Eine Parallelbindung (siehe Kapitel 3.5.3) beschreibt näherungsweise das physikalische Verhalten eines zementartigen Materials angeordnet zwischen zwei miteinander verbun-denen Partikeln. Die Parallelbindung überträgt Kräfte und Momente zwischen den Parti-keln. Eine Parallelbindung kann als eine Ansammlung von elastischen Federn, die gleich-mäßig über eine rechteckige Querschnittsfläche verteilt sind, betrachtet werden. Diese Federn wirken parallel zu jenen, die im Kontaktpunkt über das Steifigkeitsmodell defi-niert sind. Das Verhalten der Federn bei der Parallelbindung ist gleich dem Verhalten eines Balkens, dessen Länge ¯Lgegen null geht. Eine relative Bewegung im Kontakt, nach der Erstellung der Parallelbindung, erzeugt Normal- und Scherkräfte (T bzw. V) sowie ein Moment (M).
Die maximale Normal- und Scherspannung ¯σ bzw. ¯τ des Bindungsmaterials wird wie folgt bestimmt:
wobeiA die Fläche und I das Trägheitsmoment der Querschnittsfläche der Parallelbin-dung sind.
Der Radius der Parallelbindung ¯R wird durch den Radiusmultiplikator ¯λdefiniert:
R¯ = ¯λ minR[A], R[B] (4.7) Eine Reduktion des Radius ¯R bzw. des Radiusmultiplikators ¯λführt zu einer Reduzie-rung des zementartigen Materials, welches sich zwischen zwei miteinander verbundenen Partikeln befindet.
Abbildung 4.4: Idealisierung der Parallelbindung (a), Kräfte im Bindungsmaterial (b) (Itasca, 2008)
4 Materialkalibrierung 33 4.3.1 Spezifikation der Mikroparameter
Ein mit PFC generiertes Material mit Parallelbindungsmodell wird durch die folgenden Mikroparameterdefiniert:
• Radiusmultiplikator ¯λ
• Elastizitätsmodul Ecdes Partikelkontakts
• Verhältnis Normal- zu Schersteifigkeit kn/ks der Partikel
• Elastizitätsmodul ¯Ecder Parallelbindung
• Verhältnis Normal- zu Schersteifigkeit ¯kn/k¯s der Parallelbindung
• Reibungskoeffizientµder Partikel
• Normalfestigkeit ¯σc (Mittelwert & Standardabweichung) der Partikelbindung
• Scherfestigkeit ¯τc (Mittelwert & Standardabweichung) der Partikelbindung Dem gegenüber stehen folgendeMakroparameterdes „physikalischen“ Materials:
• Elastizitätsmodul E
• Querdehnungszahl ν
• Reibungswinkel ϕ
• Kohäsionc
4.3.2 Verformbarkeit
Die Verformbarkeit der Parallelbindung wird durch die Definition des Elastizitätsmo-duls ¯Ec der Parallelbindung und des Verhältnisses ¯kn/¯ks (Normal- zu Schersteifigkeit) der Parallelbindung beschrieben. Die Normalsteifigkeit ¯kn kann für jede einzelne Paral-lelbindung mit Hilfe der Gleichung (4.8) ermittelt werden. Die Berechnung der Steifigkeit
¯ks erfolgt anschließend mittels Division durch das Steifigkeitsverhältnis ¯kn/¯ks. Die Ver-formbarkeit des Partikelensembles ist somit eine Funktion des Elastizitätsmoduls der Parallelbindung und Steifigkeitsverhältnisses der Parallelbindung.
V erf ormbarkeit=f E¯c,
¯kn
¯ks
!
E¯c=
¯knL
ψ2 mit ψ= ¯R/Re
(4.8)
Wobei ¯R der Radius der Parallelbindung undRe der mittlere Partikelradius ist.
4 Materialkalibrierung 34 4.3.3 Festigkeit
Die Werte für die Normal- und Scherfestigkeit der Parallelbindung, ¯σc und ¯τc, wer-den in Spannungseinheiten angegeben. Daraus folgt dass eine direkte Übereinstimmung zwischen den Parallelbindungsfestigkeiten und den Materialfestigkeiten besteht. Zu be-achten ist, dass die Parallelbindung Kräfte durch Biegung aufnehmen kann. Diese Bie-gungsfestigkeiten gehen jedoch nicht direkt in die Parallebindungsformulierung ein. Je-doch steuern die Biegungskräfte einen Beitrag zu den maximalen Spannungen in den Fasern der Bindung bei und können somit auch zu einem Bruch der Bindung führen.
