Universität Konstanz

Universität Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Stefan Volkwein

Martin Gubisch

Modellreduktion mit Proper Orthogonal Decomposition

1. Übungsblatt – Abgabe: Montag, 19.11.2012, 8:30 Uhr

Aufgabe 1.

1. Zeigen Sie, dass die Frobenius-Norm

||A|| _F = m

X

i=1 n

X

j=1

a ² _ij

= p

spur(AA ^T ) = p

spur(A ^T A)

eine Norm auf dem Vektorraum der reellen m × n-Matrizen definiert.

2. Zeigen Sie, dass || · || _F auf R ^n×n submultiplikativ ist, d.h. dass für alle A, B ∈ R ^n×n gilt:

||AB|| _F ≤ ||A|| _F ||B|| _F .

3. Sei A ∈ R ^m×n und bestehe U ∈ R ^d×m aus paarweise orthogonalen Spalten. Zeigen Sie:

||U A|| _F = ||A|| _F .

Aufgabe 2.

Seien Ω = [a _x , b _x ] × [a _y , b _y ] ⊆ R ² und Θ = (0, T ) ⊆ R . Wir betrachten die lineare Wärme- leitungsgleichung

˙

z(t; x, y) − σ∆z(t; x, y) = f (t; x, y) in Θ × Ω,

z(t; x, y) = g(t; x, y) in Θ × ∂ Ω

z(0; x, y) = z ₀ (x, y) in Ω.

Weiter seien x = (x ₀ , ..., x _N

₊₁ ) ∈ R ^N

⁺¹ und y = (y ₀ , ..., y _N

₊₁ ) ∈ R ^N

⁺¹ äquidistante Diskreti- sierungen der Ortsvariablen x, y.

1. Diskretisieren Sie die Differenzialgleichung mittels der Finite-Differenzen-Methode im Ort und stellen Sie das zugehörige System gewöhnlicher Differenzialgleichungen

Φ˙ z(t) + Ψz(t) = f(t) in Θ Φz(0) = z 0

auf, d.h. bestimmen Sie Φ, Ψ ∈ R ^N

^N

^×N

^N

und f(t), z ₀ ∈ R ^N

^N

, so dass z _ij (t) ≈ z(t; x _i , y _j ).

Beachten Sie: z ∈ / R ^N

^×N

, sondern z = (z ₁₁ , ..., z _1n , ..., ..., z _m1 , ..., z _mn ) ∈ R ^N

^N

lexiko- graphisch geordnet.

2. Formulieren Sie für das System das explizite Euler-Verfahren, das implizite Euler-Verfahren

und das Crank-Nicolson-Verfahren. Sind die Methoden wohldefiniert, d.h. besitzen die

zugehörigen linearen Gleichungssysteme stets eine eindeutige Lösung?