Modellierung des Gebirgsbruchverhaltens bei tiefliegenden Tunneln mittels
PFC und der AC/DC Logic
D i p l o m a r b e i t
D i p l o m a T h e s i s
vorgelegt von Martin Riedmann
angefertigt am
Institut für Geotechnik
Forschungsbereich für Ingenieurgeologie Technische Universität Wien
Betreuer
Ao. Univ. Prof. Univ. Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Rainer Poisel
und
Assistant Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Alexander Preh
Wien, April 2012
Die approbierte Originalversion dieser Diplom-/Masterarbeit ist an der Hauptbibliothek der Technischen Universität Wien aufgestellt (http://www.ub.tuwien.ac.at).
The approved original version of this diploma or master thesis is available at the main library of the Vienna University of Technology
(http://www.ub.tuwien.ac.at/englweb/).
Vorwort
Mit der Vollendung meiner Diplomarbeit, die den Abschluss meines Studiums bedeutet, möchte ich mich bei allen jenen bedanken, die meine Studienzeit mit mir verbracht und jenen die zum Gelingen meiner Diplomarbeit beigetragen haben.
Ganz herzlich möchte ich mich bei Herrn Prof. Rainer Poisel bedanken, durch die aus- gezeichnete Betreuung und sein Fachwissen hat er wesentlich zum Gelingen meiner Di- plomarbeit beigetragen.
Ein großer Dank gilt Herrn Assistant Prof. Alexander Preh, der sich stets Zeit genom- men hat meine Fragen zu beantworten und durch seine zahlreichen Anregungen geholfen hat, meiner Diplomarbeit den richtigen Feinschliff zu verpassen.
Bei allen Mitarbeitern des Instituts möchte ich mich bedanken für die Hilfsbereitschaft und die angenehme Atmosphäre am Institut, die ein konzentriertes und produktives Ar- beiten möglich gemacht haben.
Ein besonderer Dank gilt allen meinen Freunden, die mich während meiner Studienzeit begleitet haben. All die schönen Momente wurden erst so besonders, weil ich sie mit meinen Freunden teilen durfte.
Mein größter Dank gebührt meiner lieben Mutter und meinem lieben Vater, die durch ih- re eigenen akademischen Ausbildungen mein Interesse an einer universitären Ausbildung weckten. Ihre fortwährende Unterstützung in allen meinen Lebenslagen ermöglichte mir einen erfolgreichen Abschluss meines Studiums.
Kurzfassung
Bei tiefliegenden Tunneln, die durch große In-situ Spannungen gekennzeichnet sind, tritt die Bedeutung des Gefüges in den Hintergrund und die Bruchmechanismen des Gesteins nehmen eine wichtige Stellung ein. In dieser Arbeit wurde der Versagensmechanismus tiefliegender Hohlräume, bei dem, zufolge Scherbruchversagens, keilförmige Bruchkörper in den Hohlraum hineingedrückt werden („Kirschkernversagen“), untersucht. Rabcewicz beschrieb als erster diesen Mechanismus und teilte den Versagensablauf in drei Phasen.
Auch Feder entwickelte eine Modellvorstellung in Form von drei Zuständen.
Die Untersuchungen erfolgten mit Hilfe des „Particle Flow Codes“ (PFC) und einer neuen, implementierten Routine: der AC/DC Logic (Adaptive Continuum/ DisConti- nuum Logic). Ein PFC2D Modell besteht aus scheiben- oder kreisförmigen Partikeln bzw. Wandelementen. Die Partikel können durch Bindungen an ihren Kontaktpunkten miteinander zu einem Festkörper verbunden werden und durch Überschreiten der Bin- dungsfestigkeiten können die Entstehung und Ausbreitung von Trenn- und Scherbrüchen modelliert werden. Dadurch lassen sich makro- und mikromechanische Prozesse gleich- zeitig und kombiniert modellieren.
Mit Hilfe der AC/DC Logic ist es möglich, große, komplexe Partikelensembles aus klei- nen, im Gleichgewicht befindlichen Bausteinen aufzubauen. Ein Baustein besteht aus einzelnen Partikeln und stellt ein sogenanntes Partikelensemble dar. Der Vorteil dieser Methode ist, dass In-situ Spannungszustände genauer hergestellt werden können, als es in den bisherigen PFC-Versionen möglich war.
Die Eignung von PFC2D für die Modellierung des Versagensmechanismus „Kirschkern- versagen“ wurde anhand von kontinuummechanischen Untersuchungen mittels FLAC2D verifiziert und vorhandene Modellvorstellungen wurden überprüft.
Die Schwierigkeit in der Erstellung eines PFC Ensembles stellt nach wie vor die Materi- alkalibration dar, im Speziellen die Generierung eines gering kohäsiven Material, dessen Bindungen nicht schon bei der Aufprägung der In-situ Spannungen brechen.
Im Weiteren wurden die Untersuchungsergebnisse mit den Modellvorstellungen von Rab- cewicz und Feder verglichen und analysiert. In der Gegenüberstellung mit früheren Ar- beiten zeigten sich die Vorteile der AC/DC Logic.
Mit Hilfe der verbesserten PFC2D-Version konnte der Scherbruch exakt nachgebildet und neue Erkenntnisse über den Bruchmechanismus gewonnen werden. Es zeigte sich, dass der Scherbruchmechanismus und das Fortschreiten der Brüche sehr sensibel auf unterschiedliche Spannungszustände reagieren.
Abstract
Deep Tunnels are characterised by large In-situ stresses. For these tunnels is the interest in the failure mechanism of the rock mass more important than in the microstructure.
The present thesis analyses the failure mechanism of deep cavities in rock. This failure mechanism describes the shear failure in the side walls, whereat notches are being for- med and pressed into the cavity („Cherry pit mechanism“). Rabcewicz was the first who described the shear failure and classified a model in three phases. Feder developed as well a model for the shear failure, but with three stages.
The investigations were made by using the Particle Flow Code (PFC) and a new facility in PFC2D: the AC/DC Logic (Adaptive Continuum/ DisContinuum Logic). A PFC2D model is composed with disk-shaped or circular particles and walls, respectively. The particles can be bonded together at their contact points to form a solid body, that is capable of „fracturing“ when bonds break in a progressive manner. It’s possible to model macro- and microscopically processes at the same time.
The AC/DC Logic has the possibility to construct large, complex assemblies of particles using „pbricks“. A „pbrick“ is a compacted, bonded assembly of particles as well, that may be replicated many times to construct a large model. The advantage of using the AC/DC Logic is, that’s possible to install in-situ stress more precisely than in earlier PFC-versions.
The suitability of PFC2D for modelling the failure mechanism has been verified on investigations with the continuum-mechanical computation program FLAC2D (Fast La- grangian Analysis of Continua in 2 Dimensions).
The complicacy generating a PFC particle ensemble is the calibration process of the PFC material. It’s difficult to generate a low cohesive PFC material, where the bonds don’t break during the installation process of the in-situ stresses.
Furthermore have the results of the investigations been compared and analysed with the existing model perceptions by Rabcewicz and Feder. The comparison with earlier works showed the advantages of using the AC/DC Logic.
