zeigen, dass ein Lagrange-Multiplikatorλund eine Lösungv für das Problem (P₁) existieren, die∇L(v, λ) = 0 erfüllen (notwendige und hinreichende Bedingung).

Im Folgenden: Berechnung von∇L(v, λ).

(20)

Seiv := (v₁, . . . ,v_n)^T. Die zu (P₁) geh¨orige Lagrange-Funktion L:Rⁿ×R→Rist gegeben durch:

L(v, λ) :=

m

X

j=1

*

y_h(·,t_j),

n

X

i=1

v_iϕ_i +

L²

2

+λ



1−

n

X

i=1

v_iϕ_i

2

L²





Man kann zeigen, dass ein Lagrange-Multiplikatorλund eine Lösungv für das Problem (P₁) existieren, die∇L(v, λ) = 0 erfüllen (notwendige und hinreichende Bedingung).

Im Folgenden: Berechnung von∇L(v, λ).

(21)

Bezeichne mitM ∈R^n×n die symm. pos. def. Massenmatrix, d.h.

Mij =hϕ_i, ϕji_L2(Ω). Es gilt f¨uri = 1, . . . ,n:

∇_v_iL(v, λ) = ∂

∂v_i





m

X

j=1

* _n X

k=1

Y˜_kjϕ_k,

n

X

l=1

v_lϕ_l +

L²

2

+λ 1−

* _n X

k=1

vkϕk,

n

X

l=1

vlϕl

+

L²

!#

=. . .

= 2

MY˜Y˜^TMv

i

−2λ(Mv)_i = 0

⇔(MY˜Y˜^TMv)i =λ(Mv)i

Also:∇_vL(v, λ) = 0⇔MY˜Y˜^TMv =λMv

(22)

∇_v_iL(v, λ) = ∂

∂v_i





m

X

j=1

* _n X

k=1

Y˜_kjϕ_k,

n

X

l=1

v_lϕ_l +

L²

2

+λ 1−

* _n X

k=1

v_kϕ_k,

n

X

l=1

v_lϕ_l +

L²

!#

=. . .

= 2

MY˜Y˜^TMv

i

−2λ(Mv)_i = 0

(23)

∇_v_iL(v, λ) = ∂

∂v_i





m

X

j=1

* _n X

k=1

Y˜_kjϕ_k,

n

X

l=1

v_lϕ_l +

L²

2

+λ 1−

* _n X

k=1

v_kϕ_k,

n

X

l=1

v_lϕ_l +

L²

!#

=. . .

= 2

MY˜Y˜^TMv

i

−2λ(Mv)_i = 0

Also:∇_vL(v, λ) = 0⇔MY˜Y˜^TMv =λMv

(24)

DefiniereY :=M^1/2Y˜ ∈R^n×m undu :=M^1/2v ∈Rⁿ. Dann l¨asst sich die notwendige BedingungMY˜Y˜^TMv =λMv schreiben als:

M^1/2YY^Tu =λM^1/2u

YY^Tu =λu (1)

YY^T ∈R^n×n ist symmetrisch positiv semi-definit: x^T(YY^T)x= (Y^Tx)^T(Y^Tx) =

Y^Tx

2 ≥0,x∈Rⁿ

(25)

Multiplikation von links mitM^−1/2 liefert schließlich das folgende symmetrische Eigenwertproblem:

YY^Tu =λu (1)

YY^T ∈R^n×n ist symmetrisch positiv semi-definit: x^T(YY^T)x= (Y^Tx)^T(Y^Tx) =

Y^Tx

2 ≥0,x∈Rⁿ

(26)

Multiplikation von links mitM^−1/2 liefert schließlich das folgende symmetrische Eigenwertproblem:

YY^Tu =λu (1)

YY^T ∈R^n×n ist symmetrisch positiv semi-definit:

x^T(YY^T)x= (Y^Tx)^T(Y^Tx) = Y^Tx

2 ≥0,x∈Rⁿ

(27)

YY^T symm. pos. semi-def.⇒Alle Eigenwerteλsind reell und≥0:

0≤x^TYY^Tx =x^T(λx) =λkxk², wobeix Eigenvektor von YY^T.

Man kann zeigen:

Jeder Eigenvektor von YY^T erfüllt die notw. Bedingung (1). Sei û der zum größten Eigenwert ˆλgehörende normierte Eigenvektor von YY^T. Das zu ˆv :=M^−1/2uˆ gehörigeψ löst das Problem (P₁) und bildet die sogenanntePOD-Basis von Rang 1.

(28)

YY^T symm. pos. semi-def.⇒Alle Eigenwerteλsind reell und≥0:

0≤x^TYY^Tx =x^T(λx) =λkxk², wobeix Eigenvektor von YY^T.

