I Allgemeine Grundlagen
1 Einige grundlegende Begriffe u ¨ ber Mengen
1.1 Definition und Darstellung einer Menge
Definition: Unter einerMengeverstehen wir die Zusammenfassung gewisser, wohl- unterschiedener Objekte,Elementegenannt, zu einer Einheit.
Mengen lassen sich durch ihre Eigenschaften beschreiben (sog. beschreibende Darstel- lungsform):
M ¼ fxjx besitzt die Eigenschaften E1,E2,. . .,Eng ðI-1Þ Eine weitere Darstellungsmo¨glichkeit bietet dieaufza¨hlendeForm:
M ¼ fa1,a2,. . .,ang EndlicheMenge ðI-2Þ
M ¼ fa,b,c,. . .g UnendlicheMenge ðI-3Þ
a1,a2,. . .,an bzw. a,b,c,. . . sind die Elemente der Menge. Die Reihenfolge, in der
die einzelnen Elemente aufgefu¨hrt werden, spielt dabei keine Rolle. Die Elemente sind immerpaarweise voneinander verschieden, ein Element kann daher nureinmalauftreten.
& Beispiele
(1) M1 ¼ fxjx ist einereelleZahl und Lo¨sung der Gleichung x2 ¼ 1g ¼ f1, 1g (2) M2 ¼ fxjx ist einenatu¨rlicheZahl mit2 < x 4g ¼ f0, 1, 2, 3, 4g (3) M3 ¼ fxjx ist eineganzeZahl mit der Eigenschaft x2 < 16g
Zu dieser Menge geho¨ren die Zahlen 3, 2, 1, 0, 1, 2 und 3. In der aufza¨h- lenden Form lautet die Menge demnach:
M3 ¼ f3, 2, 1, 0, 1, 2, 3g oder M3 ¼ f0, 1, 2, 3g (4) Menge dernatu¨rlichenZahlen (entha¨lt auch die Zahl 0):
&
N ¼ f0, 1, 2, 3, . . .g
L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1, DOI 10.1007/978-3-8348-8285-1_1,
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Geho¨rt ein gewisses Objekt a zu einer Menge A, so schreibt man dafu¨r symbolisch a 2 A ðgelesen: a ist ein Element von AÞ ðI-4Þ Die Schreibweise b 62 A bringt dagegen zum Ausdruck, dass der Gegenstand b nicht zur Menge A geho¨rt:
b 62 A ðgelesen: b istkeinElement von AÞ ðI-5Þ Die Lo¨sungen einer Gleichung lassen sich zu einer sog.Lo¨sungsmengeL zusammenfas- sen. Dabei kann der Fall eintreten, dass die Gleichungunlo¨sbar ist: Die Lo¨sungsmenge entha¨lt dann u¨berhaupt kein Element, sie ist „leer“. Eine Menge dieser Art wird alsleere Mengebezeichnet und durch das folgende Symbol gekennzeichnet:
f g oder ˘ ðI-6Þ
& Beispiele
(1) Die quadratische Gleichung x2 þ 1 ¼ 0 besitzt keine reelle Lo¨sung. Ihre Lo¨- sungsmenge L ist daher die leere Menge:
L ¼ fxjx istreellund eine Lo¨sung der Gleichung x2 þ 1 ¼ 0g ¼ f g (2) Die Nullstellen der Sinusfunktion sind die Lo¨sungen der trigonometrischen Glei-
chung sinx ¼ 0. Sie fu¨hren auf die folgende unendliche Lo¨sungsmenge:
L ¼ fxjx istreellund Lo¨sung der Gleichung sinx ¼ 0g ¼
¼ f0, p, 2p, 3p,. . .g &
Bei der Beschreibung von Funktionen beno¨tigen wir Zahlenmengen, die sich als gewisse Teilbereiche der reellen Zahlen erweisen (sog. Intervalle). Dies fu¨hrt uns zum Begriff der wie folgt definiertenTeilmenge:
Definition: Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch zur Menge B geho¨rt. Symbolische Schreibweise:
AB ðI-7Þ
(gelesen: A ist in B enthalten; Bild I-1)
In Bild I-1 ist dieser Sachverhalt in anschaulicher Form durch ein sog. Euler-Venn- Diagrammdargestellt:
A B
Bild I-1
Zum Begriff einer Teilmenge (ABÞ
& Beispiele
(1) A ¼ f1, 3, 5g, B ¼ f2, 0, 1, 2, 3, 4, 5g
A ist eine Teilmengevon B, da alle drei Elemente von A, also die Zahlen 1, 3 und 5 auch in der Menge B enthalten sind: AB.
(2) M1 ¼ f0, 2, 4g, M2 ¼ f2, 4, 6, 8g
Das Element 02M1 geho¨rtnichtzur Menge M2. Daher ist M1 keineTeilmen- ge von M2. Symbolische Schreibweise: M16M2. &
Definition: Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn jedes Element von A auch Element von B ist und umgekehrt:
A ¼ B (I-8)
(gelesen: A gleich B)
& Beispiel
A ¼ f0, 1, 2, 5, 10g, B ¼ f10, 5, 2, 0, 1g
Jedes Element von A ist auch Element von B und umgekehrt. Die beiden Mengen unterscheiden sich also lediglich in der Anordnung ihrer Elemente und sind daher
gleich: A ¼ B. &
1.2 Mengenoperationen
Wir erkla¨ren die mengenalgebraischen OperationenDurchschnitt(\) undVereinigung([) sowie den Begriff derDifferenzmenge(auchRestmengegenannt).
Definition: Die Schnittmenge A \B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B geho¨ren:
A\ B ¼ fxjx 2 A und x 2 Bg ðI-9Þ
(gelesen: A geschnitten mit B; Bild I-2)
Anmerkung
DieSchnittmenge A \ B wird auch alsDurchschnittder Mengen A und B bezeichnet.
A B
Bild I-2
& Beispiel
Wir bestimmen diejenigen reellen x-Werte, die zugleich den beiden Ungleichungen 2x 4 > 0 und x < 3 genu¨gen:
2x 4 > 0 ) 2x > 4 ) x > 2 ) L1 ¼ fxjx > 2g x < 3 ) L2 ¼ fxjx < 3g
Die Schnittmenge von L1 und L2 ist die gesuchte Lo¨sungsmenge L: L ¼ L1 \L2 ¼ fxjx > 2 und x < 3g ¼ fxj2 < x < 3g
Besonders anschaulich la¨sst sich dieser Vorgang auf der Zahlengerade darstellen: Die gesuchten Lo¨sungen ergeben sich durch berlappung der Teilmengen L1 und L2
(Bild I-3):
Definition: DieVereinigungsmenge A [B zweier Mengen A und B ist die Men- ge aller Elemente, die zu A oderzu B oderzu beiden Mengen geho¨- ren:
A[ B ¼ fxjx 2 A oder x 2 Bg ðI-10Þ
(gelesen: A vereinigt mit B; Bild I-4)
Anmerkung
Man beachte, dass auch diejenigen Elemente zur Vereinigungsmenge geho¨ren, die zu- gleich Elemente von A und B sind (es handelt sich hier also nicht um das „oder“ im Sinne von „entweder oder“).
2 < x < 3
0 1 2 3 x
L1 L2
Bild I-3 &
A B
Bild I-4
& Beispiele
(1) A ¼ f1, 2, 3, 4g, B ¼ f1, 5, 6, 7g ) A[ B ¼ f1, 2, 3, 4, 5, 6, 7g (2) M1 ¼ fxj0 x 1g, M2 ¼ fxj1 x 5g )
M1 [ M2 ¼ fxj0 x 5g (siehe Bild I-5)
Definition: DieDifferenzmenge(Restmenge) A n B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A, nicht aber zu B geho¨ren:
An B ¼ fxjx 2 A und x 62 Bg ðI-11Þ
(gelesen; A ohne B; Bild I-6)
& Beispiele
(1) N ¼ f0, 1, 2,. . .g, N* ¼ f1, 2, 3,. . .g ) N* ¼ N n f0g ¼ f1, 2, 3,. . .g
(2) A ¼ f1, 5, 7, 10g, B ¼ f0, 1, 7, 15g ) A n B ¼ f5, 10g &
M1∪M2
0 1 2 3 4 5 x
M1 M2
Bild I-5 &
A B
Bild I-6
2 Die Menge der reellen Zahlen
2.1 Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften
Grundlage aller Rechen- und Messvorga¨nge sind diereellenZahlen1Þ. Sie werden durch das Symbol R gekennzeichnet und lassen sich in anschaulicher Weise durch Punkte auf einerZahlengeradedarstellen (die Zuordnung ist dabeiumkehrbar eindeutig, Bild I-7):
PositiveZahlen werden dabei nachrechts,negativeZahlen nach linksabgetragen (jeweils vom Nullpunkt aus).
Auf der Zahlenmenge R sind vier Rechenoperationen, die sog. Grundrechenarten, er- kla¨rt. Es sind dies:
– Addition(þ)
– Subtraktion() als Umkehrung der Addition – Multiplikation()
– Division(:) als Umkehrung der Multiplikation
Die Grundrechenarten genu¨gen dabei den folgendenGrundgesetzen:
Eigenschaften der Menge der reellen Zahlen
1. Summe aþ b, Differenz a b, Produkt a b undQuotient a
b zweier reel- ler Zahlen a und b ergeben wiederum reelle Zahlen.