By using the enhanced PFC2D version it was possible to reproduce the shear failure of cavities and new perceptions of the failure mechanism could be obtained. The results of the investigations show that the shear failure mechanism and the progress of breakages react sensitive on different stress fields.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Tiefliegende Tunnel 2
2.1 Scherbruchversagen . . . 5
2.2 Analytische, elastische Berechnung . . . 9
3 Particle Flow Code 11 3.1 Distinkte Elemente Methode . . . 12
3.2 Berechnungskreislauf . . . 12
3.3 Kraftverschiebungsgesetz . . . 13
3.4 Bewegungsgesetz . . . 18
3.5 Kontaktmodelle . . . 20
3.5.1 Steifigkeitsmodell . . . 20
3.5.2 Gleitmodell . . . 21
3.5.3 Bindungsmodell . . . 22
4 Materialkalibrierung 27 4.1 Biaxialtest . . . 28
4.2 Kontaktbindungsverhalten . . . 29
4.2.1 Spezifikation der Mikroparameter . . . 29
4.2.2 Verformbarkeit . . . 30
4.2.3 Festigkeit . . . 30
4.2.4 Elastizitätsmodul . . . 30
4.2.5 Querdehnungszahl . . . 30
4.2.6 Elastizitätsgrenze . . . 31
4.2.7 Druckfestigkeit (Peak) . . . 31
4.3 Parallelbindungsverhalten . . . 32
4.3.1 Spezifikation der Mikroparameter . . . 33
4.3.2 Verformbarkeit . . . 33
4.3.3 Festigkeit . . . 34
4.3.4 Elastizitätsmodul . . . 34
4.3.5 Querdehnungszahl . . . 34
4.3.6 Elastizitätsgrenze . . . 35
4.3.7 Druckfestigkeit (Peak) . . . 35
i
Inhaltsverzeichnis ii
5 Modellaufbau 36
5.1 Materialgenerierung . . . 37
5.1.1 Generierung einer Partikelanordnung . . . 37
5.1.2 Reduktion der aufgeprägten Spannungen . . . 38
5.1.3 Entfernung der „Floater“ . . . 38
5.1.4 Umwandlung in Modellbaustein „pbrick“ . . . 38
5.2 AC/DC (Adaptive Continuum/ DisContinuum) Logic . . . 39
5.2.1 Erzeugen des Modells . . . 39
5.2.2 Berechnung der Initialspannungen . . . 43
5.3 Ausbruch Tunnel . . . 43
5.4 Simulation . . . 43
6 Modellrechnung 44 6.1 Modellbaustein „pbrick“ . . . 46
6.1.1 Materialkalibration . . . 46
6.1.2 Mikroparameter der Partikel . . . 48
6.1.3 Mikroparameter der Parallelbindung . . . 48
6.1.4 Ergebnis der Kalibration . . . 49
6.2 Modell . . . 51
6.3 Modellrechnungen . . . 53
6.3.1 Verschiebungsmessung . . . 53
7 Ergebnisse aus den Modellrechnungen 54 7.1 Vergleich Modellrechnung A4 mit B4 . . . 54
7.2 Modellrechnung B2 . . . 57
7.3 Modellrechnung B4 . . . 59
7.4 Modellrechnung B6 . . . 61
7.5 Modellrechnung B11 . . . 64
8 Interpretation der Ergebnisse 66 8.1 Analyse anhand der Modellrechnung B6 . . . 66
8.2 Gegenüberstellung mit den Untersuchungen mittels FLAC . . . 68
8.3 Konventionelle Berechnung mittels PFC . . . 71
8.4 Spannungen am Hohlraumrand . . . 73
9 Zusammenfassung 75
Literaturverzeichnis 79
1 Einleitung
Der Ausbruch eines Hohlraumes im Gebirge hat die Änderung des ursprünglichen (pri- mären) Spannungszustands zur Folge, welche sich in Bewegungen auswirkt. Die Leibung wird während des Hohlraumausbruches in radialer Richtung vorübergehend spannungs- frei. Durch die damit geschaffene Bewegungsmöglichkeit gerät das Gebirge in Bewegung und im Bereich der neu ausgebrochenen Gebirgsflächen dringt der Fels in das Tunne- linnere. Durch die Entstehung einer Gewölbewirkung wird das Eindringen verlangsamt (Sattler, 1965).
Speziell bei tiefer liegenden Tunneln, mit einer Überdeckungshöhe von mehr als dem dreifachen des Tunneldurchmessers, wirkt nicht die gesamte Überdeckung auf den Tun- nel, sondern es kann eine begünstigende Gewölbebildung angenommen werden. Man geht davon aus, dass sich ab einem bestimmten Abstand oberhalb der Tunnelfirste ein Gebirgstragring im umgebenden Gebirge ausbildet. Die Lasten oberhalb dieses Gebirgs- tragringes werden seitlich abgetragen, sodass die vertikalen Lasten nicht mehr auf den Hohlraum wirken.
Im Zuge dieser Arbeit soll auf die Bildung eines Gebirgstragringes bei tiefliegenden Tunneln und deren Versagensmechanismen eingegangen werden, im Besonderen auf das
„Kirschkernversagen“. Die Modellierung eines tiefliegenden Tunnel erfolgt dabei mit dem numerischen Rechenprogramm PFC2D und der Verwendung einer neuen beinhaltenden Routine, der AC/DC Logic (Adaptive Continuum/ DisContinuum Logic). Mit dem Par- ticle Flow Code (PFC) lassen sich diskontinuumsmechanische Modelle, die das Model- lieren von Trenn- und Scherbrüchen ermöglichen, erstellen.
Das Augenmerk liegt bei der Erstellung eines plausiblen und aussagekräftigen Modells, wie auch schon Duddeck (1979) schrieb:
Die Berechnungsmodelle für Tunnel- und Felsbau werden niemals die glei- che Aussagekraft erreichen wie diejenigen des Brücken- und Hochbaus, denn der Tunnelingenieur „baut“ mit dem jeweils vorhandenen Gebirge. Und das Auffahren, die Geburt, ist die kritischste Lebensphase eines Tunnels. Dar- aus folgt jedoch nicht, dass also Berechnungsmodelle nichts taugen. Die In- genieurleistung, zutreffende Berechnungsmodelle zu erfinden, ist eben nur ungleich schwieriger als im Brückenbau.
1
2 Tiefliegende Tunnel
Tunnelbauwerke werden durch ihre Tiefenlage bezogen auf die Geländeoberkante unter- teilt in Tunnel die entweder „oberflächennah“ oder „tiefliegend“ sind. Eine Definition aus Vogt (2011) lautet wie folgt:
h <2d . . .oberflächennah h >3d . . .tiefliegend
Wobei d dem Tunneldurchmesser und h der Überdeckungshöhe über der Tunnelfirste entspricht.
Im Folgenden werden die Bruchmechanismen von Hohlräumen unter richtungsbetonten Primärspannungen nach Poisel, Steger, u. Zettler (1995) beschrieben.
Tiefliegende Tunnel sind gekennzeichnet durch große, oft isotrope In-situ Spannungen.
Unter diesen Bedingungen tritt die Bedeutung des Gefüges in den Hintergrund und die Bruchvorgänge der Gesteine nehmen eine wichtige Stellung ein. Es dürfen daher Be- obachtungen bei Modellversuchen, wie zum Beispiel dickwandige Gesteinsrohre unter Außendruck (Ewy u. Cook, 1990a,b) auf tiefliegende Tunnel übertragen werden. Laut Rechnungen dürften die Spannungen am Lochrand, welcher der ungestützen Tunnel- leibung entspricht, die einfache Gesteinsfestigkeit nicht überschreiten. Jedoch wurde in vielen solcher Versuche eine scheinbare Gesteinsfestigkeit vom zwei- bis vierfachen der Druckfestigkeit ermittelt (Guenot, 1987). Erst als diese scheinbare Gesteinsfestigkeit überschritten wurde, kam es zum Bruch der Lochwand.