Man kann zeigen:

Jeder Eigenvektor von YY^T erf¨ullt die notw. Bedingung (1).

Sei û der zum größten Eigenwert ˆλgehörende normierte Eigenvektor von YY^T. Das zu ˆv :=M^−1/2uˆ gehörigeψ löst das Problem (P₁) und bildet die sogenanntePOD-Basis von Rang 1.

(29)

Verallgemeinerung von (P1)

Die Approximation derL²-Funktionen{y_h(·,tj)}^m_j=1 durch k ∈N paarweise orthonormaleL²-Funktionen ψ_i f¨uhrt zu der folgenden Verallgemeinerung von (P₁):

ψ1max,...,ψk

k

X

i=1 m

X

j=1

|hy_h(·,tj), ψii_L2(Ω)|² s.t. hψ_i, ψji_L2(Ω)=δij (P_k)

Analog zu (1) lässt sich die Optimalitätsbedingung für (P_k) herleiten:

YY^Tuⁱ =λ_iuⁱ,i = 1, . . . ,k (2) wobeiuⁱ ∈Rⁿ. Seien die uⁱ die Eigenvektoren, die zu denk

größten Eigenwerten λ1, . . . , λ_k gehören. Die zuvⁱ =M^−1/2uⁱ gehörigen normierten ψ_i bilden dann eine POD-Basis von Rang k.

(30)

Verallgemeinerung von (P1)

Die Approximation derL²-Funktionen{y_h(·,tj)}^m_j=1 durch k ∈N paarweise orthonormaleL²-Funktionen ψ_i f¨uhrt zu der folgenden Verallgemeinerung von (P₁):

ψ1max,...,ψk

k

X

i=1 m

X

j=1

|hy_h(·,tj), ψii_L2(Ω)|² s.t. hψ_i, ψji_L2(Ω)=δij (P_k)

Analog zu (1) lässt sich die Optimalitätsbedingung für (P_k) herleiten:

YY^Tuⁱ =λiuⁱ,i = 1, . . . ,k (2) wobeiuⁱ ∈Rⁿ. Seien die uⁱ die Eigenvektoren, die zu den k

größten Eigenwerten λ1, . . . , λ_k gehören. Die zuvⁱ =M^−1/2uⁱ gehörigen normierten ψ_i bilden dann eine POD-Basis von Rang k.

(31)

Singul¨arwertzerlegung

Statt der Berechnung der Eigenwerte und -vektoren lässt sich Problem (P_k) mit der sog. Singulärwertzerlegung (Singular value decomposition, kurz: SVD) lösen.

(32)

Satz (Singul¨arwertzerlegung)

SeiY ∈R^n×m,d := Rang(Y)≤min{m,n}

⇒ ∃U :=

u₁, . . . ,u_n

∈R^n×n,V :=

v₁, . . . ,v_m

∈R^m×m jeweils orthonormal,σi ∈R,i = 1, . . . ,d, σ1≥. . .≥σ_d >0 mit

Y =UΣV^T, wobei Σ =

D 0 0 0

undD = diag(σ1, . . . , σd)∈R^d×d.

Singul¨arwertzerlegung - Folgerungen (1) Y l¨asst sich schreiben als:

Y =

u₁, . . . ,u_d D

v₁, . . . ,v_dT

=:U^dD(V^d)^T

(33)

⇒ ∃U :=

u₁, . . . ,u_n

∈R^n×n,V :=

v₁, . . . ,v_m

D 0 0 0

Weiter gilt:Yv_i =σ_iu_i und Y^Tu_i =σ_iv_i f¨ur i = 1, . . . ,d.

Singul¨arwertzerlegung - Folgerungen (1) Y l¨asst sich schreiben als:

Y =

u₁, . . . ,u_d D

v₁, . . . ,v_dT

=:U^dD(V^d)^T

(34)

⇒ ∃U :=

u₁, . . . ,u_n

∈R^n×n,V :=

v₁, . . . ,v_m

D 0 0 0

Weiter gilt:Yv_i =σ_iu_i und Y^Tu_i =σ_iv_i f¨ur i = 1, . . . ,d. Singul¨arwertzerlegung - Folgerungen (1)

Y l¨asst sich schreiben als:

Y =

u₁, . . . ,u_d D

v₁, . . . ,v_dT

=:U^dD(V^d)^T

(35)

Singul¨arwertzerlegung - Folgerungen (2)

AusYvi =σiui und Y^Tui =σivi f¨ur i = 1, . . . ,d folgt:

Y^TYv_i =Y^Tσ_iu_i =σ²_iv_i YY^Tui =Yσivi =σ_i²ui

d.h. dievi bzw.ui sind Eigenvektoren von Y^TY bzw. YY^T zu den Eigenwertenσ_i²,i = 1, . . . ,d.