Ausnahme:Die Division durch die Zahl 0 istnichterlaubt.
2. Addition und Multiplikation sind kommutative Rechenoperationen. Fu¨r belie- bige Zahlen a, b 2 R gilt stets:
a þ b ¼ b þ a
g
Kommutativgesetze ðI-12Þa b ¼ b a
1Þ Zu ihnen geho¨ren:
1. alle endlichen Dezimalbru¨che (einschließlich der ganzen Zahlen), 2. alle unendlichen periodischen Dezimalbru¨che und
3. alle unendlichen nichtperiodischen Dezimalbru¨che.
–1,4 –1 0 0,5 1 1,7 2 x
Bild I-7 Zahlengerade
3. Addition und Multiplikation sindassoziativeRechenoperationen. Fu¨r beliebige Zahlen a,b,c 2 R gilt stets:
a þ ðb þ cÞ ¼ ða þ bÞ þ c
g
Assoziativgesetze ðI-13Þ aðb cÞ ¼ ða bÞc4. Addition und Multiplikation sind u¨ber das Distributivgesetz miteinander ver- bunden:
aðb þ cÞ ¼ a b þ a c Distributivgesetz ðI-14Þ
2.2 Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag
Unter den reellen Zahlen herrscht eine bestimmte Anordnung in dem folgenden Sinne:
Zwei Zahlen a, b 2 R stehen stets in genau einer der drei folgenden Beziehungen zueinander:
a < b ða kleiner bÞ
a b x
a ¼ b ða gleich bÞ
x a = b
a > b ða gr ¨oßer bÞ
a
b x
Aussagen (Beziehungen) der Form a < b oder a > b werden alsUngleichungen be- zeichnet. Zu ihnen za¨hlt man auch die Relationen
a b ða kleiner oder gleich b, d. h. entweder a < b oder a ¼ bÞ a b ða gr ¨oßer oder gleich b, d. h. entweder a > b oder a ¼ bÞ Anmerkungen
(1) a < b bzw. a > b bedeuten: Der Bildpunkt von a liegt links bzw. rechts vom Bildpunkt von b (siehe hierzu die Bilder I-8 und I-10).
(2) a ¼ b bedeutet: Die Bildpunkte von a und b fallen zusammen (Bild I-9).
Unter dem Betrageiner reellen Zahl a wird der Abstand des zugeordneten Bildpunktes vom Nullpunkt verstanden (Bild I-11).
Bild I-8
Bild I-9
Bild I-10
| b| = – b | a| = a
b 0 a x
Bild I-11
Zum Begriff des Betrages einer Zahlða> 0,b< 0Þ
Er wird durch das Symboljajgekennzeichnet und ist stets gro¨ßer oder gleich Null:
jaj ¼
a a > 0 0 f ¨ur a ¼ 0 a a < 0 8>
<
>:
9>
=
>;, jaj 0 ðI-15Þ
& Beispiele
j3j ¼ 3 , j 5j ¼ 5 , jpj ¼ p, jcospj ¼ j 1j ¼ 1 &
2.3 Teilmengen und Intervalle
Wir geben einige besonders wichtige und ha¨ufig auftretende Teilmengen von R an:
Spezielle Zahlenmengen (Standardmengen)
N ¼ f0, 1, 2,. . .g Menge der natu¨rlichen Zahlen2Þ N* ¼ f1, 2, 3, . . .g Menge der positiven ganzen Zahlen Z ¼ f0,1,2, . . .g Menge der ganzen Zahlen
Q ¼ xjx ¼ a
b mita 2 Zundb 2 N*
n o
Menge der rationalen Zahlen
R Menge der reellen Zahlen
Bei der Beschreibung der Definitions- und Wertebereiche von Funktionen beno¨tigen wir spezielle, alsIntervallebezeichnete Teilmengen von R, die durch zwei Randpunkte be- grenzt werden. Sie sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt :
Zusammenstellung der wichtigsten Intervalle 1. Endliche Intervalle ða < bÞ
½a,b ¼ fxja x bg abgeschlossenes Intervall
½a,bÞ ¼ fxja x < bg
halboffene Intervalle ða,b ¼ fxja < x bg
g
ða,bÞ ¼ fxja < x < bg offenes Intervall
2Þ Die Zahl 0 wird den natu¨rlichen Zahlen zugerechnet.
2. Unendliche Intervalle
½a,1Þ ¼ fxja x < 1g ða,1Þ ¼ fxja < x < 1g ð 1,b ¼ fxj 1 < x bg ð 1,bÞ ¼ fxj 1 < x < bg ð 1, 0Þ ¼ R
ð0,1Þ ¼ Rþ ð 1,1Þ ¼ R
Anmerkungen
(1) Bei einem abgeschlossenen Intervall geho¨ren beide Randpunkte zum Intervall, bei einem offenen Intervall dagegen keiner, bei einem halboffenen Intervall nureiner der beiden Randpunkte.
(2) Die in Naturwissenschaft und Technik verwendeten Symbole fu¨r Intervalle weichen ha¨ufig von den in der Mathematik u¨blichen Symbolen ab. So schreibt man beispiels- weise fu¨r das Intervall fxja < x < bg meist in verku¨rzter Form a < x < b.
& Beispiele
(1) [1, 5]
1 1≤ ≤x 5 5 x
(2) (3, 2)
– 3 – 3 < x < 2 2 x
(3) ( 1, 1]
1 x
–
∞
–∞
< x≤1(4) (5,1]
– 5 – 5 < x≤–1 –1 x &
3 Gleichungen
In diesem Abschnitt behandeln wir einige, in den Anwendungen besonders ha¨ufig auf- tretendeGleichungen mit einer unbekannten Gro¨ße. Dazu geho¨ren:
– Lineare, quadratische und kubische Gleichungen
– Algebraische Gleichungen ho¨heren Grades (allgemein: n-ten Grades) – Biquadratische Gleichungen
– Wurzel- und Betragsgleichungen
Bild I-12
Bild I-13
Bild I-14
Bild I-15
Trigonometrische (oder goniometrische) Gleichungen, Exponential- und Logarithmus- gleichungen werden in Kapitel III im Anschluss an die Darstellung der entsprechenden Funktionen besprochen.
In vielen Fa¨llen ist man bei der Lo¨sung einer Gleichung aufNa¨herungsverfahren ange- wiesen, da die Gleichung entweder nicht exakt lo¨sbar ist oder aber der Lo¨sungsmecha- nismus vom Aufwand her als nicht vertretbar erscheint. Ein solches Standardverfahren der numerischen Mathematik ist beispielsweise das von Newton stammende Tangenten- verfahren, das wir in den Anwendungen der Differentialrechnung in Kapitel IV (Ab- schnitt 3.7) noch ausfu¨hrlich besprechen werden.
3.1 Lineare Gleichungen
EinelineareGleichung vom allgemeinen Typ
a x þ b ¼ 0 ða 6¼ 0Þ ðI-16Þ besitzt genaueine Lo¨sung, na¨mlich x1 ¼ b=a.
& Beispiel
3x 18 ¼ x þ 6 ) 4x ¼ 24 ) x1 ¼ 6 )
L¨osungsmenge : L ¼ f6g &
3.2 Quadratische Gleichungen
Die allgemeine Form einerquadratischenGleichung lautet:
a x2 þ b x þ c ¼ 0 ða 6¼ 0Þ ðI-17Þ Sie la¨sst sich stets in dieNormalform
x2 þ p x þ q ¼ 0 ðp ¼ b=a, q ¼ c=aÞ ðI-18Þ u¨berfu¨hren. Die Lo¨sungen dieser Gleichung lauten (sog.p,q-Formel):
Lo¨sungen der quadratischen Gleichung x2 þ p x þ q ¼ 0 (sog.p,q-Formel) x1=2 ¼ p
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 2
2 q r
¼ p
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p2
4 q r
ðI-19Þ
Eine Fallunterscheidung wird dabei anhand der Diskriminante D ¼ p=22
q wie folgt vorgenommen:
D > 0: Zwei verschiedenereelle Lo¨sungen D ¼ 0: Eine (doppelte) reelle Lo¨sung D < 0: Keinereellen Lo¨sungen3Þ
& Beispiele
(1) 2x2 4x þ 6 ¼ 0j: ð2Þ ) x2 þ 2x 3 ¼ 0 D ¼ 12 þ 3 ¼ 4 > 0 ) Zweiverschiedene reelle Lo¨sungen x1=2 ¼ 1 ffiffiffi
p4
¼ 1 2
x1 ¼ 1 , x2 ¼ 3 ) L ¼ f3, 1g
(2) 3x2 þ 9x þ 6,75 ¼ 0j: 3 ) x2 þ 3x þ 2,25 ¼ 0
D ¼ 1,52 2,25 ¼ 2,25 2,25 ¼ 0 ) Eine (doppelte) reelle Lo¨sung x1=2 ¼ 1,5 ffiffiffi
p0
¼ 1,5 0 ¼ 1,5 ) L ¼ f1,5g (3) x2 4x þ 13 ¼ 0
D ¼ ð2Þ2 13 ¼ 9 < 0 ) Keinereellen Lo¨sungen ) L ¼ f g
&
3.3 Gleichungen 3. und ho¨heren Grades
3.3.1 Allgemeine Vorbetrachtung
Einealgebraische Gleichung n-ten Gradesist in der Form
anxn þ an1xn1 þ . . .þ a1x þ a0 ¼ 0 ðan 6¼ 0Þ ðI-20Þ
darstellbar (sinnvoller Weise nach fallenden Potenzen geordnet). Sie besitzt ho¨chstens n reelle Lo¨sungen, die auch alsWurzelnder Gleichung bezeichnet werden. Ist n ungerade, so existiertmindestens eine reelle Lo¨sung. Fu¨r Gleichungen bis einschließlich 4. Grades lassen sich allgemeine Lo¨sungsformeln herleiten, mit deren Hilfe die Lo¨sungen aus den Koeffizienten berechnet werden ko¨nnen. Als Beispiel fu¨hren wir die Cardanische Lo¨sungsformel fu¨r eine Gleichung 3. Grades an.