Abbildung 2.1: Maßgebende Bruchmechanismen: Spalt- und Scherbruch (Poisel u. a., 1995)
2
2 Tiefliegende Tunnel 3 Die maßgebenden Bruchmechanismen für tiefliegende Tunnel sind der Spalt- und der Scherbruch.
Der Spaltbruch tritt vor allem bei sehr spröden Gesteinen unter einachsiger Druck- beanspruchung bzw. extremen anisotropen Spannungszuständen auf. Ein Beispiel dafür ist ein Gneis im einaxialen Druckversuch, dabei entstehen die Risse parallel zur Druck- richtung. In der Tunnelleibung tritt der Spaltbruch im Druckversuch als Bergschlag auf (siehe Abbildung 2.1).
Der Scherbruch tritt bei mehrachsiger Druckbeanspruchung auf. Bereits schon ab ei- nem geringen seitlichen Stützdruck geht der Spaltbruch in einen Scherbruch über. Für weniger spröde Gesteine (zum Beispiel Phyllit) ist es der maßgebende Bruchmechanis- mus. In der Tunnelleibung tritt der Scherbruch im Druckversuch als Scherbruch auf (siehe Abbildung 2.1).
Dass nach der Ausbildung eines Scherbruchkörpers stabilere Gebirgsverhältnisse ent- stehen können, kann durch Beobachtungen am Arlberg Straßentunnel bestätigt werden (Preh u. Poisel, 2009). Der aufgetretene Scherbruch wurde mit massiven Holzstämmen abgefangen (siehe Abbildung 2.2). Im Zuge der Sanierung wurden diese wieder entfernt und dabei sind vergleichsweise geringe zusätzliche Verformungen und keine zusätzlichen Schwierigkeiten im Abfangen der ungesicherten Tunnelleibung festgestellt worden (John, 1977).
Abbildung 2.2: Abgefangener Scherbruchkörper im Arlberg Straßentunnel (John, 1977)
2 Tiefliegende Tunnel 4 Kommt es, unter starken anisotropen Primärspannungen, wobei die Vertikalspannung die größte Hauptnormalspannung ist, im Bereich der Ulmen zu einem Versagen, so wird dies als Kirschkernversagen bezeichnet. Es werden dabei keilförmige Bruchkörper („Zwi- ckel“), die durch Scherbrüche begrenzt sind, durch die hohen vertikalen Primärspannun- gen in den Hohlraum gedrückt (siehe Abbildung 2.3).
545 Geomechanics and Tunnelling 2 (2009), No. 5 A. Preh/R. Poisel · Notches formed by shear failures in tunnels (cherry pit mechanism) – advances in the progress of failure
tigated the breakage processes in the surroundings of a cavity in a rock mass. These tests (Figure 2) show that breakage phenomena at the edge of the cavity occurred more or less at the same time as breakages, which demon- strated the breakage of the entire loaded test body. This means that the loading corresponded to the uniaxial com- pression strength. While a tangential stress of three times the loading occurs at the hole edge parallel to the loading direction of uniaxially loaded test bodies before failure, this means that an apparent strength of three times the compression strength occurred at the edge of the hole in these tests. It should be noted here that the failure phe- nomena affect the entire test body and thus do not only demonstrate the failure of the region around the cavity.
This means that the test body was too small in relation to the size of the cavity. The unloading of already bored test bodies also seems problematical. Different irreversible stress transfers occur in a loaded body, in which a cavity is broken out, than in an already bored test body.
Guenot[5] reports that, in model tests, apparent rock strength of twice to four times the compression strength can be observed at the unsupported edge of a hole. Failure at the edge of a hole first occurred above this apparent rock strength.
Compression tests on symmetrical, uniformly loaded rocks are only to a certain extent comparable with the loading on the rock mass around a tunnel, because the stresses around a tunnel change with the distance from the edge of the cavity. Compression tests on eccentrically loaded prisms [14] have produced an increase of strength and breakage kinematics similar to the rock mass around a cavity.
Observations in the Underground Research Labora- tory [12] have shown that a test heading, in which shear failure bodies had formed in the crown and the invert as a result of high horizontal stresses, did not collapse after the removal of the crushed areas, but was stable. As Kastner [8] has already determined, a rock mass will attempt to
2 Beobachtungen in der Realität und in Laborversuchen Leon und Willheim [11] haben bereits Versuche an ein- axial beanspruchten, tunnelartig gelochten Gesteinen durchgeführt und die Bruchvorgänge in der Umgebung ei- nes Hohlraums im Gebirge untersucht. Diese Versuche (Bild 2) zeigten, dass Brucherscheinungen am Hohlraum- rand mehr oder weniger gleichzeitig mit Brüchen auftra- ten, die den Bruch der gesamten, belasteten Prüfkörper anzeigten. Dies bedeutet, dass die Beanspruchung der ein- axialen Druckfestigkeit entsprach. Da am zur Beanspru- chungsrichtung parallelen Lochrand in einaxial belasteten Körpern vor dem Bruch eine Tangentialspannung vom Dreifachen der Belastung auftritt, bedeutet dies, dass in diesen Versuchen am Lochrand eine scheinbare Festigkeit vom Dreifachen der Druckfestigkeit auftrat. Dabei ist zu beachten, dass die Brucherscheinungen den ganzen Prüf- körper erfassen und damit den Bruch nicht nur der Hohl- raumumgebung anzeigen. Dies bedeutet, dass der Prüfkör- per in Relation zur Hohlraumgröße zu klein war. Auch die Belastung bereits gelochter Prüfkörper erscheint proble- matisch. In einem belasteten Körper, in dem ein Hohl- raum ausgebrochen wird, erfolgen andere irreversible Spannungsumlagerungen als in einem bereits gelochten Prüfkörper.
Guenot [5] berichtet, dass in Modellversuchen am ungestützten Lochrand eine scheinbare Gesteinsfestigkeit vom zwei- bis vierfachen der Druckfestigkeit zu beobach- ten ist. Erst über dieser scheinbaren Gesteinsfestigkeit kam es in den Versuchen zum Bruch der Lochwandung.
Druckversuche an symmetrisch, gleichförmig belaste- ten Gesteinen sind nur bedingt mit der Beanspruchung des Gebirges um einen Tunnel vergleichbar, da sich die Spannungen in der Umgebung eines Tunnels mit dem Ab- Fig. 2. Uniaxially loaded marble specimen (length 16 cm, thickness 7 cm) with model tunnel (diameter 2,5 cm) from: [11]
Bild 2. Einaxial belastete Scheibe (Kantenlänge 16 cm, Dicke 7 cm) aus Karraramarmor mit Modelltunnel (Durch- messer 2,5 cm), aus [11]
Fig. 1. Notches formed by shear failures under anisotropic in-situ stresses (p0,1>p0,3)
Bild 1. Bildung von Scherbruchkörpern bei anisotropen In- situ-Spannungen (p0,1>p0,3)
544_552.qxd 21.09.2009 15:29 Uhr Seite 545
Abbildung 2.3: Scherbruchkörper („Zwickel“) bei anisotropen Primärspannungen (p0,1 > p0,3) (Preh u. Poisel, 2009)
Schubert (2007) bezeichnet diesen Versagensmechanismus als „Kirschkerneffekt“ und definiert ihn wie folgt:
In einem nicht zentralsymmetrischen Spannungszustand, also z.B. bei einem SeitendruckverhältnisKI <1,0, bilden sich Bruchzonen im Bereich der Ul- me. Dabei schieben sich, von den Scherbruchflächen und vom Ausbruchrand begrenzte kompakte Blöcke in den Hohlraum („Kirschkerneffekt“). Bei wei- terer Steigerung der Beanspruchung kann es durch die Abflachung der Stütz- linie und die dadurch entstehende stärkere Krümmung im Ulmbereich, zur Bildung neuer Scherbrüche bergwärts der bereits entstandenen und gelösten Scherbruchkörper kommen.