Erinnerung

Notwendige Bedingung f¨ur Problem (P_k): YY^Tuⁱ =λ_iuⁱ,i = 1, . . . ,k

(36)

AusYvi =σiui und Y^Tui =σivi f¨ur i = 1, . . . ,d folgt:

Y^TYv_i =Y^Tσ_iu_i =σ²_iv_i YY^Tui =Yσivi =σ_i²ui

d.h. dievi bzw.ui sind Eigenvektoren von Y^TY bzw. YY^T zu den Eigenwertenσ_i²,i = 1, . . . ,d.

Erinnerung

Notwendige Bedingung f¨ur Problem (P_k):

YY^Tuⁱ =λ_iuⁱ,i = 1, . . . ,k

(37)

Die u_i aus der SVD l¨osen Problem (P_k), λ_i =σ_i²,i = 1, . . . ,k mit k≤d.

Die Eigenwerte von YY^T und Y^TY sind gleich und die Eigenvektoren u_i k¨onnen aus denv_i berechnet werden durch

ui = 1

σ_iYvi, i = 1, . . . ,d.

⇒ Man kann w¨ahlen, ob man

die Eigenwerte vonY^TY ∈R^m×m (fürmn), die Eigenwerte vonYY^T ∈R^n×n (fürmn) oder die Singulärwertzerlegung vonY berechnet.

(38)

ui = 1

σ_iYvi, i = 1, . . . ,d.

die Eigenwerte vonYY^T ∈R^n×n (f¨urmn) oder die Singul¨arwertzerlegung vonY berechnet.

(39)

ui = 1

σ_iYvi, i = 1, . . . ,d.

⇒ Man kann w¨ahlen, ob man

die Eigenwerte vonY^TY ∈R^m×m (fürmn), die Eigenwerte vonYY^T ∈R^n×n (fürmn) oder die Singulärwertzerlegung vonY berechnet.

(40)

Gliederung Problemstellung und Motivation Die POD-Methode Anwendungen der POD-Methode Berechnung der POD-Basis in reellen separablen Hilbertr¨aumen

Voraussetzungen

Seien

V,H reelle separable Hilbertr¨aume,

a:V ×V →Rsymmetrische, beschr¨ankte, V-elliptische Bilinearform mit hϕ, ψi_V =:a(ϕ, ψ),

F :V ×V →V⁰ bilinear und stetig mit F(ϕ) =F(ϕ, ϕ) als abk¨urzende Schreibweise,

f ∈C([0,T];H) und y0 ∈V.

(41)

Voraussetzungen Seien

V dicht in H und kompakt eingebettet in H, V⁰ der Dualraum von V,

f ∈C([0,T];H) und y0∈V.

(42)

V dicht in H und kompakt eingebettet in H,

f ∈C([0,T];H) und y0∈V.

(43)

f ∈C([0,T];H) und y0∈V.

(44)

a:V ×V →R symmetrische, beschr¨ankte, V-elliptische Bilinearform mit hϕ, ψi_V =:a(ϕ, ψ),

f ∈C([0,T];H) und y0∈V.

(45)

f ∈C([0,T];H) und y0∈V.

(46)

f ∈C([0,T];H) und

(47)

f ∈C([0,T];H) und y0∈V.

(48)

Abstraktes dynamisches System

Betrachte als abstraktes dynamisches System das nichtlineare Evolutionsproblem

d

dthy(t), ϕi_H+a(y(t), ϕ)+hF(y(t)), ϕi_V⁰_,V =hf(t), ϕi_H (NEPa) f¨ur alleϕ∈V und t ∈]0,T] fast ¨uberall sowie

y(0) =y0 in H. (NEP_b)

Hierbei:hF(y(t)), ϕi_V⁰_,V :=F(y(t))(ϕ) (duality pairing) Grundidee

Ersetze den Raum der TestfunktionenV durchV^k, wobei V^k := span{ψ₁, . . . , ψ_k} und ψ_i,i = 1, . . . ,k die ersten k POD-Basisfunktionen sind.

(49)

d

y(0) =y0 in H. (NEP_b) Hierbei:hF(y(t)), ϕi_V⁰_,V :=F(y(t))(ϕ) (duality pairing)

Grundidee

⇒Berechnung der ψi,i = 1, . . . ,k

(50)

d

Grundidee

(51)

d

Grundidee

⇒Berechnung der ψi,i = 1, . . . ,k

(52)

POD als Optimierungsproblem (1) Seien

y die eindeutige L¨osung f¨ur Problem (NEP),

V := span{y₀, . . . ,ym}mit dim V=d und {ψ_i}^d_i=1 eine orthonormale Basis von V.

