Das Kraftverschiebungsgesetz stellt eine Beziehung zwischen der relativen Verschiebung zweier Elemente an einem Kontakt zu der Kontaktkraft, die zwischen den beiden Ele-menten wirkt, her. Dabei wirkt die Kontaktkraft sowohl für Partikel-Partikel- wie auch für Partikel-Wand - Kontakt in einem Punkt. Bei einem Partikel-Partikel - Kontakt und Vorhandensein einer Parallelverbindung, kann eine zusätzliche Kraft und ein zusätzliches Moment entstehen und auf jedes Partikel wirken - hervorgerufen durch die Deformation des zementartigen Materials, welches die Parallelverbindung darstellt.
3 Particle Flow Code 14
contact plane
A B
xi[A]
R[B]
xi[C]
xi[B]
ni
d
Un R[A]
Kontaktfläche
Abbildung 3.2: Schematische Darstellung eines Partikel-Partikel - Kontakt (nach Itasca, 2008)
Das Kraftverschiebungsgesetz wird an einem Kontakt angewendet und durch den Kon-taktpunktx[C]i , welcher auf der Kontaktfläche liegt und durch den Einheitsnormalvektor ni beschrieben (siehe Abbildung 3.2). Der Kontaktpunkt liegt im Überlappungsbereich der zwei Partikeln. Bei einem Partikel-Partikel - Kontakt liegt der Normalvektor auf der Verbindungslinie zwischen den beiden Mittelpunkten der Partikel. Bei einem Partikel-Wand - Kontakt liegt der Normalvektor auf der kürzesten Verbindungslinie zwischen Partikelmittelpunkt und Wand. Die Kontaktkraft wird in eine Normalkraft, welche in Richtung des Normalvektors wirkt und in eine Scherkraft, die in der Kontaktfläche liegt, zerlegt. Das Kraftverschiebungsgesetz setzt diese zwei Kraftkomponenten (über die Normal- und Schersteifigkeiten am Kontakt) in Relation zu den relativen Verschie-bungen.
Im Folgenden wird das Kraftverschiebungsgesetz für den Partikel-Partikel- sowie den Partikel-Wand - Kontakt beschrieben. Für den Partikel-Partikel - Kontakt werden die relevanten Gleichungen für zwei kugelförmige Partikeln, bezeichnet mit A undB (siehe Abbildung 3.2), angegeben. Bei einem Partikel-Wand - Kontakt wird der Partikel mitb und die Wand mitw bezeichnet. Die Überlappung wird mit Un bezeichnet.
Der Normalvektor ni (Partikel-Partikel - Kontakt), der die Kontaktebene festlegt, wird wie folgt definiert:
ni = x[B]i −x[A]i
d (3.1)
wobei x[A]i und x[B]i die Positionsvektoren der Mittelpunkte der Partikel A und B sind und dden Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten der Partikel darstellt:
3 Particle Flow Code 15
GENERAL FORMULATION 1 - 7
w
Figure 1.3 Notation used to describe ball-wall contact
For ball-ball contact, the unit normal,ni, that defines the contact plane is given by
ni = xi[B]−xi[A]
d (ball-ball) (1.5)
wherexi[A] andxi[B] are the position vectors of the centers of ballsAand B, andd is the distance between the ball centers:
d =xi[B]−xi[A]=
xi[B]−xi[A] xi[B]−xi[A]
(ball-ball) (1.6)
Note thatni corresponds with position vectors at timet−t /2, to preserve the time-centering of equations.
For ball-wall contact,ni is directed along the line defining the shortest distance,d, between the ball center and the wall. This direction is found by mapping the ball center into a relevant portion of space defined by the wall. The idea is illustrated inFigure 1.4for a two-dimensional wall composed of two line segments,ABandBC. All space on the active side of this wall can be decomposed into five regions by extending a line normal to each wall segment at its end points. If the ball center lies in region 2 or 4, it will contact the wall along its length, andni will be normal to the corresponding wall segment. However, if the ball center lies in region 1, 3 or 5, it will contact the wall at one of its end points, andni will lie along the line joining the end point and the ball center.
PFC2DVersion 4.0
Abbildung 3.3: Schematische Darstellung eines Partikel-Wand - Kontakt (Itasca, 2008)
d=x[B]i −x[A]i = q
(x[B]i −x[A]i )(x[B]i −x[A]i ) (3.2) Bei einem Partikel-Wand - Kontakt zeigt der Normalvektor ni in Richtung der kürzes-ten Verbindungslinie dzwischen Partikelmittelpunkt und Wand (siehe Abbildung 3.3).
Diese Richtung findet man, indem man die Lage des Partikelmittelpunkts bestimmten definierten Bereichen zuordnet. Die Vorgehensweise wird anhand einer zweidimensio-nalen Wand, bestehend aus den zwei Liniensegmenten AB und BC, dargestellt (siehe Abbildung 3.4). In PFC haben Wände eine aktive und eine inaktive Seite, wobei ein Partikel-Wand - Kontakt nur auf der aktiven Seite erkannt wird. Der gesamte Raum auf der aktiven Seite der Wand (in Abbildung 3.4 rechts) kann durch Setzen von lotrechten Geraden auf die jeweiligen Endpunkte der Wandsegmente in fünf Teilbereiche unterteilt werden. Falls der Mittelpunkt des Partikels im Bereich 2 oder 4 liegt, so berührt der Partikel die Wand entlang der Liniensegmente AB und BC, und der Normalvektor ni ist normal auf das entsprechende Wandsegment. Liegt der Mittelpunkt des Partikels im Bereich 1, 3 oder 5, so berührt der Partikel die Wand an einem seiner Endpunkte und der Normalvektor ni liegt auf der Verbindungslinie vom Wandendpunkt zum Partikel-mittelpunkt.
