3.5 Kontaktmodelle
3.5.2 Gleitmodell
Das Gleitmodell regelt das Gleiten zweier sich in Kontakt befindlichen Elemente durch Begrenzung der Scherkraft. Dieses Modell ist immer aktiv, außer es ist zwischen den Elementen eine Kontaktbindung vorhanden, welche das Gleitmodell ersetzt.
Das Gleitmodell wird durch den Reibungskoeffizienten µ [dimensionslos] im Kontakt-punkt beschrieben. Befinden sich zwei Elemente in Kontakt wird der kleinere der beiden Reibungskoeffizienten verwendet. Ist keine Kontaktbindung vorhanden, wird der Kon-takt auf Gleitung überprüft. Dazu wird die maximal zulässige ScherkonKon-taktkraft anhand der Coulomb’schen Gleitbedingung
Fmaxs =µ|Fin| (3.25)
bestimmt und mit dem Betrag der Scherkraftkomponente |Fis|verglichen. Wenn |Fis|>
Fmaxs ist, dann ist Gleiten während des nächsten Rechenschrittes zulässig und Fis wird wie folgt aufFmaxs beschränkt:
Fis←Fis Fmaxs
|Fis|
!
(3.26)
3 Particle Flow Code 22 3.5.3 Bindungsmodell
PFC2D ermöglicht es, Partikel über definierte Bindungen fest zu verbinden. Dabei wird zwischen den folgenden Bindungsmodellen unterschieden:
• Kontaktbindung
• Parallelbindung
Die Kontaktbindung tritt nur im Kontaktpunkt auf und kann auch nur eine Kraft über-tragen. Dagegen wirkt die Parallelbindung in einem kreisförmigen oder rechteckigen Querschnitt zwischen den Partikeln und sie kann eine Kraft und ein Moment übertragen (siehe Abbildung 3.5). Beide Bindungsarten können gleichzeitig an einem Kontakt aktiv sein. Eine Bindung existiert solange, bis die Normal- und Scherkraft die zulässige Festig-keit der Bindung überschreitet. Es können nur Partikel untereinander verbunden werden.
3 - 34 User’s Guide
Abbildung 3.5: Schematische Darstellung der Bindungsmodelle (Itasca, 2008)
Kontaktbindung
Eine Kontaktbindung kann als Paar elastischer Federn, mit konstanter Normal- und Schersteifigkeit, welche am Kontaktpunkt wirken, gesehen werden. Bei Vorhandsein ei-ner Kontaktbindung können Partikel weder aneinander gleiten noch rollen. Nach Über-schreiten der Scher- oder Zugfestigkeit ist ein Gleiten oder Rollen der Partikel möglich.
Für den Fall, dass keine Überlappung vorliegt (Un < 0) wird die Zugkraft mit Hilfe des Kontaktverschiebungsgesetzes (Gleichung (3.6)) ermittelt. In diesem Fall agiert die Kontaktbindung, um die Bälle zusammenzuhalten. Die Größe dieser Zugkraft ist durch die Bindungszugfestigkeit begrenzt. Eine Kontaktbindung ist durch die folgenden zwei Parameter definiert:
• BindungszugfestigkeitFcn [Kraft]
• Bindungsscherfestigkeit Fcs [Kraft]
Ist die Zugkraft der Bindung gleich oder größer als die Bindungszugfestigkeit, bricht die Bindung, und die Normal- und Scherkontaktkraft werden gleich Null gesetzt. Falls der
3 Particle Flow Code 23
(Zug) Versagen der Bindung
Gleitmodell
(Überlappung) Kontaktbindung
(a) Normalkomponente der Kontaktkraft
(Zug) Versagen der Bindung
Gleitmodell
(Überlappung) Kontaktbindung
Kontaktbindung
Versagen der Bindung
Gleitmodell wenn
(b) Scherkomponente der Kontaktkraft
Abbildung 3.6: Schematische Darstellung der konstitutiven Beziehung für die Kontaktbindung (nach Itasca, 2008)
Wert der Scherkontaktkraft gleich oder größer als die Bindungsscherfestigkeit wird, dann bricht die Bindung auch, jedoch werden die Kontaktkräfte nicht geändert, es sei denn die Scherkraft überschreitet das Reibungslimit.