⇒yj =

d

P

i=1

hy_j, ψii_Xψi, j = 0, . . . ,m (X =V oderX =H) Ziel: Wähle die optimale orthonormale Basis für die Approximation dery_j aus, d.h. löse das folgende Optimierungsproblem (k ≤d):

ψ1min,...,ψk

m

X

j=0

yj −

k

X

i=1

hy_j, ψii_Xψi

2

X

s.t.hψ_i, ψji_X =δij (P_k)

(53)

die sogenannten “Snapshots”yj :=y(tj),j = 0, . . . ,m f¨ur 0 =t0 < . . . <tm≤T gegeben,

⇒yj =

d

P

i=1

ψ1min,...,ψk

m

X

j=0

yj −

k

X

i=1

hy_j, ψii_Xψi

2

X

(54)

V := span{y₀, . . . ,ym}mit dim V=d und

⇒yj = P

i=1

ψ1min,...,ψk

m

X

j=0

yj −

k

X

i=1

hy_j, ψii_Xψi

2

X

(55)

⇒yj =

d

P

i=1

ψ1min,...,ψk

m

X

j=0

yj −

k

X

i=1

hy_j, ψii_Xψi

2

X

(56)

⇒yj =

d

P

i=1

hy_j, ψii_Xψi, j = 0, . . . ,m (X =V oderX =H)

ψ1min,...,ψk

m

X

j=0

yj −

k

X

i=1

hy_j, ψii_Xψi

2

X

(57)

⇒yj =

d

P

i=1

hy_j, ψii_Xψi, j = 0, . . . ,m (X =V oderX =H) Ziel: Wähle die optimale orthonormale Basis für die Approximation dery_j aus, d.h. löse das folgende Optimierungsproblem (k≤d):

ψ1min,...,ψk

m

X

j=0

y_j −

k

X

i=1

hy_j, ψ_ii_Xψ_i

2

X

s.t.hψ_i, ψ_ji_X =δ_ij (P_k)

(58)

POD als Optimierungsproblem (2) Das Problem (P_k) ist ¨aquivalent zu:

ψ1max,...,ψk

k

X

i=1 m

X

j=0

|hy_j, ψ_ii_X|² s.t. hψ_i, ψ_ji_X =δ_ij ( ˜P_k)

ψmax1,...,ψk

X

i=1

X

j=1

|hy_h(·,tj), ψii_L2(Ω)|² s.t. hψ_i, ψji_L2(Ω)=δij

(59)

POD als Optimierungsproblem (2) Das Problem (P_k) ist ¨aquivalent zu:

ψ1max,...,ψk

k

X

i=1 m

X

j=0

|hy_j, ψ_ii_X|² s.t. hψ_i, ψ_ji_X =δ_ij ( ˜P_k)

Erinnerung

ψmax1,...,ψk

k

X

i=1 m

X

j=1

|hy_h(·,tj), ψii_L2(Ω)|² s.t. hψ_i, ψji_L2(Ω)=δij

(60)

POD als Optimierungsproblem (3)

Wie im endlich-dimensionalen Fall erhält man die Lösung von (P_k) durch Lösen eines Eigenwertproblems.

Y_m :R →X, Y_mv :=

j=0

v_jy_j.

⇒Adjungierter Operator:

Y_m^∗z :X →R^m+1, Y_m^∗z = (hz,y0i_X, . . . ,hz,ymi_X)^T.

⇒Definiere

R_m :=Y_mY_m^∗ ∈ L(X), R_mz =

m

P

j=0

hz,y_ji_Xy_j

K_m :=Y_m^∗Y_m ∈R(m+1)×(m+1), (K_m)_ij =hy_j,yii_X

⇒EW-Problem: R_mψ_i =λ_iψ_i, i = 1, . . . ,k

(61)

Definiere dazu den linearen beschr¨ankten Operator Y_m :R^m+1 →X, Y_mv :=

m

P

j=0

vjyj.

⇒Definiere

R_m :=Y_mY_m^∗ ∈ L(X), R_mz =

m

P

j=0

hz,y_ji_Xy_j

(62)

m

P

j=0

vjyj.

m m m m

j=0

j X j

(63)

m

P

j=0

vjyj.

⇒Definiere

R_m :=Y_mY_m^∗ ∈ L(X), R_mz =

m

P

j=0

hz,y_ji_Xy_j

(64)

m

P

j=0

vjyj.

⇒Definiere

R_m :=Y_mY_m^∗ ∈ L(X), R_mz =

m

P

j=0

hz,y_ji_Xy_j