2 Tiefliegende Tunnel 5
2.1 Scherbruchversagen
Die Spannungsumlagerung bzw. das Scherbruchversagen bei tiefliegenden Tunneln unter anisotropen Spannungen wurde von Rabcewicz (1964) im Jahre 1964 erstmals beschrie- ben. Die Störung des ursprünglichen Spannungszustandes im Fels durch Ausbruch eines Hohlraumes und die damit verbundene Umlagerung der Spannungen wird von Rabce- wicz (1964) in drei Phasen eingeteilt (siehe Abbildung 2.4).
In der ersten Phase bilden sich auf beiden Seiten des Ausbruches keilförmige Bruch- körper, welche sich in Richtung Mitte des Ausbruchs verschieben. Diese Bruchkörper scheren entlang der Mohr’schen Flächen ab und bewegen sich dabei normal zu den Hauptdruckspannungen in Richtung Hohlraum. Die Keile bilden sich 0,25 bis 0,4 mal den Tunneldurchmesser tief in den Fels hinein (siehe Abbildung 2.4, I).
Durch die Verschiebung der keilförmigen Ausbrüche erhöht sich die Spannweite des Aus- bruchs und verursacht eine Bewegung der Firste und der Sohle in Richtung des Hohl- raums ((siehe Abbildung 2.4, II).
In der dritten Phase nehmen die Verschiebungen der Firste und Sohle zu und durch den ständigen Seitendruck kommt es zum Ausknicken des Gebirges in jenen Bereichen ((siehe Abbildung 2.4, III).
Phase drei wird im Bergbau oft beobachtet; im Tunnelbau ist sie hingegen selten.
Abbildung 2.4: Versagensmechanismus in drei Phasen (Rabcewicz, 1964)
2 Tiefliegende Tunnel 6 Sattler (1965) beschreibt die Kräfteumlagerung nach Ausbruch eines Hohlraumes und sofortigem Einbau einer bewehrten Spritzbetonschale. Durch die Schaffung eines Hohl- raumes kommt es zu einer Störung des In-situ Spannungszustandes und einer damit ver- bunden Spannungsumlagerung. Der rasche Einbau einer Oberflächensicherung (Spritz- betonschale) verhindert, dass sich zwischen dem Außengewölbe und dem Gebirge irgend- welche Hohlräume bilden. Durch diese Vermeidung von „unzulässigen Auflockerungen“
bleibt der ursprüngliche Verband des Gebirges nahezu ungestört und es ist weiterhin ein räumlicher Spannungszustand vorhanden. Die Spritzbetonschale ist somit kontinuierlich gestützt und bildet mit dem umgebenden Gebirge ein untrennbares Ganzes. Die Beton- schale kann sich nicht mehr alleine verformen, da eine Verbundwirkung eintritt, und es wird ein großer Bereich des Gebirges mit zur Aufnahme des sekundären Belastungszu- standes herangezogen.
Der Scherbruchmechanismus Rudolf Pernkopf
Diplomarbeit 6
Aus „Der Bauingenieur, Die neue Österreichische Tunnelbauweise, II. Statische Wirkungsweise und Bemessung“, K. SATTLER (1965)
Wird in einem zuvor ungestörten Gebirge ein Hohlraum geschaffen, wird der ursprünglich vorhandene, primäre Spannungszustand gestört und es kommt zu einer Kräfteumlagerung. Durch eine sofortige Oberflächensicherung (bewehrte Spritzbetonschale) nach Ausbruch eines Hohlraumes, bleibt mit der damit verbundene Vermeidung von unzulässigen Auflockerungen, das umliegende Gebirge nahezu ungestört und ein räumlicher Spannungszustand bleibt vorhanden. Da sich eine satt anliegende Betonschale nicht für sich allein verformen kann, wird ein großer Bereich des umliegenden Gebirges zur Aufnahme des sekundären Belastungszustandes herangezogen (Verbundwirkung).
Im ersten Stadium der Kräfteumlagerung wird sich das Gebirge in Richtung der Hauptdruckrichtung (meist vertikal) verformen, was zu einer Annäherung der Firste und der Sohle führt (Auftreten von Biegerissen in Felsmodellen). Diese Bewegungen reichen seitlich - an Größe abnehmend - bis weit ins Gebirge hinein. Durch die Annäherung der Firste und Sohle werden die Ulmen (die Spritzbetonschale) gegen das Gebirge gedrückt wobei sich die in Abbildung 1.6 dargestellten Bereiche durch elastische und plastische Verformung bilden. Unter dem
erhöhten Seitendruck durch den Umlagerungsvorgang und dem passiven Druck der Ulmen wird der als Kern bezeichnete Bereich weiter zusammengedrückt. Ist der Kern vollständig plastifiziert und kann folglich nicht mehr weiter zusammengedrückt werden, wird er beim weiteren Fortschreiten der Firste und Sohle als Ganzes ins Tunnelinnere gedrückt.
Bei einer derartigen Beanspruchung befindet sich der schwächste Punkt des Tunnelprofils im Übergang zwischen Firste und Sohle. Wird die Spritzbetonschale ausreichend stark dimensioniert, können die Scherspannungen aufgenommen und ein Abscheren in den genannten Bereichen verhindert werden, was zu einer vollständigen Beruhigung des Gebirges führt.
Maßgebend für das Herausquetschen des Kernes in Richtung Tunnelinneres ist der Seitendruck ps (Abbildung 1.6, b). Bei Vorhandensein von großen Druckspannungen kann ein Schubbruch nur unter einem flachen Winkel gegenüber der Normaldruckrichtung erfolgen.
Abbildung 1.6: Schubbruchhypothese nach SATTLER (1965)
Abbildung 2.5: Schubbruchhypothese (Sattler, 1965)
Im ersten Stadium der Kräfteumlagerung wird sich das Gebirge in Richtung der Haupt- druckrichtungen (meist vertikal) verformen. Dies führt zu einer Annäherung von First und Sohle. Diese Bewegungen reichen seitlich - an Größe abnehmend - bis weit ins Gebir- ge hinein. Es kommt zu einer elastischen und plastischen Verformung des Gebirges und durch die Annäherung von First und Sohle wird die Spritzbetonschale gegen die Ulmen des Hohlraumes gedrückt (siehe Abbildung 2.5). Unter der Auflast, dem erhöhten Seiten- druck durch den Umlagerungsvorgang und dem passiven Druck der Ulmen wird der als Kern bezeichnete Teil weiter zusammengedrückt. Durch die vollständige Plastifizierung des Kernes kann folglich kein weiteres Zusammendrücken mehr möglich sein und er wird durch die anhaltende Bewegung des Gebirges als Ganzes in den das Hohlrauminnere gequetscht. Bei einer derartigen Beanspruchung befindet sich der schwächste Punkt des
2 Tiefliegende Tunnel 7 Hohlraumgewölbes im Übergang zwischen Sohle und den Ulmen. Bei ausreichender Di- mensionierung der Spritzbetonschale können die Scherspannungen aufgenommen und ein Abscheren verhindert werden. Dies führt zu einer vollständigen Beruhigung des Gebirges.
Der Seitendruck ps ist maßgebend für das Herausquetschen des Kernes in das Hohlrau- minnere hinein. Bei Vorhandensein von großen Druckspannungen kann ein Schubbruch nur unter einem flachen Winkel gegenüber der Normaldruckrichtung erfolgen. Wird ein- fachheitshalber der Bruch unter einem Winkel von 30◦ gegenüber der Radialrichtung angenommen, ergibt sich die BruchschubkraftS pro Längeneinheit in Abhängigkeit von der Scherbruchspannung τBr und der Bruchschnittlänge ds= 2daus Gleichung (2.1).
S=τBr·ds (2.1)
Die zugehörige Horizontalkraft des seitlich auszuquetschenden Gebirgkernes wird nach Gleichung (2.2) bestimmt.