3Þ Die Lo¨sungen sind dann sog. (konjugiert) komplexe Zahlen. Sie werden spa¨ter in Kap. VII ausfu¨hrlich behandelt.
Leider jedoch sind diese Formeln in der Praxis meist zu schwerfa¨llig, sodass man in der Regel auf andere Verfahren ausweicht (z. B. aufgraphische odernumerischeNa¨herungs- verfahren, siehe hierzu das in Kapitel IV dargestellteTangentenverfahrenvonNewton).
Ist eine Lo¨sung x1 bekannt, so kann die Gleichung n-ten Grades durch Abspalten des entsprechendenLinearfaktors x x1 auf eine Gleichung vom Grade n 1 reduziert werden. Auf dieses Thema gehen wir im Zusammenhang mit den Polynomfunktionen (ganzrationalen Funktionen) noch ausfu¨hrlich ein (siehe hierzu Kap. III, Abschnitt 5).
Abschließend zeigen wir anhand von Beispielen, wie in Sonderfa¨llen die Lo¨sung einer Gleichungdrittenbzw. viertenGrades gelingt.
3.3.2 Kubische Gleichungen vom speziellen Typ a x3 þ b x2 þ c x ¼ 0 Kubische Gleichungen der speziellen Form
a x3 þ b x2 þ c x ¼ 0 ða 6¼ 0Þ ðI-21Þ in denen also dasabsolute Glied fehlt, lassen sich stets durch Ausklammern der Unbe- kannten x in einelineareund einequadratischeGleichung zerlegen:
x ¼ 0 ) x1 ¼ 0
xða x2 þ b x þ cÞ ¼ 0 ðI-22Þ a x2 þ b x þ c ¼ 0
EineLo¨sung liegt daherstets bei x1 ¼ 0, zwei weitere Lo¨sungenko¨nnenaus der qua- dratischen Gleichung resultieren (insgesamt bis zu drei Lo¨sungen).
& Beispiel
x3 þ 4x2 þ 3x ¼ 0
x ¼ 0 ) x1 ¼ 0 xðx2 þ 4x þ 3Þ ¼ 0
x2 þ 4x þ 3 ¼ 0 ) x2=3 ¼ 2 1 Es existieren in diesem Beispiel also genau dreiverschiedeneLo¨sungen. Sie lauten:
x1 ¼ 0 , x2 ¼ 1 , x3 ¼ 3 ) L ¼ f3,1, 0g &
3.3.3 Biquadratische Gleichungen
Eine algebraische Gleichung 4. Grades vom speziellen Typ
a x4 þ b x2 þ c ¼ 0 ða 6¼ 0Þ ðI-23Þ
(es treten nurgeradePotenzen auf) heißtbiquadratischund la¨sst sich durch dieSubstitu- tion u ¼ x2 in einequadratischeGleichung u¨berfu¨hren:
a u2 þ b u þ c ¼ 0 ðI-24Þ
Aus den Lo¨sungen dieser Gleichung erha¨lt man mittels der Ru¨cksubstitution x2 ¼ u die Lo¨sungen der biquadratischen Gleichung. Eine biquadratische Gleichung besitzt daher entweder keine reelle Lo¨sung oder aber zwei oder vier reelle Lo¨sungen. Welcher dieser drei Fa¨lle eintritt, ha¨ngt vomVorzeichen der Lo¨sungen u1 und u2 der quadrati- schen „Hilfsgleichung“ ab (sofern solche Lo¨sungen u¨berhaupt existieren).
& Beispiel
x4 10x2 þ 9 ¼ 0 Substitution: u ¼ x2
u2 10u þ 9 ¼ 0 ) u1=2 ¼ 5 4 ) u1 ¼ 9 , u2 ¼ 1 Ru¨cksubstitution mittels x2 ¼ u:
x2 ¼ u1 ¼ 9 ) x1=2 ¼ 3 x2 ¼ u2 ¼ 1 ) x3=4 ¼ 1
Lo¨sungsmenge: L ¼ f3,1, 1, 3g oder L ¼ f1,3g &
3.4 Wurzelgleichungen
Die bisher behandelten Gleichungen konnten durch sog. a¨quivalente Umformungen4Þ schrittweise vereinfacht und schließlich gelo¨st werden, ohne dass dabei Lo¨sungen hinzu- kamen oder verschwanden. BeiWurzelgleichungen, in denen die Unbekannte in rationa- ler Form innerhalb von Wurzelausdru¨cken auftritt, ist dies im Allgemeinennichtder Fall, wie das folgende Beispiel zeigt:
& Beispiel
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6x 2
p þ 5 3x ¼ 0
Der Wurzelausdruck wird zuna¨chstisoliert:
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6x 2
p ¼ 3x 5
An dieser Stelle wollen wir eine Vorbetrachtung u¨ber mo¨gliche Lo¨sungen vornehmen.
Die Lo¨sungen mu¨ssen na¨mlichzweiBedingungen erfu¨llen.
4Þ Bei einera¨quivalentenUmformung bleibt die Lo¨sungsmenge der Gleichung oder Ungleichung (bezu¨glich derselben Unbekannten)unvera¨ndert. Umformungen, die zu einerVera¨nderung der Lo¨sungsmenge fu¨hren ko¨nnen (nicht aber mu¨ssen), heißennichta¨quivalenteUmformungen.
1. Bedingung:Der Radikand der Wurzel darf nicht negativ werden, d. h. also:
6x 2 0 ) 6x 2 ) x 1=3
2. Bedingung: Eine Quadratwurzel ist stets gro¨ßer oder gleich Null. Dies muss daher auch fu¨r dierechteSeite der Wurzelgleichung gelten:
3x 5 0 ) 3x 5 ) x 5=3
Beide Bedingungen zugleich sind nur fu¨r Lo¨sungen x 5=3 erfu¨llbar. Sollten also im weiteren Verlauf des Lo¨sungsverfahrens Werte auftreten, die diese Bedingungnichterfu¨l- len, so handelt es sich um sog. „Scheinlo¨sungen“ (eine Probe wird das besta¨tigen).
Nach dieser Vorbetrachtung wenden wir uns wieder der Lo¨sung der Wurzelgleichung zu und beseitigen zuna¨chst den Wurzelausdruck durchQuadrieren:
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6x 2
p ¼ 3x 5jquadrieren ) 6x 2 ¼
3x 52
Dieser Vorgang stellt jedoch eine nichta¨quivalente Umformung dar und kann zu (wei- teren) „Scheinlo¨sungen“ fu¨hren, d. h. die neue (quadratische) Gleichungkann(muss aber nicht) mehr Lo¨sungen besitzen als die urspru¨ngliche Wurzelgleichung!
Wir lo¨sen jetzt die quadratische Gleichung (nach Vertauschen beider Seiten):
3x 52
¼ 9x2 30x þ 25 ¼ 6x 2 )
9x2 36x þ 27 ¼ 0j:9 ) x2 4x þ 3 ¼ 0 ) x1=2 ¼ 2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
4 3
p ¼ 2 ffiffiffi p1
¼ 2 1 ) x1 ¼ 3 , x2 ¼ 1
Der erste Wert erfu¨llt die Bedingung x 5=3, der zweite Wert dagegen nicht („Scheinlo¨sung“). Die Probe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung besta¨tigt unser Ergebnis:
x1 ¼ 3 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6 3 2
p þ 5 3 3 ¼ ffiffiffiffiffi
p16
4 ¼ 4 4 ¼ 0 Einzige Lo¨sung der Wurzelgleichung ist somit x1 ¼ 3:
Hinweis
Bei Verzicht auf die Vorbetrachtungmussdurch Probe (Einsetzenallergefundenen Wer- te in die Ausgangsgleichung) festgestellt werden, ob es sich bei den Lo¨sungen der
„Hilfsgleichung“ auch um Lo¨sungen der Wurzelgleichung handelt oder um „Scheinlo¨- sungen“. In unserem Beispiel ist x1 ¼ 3 eine Lo¨sung der Wurzelgleichung, der Wert x2 ¼ 1 dagegen eine „Scheinlo¨sung“.
&
3.5 Betragsgleichungen
Wir zeigen in diesem Abschnitt anhand von Beispielen, wie man sog. Betragsgleichun- gen in einfachen Fa¨llen durch Fallunterscheidung oder mit Hilfe eines halb-graphischen Verfahrens lo¨sen kann. EineBetragsgleichungentha¨lt dabeimindestens einenin Betrags- strichen stehenden Term mit der Unbekannten x. Zuna¨chst aber mu¨ssen wir uns mit den Eigenschaften der sog.Betragsfunktionvertraut machen.