Das grundlegende Verhalten der Normal- und Scherkomponenten der Kontaktkraft und der relativen Verschiebung für den Partikelkontakt (in einem Punkt) zeigt Abbildung 3.6. Zu jeder Zeit ist entweder die Kontaktbindungsmodell oder das Gleitmodell aktiv.
Die NormalkontaktkraftFn ist eine Zugkraft, wennFn>0 ist. Die relative Normalver-schiebung wird mitUn bezeichnet, wobeiUn>0 eine Überlappung bedeutet.Fs ist die Größe der Gesamtscherkontaktkraft undUs ist die Größe der Gesamtscherverschiebung, bezogen auf den Punkt, an dem die Kontaktbindung entstanden ist.
Parallelbindung
Die Parallelbindung beschreibt das Materialverhalten eines finiten Bereichs zementar-tigen Materials zwischen zwei Partikeln. Die zwei Partikel werden entweder als Kugeln oder zylindrische Scheiben behandelt. Die Parallelbindung wirkt elastisch zwischen den Partikeln und parallel zum Gleitmodell oder zur Kontaktbindung. Sowohl Kräfte als auch Momente können zwischen den Partikeln übertragen werden, während bei der Kontakt-bindung nur Kräfte am Kontaktpunkt übertragen werden können.
3 Particle Flow Code 24
kugelförmige Elemente
Scheibenelemente der Dicke t
Abbildung 3.7: Parallelbindung, dargestellt als finiter Bereich eines zementartigen Materials (nach Itasca, 2008)
Eine parallele Bindung kann als eine Ansammlung von elastischen Federn mit konstan-ten Normal- und Schersteifigkeikonstan-ten gesehen werden, welche gleichmäßig über eine runde oder rechteckige Querschnittsfläche in der Kontaktebene (mit dem Kontaktpunkt als Mittelpunkt) verteilt sind. Diese Federn wirken parallel zu jenen, die die Partikelstei-figkeit im Kontaktpunkt definieren. Nach dem Erzeugen einer Parallelbindung treten relative Verschiebungen im Kontakt auf, welche aufgrund der Parallelbindungssteifig-keiten eine Kraft und ein Moment im Bindungsmaterial hervorrufen. Diese Kraft und dieses Moment wirken auf die zwei verbundenen Partikeln und können in Beziehung mit der maximalen Normal- und Scherspannung innerhalb des Bindungsmaterials gebracht werden. Überschreitet eine dieser Spannungen die dazugehörige Bindungsfestigkeit, so kommt es zum Bruch der Parallelbindung.
3 Particle Flow Code 25 Eine Parallelbindung wird durch folgende Parameter definiert:
• Normalsteifigkeit ¯kn [Spannung/Verschiebung]
• Schersteifigkeit ¯ks [Spannung/Verschiebung]
• Normalfestigkeit ¯σc [Spannung]
• Scherfestigkeit ¯τc [Spannung]
• Bindungsradius ¯R
Die resultierende Kraft und das resultierende Moment werden mit ¯Fi und ¯M3 gekenn-zeichnet. Der Kraftvektor ¯Fi kann in eine Normal- und Scherkomponente, ¯Fin und ¯Fis, in Bezug auf die Kontaktebene, zerlegt werden:
F¯i = ¯Fin+ ¯Fis (3.27) Diese Kraftkomponenten sowie das Moment sind in der Abbildung 3.7 ersichtlich. Die Parallelbindung ist dabei als finiter Teil eines elastischen Materials dargestellt. Der Nor-malkraftvektor kann durch folgende skalaren Größen beschrieben werden:
F¯in=F¯jnj
ni = ¯Fnni (3.28)
Bei Bildung einer Bindung, werden ¯Fi und ¯M3 null gesetzt. Jedes anschließende relative Verschiebungs- und Verdrehungsinkrement beim Kontakt führt zu einem Inkrement der elastischen Kraft und dem Moment und werden aufsummiert. Die elastischen Kraftin-kremente, während eines Berechnungsschrittes ∆t, werden wie folgt berechnet:
∆ ¯Fin=−k¯nA∆Unni
∆ ¯Fis=−k¯sA∆Uis (3.29) mit ∆Ui=Vi∆t
und das elastische Momenteninkrement:
∆ ¯M3 =−¯knI∆θ3
mit ∆θ3 =ω[B]3 −ω[A]3 ∆t (3.30) wobei die Kontaktgeschwindigkeit Vi mit Gleichung (3.7) bestimmt wird.