H= 2·S (2.2)
Bei welcher Belastung es zu einem Bruch der Spritzbetonschale kommt wird für den Seitendruck pS,Br mittels der Gleichung (2.3) bestimmt und für die Bruchschnittlänge dS,Br nach der Gleichung (2.4).
pS,Br= 2τBr ds
b (2.3)
dS,Br= H
2τBr (2.4)
2 Tiefliegende Tunnel 8 Feder (1977) untersuchte den Bruchmechanismus eines unter vertikal richtungsbetontem Primärdruck erstellten Hohlraums. Der Bruchvorgang durchläuft nach Feder (1977) drei Zustände (siehe Abbildung 2.6):
• Zustand 1: Radialrisse in Firste bzw. Sohle
• Zustand 2: Zermalmen der Ulmenbereiche
• Zustand 3: Scherbruch
Abbildung 2.6: Zustände des Bruchvorganges (Feder, 1977)
BeiZustand 1kommt es zu Radialrissen in Firste bzw. Sohle oder zum Entspannungs- schwellen (mit Wasseraufnahme) in diesen Bereichen. Voraussetzung dafür ist eine Sei- tendruckziffer kleiner als 1 oder ein flach ovaler Hohlraum (liegende Ellipse). In diesem ersten Zustand kann bereits ein Firstverbruch bewirkt werden. Für die Dimensionierung der erforderlichen Stützmaßnahmen wird die Mächtigkeit der an der Firste auftreten- den versagenden Zugzone herangezogen. Dieser Vorgang kann sich auch schon mit dem Zustand 2 überschneiden. Für die Sohle bedarf es im Zustand 1 noch keiner Stützmaß- nahmen. Mit dem Entspannungsschwellen und der damit verbundenen Wasseraufnahme, sowie der Knetwirkung durch die Baufahrzeuge kann es ein Entfestigen des Gebirges im Sohlbereich bewirken. Dies wirkt sich aber erst später im Zustand 3 voll aus, wenn von der Sohle eine Scherfestigkeit erwartet wird.
Zustand 2 ist erreicht wenn es zu einer Zermalmung des Gebirges im Ulmenbereich und einer weiteren Ausbildung der Zugrisse im Firstbereich kommt. Zustand 2 kann zeitlich auch teilweise mit Zustand 1 überlappen und ist hinsichtlich der Hohlraumstabi- lität eine eher unbedenkliche Phase. Die Zermalmung der Ulmenbereiche erfolgt je nach
2 Tiefliegende Tunnel 9 Gebirgsfestigkeit in Form von Bergschlägen, Spaltbrüchen, Ausquetschungen weicher Komponenten oder in Form von Zerquetschungen poröser Komponenten. Der Zustand 2 ist dann voll ausgebildet, wenn die Zermalmung der Ulmzwickel soweit bergwärts vor- gedrungen ist, dass der Winkel Ψ klein genug ist um das Ausquetschen von Material von selbst zu verhindern. Dies ist der Fall wenn der Winkel Ψ dem Reibungswinkel zwi- schen kompaktem und zermalmtem Material entspricht. Als Stützmaßnahme sind eine geschlossene anliegende Schale bzw. Anker, welche über den zermalmten Bereich hin- ausragen, sinnvoll. Für die Ermittlung von Stützmaßnahmen im Firstbereich muss ein Fortschreiten der versagenden Zugzone im betreffenden Bereich berücksichtigt werden.
Bei Zustand 3 kommt es zum Scherverbruch (meist von schräg oben), welcher durch die weitere Überschreitung der Tragfähigkeit des Gebirges im Zustand 2 hervorrührt.
Ein weiteres Zermalmen der Ulmenzwickel ist nicht mehr möglich, da das Bruchmate- rial nicht mehr ausweichen kann. Dadurch kommt es zu Scherbrüchen, die ähnlich den Fels-Böschungsbrüchen sind. Die gekrümmten Bruchflächen reichen entweder in die zer- malmten Zonen der Ulmenzwickel (Gleitflächeg1) und stoßen dort auf großen passiven Widerstand des zerquetschten Materials oder sie erreichen direkt den Hohlraumbereich (Gleitflächeg2). Im Falle der Gleitflächeg3 läuft der Scherbruch in den Bereich der ver- sagenden Zugzone im First- bzw. Ulmenbereich, wo dieser zunächst ein Schließen aller Radialrisse bewirkt und dann so weiterläuft als ob diese nie vorhanden gewesen wä- ren. Falls die Zugzone die Möglichkeit hatte beim Entspannungsschwellen Bergwasser anzusaugen, dann bewirkt der Porenwasserüberdruck ein gehemmtes Weiterlaufen des Scherbruches bis zum Hohlraumrand (Gleitfläche g4).
2.2 Analytische, elastische Berechnung
Die Berechnung der Spannungen eines tiefliegenden Tunnels unter anisotropen Span- nungsverhältnissen in einem elastischen Kontinuum erfolgt mittels der Gleichung (2.5) von Kirsch (1898). Dafür wird ein Hohlraum mit Kreisquerschnitt ohne Ausbau betrach- tet und ein ebener, elastischer Spannungszustand angenommen. Zudem dürfen in den Randbereichen keine Plastifizierungen auftreten. Diese Annahmen können dann mit der elastischen, gelochten Scheibe (siehe Abbildung 2.7) idealisiert und die Spannungen mit den unten stehenden Gleichungen (2.5) berechnet werden.
2 Tiefliegende Tunnel 10
Figure 1. Some classical solutions for holes in elastic medium.
6 Fairhurst and Carranza-Torres
Abbildung 2.7: Elastische, gelochte Scheibe nach Kirsch (1898) (Fairhurst u. Carranza-Torres, 2002)
Die Spannungen werden in Polarkoordinaten angegeben und sind wie folgt definiert:
• σr ist die radiale Spannung und wirkt lotrecht auf den Ausbruchsrand.
• σθ ist die tangentiale Spannung und wirkt parallel zum Ausbruchsrand.
• τrθ ist die Schubspannung.
σr= σ1+σ3
2 1−a2 r2
!
− σ1−σ3
2 1−4a2 r2 +3a4
r4
!
cos(2θ)
σθ= σ1+σ3
2 1 +a2 r2
!
+ σ1−σ3
2 1 +3a4 r4
!
cos(2θ)
τrθ = σ1−σ3
2 1 +2a2 r2 −3a4
r4
!
cos(2θ)
(2.5)
Wobei σ1 bzw.σ3 den vertikalen bzw. horizontalen In-situ Spannungen,adem Radius, r dem Abstand von der Mitte des Loches zum betrachteten Punkt und θ dem Winkel entsprechen.
Für einen kreisförmigen Hohlraum in einem elastischen Kontinuum unter all seitig glei- chem Druck (d.h. mit Ausbauwiderstand) können die Spannungen mit den Gleichungen von Lamé (1852) bestimmt werden. Diese Spannungsverhältnisse werden in dieser Arbeit jedoch nicht genauer untersucht und darum nicht weiter ausgeführt.
3 Particle Flow Code
Der Particle Flow Code (PFC) ist ein Verfahren zur numerischen Modellierung von komplexen mechanischen Systemen auf der Basis der Methode der Distinkten Elemente.
Mittels PFC lassen sich Modelle im zwei- bzw. dreidimensionalen Raum berechnen. Im Folgenden wird nach Preh (2004) und Itasca (2008) auf die Version im zweidimensiona- len Raum (PFC2D) eingegangen.