3.5.1 Definition der Betragsfunktion
Definitionsgema¨ß verstehen wir unter demBetrag jxj einer reellen Zahl x denAbstand dieser Zahl von der Zahl 0.
& Beispiel
j4j ¼ 4 , j 3j ¼ 3 (Bild I-16)
0 4
– 3
| – 3 |
x
| 4 |
&
Der Abstand zweier Zahlen x und a auf der Zahlengerade ist dann jx aj (siehe Bild I-17):
Der Betrag jxj einer reellen Zahl x kann auch als eine Funktion von x aufgefasst werden. Dies fu¨hrt zu dem Begriff der wie folgt definiertenBetragsfunktion:
Definition: Unter der Betragsfunktion y ¼ jxj wird die fu¨r alle x 2 R erkla¨rte Funktion
y ¼ jxj ¼
x x 0
f ¨ur
x x < 0 8<
:
9=
; ðI-25Þ
verstanden (Bild I-18).
Bild I-16
a x x
| x – a |
Bild I-17
Das Schaubild der Betragsfunktion y ¼ jxj erha¨lt man aus der Geraden y ¼ x, indem man denunterhalb derx-Achse liegenden Teil der Geraden an derx-Achsespiegelt, wie man unmittelbar aus Bild I-18 entnehmen kann. Diese Aussage la¨sst sich fu¨r eine belie- bige in Betragsstrichen stehende Funktion verallgemeinern:
Zeichnerische Konstruktion der Funktion y ¼ jfðxÞj
Das Schaubild der Funktion y ¼ jfðxÞj erha¨lt man aus dem Schaubild von y ¼ fðxÞ, indem man alle unterhalb der x-Achse liegenden Kurvenstu¨cke an der x-Achsespiegelt und die bereits oberhalb der x-Achse liegenden Teile unvera¨ndert beibeha¨lt.
Anmerkung
Spiegelungan derx-Achse bedeutet fu¨r einen Kurvenpunkt, dass sich dasVorzeichen der Ordinate a¨ndert. Aus der Kurvengleichung y ¼ fðxÞ wird dabei die Kurvengleichung y ¼ gðxÞ ¼ fðxÞ.
Regel:Spiegelung an derx-Achse ) Multiplikation der Funktionsgleichung mit1.
& Beispiele
(1) Wie verla¨uft die Funktion y ¼ jx2j?
Lo¨sung: Wir zeichnen zuna¨chst die „Hilfsgerade“ y ¼ x 2 undspiegeln dann den unterhalb der x-Achse gelegenen Teil der Geraden an dieser Achse. Bild I-19 verdeutlicht diesen Vorgang und zeigt den Verlauf der Betragsfunktion y ¼ jx 2j.
y = |x | = – x
y = |x | = x
y = x
1 1
x y
Bild I-18
Schaubild der Betragsfunktiony ¼ jxj
Die Funktionsgleichung y ¼ jx 2j la¨sst sich abschnittsweise wie folgt durch einfache Gleichungen beschreiben :
y ¼ jx 2j ¼
x 2 x 2
f ¨ur
ðx 2Þ x < 2 8<
:
9=
;
(2) Wir untersuchen das Kurvenbild von y ¼ jx2 1j. Zuna¨chst zeichnen wir die
„Hilfsfunktion“ y ¼ x2 1 (Parabel), spiegeln dann das unterhalb der x-Achse gelegene Kurvenstu¨ck (Parabel zwischen x ¼ 1 und x ¼ 1) an dieser Achse und erhalten auf diese Weise das Schaubild der Betragsfunktion y ¼ jx2 1j (Bild I-20).
1 2 5
1 2
– 2
x y
y = | x – 2 | = – (x– 2)
y = | x – 2 | = x– 2
y = x – 2
–1 Bild I-19
Schaubild der Funktion y¼ jx2j
1 1
–1 –1
x y
y = | x – 1|2
y = x – 12
Bild I-20
Schaubild der Funktion y¼ jx2 1j
Abschnittsweise la¨sst sich diese Funktion auch wie folgt durch einfache Gleichun- gen beschreiben:
y ¼jx2 1j ¼ x2 1 jxj 1 f ¨ur
ðx2 1Þ jxj 1 8<
:
9=
; &
3.5.2 Analytische Lo¨sung einer Betragsgleichung durch Fallunterscheidung (Beispiel)
Die Betragsgleichung
jx þ 2j 2jx 3j ¼ 4
la¨sst sich durchFallunterscheidungenauf einfachere und leicht lo¨sbare lineare Gleichun- gen zuru¨ckfu¨hren. Dabei ha¨ngt alles vomVorzeichen der beiden Terme T1ðxÞ ¼ x þ 2 und T2ðxÞ ¼ x 3 ab, die in der Gleichung zwischen den Betragsstrichen stehen.
Diese Betra¨ge lassen sich wie folgtabschnittsweisedurch einfache Ausdru¨cke ersetzen:
jx þ 2j ¼ ðx þ 2Þ x þ 2 0 ) x 2 f ¨ur
ðx þ 2Þ x þ 2 0 ) x 2 8<
:
9=
;
jx 3j ¼ ðx 3Þ x 3 0 ) x 3 f ¨ur
ðx 3Þ x 3 0 ) x 3 8<
:
9=
; Daher sind insgesamtdreiFa¨lle zu unterscheiden:
x < 2 ; 2 x 3 ; x > 3
Alles weitere ha¨ngt davon ab, welches Vorzeichen die Terme T1ðxÞ ¼ x þ 2 und T2ðxÞ ¼ x 3 in diesen Intervallen haben.
Ist ein Term positiv, du¨rfen wir die Betragsstriche weglassen (wir setzen dann eine Klammer), anderenfalls mu¨ssen wir den Term mit 1 multiplizieren (wir setzen wieder eine Klammer und vor die Klammer einMinuszeichen).
1. Fall: Lo¨sungen im Intervall x < 2 In diesem Intervall sind beide Termenegativ:
x þ 2 < 0 und x 3 < 0 Somit gilt:
jx þ 2
|fflffl{zfflffl}
<0
j 2jx 3
|fflffl{zfflffl}
<0
j ¼ 4 ) ðx þ 2Þ þ2ðx 3Þ ¼ 4 )
x 2 þ 2x 6 ¼ 4 ) x 8 ¼4 ) x1 ¼ 12
Dieser Wert ist eine „Scheinlo¨sung“, da er ausserhalb des Intervalls x < 2 liegt:
x1 ¼ 12 > 2. Die Probe besta¨tigt unser Ergebnis (wir setzen den Wert x1 ¼ 12 in die Ausgangsgleichung ein):
j12 þ 2j 2j12 3j ¼ j14j 2j9j ¼ 14 2 9 ¼ 14 18 ¼ 4 6¼ 4 2. Fall: Lo¨sungen im Intervall 2 x 3
Der Term x þ 2 ist positiv(oder Null), der Term x 3 dagegennegativ(oder Null).
Somit gilt:
jx þ 2
|fflffl{zfflffl}
0
j 2jx 3
|fflffl{zfflffl}
0
j ¼ 4 ) ðx þ 2Þ þ2ðx 3Þ ¼ 4 )
x þ 2 þ 2x 6 ¼ 4 ) 3x 4 ¼4 ) 3x ¼ 8 ) x2 ¼ 8=3 Dieser Wert liegt im Intervall 2 x 3 und ist somit eineLo¨sungder Betragsglei- chung. Wir besta¨tigen dieses Ergebnis noch durch eine Probe:
8 3 þ 2
2 8 3 3
¼ 14 3
2 1 3
¼ 14
3 2 1 3 ¼ 14
3 2 3 ¼ 12
3 ¼ 4 3. Fall: Lo¨sungen im Intervall x > 3
Beide Terme sind in diesem Intervallpositiv. Daher gilt:
jx þ 2
|fflffl{zfflffl}
>0
j 2jx 3
|fflffl{zfflffl}
>0
j ¼ 4 ) ðx þ 2Þ 2ðx 3Þ ¼ 4 )
x þ 2 2x þ 6 ¼ 4 ) x þ 8 ¼ 4 ) x ¼ 4 ) x3 ¼ 4 Wegen x3 ¼ 4 > 3 haben wir eine weitere Lo¨sung der Betragsgleichung. Die Probe besta¨tigt unser Ergebnis:
j4 þ 2j 2j4 3j ¼ j6j 2j1j ¼ 6 2 1 ¼ 6 2 ¼ 4
Lo¨sungen: L ¼ f8=3, 4g
3.5.3 Lo¨sung einer Betragsgleichung auf halb-graphischem Wege (Beipiel) Die Betragsgleichung
jx 2j ¼ x2
kann wie folgt auf halb-graphischem Wege gelo¨st werden: Wir fassen die beiden Seiten der Gleichung als Funktionen von x auf, setzen also
y1 ¼ jx 2j und y2 ¼ x2
und bringen die Kurven zum Schnitt. Die Lo¨sungen der Betragsgleichung sind dann die Abszissenwerte der Kurvenschnittpunkte (Bild I-21). Aus dem Bild entnehmen wir, dass es genauzweiSchnittpunkte und damit zweiLo¨sungen gibt.