A ist die Fläche des Bindungsquerschnittes und I das Trägheitsmoment des Bindungs-querschnittes um eine Achse, welche durch den Kontaktpunkt und in die Richtung von
∆θ3 geht. Je nach Modell (kugelförmig oder Scheibenelement) ergeben sich folgende Werte:
3 Particle Flow Code 26
3tR¯3 (Scheibenelement)
(3.31)
Nach jedem Berechnungsschritt werden die Kraftvektoren mit nachfolgender Gleichung neu berechnet:
F¯in←F¯nni+ ∆ ¯Fin
F¯is←F¯is+ ∆ ¯Fis (3.32) und der Momentenvektor:
M¯3 ←M¯3+ ∆ ¯M3 (3.33)
Der Maximalwert der Zug- und Scherspannung, welche auf den Rand der Bindung wir-ken, werden wie folgt bestimmt:
σmax= −F¯n
Wenn die maximale Zugspannung die Zugfestigkeit (σmax ≥ σ¯c) oder die maximale Scherspannung die Scherfestigkeit (τmax≥τ¯c) überschreitet, dann kommt es zum Bruch der Parallelbindung.
Bleibt die Bindung intakt, dann tragen die Bindungsspannungen wie folgt zur resultie-renden Spannung, auf jeden der zwei Partikeln, bei:
Fi[A]←Fi[A]−F¯i
Fi[B]←Fi[B]+ ¯Fi
M3[A]←M3[A]−e3jk x[C]j −x[A]j F¯k−M¯3
M3[B]←M3[B]−e3jk x[C]j −x[B]j F¯k+ ¯M3
(3.35)
wobei Fi[Φ] die Summe der Kräfte und M3[Φ] die Summe der Momente für den Partikel Φ sind - ¯Fi wird nach Gleichung (3.27) bestimmt.
4 Materialkalibrierung
Mit PFC2D ist eine direkte Übernahme von Makroparametern, z.B.: Elastizitätsmodul E, z.B.: gewonnen aus Laborversuchen an Prüfkörpern, nicht möglich. Um aus Partikeln ein gewünschtes „Material“ zu generieren, müssen die Modellparameter, sogenannte Mi-kroparameter, auf die dazugehörigen Materialparameter (Makroparameter) abgestimmt werden. Ein direkter Bezug zwischen Materialparametern und Modellparametern lässt sich nicht herstellen, weil das physikalische Verhalten des mit PFC erstellten Materials von vielen Faktoren, wie der Partikelgröße, dem Porenvolumen, usw. abhängig ist.
Synthetisches Material Partikelanordnung
(Partikelgrößen, Größenverteilung, Porosität) +
Mikroparameter
(Steifigkeiten und Festigkeiten der Partikelkontakte)
Simulation von Materialtests (Biaxialtest und Brazialiantest)
Materialeigenschaften des synthetischen Materials (Verformungs- und Festigkeitseigenschaften)
Übereinstimmung ENDE
der Kalibration
Materialeigenschaften des physikalischen Materials (Fest- oder Lockergestein)
(Verformungs- und Festigkeitseigenschaften) nein
VariationderPartikelanordnung oderderMikroparameter
ja
Abbildung 4.1: Flussdiagramm des Kalibrationsprozesses (nach Preh, 2004)
27
4 Materialkalibrierung 28 Für eine beliebige Anordnung mit willkürlichen Partikelgrößen ist es notwendig die Ma-terialparameter mittels eines Kalibrationsprozesses zu bestimmen. Hierfür stellt PFC2D Algorithmen zur Verfügung mit denen sich simulierte Materialtests (Biaxial- und Brazi-liantest) durchführen lassen. Die Mikroparameter werden solange variiert bis das PFC-Modell dem gewünschten Verhalten des Materials bestmöglich entspricht (siehe Abbil-dung 4.1).