4.3.4 Elastizitätsmodul
Der resultierende Elastizitätsmodul am Partikelkontakt (keine Überlappung der Par-tikeln) ergibt sich aus der Summe des Elastizitätsmodul Ec des Partikelkontakts und des Elastizitätsmodul ¯Ec der Parallelbindung. Beim Bruch einer Parallelbindung wird das resultierende Elastizitätsmodul am Partikelkontakt um das Elastizitätsmodul ¯Ecder Parallelbindung reduziert. Ein sogenannter Elastizitätsmodul Schadens Index wird wie folgt definiert:
χ= Ec Ec+ ¯Ec
(4.9) Somit ist χ eine lokale Messgröße für den Schaden, in dem Fall einer Reduktion des Elastizitätsmodul, welche beim Bruch einer Parallelbindung auftritt.
Eine Beziehung zwischen den ElastizitätsmoduliEc und ¯Ec (Mikroparameter) und dem Elastizitätsmodul E des gesamten Ensembles (Makroparameter) wird mittels folgender Gleichung hergestellt:
E = Ec
ζ + E¯c
ζ¯ (4.10)
Wobei die Faktorenζ bzw. ¯ζ den Beitrag für das Verhältnis vom Elastizitätsmodul der Partikelkontakte bzw. der Parallelbindung (Mikroparameter) zum Elastizitätsmodul des gesamten Ensembles (Makroparameter) bestimmen. Um diese beiden Faktoren zu be-stimmen, werden in einem ersten Schritt nur Kontaktbindungen zugewiesen ( ¯Ec = 0) und mit dem Elastizitätsmodul Ec der Partikelkontakte ein Wert für ζ bestimmt. In einem zweiten Schritt werden nur Parallelbindungen zugewiesen um mit dem Elastizi-tätsmodul ¯Ec der Parallelbindungen eine Abschätzung für den Faktor ¯ζ zu erhalten.
4.3.5 Querdehnungszahl
Die Querdehnungszahl (Poisson’sche Zahl) wird mit Hilfe eines Biaxialtests ermittelt. Sie beruht auf den gleichen Annahmen wie bei der Kontaktbindung (siehe Kapitel 4.2.5).
Jedoch hängt die Querdehnungszahl bei einem Material mit Parallelbindung, neben dem Steifigkeitsverhältniskn/ks der Partikel, zusätzlich von dem Steifigkeitsverhältnis ¯kn/k¯s der Parallelbindung ab.
4 Materialkalibrierung 35 4.3.6 Elastizitätsgrenze
Die Elastizitätsgrenze ist im σ −ε Diagramm als jener Punkt definiert, bei dem die Dilatanz (plastische Volumszunahme) beginnt. Dieser Punkt stellt den Beginn der Riss-bildung dar. Die Elastizitätsgrenze wird durch das Verhältnis der Standardabweichung zum Mittelwert der Materialzug- und Materialscherfestigkeit gesteuert. Eine Erhöhung dieses Verhältnisses reduziert die Spannung bei der die Elastizitätsgrenze erreicht wird und es zur Rissbildung kommt.
4.3.7 Druckfestigkeit (Peak)
Für ein konstantes Verhältnis der Standardabweichung zum Mittelwert der Materialfes-tigkeiten und einem konstantem Verhältnis der Zug- zur Scherfestigkeit des Materials, ist die Druckfestigkeit (Peak) des Prüfkörpers annähernd linear abhängig vom Mittelwert der Materialzugfestigkeit. Mit Hilfe dieser Abhängigkeit ist es möglich die Arbeitslinie des synthetischen Materials an die Arbeitslinie des physikalischen Materials in Bezug auf die Druckfestigkeit anzupassen.
5 Modellaufbau
Der Aufbau eines Modells für einen tiefliegenden Tunnel erfolgt in mehreren Schritten.
Als Erstes werden einheitliche Modellbausteine („pbricks“) erstellt, mit denen durch Vervielfältigung ein großes Modell aufgebaut werden kann. Diesem Modell werden als nächstes In-situ Spannungen eingeprägt, der Tunnel ausgebrochen und im letzten Schritt das Versagen simuliert.
Generieren einer Partikelanordnung
Reduktion der Druckspannungen
Beseitigung der „Floater“
Umwandlung in „pbrick“
Erzeugen des Modells
Berechnung der Initialspannungen
Ausbruch Tunnel
Simulation
Materialgenerierung
AC/DC Logic
Abbildung 5.1: Schematische Darstellung des Modellaufbaus (nach Preh, 2004)
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5 Modellaufbau 37