Bei einer einigermaßen genauen Zeichnung ko¨nnen diese Werte direkt abgelesen werden, jedoch mit keiner allzu großen Genauigkeit. Rechnerisch erha¨lt man sie nach Bild I-21 u¨ber die Schnittpunkte der Geraden y ¼ ðx 2Þ ¼ x þ 2 mit der Parabel y ¼ x2, da die Betragsfunktion y ¼ jx 2j im Intervall x 2, in dem die beiden Lo¨sungen liegen, mit der Geraden y ¼ ðx 2Þ ¼ x þ 2 zusammenfa¨llt:
x2 ¼ x þ 2 ) x2 þ x 2 ¼ 0 ) x1=2 ¼ 1
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 4 þ 2 r
¼ 1
2
ffiffiffiffiffi 9 4 r
¼ 1 2 3
2 )
x1 ¼ 1 , x2 ¼ 2 L ¨osungsmenge : L ¼ f2, 1g
4 Ungleichungen
Wir bescha¨ftigen uns in diesem Abschnitt mitUngleichungen, die noch eine unbekannte Gro¨ße x enthalten. Die Lo¨sungsmengen sind in der Regel Intervalle. hnlich wie bei einer Gleichung kann man auch hier versuchen, die vorgegebene Ungleichung durch a¨quivalenteUmformungen zu lo¨sen.
y = x2 2
y = | x – 2| = x – 2 ( für x 2)
1
y = | x – 2| = – (x – 2) ( für x < 2)
1
≥
x y
1 2 5
1
– 2 –1
Bild I-21 Zur Lo¨sung der Betragsgleichung jx2j ¼ x2auf halb-graphischem Wege
Dabei sind die folgenden Regeln zu beachten:
quivalente Umformungen einer Ungleichung
Die Lo¨sungsmengeeiner Ungleichung bleibt bei Anwendung der folgenden Opera- tionen unvera¨nderterhalten(sog.a¨quivalente Umformungeneiner Ungleichung):
1. Auf beiden Seiten einer Ungleichung darf ein beliebiger Term TðxÞ addiert odersubtrahiertwerden.
2. Eine Ungleichung darf mit einer beliebigen positiven Zahl multipliziert oder durch eine solche Zahldividiertwerden.
3. Eine Ungleichung darf mit einer beliebigen negativen Zahl multipliziert oder durch eine solche Zahl dividiert werden, wenn gleichzeitig das Relationszei- chen der Ungleichung wie folgtgea¨ndertwird:
Aus < wird >,
aus wird ,
aus > wird <,
aus wird .
Anmerkung
Die Operationen (2) und (3) gelten sinngema¨ß auch fu¨r Multiplikationen und Divisionen mit einemTerm TðxÞ 6¼ 0, wobei jeweils durch Fallunterscheidungzu pru¨fen ist, wel- chesVorzeichender Term annimmt (siehe hierzu auch das nachfolgende 1. Beispiel).
& Beispiele
(1) 2x 1
x þ 2 > 3 ðx 6¼ 2Þ
Wir lo¨sen diese Ungleichung wie folgt. Zuna¨chst beseitigen wir den Bruch, indem wir beidseitig mit dem Term x þ 2 multiplizieren und dabei beachten, welches Vorzeichen dieser Term besitzt. Wir mu¨ssen daher die Fa¨lle x þ 2 > 0 und x þ 2 < 0 unterscheiden (der Fall x þ 2 ¼ 0 und somit x ¼ 2 scheidet aus, da die Division durch 0 verboten ist).
1. Fall: x þ 2 > 0 ) x > 2
Das Relationszeichen der Ungleichung bleibterhalten:
2x 1
x þ 2 > 3j ðx þ 2Þ ) 2x 1 > 3ðx þ 2Þ ) 2x 1 > 3x þ 6 ) x > 7j ð1Þ ) x < 7
(wir haben mit einer negativen Zahl multipliziert, daher ist das Zeichen > durch das Zeichen<zu ersetzen).
Die „Lo¨sung“ steht imWiderspruchzum angenommenen Fall x >2. Somit han- delt es sich um eine „Scheinlo¨sung“.
2. Fall: x þ 2 < 0 ) x < 2
Wir multiplizieren die Ungleichung jetzt also mit einem negativenTerm, daher ist das Relationszeichen zua¨ndern(aus > wird <):
2x 1
x þ 2 > 3j ðx þ 2Þ ) 2x 1 < 3ðx þ 2Þ ) 2x 1 < 3x þ 6 ) x < 7j ð1Þ ) x > 7 (Multiplikation mit dernegativenZahl 1, aus < wird daher >).
Die Bedingung x < 2 wird aber nur fu¨rx-Werte erfu¨llt, die zwischen 7 und 2 liegen.
Lo¨sung: 7 < x < 2 (2)
x 12
jxj
Wir lo¨sen diese Ungleichung auf sehr anschauliche Weise wie folgt: Linke und rechte Seite der Ungleichung werden als Funktionen von x aufgefasst:
y1 ¼
x 12 Parabel
und y2 ¼ jxj
Betragsfunktion Die Ungleichung la¨sst sich dann auch in der Form y1 y2 darstellen. Lo¨sungen sind damit alle x-Werte, fu¨r die die Parabel unterhalb der Betragsfunktion bleibt, wobei die Schnittpunkte zur Lo¨sungsmenge geho¨ren. Wir zeichnen beide Kurven und erkennen anhand des Bildes I-22, dass diese Bedingung genau zwischen den beiden Kurvenschnittpunkten erfu¨llt ist.
–1 1
1
5 x
y
0,38 2,62
y = | x|2 y = (x –1)1 2
Bild I-22 Zur Lo¨sung der Ungleichung x12
jxj
Diese erha¨lt man durch Gleichsetzen der Funktionen y1 ¼ x 12
und y2 ¼ jxj ¼ x (fu¨r x 0)5Þ:
x 12
¼ x ) x2 2x þ 1 ¼ x ) x2 3x þ 1 ¼ 0 ) x1=2 ¼ 1,5 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1,52 1
p ¼ 1,5 ffiffiffiffiffiffiffiffiffi p1,25
¼ 1,5 1,12 ) x1 ¼ 2,62 , x2 ¼ 0,38
Lo¨sungsmenge: 0,38 x 2,62 &
5 Lineare Gleichungssysteme
In diesem Abschnitt behandeln wir das unter der Bezeichnung Gaußscher Algorithmus bekannte Verfahren zur Lo¨sung eines linearen Gleichungssystems. Auf lineare Glei- chungssysteme sto¨ßt man in den technischen Anwendungen beispielsweise bei der Be- handlung und Lo¨sung der folgenden Probleme:
Berechnung derStabkra¨ftein einemFachwerk(z. B. Kranausleger, Bru¨cken) Bestimmung derStro¨mebzw.Spannungenin einemelektrischen Netzwerk Berechnung derEigenfrequenzeneinesschwingungsfa¨higen Systems
5.1 Ein einfu ¨ hrendes Beispiel
Es sei ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei unbekannten Gro¨ßen x, y und z vorgegeben:
ðIÞ x þ y þ z ¼ 0 ðIIÞ x 3y 2z ¼ 5 ðIIIÞ 5x þ y þ 4z ¼ 3
ðI-26Þ
Das von Gauß stammende Verfahren zur Lo¨sung eines solchen Gleichungssystems ist einEliminationsverfahren, das schrittweise eine Unbekannte nach der anderen eliminiert, bis nur noch eine Gleichung mit einer einzigen Unbekannten u¨brigbleibt. In unserem Beispiel eliminieren wir zuna¨chst die unbekannte Gro¨ße x wie folgt:
Wir addieren zur 2. Gleichung die 1. Gleichung und zur 3. Gleichung das 5-fache der 1. Gleichung. Bei der Addition fa¨llt dann jeweils die Unbekannte x heraus:
5Þ Anhand der Skizze erkennt man, dass die gesuchten Kurvenschnittpunkte im Bereich positiver x-Werte liegen. Die Betragsfunktion y2 ¼ jxj ist dort aberidentischmit der Geraden y ¼x, die daher die Pa- rabel y1 ¼
x12
an dengleichenStellen schneidet wie die Betragsfunktion.