4.1 Biaxialtest
Beim Biaxialtest wird (im Gegensatz zum einaxialen Druckversuch) der seitliche Stütz-druck, bei gleichmäßiger zunehmender vertikaler Belastung, konstant gehalten. Im PFC wird dies durch einen Servomechanismus, der die Geschwindigkeiten der seitlichen Wän-de kontrolliert und somit einen konstanten seitlichen Druck aufrecht hält, erreicht.
Für den Biaxialtest wird ein rechteckiger Prüfkörper, welcher durch vier Wände begrenzt wird, herangezogen. Die obere und untere Wand dienen als Druckplatte und die seitli-chen Wände als Stützwände (siehe Abbildung 4.2).
Der Druck wird während der Versuchsdurchführung solange erhöht, bis ein gewähl-tes Abbruchkriterium erreicht wird. Der Verlauf des deviatorischen Spannungsanteils σd = σy −σx wird aufgezeichnet und dessen Maximalwert |σd|ausgegeben. Der Maxi-malwert σd steigt typischerweise solange an, bis es zu einem Versagen des Prüfkörpers kommt.
Ein Biaxialtest gibt Aufschluss über den ElastizitätsmodulE, die Querdehnungszahlν, die maximale Druckfestigkeit (Peak) σf unter konstantem Seitendruck und die Anzahl der Zug- und Scherrisse.
Abbildung 4.2: Schematische Darstellung des Biaxialtests (nach Itasca, 2008)
4 Materialkalibrierung 29
4.2 Kontaktbindungsverhalten
Eine Kontaktbindung (s. Kapitel 3.5.3) stellt eine Kombination eines Hook’schen Kör-pers (konstante Normal- und Schersteifigkeit) und eines St. Venant-KörKör-pers (konstante Zug- und Scherfestigkeit) dar (siehe Abbildung 4.3). Gleiten und Rollen ist bei intakter Bindung nicht zulässig. Bei Überschreiten der Zug- oder Scherfestigkeit bricht die Bin-dung und es kommt zur Auflösung des KontaktbinBin-dungsmodells zwischen den Partikeln.
Kn Kontaktnormalsteifigkeit φn Zugfestigkeit
φn
Kn
ks Kontaktschersteifigkeit φs Scherfestigkeit
φs ks
Abbildung 4.3: Schematische Darstellung der Kontaktbindung (nach Preh, 2004)
4.2.1 Spezifikation der Mikroparameter
Ein mit PFC generiertes Material mit Kontaktbindungsmodell wird durch die folgenden Mikroparameterdefiniert:
• Elastizitätsmodul Ecdes Partikelkontakts
• Verhältnis Normal- zu Schersteifigkeit kn/ks
• Reibungskoeffizientµder Partikel
• Zugfestigkeit σc (Mittelwert & Standardabweichung) der Partikelbindung
• Scherfestigkeitτc (Mittelwert & Standardabweichung) der Partikelbindung Im Gegensatz dazu sind dieMakroparameterdes „physikalischen“ Materials:
• Elastizitätsmodul E
• Querdehnungszahl ν
• Reibungswinkel ϕ
• Kohäsionc
4 Materialkalibrierung 30 4.2.2 Verformbarkeit
Die Verformbarkeit der Kontaktbindung wird durch die Definition des Elastizitätsmoduls Ecfür die Partikelkontakte (Kontaktmodul) und des Verhältnisses der Partikelsteifigkei-tenkn/ks (Normal- zu Schersteifigkeit) beschrieben. Daraus folgt, dass die Verformbar-keit eine Funktion des Kontaktmoduls und des Verhältnisses der PartikelsteifigVerformbar-keiten ist (Gleichung (4.1)).
V erf ormbarkeit=f
Wobei t die Dicke der betrachteten Scheibe darstellt.
4.2.3 Festigkeit
Die Festigkeit der Kontaktbindung wird durch einen Mittelwert und eine Standardab-weichung der Zug- und Scherfestigkeit (Materialfestigkeit),σc undτc, sowie durch einen einzelnen Wert für den Partikelreibungskoeffizienten µdefiniert. Die Bindungsfestigkei-tenφn und φs (Zug- und Scherfestigkeit) werden für jeden einzelnen Kontakt mit Glei-chung (4.2) ermittelt. Der Reibungskoeffizientµwird auf bindungsfreie Partikel bzw. auf Partikel mit gebrochener Bindung angewendet.