Die ÜberlappungUnist definiert als relative Verschiebung an den Kontakten in Richtung der Normalen und lässt sich wie folgt darstellen:
Un=
(R[A]+R[B]−d, (Partikel-Partikel)
R[b]−d, (Partikel-Wand) (3.3)
3 Particle Flow Code 16
1 - 8 Theory and Background
5
Figure 1.4 Determination of normal direction for ball-wall contact
The overlap, Un, defined to be the relative contact displacement in the normal direction, is given by
The location of the contact point is given by
xi[C] =
The contact force vector,Fi, (which represents the action of ball A on ball B for ball-ball contact, and the action of the ball on the wall for ball-wall contact), can be resolved into normal and shear components with respect to the contact plane as
Fi =Fin +Fis (1.9)
PFC2DVersion 4.0
Abbildung 3.4: Festlegung der Richtung des Normalvektors ni bei einem Partikel-Wand - Kon-takt (Itasca, 2008)
wobei R[Φ] der Radius des Partikels Φ ist. Die Position des Kontaktpunkts kann wie folgt bestimmt werden: Der Kontaktkraftvektor Fi kann in einen Normalkraftvektor Fin und einen Scherkraft-vektorFis zerlegt werden.
Fi =Fin+Fis (3.5)
Die NormalkontaktkraftFnwird aus der ÜberlappungUnund der NormalsteifigkeitKn [Kraft/Verschiebung] ermittelt:
Fn=KnUn (3.6)
Der Wert Kn wird vom gegenwärtigen Kontaktsteifigkeitsmodell bestimmt.
Man beachte, dass die Normalsteifigkeit Kn einem Sekantenmodul entspricht, der sich auf die Gesamtverschiebung und die Gesamtnormalkraft bezieht. Die Berechnung der Normalkraft nur aus der Geometrie verringert die Fehleranfälligkeit des Rechenprozesses und ermöglicht eine Änderung der Positionen und Radien der Partikel, auch nach dem Beginn der Berechnung.
Die Scherkontaktkraft wird schrittweise berechnet. Bei Zustandekommen eines Kontakts
3 Particle Flow Code 17 wird sie auf null gesetzt. Jedes in Folge ermittelte relative Scherverschiebungsinkrement ergibt ein Inkrement einer elastischen Scherkraft, welches zur Scherkontaktkraft hinzu-gefügt wird. Die Bewegung des Kontakts wird durch die Neuberechnung vonni undx[C]i in jedem Berechnungsschritt berücksichtigt.
Die relative Scherbewegung bzw. die Schergeschwindigkeit am Kontakt, Vs, welche bei einem Partikel-Partikel - Kontakt als Schergeschwindigkeit des PartikelsB relativ zum Partikel A am Kontaktpunkt und beim Partikel-Wand - Kontakt als Schergeschwindig-keit der Wandw relativ zum Partikel am Kontaktpunkt definiert ist, folgt aus:
Vs= ( ˙x[Φi 2]−x˙[Φi 1])ti−ω3[Φ2]x[C]k −x[Φk 2]−ω[Φ3 1]x[C]k −x[Φk 1] (3.7) wobei ˙x[Φi j] und ω3[Φj] die Translations- und Rotationsgeschwindigkeit des Partikels Φj mit
nΦ1,Φ2o=
({A, B}, (Partikel-Partikel)
{b, w}, (Partikel-Wand) (3.8) mitti={−n2, n1}sind.
Die Scherkomponente des Vektors des Kontaktverschiebungsinkrements, die über einen Zeitschritt ∆t auftritt, wird berechnet aus
∆Us=Vs∆t (3.9)
und wird zur Ermittlung des elastischen Scherkraftinkrements verwendet:
∆Fs=−ks∆Us (3.10)
wobei ks die Schersteifigkeit [Kraft/Verschiebung] am Kontakt ist. Der Wert von ks wird vom aktuellen Kontaktsteifigkeitsmodell bestimmt. Die Schersteifigkeit ist ein Tan-gentenmodul und wird somit mit k bezeichnet. Die neue Scherkontaktkraft erhält man durch Aufsummieren der alten Scherkraft am Beginn des Zeitschrittes mit dem elasti-schen Scherkraftinkrement:
Fs←Fs+ ∆Fs≤µFn (3.11)
Dabei stelltµ den Reibungskoeffizienten dar.
Die Werte der Normal- und Scherkontaktkraft, welche sich aus den Gleichungen (3.6) und (3.11) ergeben, werden angepasst, um den Bedingungen aus den Kontaktgesetzen zu entsprechen. Nach dieser Anpassung ergibt sich der Einfluss der Kontaktkraft zu der resultierenden Kraft und dem resultierenden Moment der zwei, sich im Kontakt befindlichen, Partikeln wie folgt:
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Fi =Fnni+Fsti Fi[Φ1]←Fi[Φ1]−Fi
Fi[Φ2]←Fi[Φ2]+Fi
M3[Φ1]←M3[Φ1]−e3jk x[C]j −x[Φj 1] Fk
M3[Φ2]←M3[Φ2]+e3jk x[C]j −x[Φj 2] Fk
(3.12)
wobeiFi[Φj]undM3[Φj]die Summen der Kräfte und Momente des Partikels Φj (Gleichung (3.8)) sind. Der KontaktkraftvektorFi ergibt sich aus Gleichung (3.5).