Die wesentlichen Elemente der zweidimensionalen Version sind scheiben- oder kugel- förmige Partikel und eindimensionale Wandelemente. Die Partikel lassen sich beliebig anordnen und mittels den Wandelementen können Begrenzungen definiert werden. Der Berechnungsalgorithmus von PFC verfügt über eine Detektionsautomatik, die alle, sich aufgrund der Partikelbewegungen einstellenden Kontakte - sowohl mit einem anderen Partikel als auch mit einem Wandelement - erkennt. Weiters sind durch den Berech- nungsalgorithmus alle kinematischen Bewegungsmöglichkeiten eines jeden Partikel zu jedem Zeitpunkt der Modellierung gewährleistet. Dabei kann es aufgrund der im Modell herrschenden physikalischen Zustände zur Aufhebung oder Neubildung von Kontakten kommen. Die Partikel können an ihren Berührungspunkten zu Festkörper verbunden werden, diese können wiederum durch eine fortschreitende Schädigung der Bindungen (Ausbildung von Trenn- und Scherbrüchen) zerstört werden. Dadurch lassen sich makro- und mikromechanische Prozesse gleichzeitig und kombiniert modellieren (Preh, 2004).
PFC2D enthält ein numerisches Modell mit folgenden Annahmen:
• Die Partikel werden als starre Objekte betrachtet.
• Die Kontakte zwischen den Partikeln beschränken sich auf eine verschwindend kleine Fläche (Punkt bzw. Linie).
• Das Verhalten der Kontakte beruht auf einem weichen Stoß mit einer endlichen Normalsteifigkeit der Partikel. Diese dürfen sich dabei an den Kontaktpunkten überlappen.
• Die Größe der Überlappung hängt von der Steifigkeit der Partikel und der Kon- taktkraft ab und ist klein im Verhältnis zur Partikelgröße.
• An den Kontaktpunkten zwischen zwei Partikeln können Bindungen definiert wer- den.
• Alle Partikel sind kreisrund. Mittels der „clump logic“ lassen sich gruppierte Par- tikel (Klumpen) mit einer beliebigen Oberfläche erzeugen. Diese Klumpen, beste-
11
3 Particle Flow Code 12 hend aus einem Zusammenschluss sich überlappender einzelner Partikel, agieren als Starrkörper mit einer verformbaren Oberfläche.
3.1 Distinkte Elemente Methode
Die Distinkte Elemente Methode wurde von Cundall (1971) für die Lösung von felsme- chanischen Problemstellungen entwickelt und später von Cundall u. Strack (1979) zur Berechnung von Lockergestein angewendet. PFC2D wird nach Cundall u. Hart (1992) dem Diskrete Elemente Code zugeordnet, weil der Code von PFC endliche Verschiebun- gen und Rotationen von diskreten Körpern (einschließlich ihrer vollständigen Trennung) zulässt und neue Kontakte während des Berechnungsvorganges automatisch erkennt.
PFC2Dwird aufgrund der Beschränkung auf starre kugelförmige Partikel als vereinfach- te Anwendung der Distinkte Elemente Methode gesehen.
Bei der Distinkte Elemente Methode wird die Wechselwirkung zwischen den Partikeln als dynamischer Prozess mit Gleichgewichtszuständen (wenn die Schnittkräfte im Gleich- gewicht sind) betrachtet. Die Kontaktkräfte und Verschiebungen eines unter Beanspru- chung stehenden Zusammenschluss von Partikeln werden durch Aufzeichnung der Be- wegungen der einzelnen Partikel ermittelt. Bewegungen entstehen im System durch die Ausbreitung von Unregelmäßigkeiten, welche durch spezifizierte Bewegungen der Wand oder Partikel, bzw. durch Körperkräfte hervorgerufen werden. Dies ist ein dynamischer Prozess bei welchem die Ausbreitungsgeschwindigkeit abhängig ist von den physikali- schen Eigenschaften des diskreten Systems.
Das dynamische Verhalten wird nummerisch wiedergegeben durch ein Zeitschrittverfah- ren, bei welchem vorausgesetzt wird, dass die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen konstant sind, während eines einzelnen Zeitschritts. Bei der Distinkte Elemente Metho- de wird der Zeitschritt so klein gewählt, dass sich, während eines einzelnen Zeitschritts, Fehler nicht weiter als zum unmittelbar benachbarten Partikel ausbreiten können. An- schließend werden die Kräfte die auf einen Partikel wirken, durch ihre Wechselwirkung mit den anderen Partikeln, welche in Kontakt mit dem einem Partikel sind, bestimmt.
Seitdem die Fehlerfortpflanzungsgeschwindigkeit eine Funktion der physikalischen Eigen- schaften des diskreten Systems ist, kann mittels des Zeitschritts den oberen Bedingungen gerecht werden.
3.2 Berechnungskreislauf
Das Berechnungsverfahren der Distinkten Elemente Methode in PFC2D besteht aus ei- nem expliziten zeitgesteuerten Algorithmus. Der Berechnungskreislauf (siehe Abbildung 3.1) wendet in jedem Zeitschritt das Bewegungsgesetz auf jedes Partikel und ein Kraftver- schiebungsgesetz auf jeden Kontakt an. Zusätzlich wird die Position der Wandelemente aktualisiert. Eine Kopplung der Beziehungen für jedes einzelne Partikel zu einer Ge- samtmatrix findet nicht statt. Kontakte, welche zwischen zwei Partikeln oder zwischen
3 Particle Flow Code 13 einem Partikel und einer Wand bestehen, können während dem Verlauf der Simulation automatisch gebildet oder gelöst werden.
Zu Beginn eines jeden Zeitschrittes wird die Kontaktliste aufgrund der aktuellen Posi- tionen der Partikel und Wände aktualisiert. Als nächstes wird bei jedem Kontakt das Kraftverschiebungsgesetz angewendet um die Kontaktkräfte zu ermitteln, basierend auf der relativen Bewegung der beiden Elemente (Partikel - Partikel bzw. Partikel - Wand) beim Kontakt und deren Kontaktmodell (konstitutive Beziehungen). Anschließend wird das Bewegungsgesetz auf jedes Partikel angewendet um die Position und Geschwindig- keit, aufgrund der resultierenden Kräfte und Momente, welche aus den Kontakt- und Massenkräften ermittelt werden, neu zu ermitteln. Danach werden die Positionen aller Wände, aufgrund der jeweiligen spezifischen Geschwindigkeit der Wand, neu berechnet.
Für das Ende des Berechnungskreislaufes wird ein Abbruchkriterium verwendet, welches entweder eine vorgegebene Anzahl von Berechnungsschritten oder ein Toleranzkriterium sein kann.
Neuberechnung der Partikel- und Wandpositionen sowie der Kontakte
Bewegungsgesetz (angewendet auf jedes Partikel) - Resultierende Kraft und Moment
Kraftverschiebungsgesetz (angewendet auf jeden Kontakt)
- Relativbewegung der Partikel - Kontaktstoffgesetze (Kon-
stitutive Beziehungen)
Kontaktkräfte
Abbildung 3.1: Berechnungskreislauf in PFC2D(nach Itasca, 2008)
3.3 Kraftverschiebungsgesetz
Das Kraftverschiebungsgesetz stellt eine Beziehung zwischen der relativen Verschiebung zweier Elemente an einem Kontakt zu der Kontaktkraft, die zwischen den beiden Ele- menten wirkt, her. Dabei wirkt die Kontaktkraft sowohl für Partikel-Partikel- wie auch für Partikel-Wand - Kontakt in einem Punkt. Bei einem Partikel-Partikel - Kontakt und Vorhandensein einer Parallelverbindung, kann eine zusätzliche Kraft und ein zusätzliches Moment entstehen und auf jedes Partikel wirken - hervorgerufen durch die Deformation des zementartigen Materials, welches die Parallelverbindung darstellt.