ðIIÞ x 3y 2z ¼ 5 ðIÞ x þ y þ z ¼ 0
)
þ ðIIIÞ 5x þ y þ 4z ¼ 3 ð5 IÞ 5x þ 5y þ 5z ¼ 0
) þ ðI*Þ 2y z ¼ 5 ðII*Þ 6y þ 9z ¼ 3 Damit haben wir das lineare Gleichungssystem auf zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten y und z reduziert:
ðI*Þ 2y z ¼ 5 ðII*Þ 6y þ 9z ¼ 3
Nun wird das Verfahren wiederholt. Um die zweite Unbekannte y zu eliminieren, addie- ren wir zur Gleichung (II*) das 3-fache der Gleichung (I*):
ðII*Þ 6y þ 9z ¼ 3 ð3 I*Þ 6y 3z ¼ 15
) þ ðI**Þ 6z ¼ 18
(Alternative: Erst Gleichung (II*) durch 3 dividieren, dann zu Gleichung (I*) addieren.) Die beiden eliminierten Gleichungen (I) und (I*) bilden dann zusammen mit der u¨brig- gebliebenen Gleichung (I**) ein sog. gestaffeltes Gleichungssystem, aus dem der Reihe nach von unten nach oben die drei Unbekannten x, y und z berechnet werden ko¨nnen:
ðIÞ x þ y þ z ¼ 0 ðI*Þ 2y z ¼ 5 ðI**Þ 6z ¼ 18
ðI-27Þ
Aus der letzten Gleichung folgt z ¼ 3. Durch Einsetzen dieses Wertes in die daru¨ber stehende Gleichung erha¨lt man fu¨r y den Wert 4. Aus der 1. Gleichung schließlich ergibt sich x ¼ 1, wenn wir in diese Gleichung fu¨r y und z die bereits bekannten Werte einsetzen. Das vorgegebene lineare Gleichungssystem besitzt daher genau eine Lo¨sung x ¼ 1, y ¼ 4, z ¼ 3.
Um den Lo¨sungsweg zu verku¨rzen, werden die einzelnen Gleichungen inverschlu¨sselter Form durch ihre Koeffizienten und Absolutglieder ðciÞ wie folgt repra¨sentiert:
x y z ci
|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
Stets Leerzeilen
f ¨ur sp¨atere Rechenschritte einplanen!
(I) 1 1 1 0
(II) 1 3 2 5
(III) 5 1 4 3
Um die Unbekannte x zu eliminieren, wird zur 2. Zeile die 1. Zeile und zur 3. Zeile das 5-fache der 1. Zeile addiert. Wir erhalten zwei neue (verschlu¨sselte) Gleichungen mit den unbekannten Gro¨ßen y und z, die wir durch (I*) und (II*) kennzeichnen:
x y z ci
|fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl}
Leerzeilen einplanen!
(I) 1 1 1 0
(II) 1 3 2 5
ð1 IÞ 1 1 1 0
(III) 5 1 4 3
ð5 IÞ 5 5 5 0
(I*) 2 1 5
(II*) 6 9 3
Nun addieren wir zur 2. Zeile (II*) das 3-fache der 1. Zeile (I*) und erhalten in ver- schlu¨sselter Form eine Gleichung (I**) mit der Unbekannten z. Das Rechenschema ist jetzt ausgefu¨llt und besitzt die folgende Gestalt:
x y z ci si
(I) 1 1 1 0 1
(II) 1 3 2 5 1
ð1 IÞ 1 1 1 0 1
(III) 5 1 4 3 13
ð5 IÞ 5 5 5 0 5
(I*) 2 1 5 2
(II*) 6 9 3 18
ð3 I*Þ 6 3 15 6
(I**) 6 18 24
Eingebaut wurde noch als Rechenkontrolle die sog. Zeilensummenprobe. Die durch si
gekennzeichnete letzte Spalte des Rechenschemas entha¨lt jeweils die Summealler in ei- ner Zeile stehenden Zahlen (Koeffizienten und Absolutglied). Mit Hilfe der Zeilensum- men lassen sich die einzelnen Rechenschritte wie folgt kontrollieren :
Wir greifen als Beispiel die 3. Zeile (III) heraus. Ihre Zeilensumme betra¨gt 13 ðdenn 5 þ 1 þ 4 þ 3 ¼ 13Þ. Addiert man zur 3. Zeile das 5-fache der 1. Zeile, so erha¨lt man die neue Zeile ðII*Þ ¼ ðIIIÞ þ ð5 IÞ, deren Zeilensumme sich auf zwei Arten bestimmen la¨sst: Durch Addition der in der neuen Zeile stehenden Zahlen (Ergebnis:
6 þ 9 þ 3 ¼ 18) oder durch Addition des 5-fachen Zeilensummenwertes der 1. Zeile zum Zeilensummenwert der 3. Zeile (Ergebnis: 13þ 5 1 ¼ 18Þ. Beide Rechenwege mu¨ssen bei richtiger Rechnung stets zum selben Ergebnis fu¨hren (hier: Zeilensummen- wert 18). Damit haben wir ohne großen zusa¨tzlichen Rechenaufwand eine effektive Kon- trollmo¨glichkeit.
Aus dem Rechenschema erha¨lt man dann durch Zusammenfassung dereliminiertenZei- len (I) und (I*) und der letzten Zeile (I**) das gestaffelte Gleichungssystem (I-27), aus dem sich die Lo¨sung ohne Schwierigkeiten berechnen la¨sst, wie wir bereits gezeigt haben (die drei Gleichungen des gestaffelten Systems haben wir zusa¨tzlich durchGrau- unterlegunggekennzeichnet).
5.2 Der Gaußsche Algorithmus
Lineare Gleichungssysteme bestehen aus m linearen Gleichungen mit n unbekannten Gro¨ßen x1,x2, . . .,xn. Innerhalb einer jeden Gleichung treten dabei die Unbekannten in linearerForm, d. h. in der 1. Potenz auf, versehen noch mit einemkonstantenKoeffizienten.
Definition: Das aus m linearen Gleichungen mit n Unbekannten x1,x2, . . .,xn
bestehende System vom Typ
a1 1x1 þ a1 2x2 þ . . . þ a1nxn ¼ c1
a2 1x1 þ a2 2x2 þ . . . þ a2nxn ¼ c2
... ...
am1x1 þ am2x2 þ . . . þ am nxn¼ cm
ðI-28Þ
heißt lineares Gleichungssystem. Die reellen Zahlen ai k sind die Ko- effizienten des Systems, die reellen Zahlen ci werden als Absolutglie- der bezeichnet ði ¼ 1, 2, . . .,m;k ¼ 1, 2, . . .,nÞ.
Ein lineares Gleichungssystem heißthomogen, wennalleAbsolutglieder c1,c2, . . .,cm
verschwinden. Andernfalls wird das Gleichungssystem alsinhomogenbezeichnet.
Wir beschra¨nken uns im Folgenden auf den in den Anwendungen wichtigsten Fall eines sog. quadratischen linearen Gleichungssystems, bei dem die Anzahl der unbekannten Gro¨ßen mit der Anzahl der Gleichungen u¨bereinstimmt ðm ¼ nÞ:
a1 1x1 þ a1 2x2 þ . . . þ a1nxn ¼ c1
a2 1x1 þ a2 2x2 þ . . . þ a2nxn ¼ c2
... ...
an1x1 þ an2x2 þ . . . þ an nxn ¼ cn
ðI-29Þ
Matrizendarstellung eines linearen Gleichungssystems
Die Koeffizienten ai k des Systems lassen sich wie folgt zu einer sog.Koeffizientenma- trix A zusammenfassen:
A ¼
a1 1 a1 2 . . . a1n
a2 1 a2 2 . . . a2n
... ...
an1 an2 . . . an n
0 BB BB
@
1 CC CC
A ðI-30Þ
Sie entha¨lt n Zeilen und n Spalten und wird daher auch als n-reihige quadratische Matrix bezeichnet. Die n Unbekannten x1,x2, . . .,xn fassen wir zu einem Spalten- vektor ~xx zusammen, ebenso die n Absolutglieder c1,c2, . . .,cn zu einem Spalten- vektor ~cc:
~xx ¼ x1
x2
...
xn
0 BB BB
@ 1 CC CC
A; ~cc ¼ c1
c2
...
cn
0 BB BB
@ 1 CC CC
A ðI-31Þ
Der Spaltenvektor ~xx heißt in diesem Zusammenhang auch Lo¨sungsvektor des Systems.
Ein Spaltenvektorwie ~xx oder ~cc kann auch als eine spezielle Matrix mit n Zeilen und einerSpalte aufgefasst werden und wird daher auch alsSpaltenmatrixbezeichnet.
Das quadratische lineare Gleichungssystem ist dann mit diesen Bezeichnungen in der wesentlich ku¨rzerenMatrizenform
A~xx ¼~cc ðI-32Þ
darstellbar. In ausfu¨hrlicher Schreibweise lautet dieseMatrizengleichungwie folgt:
a1 1 a1 2 . . . a1n
a2 1 a2 2 . . . a2n
... ...
an1 an2 . . . an n
0 BB BB
@
1 CC CC A
x1
x2
...
xn
0 BB BB
@ 1 CC CC A ¼
c1 c2
...
cn 0 BB BB
@ 1 CC CC
A ðI-33Þ
Die linke Seite dieser Gleichung ist ein sog. Matrizenprodukt, gebildet aus der Koeffi- zientenmatrix A und der Spaltenmatrix ~xx. Die erste Gleichung des linearen Glei- chungssystems (I-29) erhalten wir dann, indem wir die Elemente der1. Zeilevon A der Reihe nach mit den entsprechenden Elementen der Spaltenmatrix ~xx multiplizieren, alle Produkte anschließend aufaddieren und diese Summe schließlich mit dem 1. Element der auf der rechten Gleichungsseite stehenden Spaltenmatrix ~cc gleichsetzen(wir haben diese Rechenvorschrift in Gleichung (I-33) durch Grauunterlegung verdeutlicht) :
a1 1x1 þ a1 2x2 þ . . . þ a1nxn ¼ c1 ðI-34Þ
Analog erha¨lt man die restlichen Gleichungen des linearen Gleichungssystems.