φn=σc·2·Re·t
φs=τc·2·Re·t (4.2)
WobeiRe der mittlere Partikelradius ist.
4.2.4 Elastizitätsmodul
Bei einem PFC-Material mit Kontaktbindung wird der Elastizitätsmodul durch zwei Mikroparameter, den KontaktmodulEc und das Steifigkeitsverhältniskn/ks, bestimmt.
Um einen bekannten Elastizitätsmodul zu reproduzieren, werden die Bindungsfestigkei-ten so hoch gesetzt, dass ein Versagen der Bindung nicht möglich ist und das Material dadurch ein rein elastisches Verhalten zeigt. Mit Hilfe eines Biaxialtests wird dann der Elastizitätsmodul bestimmt. Für eine definierte Partikelanordnung (Größe, Verteilung) und einem definiertem Wert für das Steifigkeitsverhältniskn/ksist der Elastizitätsmodul linear abhängig vom KontaktmodulEc.
4.2.5 Querdehnungszahl
Die Querdehnungszahl (Poisson’sche Zahl), welche mit Hilfe eines Biaxialtests ermittelt wird, beruht auf der Annahme eines ebenen Spannungszustandes (mit σz = 0) und
4 Materialkalibrierung 31 konstanter Horizontalspannung (∆σx = 0). Sie wird durch das negative Verhältnis der Quer- zur Längsdehnung bestimmt.
ν0=−∆εx
∆εy
(4.3) Die Querdehnungszahl, die einem ebenen Verzerrungszustand entspricht, kann mit der Formel von Ugural u. Fenster (1987) bestimmt werden.
ν = ν0
1 +ν0 (4.4)
Die in PFC2D gemessene Querdehnungszahl hängt bei einem Material mit Kontaktbin-dung vom Steifigkeitsverhältniskn/ks ab. Wird das Verhältniskn/ks erhöht, dann steigt der Wert der Poisson’schen Zahl.
Die so ermittelte Querdehungszahl ist jedoch nicht direkt mit der Querdehnungszahl des realen Materials vergleichbar, da weder die Bedingungen eines ebenen Spannungszu-standes noch eines ebenen VerzerrungszuSpannungszu-standes erfüllt sind. Für eine erste Abschätzung kann das Verhältnis der Partikelsteifigkeiten gleich dem Verhältnis von Elastizitäts- zu Schubmodul des Materials gesetzt werden (Gleichung (4.5)).
kn ks = E
G = 2·(1 +ν) (4.5)
4.2.6 Elastizitätsgrenze
Die Elastizitätsgrenze ist im σ −ε Diagramm als jener Punkt definiert, bei dem die Dilatanz (plastische Volumszunahme) beginnt. Dieser Punkt stellt den Beginn der Riss-bildung dar. Die Elastizitätsgrenze wird durch das Verhältnis der Standardabweichung zum Mittelwert der Materialzug- und Materialscherfestigkeit gesteuert. Eine Erhöhung dieses Verhältnisses reduziert die Spannung bei der die Elastizitätsgrenze erreicht wird und es zur Rissbildung kommt.
4.2.7 Druckfestigkeit (Peak)
Für ein konstantes Verhältnis der Standardabweichung zum Mittelwert der Materialfes-tigkeiten und einem konstantem Verhältnis der Zug- zur Scherfestigkeit des Materials, ist die Druckfestigkeit (Peak) des Prüfkörpers annähernd linear abhängig vom Mittelwert der Materialzugfestigkeit. Mit Hilfe dieser Abhängigkeit ist es möglich die Arbeitslinie des synthetischen Materials an die Arbeitslinie des physikalischen Materials in Bezug auf die Druckfestigkeit anzupassen.