3 Particle Flow Code 14
contact plane
A B
xi[A]
R[B]
xi[C]
xi[B]
ni
d
Un R[A]
Kontaktfläche
Abbildung 3.2: Schematische Darstellung eines Partikel-Partikel - Kontakt (nach Itasca, 2008)
Das Kraftverschiebungsgesetz wird an einem Kontakt angewendet und durch den Kon- taktpunktx[C]i , welcher auf der Kontaktfläche liegt und durch den Einheitsnormalvektor ni beschrieben (siehe Abbildung 3.2). Der Kontaktpunkt liegt im Überlappungsbereich der zwei Partikeln. Bei einem Partikel-Partikel - Kontakt liegt der Normalvektor auf der Verbindungslinie zwischen den beiden Mittelpunkten der Partikel. Bei einem Partikel- Wand - Kontakt liegt der Normalvektor auf der kürzesten Verbindungslinie zwischen Partikelmittelpunkt und Wand. Die Kontaktkraft wird in eine Normalkraft, welche in Richtung des Normalvektors wirkt und in eine Scherkraft, die in der Kontaktfläche liegt, zerlegt. Das Kraftverschiebungsgesetz setzt diese zwei Kraftkomponenten (über die Normal- und Schersteifigkeiten am Kontakt) in Relation zu den relativen Verschie- bungen.
Im Folgenden wird das Kraftverschiebungsgesetz für den Partikel-Partikel- sowie den Partikel-Wand - Kontakt beschrieben. Für den Partikel-Partikel - Kontakt werden die relevanten Gleichungen für zwei kugelförmige Partikeln, bezeichnet mit A undB (siehe Abbildung 3.2), angegeben. Bei einem Partikel-Wand - Kontakt wird der Partikel mitb und die Wand mitw bezeichnet. Die Überlappung wird mit Un bezeichnet.
Der Normalvektor ni (Partikel-Partikel - Kontakt), der die Kontaktebene festlegt, wird wie folgt definiert:
ni = x[B]i −x[A]i
d (3.1)
wobei x[A]i und x[B]i die Positionsvektoren der Mittelpunkte der Partikel A und B sind und dden Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten der Partikel darstellt:
3 Particle Flow Code 15
GENERAL FORMULATION 1 - 7
w
b
R[b]
xi[C] xi[b]
ni d
Un
Figure 1.3 Notation used to describe ball-wall contact
For ball-ball contact, the unit normal,ni, that defines the contact plane is given by
ni = xi[B]−xi[A]
d (ball-ball) (1.5)
wherexi[A] andxi[B] are the position vectors of the centers of ballsAand B, andd is the distance between the ball centers:
d =xi[B]−xi[A]=
xi[B]−xi[A] xi[B]−xi[A]
(ball-ball) (1.6)
Note thatni corresponds with position vectors at timet−t /2, to preserve the time-centering of equations.
For ball-wall contact,ni is directed along the line defining the shortest distance,d, between the ball center and the wall. This direction is found by mapping the ball center into a relevant portion of space defined by the wall. The idea is illustrated inFigure 1.4for a two-dimensional wall composed of two line segments,ABandBC. All space on the active side of this wall can be decomposed into five regions by extending a line normal to each wall segment at its end points. If the ball center lies in region 2 or 4, it will contact the wall along its length, andni will be normal to the corresponding wall segment. However, if the ball center lies in region 1, 3 or 5, it will contact the wall at one of its end points, andni will lie along the line joining the end point and the ball center.
PFC2DVersion 4.0
Abbildung 3.3: Schematische Darstellung eines Partikel-Wand - Kontakt (Itasca, 2008)
d=x[B]i −x[A]i = q
(x[B]i −x[A]i )(x[B]i −x[A]i ) (3.2) Bei einem Partikel-Wand - Kontakt zeigt der Normalvektor ni in Richtung der kürzes- ten Verbindungslinie dzwischen Partikelmittelpunkt und Wand (siehe Abbildung 3.3).
Diese Richtung findet man, indem man die Lage des Partikelmittelpunkts bestimmten definierten Bereichen zuordnet. Die Vorgehensweise wird anhand einer zweidimensio- nalen Wand, bestehend aus den zwei Liniensegmenten AB und BC, dargestellt (siehe Abbildung 3.4). In PFC haben Wände eine aktive und eine inaktive Seite, wobei ein Partikel-Wand - Kontakt nur auf der aktiven Seite erkannt wird. Der gesamte Raum auf der aktiven Seite der Wand (in Abbildung 3.4 rechts) kann durch Setzen von lotrechten Geraden auf die jeweiligen Endpunkte der Wandsegmente in fünf Teilbereiche unterteilt werden. Falls der Mittelpunkt des Partikels im Bereich 2 oder 4 liegt, so berührt der Partikel die Wand entlang der Liniensegmente AB und BC, und der Normalvektor ni ist normal auf das entsprechende Wandsegment. Liegt der Mittelpunkt des Partikels im Bereich 1, 3 oder 5, so berührt der Partikel die Wand an einem seiner Endpunkte und der Normalvektor ni liegt auf der Verbindungslinie vom Wandendpunkt zum Partikel- mittelpunkt.
Die ÜberlappungUnist definiert als relative Verschiebung an den Kontakten in Richtung der Normalen und lässt sich wie folgt darstellen:
Un=
(R[A]+R[B]−d, (Partikel-Partikel)
R[b]−d, (Partikel-Wand) (3.3)
3 Particle Flow Code 16
1 - 8 Theory and Background
5 ni
4 3 1
ni 2
A B C
6
ni
ni ni
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Figure 1.4 Determination of normal direction for ball-wall contact
The overlap, Un, defined to be the relative contact displacement in the normal direction, is given by
Un =
⎧⎨
⎩
R[A]+R[B]−d, (ball-ball) R[b]−d, (ball-wall)
(1.7)
whereR[]is the radius of ball.
The location of the contact point is given by
xi[C] =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
xi[A]+
R[A]− 12Un
ni, (ball-ball)
xi[b]+
R[b]− 12Un
ni, (ball-wall)
(1.8)
The contact force vector,Fi, (which represents the action of ball A on ball B for ball-ball contact, and the action of the ball on the wall for ball-wall contact), can be resolved into normal and shear components with respect to the contact plane as
Fi =Fin +Fis (1.9)
PFC2DVersion 4.0
Abbildung 3.4: Festlegung der Richtung des Normalvektors ni bei einem Partikel-Wand - Kon- takt (Itasca, 2008)
wobei R[Φ] der Radius des Partikels Φ ist. Die Position des Kontaktpunkts kann wie folgt bestimmt werden:
x[C]i =
x[A]i + (R[A]−12Un)ni, (Partikel-Partikel)
x[b]i + (R[b]−12Un)ni, (Partikel-Wand) (3.4) Der Kontaktkraftvektor Fi kann in einen Normalkraftvektor Fin und einen Scherkraft- vektorFis zerlegt werden.
Fi =Fin+Fis (3.5)
Die NormalkontaktkraftFnwird aus der ÜberlappungUnund der NormalsteifigkeitKn [Kraft/Verschiebung] ermittelt:
Fn=KnUn (3.6)
Der Wert Kn wird vom gegenwärtigen Kontaktsteifigkeitsmodell bestimmt.
Man beachte, dass die Normalsteifigkeit Kn einem Sekantenmodul entspricht, der sich auf die Gesamtverschiebung und die Gesamtnormalkraft bezieht. Die Berechnung der Normalkraft nur aus der Geometrie verringert die Fehleranfälligkeit des Rechenprozesses und ermöglicht eine Änderung der Positionen und Radien der Partikel, auch nach dem Beginn der Berechnung.
Die Scherkontaktkraft wird schrittweise berechnet. Bei Zustandekommen eines Kontakts
3 Particle Flow Code 17 wird sie auf null gesetzt. Jedes in Folge ermittelte relative Scherverschiebungsinkrement ergibt ein Inkrement einer elastischen Scherkraft, welches zur Scherkontaktkraft hinzu- gefügt wird. Die Bewegung des Kontakts wird durch die Neuberechnung vonni undx[C]i in jedem Berechnungsschritt berücksichtigt.