In Band 2 werden wir auf die Matrizenmultiplikation noch ausfu¨hrlich eingehen (Kap. I u¨ber Lineare Algebra). Die Schreibweise A~xx ¼ ~cc fu¨r ein lineares Gleichungssystem soll an dieser Stelle lediglich als eineformale Kurzschreibweiseangesehen werden.
quivalente Umformungen eines linearen Gleichungssystems
Um ein vorgegebenes lineares Gleichungssystem vom Typ (I-29) oder (I-32) lo¨sen zu ko¨nnen, muss es zuna¨chst mit Hilfe a¨quivalenter Umformungen in ein sog. gestaffeltes System vom Typ
a*1 1x1þ a*1 2x2 þ . . . þ a*1nxn ¼ c*1 a*2 2x2 þ . . . þ a*2nxn ¼ c*2
...
a*n nxn ¼ c*n
ðI-35Þ
u¨bergefu¨hrt werden, aus dem dann die n Unbekannten nacheinander berechnet werden ko¨nnen: Zuerst xn aus der letzten Gleichung, dann xn1 aus der vorletzten Gleichung usw. Alsa¨quivalente Umformungensind dabei folgende Operationen zugelassen:
quivalente Umformungen eines linearen Gleichungssystems
Die Lo¨sungsmengeeines linearen Gleichungssystems A~xx ¼ ~cc bleibt bei Anwen- dung der folgenden Operationenunvera¨ndert erhalten(sog. a¨quivalente Umformun- geneines linearen Gleichungssystems):
1. Zwei Gleichungen du¨rfen miteinandervertauschtwerden.
2. Jede Gleichung darf mit einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl multi- pliziertoder durch eine solche Zahldividiertwerden.
3. Zu jeder Gleichung darf ein beliebiges Vielfaches einer anderen Gleichung addiertwerden.
Beschreibung des Eliminationsverfahrens von Gauß (Gaußscher Algorithmus) Wir geben nun eine kurze Beschreibung des von Gauß stammenden Rechenverfahrens, das die berfu¨hrung eines vorgegebenen linearen Gleichungssystems in ein gestaffeltes System ermo¨glicht. Dabei bedienen wir uns der in Abschnitt 5.1 dargestellten verku¨rzten Schreibweise: Jede Gleichung des Systems wird durch ihre Koeffizienten und ihr Abso- lutglied repra¨sentiert, die in Form einer Zeile angeordnet werden. Hinzu kommt (zur Rechenkontrolle) die Zeilensumme. Die oben genannten a¨quivalenten Umformungen gelten dann auch fu¨r dieZeilenim Rechenschema.
DasGaußsche Eliminationsverfahren verla¨uft schrittweise wie folgt, wobei wir zuna¨chst davon ausgehen, dass die Unbekannten in der Reihenfolge x1,x2, . . .,xn1 eliminiert werden:
(1) Im 1. Rechenschritt wird das lineare Gleichungssystem durch Eliminieren der Un- bekannten x1 auf n 1 Gleichungen mit den n 1 Unbekannten x2,x3, . . ., xn reduziert. Dazu wird die 1. Gleichung (Zeile) mit dem Faktor a2 1
a1 1 multipli- ziert und zur 2. Gleichung (Zeile) addiert, wobei die Unbekannte x1 verschwindet.
Ebenso verfa¨hrt man mit den u¨brigen Gleichungen (Zeilen). Allgemein addiert man zur i-ten Gleichung (Zeile) das ai1
a1 1
- fache der 1. Gleichung (Zeile) ði ¼ 2, 3, . . .,nÞ. Bei der Addition verschwindet jeweils die Unbekannte x1 und mit ihr die 1. Gleichung (Zeile).
(2) Das unter (1) beschriebene Verfahren wird jetzt auf das reduzierte System, beste- hend aus n 1 Gleichungen mit den n 1 unbekannten Gro¨ßen x2,x3, . . ., xn angewandt. Dadurch wird die na¨chste Unbekannte ðx2Þ eliminiert. Nach ins- gesamt n 1 Schritten bleibt eine einzige Gleichung (Zeile) mit einer Unbekann- ten ðxnÞ u¨brig.
(3) Die eliminierten Gleichungen (Zeilen) bilden zusammen mit der letzten Gleichung (Zeile) das gestaffelteGleichungssystem, aus dem sich die Unbekannten sukzessive in der Reihenfolge xn,xn1, . . .,x1 berechnen lassen.
Das beschriebene Verfahren wird als Gaußsches Eliminationsverfahren oder Gaußscher Algorithmusbezeichnet und la¨sst sich schematisch wie folgt darstellen:
Schematischer Lo¨sungsweg beim Gaußschen Eliminationsverfahren (Gaußscher Algorithmus)
n
n I n 1
n 1 I n 2
n 2 I 1
1
x1,. . .,xn x2, . . .,xn x3, . . .,xn xn
Obere Zahl: Anzahl der noch vorhandenen Gleichungen Untere Zahl: Anzahl der noch vorhandenen Unbekannten
Unter den Ka¨sten sind die jeweils noch vorhandenen Unbekannten aufgefu¨hrt.
Anmerkungen
(1) Es spielt dabeikeineRolle, in welcher Reihenfolge die Unbekannten eliminiert werden.
(2) Der Gaußsche Algorithmus ist auch auf den allgemeinen Fall eines (m, n)-Systems anwendbar (m: Anzahl der Gleichungen; n: Anzahl der unbekannten Gro¨ßen).
Fu¨r m ¼ n erha¨lt man einquadratischesSystem, das daher auch als (n, n)-System bezeichnet wird.
(3) Gegebenenfalls mu¨ssen die Unbekannten noch umgestellt, d. h. umnumeriert werden.
Lo¨sungsverhalten eines linearen Gleichungssystems
Ein inhomogenesGleichungssystem besitzt entweder genau eine Lo¨sung oder unendlich viele Lo¨sungen oder aberu¨berhaupt keineLo¨sung. Tretenunendlichviele Lo¨sungen auf, d. h. ist das System nicht eindeutig lo¨sbar, so ist mindestens eine der n unbekannten Gro¨ßen x1,x2, . . .,xn frei wa¨hlbar und wird in diesem Zusammenhang als Parameter bezeichnet. Die Lo¨sungen des inhomogenen linearen Gleichungssystems ha¨ngen in die- sem Fall noch von einem oder sogar mehreren Parametern ab. Beispiele hierzu folgen am Ende dieses Abschnitts.
Im Gegensatz zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem ist einhomogenesSys- temstetslo¨sbar. Es besitzt die Gestalt
a1 1x1 þ a1 2x2 þ . . . þ a1nxn ¼ 0
a2 1x1 þ a2 2x2 þ . . . þ a2nxn ¼ 0
... ...
an1x1 þ an2x2 þ . . . þ an nxn ¼ 0
oder A~xx ¼ ~00 ðI-36Þ
und damit in jedem Fall die sog.trivialeLo¨sung
x1 ¼ 0 , x2 ¼ 0, . . ., xn ¼ 0 oder ~xx ¼ ~00 ðI-37Þ
wie man durch Einsetzen dieser Werte in das System (I-36) leicht nachrechnet6). Falls weitere Lo¨sungen vorliegen, sind dies immerunendlich viele. Mit anderen Worten:
Ein homogenes lineares Gleichungssystem besitzt entweder genaueine Lo¨sung, na¨mlich die triviale Lo¨sung x1 ¼ x2 ¼ . . . ¼ xn ¼ 0, oder aber unendlich viele Lo¨sungen, die dann noch vonmindestens einemParameter abha¨ngen.
Wir fassen zusammen:
Lo¨sungsverhalten eines linearen Gleichungssystems
1. Inhomogenes lineares Gleichungssystem A~xx ¼ ~cc (mit ~cc 6¼ ~00)
Das System besitzt entweder genau eine Lo¨sung oderunendlich viele Lo¨sungen oderu¨berhaupt keineLo¨sung.
2. Homogenes lineares Gleichungssystem A~xx ¼ ~00
Das System besitzt entweder genau eine Lo¨sung, na¨mlich die triviale Lo¨sung
~xx ¼~00 oderunendlichviele Lo¨sungen, die noch von mindestens einem Parame- ter abha¨ngen.
6Þ Ein Spaltenvektor, der nurNullenentha¨lt, wird alsNullvektorbezeichnet und durch das Symbol~00 gekenn- zeichnet.
Anmerkungen
(1) Diese Aussagen gelten auch fu¨rnichtquadratischelineare Gleichungssysteme.
(2) Lineare Gleichungssysteme mit 2, 3, . . .,n Lo¨sungen gibt es nicht!