4 Materialkalibrierung 32
4.3 Parallelbindungsverhalten
Eine Parallelbindung (siehe Kapitel 3.5.3) beschreibt näherungsweise das physikalische Verhalten eines zementartigen Materials angeordnet zwischen zwei miteinander verbun-denen Partikeln. Die Parallelbindung überträgt Kräfte und Momente zwischen den Parti-keln. Eine Parallelbindung kann als eine Ansammlung von elastischen Federn, die gleich-mäßig über eine rechteckige Querschnittsfläche verteilt sind, betrachtet werden. Diese Federn wirken parallel zu jenen, die im Kontaktpunkt über das Steifigkeitsmodell defi-niert sind. Das Verhalten der Federn bei der Parallelbindung ist gleich dem Verhalten eines Balkens, dessen Länge ¯Lgegen null geht. Eine relative Bewegung im Kontakt, nach der Erstellung der Parallelbindung, erzeugt Normal- und Scherkräfte (T bzw. V) sowie ein Moment (M).
Die maximale Normal- und Scherspannung ¯σ bzw. ¯τ des Bindungsmaterials wird wie folgt bestimmt:
wobeiA die Fläche und I das Trägheitsmoment der Querschnittsfläche der Parallelbin-dung sind.
Der Radius der Parallelbindung ¯R wird durch den Radiusmultiplikator ¯λdefiniert:
R¯ = ¯λ minR[A], R[B] (4.7) Eine Reduktion des Radius ¯R bzw. des Radiusmultiplikators ¯λführt zu einer Reduzie-rung des zementartigen Materials, welches sich zwischen zwei miteinander verbundenen Partikeln befindet.
Abbildung 4.4: Idealisierung der Parallelbindung (a), Kräfte im Bindungsmaterial (b) (Itasca, 2008)
4 Materialkalibrierung 33 4.3.1 Spezifikation der Mikroparameter
Ein mit PFC generiertes Material mit Parallelbindungsmodell wird durch die folgenden Mikroparameterdefiniert:
• Radiusmultiplikator ¯λ
• Elastizitätsmodul Ecdes Partikelkontakts
• Verhältnis Normal- zu Schersteifigkeit kn/ks der Partikel
• Elastizitätsmodul ¯Ecder Parallelbindung
• Verhältnis Normal- zu Schersteifigkeit ¯kn/k¯s der Parallelbindung
• Reibungskoeffizientµder Partikel
• Normalfestigkeit ¯σc (Mittelwert & Standardabweichung) der Partikelbindung
• Scherfestigkeit ¯τc (Mittelwert & Standardabweichung) der Partikelbindung Dem gegenüber stehen folgendeMakroparameterdes „physikalischen“ Materials:
• Elastizitätsmodul E
• Querdehnungszahl ν
• Reibungswinkel ϕ
• Kohäsionc
4.3.2 Verformbarkeit
Die Verformbarkeit der Parallelbindung wird durch die Definition des Elastizitätsmo-duls ¯Ec der Parallelbindung und des Verhältnisses ¯kn/¯ks (Normal- zu Schersteifigkeit) der Parallelbindung beschrieben. Die Normalsteifigkeit ¯kn kann für jede einzelne Paral-lelbindung mit Hilfe der Gleichung (4.8) ermittelt werden. Die Berechnung der Steifigkeit
¯ks erfolgt anschließend mittels Division durch das Steifigkeitsverhältnis ¯kn/¯ks. Die Ver-formbarkeit des Partikelensembles ist somit eine Funktion des Elastizitätsmoduls der Parallelbindung und Steifigkeitsverhältnisses der Parallelbindung.
V erf ormbarkeit=f E¯c,
¯kn
¯ks
!
E¯c=
¯knL
ψ2 mit ψ= ¯R/Re
(4.8)
Wobei ¯R der Radius der Parallelbindung undRe der mittlere Partikelradius ist.
4 Materialkalibrierung 34 4.3.3 Festigkeit
Die Werte für die Normal- und Scherfestigkeit der Parallelbindung, ¯σc und ¯τc, wer-den in Spannungseinheiten angegeben. Daraus folgt dass eine direkte Übereinstimmung zwischen den Parallelbindungsfestigkeiten und den Materialfestigkeiten besteht. Zu be-achten ist, dass die Parallelbindung Kräfte durch Biegung aufnehmen kann. Diese Bie-gungsfestigkeiten gehen jedoch nicht direkt in die Parallebindungsformulierung ein. Je-doch steuern die Biegungskräfte einen Beitrag zu den maximalen Spannungen in den Fasern der Bindung bei und können somit auch zu einem Bruch der Bindung führen.