Die relative Scherbewegung bzw. die Schergeschwindigkeit am Kontakt, Vs, welche bei einem Partikel-Partikel - Kontakt als Schergeschwindigkeit des PartikelsB relativ zum Partikel A am Kontaktpunkt und beim Partikel-Wand - Kontakt als Schergeschwindig- keit der Wandw relativ zum Partikel am Kontaktpunkt definiert ist, folgt aus:
Vs= ( ˙x[Φi 2]−x˙[Φi 1])ti−ω3[Φ2]x[C]k −x[Φk 2]−ω[Φ3 1]x[C]k −x[Φk 1] (3.7) wobei ˙x[Φi j] und ω3[Φj] die Translations- und Rotationsgeschwindigkeit des Partikels Φj mit
nΦ1,Φ2o=
({A, B}, (Partikel-Partikel)
{b, w}, (Partikel-Wand) (3.8) mitti={−n2, n1}sind.
Die Scherkomponente des Vektors des Kontaktverschiebungsinkrements, die über einen Zeitschritt ∆t auftritt, wird berechnet aus
∆Us=Vs∆t (3.9)
und wird zur Ermittlung des elastischen Scherkraftinkrements verwendet:
∆Fs=−ks∆Us (3.10)
wobei ks die Schersteifigkeit [Kraft/Verschiebung] am Kontakt ist. Der Wert von ks wird vom aktuellen Kontaktsteifigkeitsmodell bestimmt. Die Schersteifigkeit ist ein Tan- gentenmodul und wird somit mit k bezeichnet. Die neue Scherkontaktkraft erhält man durch Aufsummieren der alten Scherkraft am Beginn des Zeitschrittes mit dem elasti- schen Scherkraftinkrement:
Fs←Fs+ ∆Fs≤µFn (3.11)
Dabei stelltµ den Reibungskoeffizienten dar.
Die Werte der Normal- und Scherkontaktkraft, welche sich aus den Gleichungen (3.6) und (3.11) ergeben, werden angepasst, um den Bedingungen aus den Kontaktgesetzen zu entsprechen. Nach dieser Anpassung ergibt sich der Einfluss der Kontaktkraft zu der resultierenden Kraft und dem resultierenden Moment der zwei, sich im Kontakt befindlichen, Partikeln wie folgt:
3 Particle Flow Code 18
Fi =Fnni+Fsti Fi[Φ1]←Fi[Φ1]−Fi
Fi[Φ2]←Fi[Φ2]+Fi
M3[Φ1]←M3[Φ1]−e3jk x[C]j −x[Φj 1] Fk
M3[Φ2]←M3[Φ2]+e3jk x[C]j −x[Φj 2] Fk
(3.12)
wobeiFi[Φj]undM3[Φj]die Summen der Kräfte und Momente des Partikels Φj (Gleichung (3.8)) sind. Der KontaktkraftvektorFi ergibt sich aus Gleichung (3.5).
3.4 Bewegungsgesetz
Die Bewegung eines einzelnen starren Partikels wird durch die resultierenden Kraft- und Momentvektoren, welche auf den Partikel wirken, bestimmt. Die translatorische Bewe- gung des Massenmittelpunktes wird über dessen Position xi, Geschwindigkeitsvektor ˙xi
und Beschleunigungsvektor ¨xi beschrieben. Die Rotationsbewegung wird durch die Win- kelgeschwindigkeitωi und die Winkelbeschleunigung ˙ωi ausgedrückt.
Die Bewegungsgleichungen können in zwei Vektorgleichungen angeschrieben werden, wo- bei sich die Translation auf die resultierende Kraft und die Rotation auf das resultierende Moment bezieht.
Fi=m(¨xi−gi) . . .translatorische Bewegung (3.13) Mi= ˙Hi . . .rotatorische Bewegung (3.14) In Gleichung (3.13) stelltFidie resultierende Kraft (Summe aller äußeren Kräfte die auf den Partikel wirken), m die Gesamtmasse des Partikels und gi den Massenbeschleuni- gungsvektor (z.B.: Gravitation) dar. In Gleichung (3.14) istMidas resultierende Moment und ˙Hi der Drehimpuls des Partikels. Die Beziehung in Gleichung (3.14) ist auf ein lo- kales Koordinatensystem, mit Ursprung im Massenmittelpunkt des Partikels, bezogen.
Wenn das lokale Koordinatensystem so liegt, dass es mit den Hauptträgheitsachsen des Partikels zusammefällt, so reduziert sich die Gleichung (3.14) zu der Euler’schen Bewe- gungsgleichung:
M1 =I1ω˙1+ (I3−I2)ω3ω2
M2 =I2ω˙2+ (I1−I3)ω1ω3 (3.15) M3 =I3ω˙3+ (I2−I1)ω2ω1
In den Gleichungen (3.15) sind I1, I2 und I3 die Hauptträgheitsmomente der Par- tikel, ˙ω1, ω˙2 und ˙ω3 die Winkelbeschleunigungen bezogen auf die Hauptachsen, und M1, M2 undM3 die Komponenten des resultierenden Moments bezogen auf die Haupt- achsen.
3 Particle Flow Code 19
Bei einem kugel- oder scheibenförmigen Partikel mit dem RadiusR und einer über das Volumen gleichmäßig verteilten Masse fällt der Schwerpunkt mit dem geometrischen Mittelpunkt zusammen. Bei einem kugelförmigen Partikel sind die Achsen eines lokalen Koordinatensystems, mit Ursprung im Massenmittelpunkt, immer Hauptachsen und die Trägheitsmomente sind alle gleich groß. Bei einem scheibenförmigen Partikel, das nur um den Normalvektor der Ebene rotiert, sind die beiden Winkelgeschwindigkeiten ω1 und ω2 gleich null. Daher kann Gleichung (3.15) auf ein globales Koordinatensystem bezogen werden:
M3 =Iω˙3= (βmR2) ˙ω3 (3.16) mit
β=
(2/5, (kugelförmiges Partikel)
1/2, (scheibenförmiges Partikel) (3.17)
Die Bewegungsgleichungen, beschrieben in Gleichung (3.15) und Gleichung (3.16) werden nach Umwandlung in eine Differenzialgleichung unter Verwendung des mittleren Diffe- renzialquotienten über den Zeitschritt ∆tgelöst. Dabei werden die Größen ˙xiundω3mit dem mittleren Intervall (t±n∆t/2) berechnet, während die Größenxi, x¨i, ω˙3, FiundM3
mit dem Hauptintervall (t±n∆t) ermittelt werden.
Die folgenden Gleichungen beschreiben die translatorische und rotatorische Beschleuni- gung zum Zeitpunktt mit den Geschwindigkeitswerten des mittleren Intervalls:
x¨(t)i = 1
∆t
x˙(t+∆t/2)i −x˙(t−∆t/2)i
ω˙(t)3 = 1
∆t
ω3(t+∆t/2)−ω3(t−∆t/2)
(3.18)
Setzt man die Gleichung (3.18) in die Gleichung (3.13) und (3.16) ein, so erhält man die Geschwindigkeiten zum Zeitpunkt (t+ ∆t/2):
x˙(t+∆t/2)i = ˙x(t−∆t/2)i + Fi(t) m +gi
!
∆t
ω3(t+∆t/2) =ω3(t−∆t/2)+ M3(t) I
!
∆t
(3.19)
Aus den Geschwindigkeiten in Gleichung (3.19) lassen sich abschließend die Positionen der Partikelmittelpunkte wieder neu bestimmen:
