Es sei Ω = [0,ˆ 1]das Referenzelement und µk : ˆΩ− &gt

Numerik Partieller Differentialgleichungen, Wintersemester 2010/2011 Aufgabenblatt 8

Prof. Peter Bastian Abgabe 17. Dezember 2010

IWR, Universit¨at Heidelberg

U¨BUNG1 BRAMBLE-HILBERT IN1D

Sei Ω = [a, b] ⊂ R, w : Ω → R eine Funktion mit w ∈ H²(Ω). Es seien x_k die Vertizes eine Triangulierung vonΩmitxk = a+Pk

i=1hi,k = 0. . . N undhk > 0so dass x0 = aund xN = b.

Die st ¨uckweise linear interpolierende Funktionv zuwerf ¨ullev(x_i) = w(x_i)f ¨ur(i= 0. . . N). Es sei Ω = [0,ˆ 1]das Referenzelement und µ_k : ˆΩ− > [xk−1, x_k]die zugeh ¨orige Transformation zu jeder Gitterzelle.

Zeigen Sie, dass f ¨ure(x) :=w−vundˆe_k(ˆx) :=e(µ_k(ˆx))gilt

|ˆek|_1,Ωˆ ≤ k∂_xˆˆxeˆkk_0,Ωˆ und mith= max

1≤k≤N{h_k}auch

kek²_1,Ω ≤h²(h+ 1)k∂_xxwk²_0,Ω.

5 Punkte U¨BUNG2 INTERPOLATION AUFDREIECK

Seiv∈C²(K)undKein Dreieck mit Vertizesa1, a2, a3∈R². Mitφif ¨uri= 1,2,3seien dieP¹(K) Basis-Funktionen bezeichnet, welche φ_i(a_j) = δ_ij erf ¨ullen. Die L¨ange der gr ¨oßten Seite von K sei durchh_K, der kleinste Winkel durchτ_Kgegeben.

DieP¹Interpolations-Funktion hat die Form Πv(x) =

3

X

i=0

v(a_i)φ_i(x).

Beweisen Sie die Absch¨atzungen:

1.

kv−Πvk_L∞(K)≤ 1

2h²_KkD²vk_L∞(K) 2.

k∇(v−Πv)k_L∞(K)≤ 3

sinτ_KhKkD²vk_L∞(K)

5 Punkte U¨BUNG3 STEIFIGKEITSMATRIX

Zu l ¨osen sei das homogene Laplace-Problem

−∆u=f inΩ u= 0 auf∂Ω mitP₁Elementen auf dem Gitter:

NW

W S

Z N

SO 1 O

2

2 1 2

1

h

h

Die Basisfunktionen sehen an allen (inneren) Knoten gleich aus, dementsprechend sind auch die Zei- len der Steifigkeitsmatrix alle identisch (wenn man die Randknoten mit betrachtet). Um die Matrix aufzustellen, gen ¨ugt es deshalb nur einen KnotenZ zu betrachten. Die Nachbarn dieses Knotens seien relativ alsN, O, SO, S, W, N W bezeichnet.

Bestimmen Sie (zu einer zu w¨ahlenden Nummerierung) explizit die Matrixeintr¨age einer Zeile der Steifigkeitsmatrix, welche zu einer Testfunktion an einem inneren Gitterknoten geh ¨ort. Dr ¨ucken Sie die daraus resultierende Kopplung alsDifferenzensternanalog zu den Finite-Differenzen Verfahren aus.

5 Punkte

U¨BUNG4 ELLIPTISCHER-OPERATOR FUR¨ PDELAB

Im Verzeichnisuebungen/uebung08des aktuellendune-npdeModuls befindet sich ein Programm, welches das Laplace-Problem

−∆u(x) = 0 x∈Ω u(x) =g(x) x∈∂Ω

mit reinen Dirichlet-Bedingungen unter Verwendung vonP^kFiniten-Elementen auf einem konfor- men Dreiecks-Gitter l ¨ost. Das Problem-Gebiet wurde dabei alsΩ = [0,2]×[0,2]⊂R²gew¨ahlt. Es ist Ihre Aufgabe, den Operator so zu modifizieren, dass er schließlich Probleme der Form

−∇(k(x)∇u(x)) =f(x), x∈Ω, u(x) =g(x), x∈∂Ω_D,

−k(x)∇u(x)·n(x) =j(x), x∈∂ΩN

f ¨ur skalare Funktionenk(x), f(x), j(x)l ¨osen kann.

Erstellen sie f ¨ur alle folgenden F¨alle eine VTK-Datei der L ¨osung und berechnen sie derenL2-Norm.

1. W¨ahlen Sie zun¨achst ∂Ω_D = {(x, y)|x = 0∨x = 2} und ∂Ω_N = ∂Ω\∂Ω_D. Außerdem sei g(x, y) =xundj(x, y) = 0. Die unstetige Funktionksei gegeben durch:

k(x, y) =















1 x≤1∧y >1 10⁻⁵ x >1∧y >1 1 x >1∧y≤1 10⁻⁵ x≤1∧y≤1

undf verschwinde auf ganzΩ.

2. Beschreiben Sie qualitativ das Verhalten der L ¨osung, wenn gegen ¨uber der vorherigen Angabe, die Funktionjnicht verschwindet, also z.B.j(x, y) = 1.

3. Beschreiben Sie qualitativ das Verhalten der L ¨osung, wenn gegen ¨uber der vorherigen Angabe, der Quell-Term als

f(x, y) = exp^{−4((x−1)2+(y−1)2)} gew¨ahlt wird und wiederj(x, y) = 0gilt.

10 Punkte