& Beispiele
(1) Wir lo¨sen das aus vier Gleichungen mit ebenso vielen Unbekannten bestehende inho- mogene lineare Gleichungssystem
x1 3x2 þ 1,5x3 x4 ¼ 10,4 2x1 þ x2 þ 3,5x3 þ 2x4 ¼ 16,5 x1 2x2 þ 1,2x3 þ 2x4 ¼ 0 3x1 þ x2 x3 3x4 ¼ 0,7
unter Verwendung des Gaußschen Algorithmus. Die Eliminationszeilen bezeichnen wir dabei der Reihe nach mit E1, E2 und E3 . Die im Rechenschemanicht beno¨tigten Leerzeilen werden im Folgenden stets weggelassen.
x1 x2 x3 x4 ci si
E1 1 3 1,5 1 10,4 11,9
2 1 3,5 2 16,5 12
2 E1 2 6 3 2 20,8 23,8
1 2 1,2 2 0 2,2
1 E1 1 3 1,5 1 10,4 11,9
3 1 1 3 0,7 0,7
3 E1 3 9 4,5 3 31,2 35,7 5 6,5 0 37,3 35,8
5 E2 5 1,5 15 52 70,5
E2 1 0,3 3 10,4 14,1
10 5,5 0 30,5 35
10 E2 10 3 30 104 141
5 15 14,7 34,7
2 E3 5 60 147 212
E3 2,5 30 73,5 106
45 132,3 177,3
Dasgestaffelte Systemlautet somit (es besteht aus den Zeilen E1, E2 , E3 und der letzten Zeile):
x1 3x2 þ 1,5x3 x4 ¼ 10,4 ) x1 ¼ 0,808
"
x2 0,3x3 þ 3x4 ¼ 10,4 ) x2 ¼ 0,184
"
2,5x3 30x4 ¼ 73,5 ) x3 ¼ 5,88
"
45x4 ¼ 132,3 ) x4 ¼ 2,94
Wir lo¨sen es von unten nach oben (durch Pfeile gekennzeichnet): Die eindeutig bestimmte Lo¨sung ist x1 ¼ 0,808, x2 ¼ 0,184, x3 ¼ 5,88, x4 ¼ 2,94.
(2) Das in derMatrizenformdargestellte homogene lineare Gleichungssystem
1 1 2
1 1 2
2 3 4
0 B@
1 CA
x y z 0 B@
1 CA ¼
0 0 0 0 B@
1 CA
besitzt, wie wir gleich zeigen werden, unendlich viele Lo¨sungen. Das Rechenver- fahren nach Gauß liefert zuna¨chst:
x y z ci si
E1 1 1 2 0 0
Proportionale Zeilen
1 1 2 0 2
1 E1 1 1 2 0 0
2 3 4 0 1
2 E1 2 2 4 0 0 2 0 0 2
2 E2 2 0 0 2
E2 1 0 0 1
0 0 0
Die letzte (grau unterlegte) Zeile fu¨hrt zu der Gleichung 0 z ¼ 0
Sie ist fu¨rjedes z 2 R erfu¨llt, d. h. die Gro¨ße z ist einfrei wa¨hlbarer Parameter (wir setzen dafu¨r, wie allgemein u¨blich, z ¼ l mit l 2 R). Denn ein Produkt aus zwei Faktoren, bei dem einer der beiden Faktorenverschwindet(hier ist es der linke Faktor), hat stets den Wert Null und zwarunabha¨ngigvom Wert des zweiten Faktors.
DasgestaffelteSystem, bestehend aus den Zeilen E1, E2 und der letzten Zeile, lautet damit:
x þ y 2z ¼ 0 ) x ¼ 2l y þ 0 z ¼ 0 ) y ¼ 0
0 z ¼ 0 ) z ¼ l ðl 2 RÞ
"
"
Die sukzessiv von unten nach oben berechnete Lo¨sungsmenge ist x ¼ 2l,y ¼ 0, z ¼ l mit l 2 R. Das vorliegende homogene lineare Gleichungssystem besitzt demnachunendlichviele, noch von einem reellenParameter labha¨ngende Lo¨sun- gen. So erha¨lt man beispielsweise fu¨r l ¼ 3 die spezielle Lo¨sung x ¼ 6, y ¼ 0, z ¼ 3, fu¨r den Parameterwert l ¼ 2,5 dagegen die spezielle Lo¨sung x ¼ 5, y ¼ 0, z ¼ 2,5.
Anmerkung
Bereits nach der Durchfu¨hrung der ersten Schritte kann man erkennen, dass das System unendlich viele Lo¨sungen besitzt: Die beiden Zeilen (Gleichungen) ð2; 0; 0Þ und ð1; 0; 0Þ (jeweils ohneZeilensumme und im obigen Rechensche- ma durch Pfeile gekennzeichnet) sind einander proportional (Multiplikator: 2) und repra¨sentieren damit in Wirklichkeit nureine Gleichung. Man bezeichnet sol- che Zeilen bzw. Gleichungen auch alslinear abha¨ngig.
(3) Wir zeigen, dass das inhomogene lineare Gleichungssystem x1 þ 2x2 þ x3 ¼ 6
x1 þ x2 þ x3 ¼ 2 2x1 4x2 2x3 ¼ 6 nichtlo¨sbar ist.
Der Gaußsche Algorithmus fu¨hrt zuna¨chst zu dem folgenden Schema:
x1 x2 x3 ci si
E1 1 2 1 6 8
1 1 1 2 1
1 E1 1 2 1 6 8
2 4 2 6 10
2 E1 2 4 2 12 16
3 2 4 9
0 0 6 6
Aus den beiden verbliebenen Zeilen (Gleichungen) mit den restlichen Unbekann- ten x2 und x3 mu¨ssten wir jetzt eine der beiden Unbekannten eliminieren. Die-
ses Vorhaben gelingt jedoch nicht, da die Koeffizienten von x2 und x3 in der unteren Gleichung jeweils verschwinden. Diese „merkwu¨rdige“ letzte Zeile (grau unterlegt) fu¨hrt zu der in sichwiderspru¨chlichenGleichung
0 x2 þ 0 x3 ¼ 6
Da Produkte mit einem Faktor 0 verschwinden, ist dielinkeSeite dieser Gleichung fu¨rbeliebigereelle Werte von x2 und x3 stets gleich 0:
0 x2
|fflffl{zfflffl}
0
þ0 x3
|fflffl{zfflffl}
0
¼ 6 ) 0 ¼ 6
Die Gu¨ltigkeit dieser Gleichung wu¨rde aber die Gleichheit der Zahlen 0 und 6 bedeuten (innerer Widerspruch). Das vorgegebene Gleichungssystem ist dahernicht lo¨sbar.
(4) Wir behandeln zum Abschluss noch ein Beispiel fu¨r einnichtquadratischeslineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen und drei Unbekannten:
x þ y z ¼ 2 3x 2y þ z ¼ 2 2x 5y þ 3z ¼ 1 x þ 4y þ 2z ¼ 15 Wir eliminieren zuerst x, dann y:
x y z ci si
Proportionale Zeilen
E1 1 1 1 2 3
3 2 1 2 4
3 E1 3 3 3 6 9
2 5 3 1 1
2 E1 2 2 2 4 6
1 4 2 15 22
1 E1 1 1 1 2 3
E2 1 2 4 5
3 1 3 5
3 E2 3 6 12 15
5 1 13 19
5 E2 5 10 20 25 5 15 20
11 33 44
Die beiden u¨briggebliebenen Zeilen repra¨sentieren in verschlu¨sselter Form zwei Gleichungen mit dereinen Unbekannten z. Sie fu¨hren zuein und derselben Lo¨- sung fu¨r z, sind demnach zueinander proportionale Gleichungen (Zeilen) und stellen somit letztendlich nureineeinzige Gleichung dar7).
Das gestaffelte System besteht daher aus den Eliminationsgleichungen E1 und E2 und einer der beiden zueinander proportionalen Gleichungen, wobei wir uns fu¨r die obere (grau unterlegte) Gleichung entscheiden:
x þ y z ¼ 2 ) x ¼ 1 y 2z ¼ 4 ) y ¼ 2 5z ¼ 15 ) z ¼ 3
"
"
Das lineare Gleichungssystem besitzt also genau eine Lo¨sung, na¨mlich x ¼ 1,
y ¼ 2 und z ¼ 3. &
5.3 Ein Anwendungsbeispiel:
Berechnung eines elektrischen Netzwerkes
Das in Bild I-23 dargestellte elektrische Netzwerk entha¨lt drei Knotenpunkte (a, b, c) und drei Stromzweigemit je einem ohmschen Widerstand8). Ia und Ib sind zufließen- de Stro¨me, Ic ein aus Knotenpunkt c abfließender Strom. Wir berechnen die in den Zweigen fließenden Teilstro¨me I1,I2 und I3 sowie den abfließenden Strom Ic fu¨r die in Bild I-23 vorgegebenen Werte der drei Widersta¨nde und der Stro¨me Ia und Ib.
Lo¨sung: Bei der Lo¨sung der Aufgabe benutzen wir das erste Kirchhoffsche Gesetz (Knotenpunktsregel): In einem Knotenpunkt ist die Summe der zu- und abfließenden Stro¨me gleich Null(zufließende Stro¨me werden dabei vereinbarungsgema¨ßpositiv, abflie- ßende Stro¨menegativgerechnet).
Ic
Ib Ia
I1
I2 I3
R1
R2
R3
a b
c
R1 ¼ 1W, R2 ¼ 5W, R3 ¼ 3W Ia ¼ 1 A , Ib ¼ 2 A
Bild I-23
7Þ Wu¨rden wir unterschiedlicheWerte fu¨r z erhalten, so wa¨re das Gleichungssystem nichtlo¨sbar (Systeme mit zwei verschiedenen Lo¨sungen gibt es nicht).
8Þ Knotenpunkt: Stromverzweigungspunkt Stromzweig: Verbindung zweier Knoten
