POD für linear-quadratische Optimalsteuerung 2. Übungsblatt – Theorieteil

Universität Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Stefan Volkwein

Martin Gubisch, Sabrina Rogg Wintersemester 2015/2016

Ausgabe: Freitag, 13.10.2015

Abgabe: Freitag, 20.11.2015, 10:00 Uhr, Büro G413

AAAA

AA QQ QQ

POD für linear-quadratische Optimalsteuerung 2. Übungsblatt – Theorieteil

Aufgabe 5(Frobenius-Norm) (5 Punkte)

1. Zeigen Sie, dass die Frobenius-Norm

kAk_F= ^m

X

i=1 n

X

j=1

a²_ij ¹₂

= q

spur(AA^T) = q

spur(A^TA)

eine Norm auf dem Vektorraum der reellen(m×n)-Matrizen definiert.

2. Zeigen Sie, dass für alleA∈R^m×n undB ∈R^n×o gilt: kABkF≤ kAkFkBkF.

3. SeiA∈R^m×n vom Rangdund besteheU ∈R^d×maus orthonormalen Spalten. Zeigen Sie: kU AkF=kAkF. 4. Definieren Sie ein Skalarprodukth·,·iFaufR^m×n, sodass k · kF die vonh·,·iFinduzierte Norm ist.

5. HabeAden Rang1. Zeigen Sie, dass Vektorenx∈R^m,y∈Rⁿexistieren mitA=x^TyundkAkF=kxk2kyk2.

Aufgabe 6(Frobenius-Norm und Operatornorm) (5 Punkte) 1. Zeigen Sie, dass für die zureuklidischen Norm k · k2 gehörigeOperatornormk · k2aufR^m×n, definiert durch

kAk2= max{kAxk2 | kxk2= 1} gilt: kAk²₂=µ1, wobeiµ1≥ · · · ≥µn die Eigenwerte vonA^TAsind.

2. SeiA∈R^n×n invertierbar. Zeigen Sie: kA⁻¹k²₂ist der Kehrwert vonµ_n. 3. Zeigen Sie, dass für alleA∈R^m×n undx∈Rⁿ giltkAxk2≤ kAkFkxk2. 4. Zeigen Sie, dass für alleA∈R^m×n stetskAk₂≤ kAk_F≤√

nkAk₂erfüllt ist.

5. Identifizieren Sie die Menge aller MatrizenA∈R^m×n, für die giltkAk₂=kAk_F.

Hinweis:In Aufgabe 8 soll dann gezeigt werden, dass die POD-Basis optimale Approximationen bzgl. der Frobenius-Norm liefert.

Aufgabe 7(Finite-Differenzen-Methode) (5 Punkte)

SeienΩ = [a_x, b_x]×[a_y, b_y]⊆R²undΘ = (0, T)⊆R. Wir betrachten die lineare Wärmeleitungsgleichung

˙

z(t;x, y)−σ∆z(t;x, y) =f(t;x, y) inΘ×Ω,

z(t;x, y) =g(t;x, y) inΘ×∂Ω

z(0;x, y) =z0(x, y) inΩ

mit f, g: Θ×Ω→R, z0: Ω→Rund σ >0. Seien x= (x0, ..., xN_x+1)∈R^Nx+2, y= (y0, ..., yN_y+1)∈R^Ny+2 äquidistante Diskretisierungen der Ortsvariablenx, y.

1. Diskretisieren Sie die Differenzialgleichung mittels der Finite-Differenzen-Methode im Ort und stellen Sie das zugehörige System gewöhnlicher Differenzialgleichungen

Φ˙z(t) + Ψz(t) =f(t)inΘ, Φz(0) =z0

auf, d.h. finden Sie Φ,Ψ ∈ R^NxNy×NxNy und f(t),z0 ∈ R^NxNy mit zij(t) ≈ z(t;xi, yj). Beachten Sie:

z∈/R^Nx×Ny, sondern z= (z11, ...,z1n, ..., ...,zm1, ...,zmn)∈R^NxNy lexikographisch geordnet.

2. Formulieren Sie für das System das explizite Euler-Verfahren, das implizite Euler-Verfahren und das Crank- Nicolson-Verfahren. Sind die Methoden wohldefiniert, d.h. besitzen die zugehörigen linearen Gleichungssys- teme stets eine eindeutige Lösung?