4.3.4 Elastizitätsmodul
Der resultierende Elastizitätsmodul am Partikelkontakt (keine Überlappung der Par-tikeln) ergibt sich aus der Summe des Elastizitätsmodul Ec des Partikelkontakts und des Elastizitätsmodul ¯Ec der Parallelbindung. Beim Bruch einer Parallelbindung wird das resultierende Elastizitätsmodul am Partikelkontakt um das Elastizitätsmodul ¯Ecder Parallelbindung reduziert. Ein sogenannter Elastizitätsmodul Schadens Index wird wie folgt definiert:
χ= Ec Ec+ ¯Ec
(4.9) Somit ist χ eine lokale Messgröße für den Schaden, in dem Fall einer Reduktion des Elastizitätsmodul, welche beim Bruch einer Parallelbindung auftritt.
Eine Beziehung zwischen den ElastizitätsmoduliEc und ¯Ec (Mikroparameter) und dem Elastizitätsmodul E des gesamten Ensembles (Makroparameter) wird mittels folgender Gleichung hergestellt:
E = Ec
ζ + E¯c
ζ¯ (4.10)
Wobei die Faktorenζ bzw. ¯ζ den Beitrag für das Verhältnis vom Elastizitätsmodul der Partikelkontakte bzw. der Parallelbindung (Mikroparameter) zum Elastizitätsmodul des gesamten Ensembles (Makroparameter) bestimmen. Um diese beiden Faktoren zu be-stimmen, werden in einem ersten Schritt nur Kontaktbindungen zugewiesen ( ¯Ec = 0) und mit dem Elastizitätsmodul Ec der Partikelkontakte ein Wert für ζ bestimmt. In einem zweiten Schritt werden nur Parallelbindungen zugewiesen um mit dem Elastizi-tätsmodul ¯Ec der Parallelbindungen eine Abschätzung für den Faktor ¯ζ zu erhalten.
4.3.5 Querdehnungszahl
Die Querdehnungszahl (Poisson’sche Zahl) wird mit Hilfe eines Biaxialtests ermittelt. Sie beruht auf den gleichen Annahmen wie bei der Kontaktbindung (siehe Kapitel 4.2.5).
Jedoch hängt die Querdehnungszahl bei einem Material mit Parallelbindung, neben dem Steifigkeitsverhältniskn/ks der Partikel, zusätzlich von dem Steifigkeitsverhältnis ¯kn/k¯s der Parallelbindung ab.
4 Materialkalibrierung 35 4.3.6 Elastizitätsgrenze
Die Elastizitätsgrenze ist im σ −ε Diagramm als jener Punkt definiert, bei dem die Dilatanz (plastische Volumszunahme) beginnt. Dieser Punkt stellt den Beginn der Riss-bildung dar. Die Elastizitätsgrenze wird durch das Verhältnis der Standardabweichung zum Mittelwert der Materialzug- und Materialscherfestigkeit gesteuert. Eine Erhöhung dieses Verhältnisses reduziert die Spannung bei der die Elastizitätsgrenze erreicht wird und es zur Rissbildung kommt.
4.3.7 Druckfestigkeit (Peak)
Für ein konstantes Verhältnis der Standardabweichung zum Mittelwert der Materialfes-tigkeiten und einem konstantem Verhältnis der Zug- zur Scherfestigkeit des Materials, ist die Druckfestigkeit (Peak) des Prüfkörpers annähernd linear abhängig vom Mittelwert der Materialzugfestigkeit. Mit Hilfe dieser Abhängigkeit ist es möglich die Arbeitslinie des synthetischen Materials an die Arbeitslinie des physikalischen Materials in Bezug auf die Druckfestigkeit anzupassen.
5 Modellaufbau
Der Aufbau eines Modells für einen tiefliegenden Tunnel erfolgt in mehreren Schritten.
Als Erstes werden einheitliche Modellbausteine („pbricks“) erstellt, mit denen durch Vervielfältigung ein großes Modell aufgebaut werden kann. Diesem Modell werden als nächstes In-situ Spannungen eingeprägt, der Tunnel ausgebrochen und im letzten Schritt das Versagen simuliert.
