P1 - Drehung um die 3-Achse

P2.1 Klassische Mechanik SS 19 Prof. Jan Plefka Ubungsserie 1 ¨

Abgabe der Haus¨ ubungen am Donnerstag 18.04 vor der Vorlesung – Besprechung im Tutorium Pr¨ asenz¨ ubungen

P1 - Drehung um die 3-Achse

Zeigen Sie, dass eine endliche Drehung um die 3-Achse wie folgt aus der Erzeugenden T ₃ gewonnen werden kann:

A _φ =





cos φ sin φ 0

− sin φ cos φ 0

0 0 1



 = e ^{φ T}

wobei

T ₃ =





0 1 0

−1 0 0 0 0 0



 (1)

Nutzen Sie hierf¨ ur aus, dass (T ₃ ) ² =

−1 _2×2 0

0 0

P2 - Erzeugung endlicher Drehungen

Die drei Erzeugenden f¨ ur die Drehungen um die 1,2 und 3-Achsen lauten

T ₁ =





0 0 0

0 0 1

0 −1 0



 T ₂ =





0 0 −1 0 0 0 1 0 0



 T ₃ =





0 1 0

−1 0 0 0 0 0



 .

Uberzeugen Sie sich, dass (T ¨ _i ) _jk = _ijk gilt, mit i,j,k = 1,2,3. Hierbei ist der -Tensor vollst¨ andig antisymmetrisch in allen Indices und es gilt ₁₂₃ = 1.

P3 - Die Drehgruppe

Wir betrachten die Transformation der Rotationen im dreidimensionalen Raum

~

x ⁰ = A ~ x

mit A einer Rotationsmatrix der SO(3) f¨ ur die A ^T ·A = 1 gilt. Zeigen Sie, dass diese Transforma- tionen eine Gruppe bilden, d.h. zeigen Sie die Abgeschlossenheit sowie die Existenz der Einheit und des Inversen.

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Haus¨ ubungen

H1 - Koordinatentransformation und Bahnkurven [1P]

Σ und Σ ⁰ seien zwei relativ zueinander bewegte kartesische Koordinatensysteme mit parallelen Achsen. Die Position eines Teilchens werde zu einer beliebigen Zeit t in Σ durch

~

x(t) = (6a ₁ t ² − 4a ₂ t) ~ e ₁ − 3a ₂ t ³ ~ e ₂ + 3a ₄ ~ e ₃ und in Σ ⁰ durch

~

x ⁰ (t) = (6a ₁ t ² + 3a ₂ t) ~ e ₁

− (3a ₂ t ³ − 11a ₅ )~ e ₂

+ 4a ₆ t ~ e ₃

beschrieben.

1. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich Σ ⁰ relativ zu Σ?

2. Welche Beschleunigung erf¨ ahrt das Teilchen in Σ und in Σ ⁰ ? 3. Σ sei ein Inertialsystem. Ist dann auch Σ ⁰ ein Inertialsystem?

H2 - Gruppe der Galilei-Transformationen [2P]

Zeigen Sie, dass die 10 parametrige nicht-abelsche Gruppe der Galilei -Transformationen

~

x ⁰ = A ~ x + ~a + ~ v t t ⁰ = t + τ

mit den konstanten Gr¨ oßen ~a, ~ v, τ und A einer Rotationsmatrix der SO(3) mit A ^T · A = 1, die Gruppenaxiome erf¨ ullt. D.h. zeigen Sie die Abgeschlossenheit sowie die Existenz der Einheit und des Inversen.

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