Generieren einer Partikelanordnung
Reduktion der Druckspannungen
Beseitigung der „Floater“
Umwandlung in „pbrick“
Erzeugen des Modells
Berechnung der Initialspannungen
Ausbruch Tunnel
Simulation
Materialgenerierung
AC/DC Logic
Abbildung 5.1: Schematische Darstellung des Modellaufbaus (nach Preh, 2004)
36
5 Modellaufbau 37
5.1 Materialgenerierung
Die Erzeugung eines Modellbausteins („pbrick“) erfolgt in vier Schritten:
1. Generierung einer Partikelanordnung 2. Reduktion der aufgeprägten Spannungen 3. Entfernung der „Floater“
4. Umwandlung in Modellbaustein „pbrick“
5.1.1 Generierung einer Partikelanordnung
Die Partikeln werden irregulär in einem rechteckigen Behälter mit einer vorgegebenen Größenverteilung und Porosität verteilt. Der rechteckige Behälter stellt den „periodic space“ dar, welcher die Ausgangsbasis für den später erzeugten Modellbaustein ist. Die Begrenzungen des Behälters sind rein fiktive Wände, die als zyklische Grenzen behandelt werden. Zyklische Grenze bedeutet, dass Partikeln die sich auf der linken Begrenzung befinden auch auf der rechten Begrenzung des Behälters sich befinden und umgekehrt.
Genauso verhält es sich auch mit der unteren und oberen Begrenzung.
Ein Partikel der die zyklische Grenze berührt existiert mit seinem Zwilling gleichzeitig.
Solche Partikel werden als „controller“ bzw. „slave“ bezeichnet, abhängig davon wie weit sie die zyklischen Grenzen des Behälters überragen. Ein Partikel der die zyklische Grenze berührt und dessen Mittelpunkt sich innerhalb des „periodic space“ befindet wird als
„controller“ definiert. Dadurch wird ein Partikel auf der gegenüberliegenden Seite des Behälters als „slave“ definiert. Bei diesem Partikel befindet sich der Mittelpunkt außer-halb der Begrenzung des Behälters - die Bewegung des Partikel ist jedoch identisch mit der des „controllers“. Ein einzelner „controller“ kann einen oder mehrere „slave“ Partikel besitzen, abhängig von seiner Lage zu einer Ecke des Behälters (siehe Abbildung 5.2).
Partikel die sich innerhalb des „periodic space“ befinden und die Begrenzung nicht be-rühren werden als „interior“ Partikel bezeichnet.
Die Porosität kann nicht beliebig klein gewählt werden, da für jede Partikelgrößenver-teilung eine dichtest mögliche Lagerung existiert. Der Hohlraumanteil eines Partikelen-sembles wird durch folgende Gleichungen beschrieben:
Porosität n= Vp Wobei Vp das Volumen der Poren, Vtot das Gesamtvolumen und Vs das Volumen der Partikel ist.
5 Modellaufbau 38 Da es nicht möglich ist Partikel zu generieren die andere Partikel überlappen, werden künstlich verkleinerte Partikel im Behälter erzeugt. Anschließend werden diese Partikel expandiert um die gewünschte Porosität zu erreichen. Durch die Radiusexpansion ent-steht ein heterogener Zustand mit Bereichen in denen sich keine Partikeln befinden und mit Bereichen in denen große Überlappungen der Partikel vorhanden sind. Zusätzlich überlappen die Partikeln die zyklischen Grenzen des Behälters, welches ein wesentliches Merkmal für die Erzeugung eines Modellbausteins ist. Durch Berechnung des Gleichge-wichtes verteilen sich die Partikel neu im Behälter.
5.1.2 Reduktion der aufgeprägten Spannungen
Trotz Neuanordnung der Partikel sind an den Partikelkontakten weiterhin Überlappun-gen vorhanden, aus denen Druckkräfte resultieren. Diese durch die PartikelÜberlappun-generierung
Trotz Neuanordnung der Partikel sind an den Partikelkontakten weiterhin Überlappun-gen vorhanden, aus denen Druckkräfte resultieren. Diese durch die PartikelÜberlappun-generierung