Zeigen Sie, dass a eine affine Funktion ist, d.h

TU Wien SS 2009 Institute for Analysis and Scientific Computing

Prof. A. Arnold, Dipl.-Math. J. Sprenger

3. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung “Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen”

(Galerkinmethoden, Fixpunktsatz, schwache Konvergenz, Stetigkeit)

1. Aufgabe

Sei a:R→R eine stetige Funktion so dassa(f_n)* a(f) schwach inL²(0,1) wenn f_n* f schwach in L²(0,1).

Zeigen Sie, dass a eine affine Funktion ist, d.h. a(z) = αz+β, f¨ur allez ∈R und α, β konstant.

Hinweis: Widersrpuchsbeweis: Seia(su+ (1−s)v)6=sa(u) + (1−s)a(v) f¨urs, u, v, mit s, u, v,(su+ (1−s)v)∈(0,1), Finden Sie einen Widerspruch mit

fn(z) =

u , z∈[j/n,(j+s)/n], j= 0, ..., n−1

v , sonst .

und einfachen Testfunktionen.

2. Aufgabe

Sei V ein reflexiver Banachraum und A:V →V⁰. Zeigen sie die folgenden Aussagen:

a) Ist A hemistetig und monoton, so ist A von Typ M.

b) Ist A von Typ M und beschr¨ankt, so istA demistetig.

c) Ist A stark stetig, so ist A demistetig. Ist A hemistetig, so ist A demistetig.

d) Ist A stark stetig, dann istA kompakt.

3. Aufgabe

Sei Ω⊂Rⁿ ein beschr¨anktes offenes Gebiet mit glattem Rand, und sei u∈H¹(Ω).

Zeigen Sie, dass u⁺ ∈H¹(Ω) und ∇(u⁺) =

∇u, f.¨u. auf {u >0}

0, f.¨u. auf {u≤0} .

Hinweis.u⁺= lim_ε→0F_ε(u), f¨ur Fε(z) =

(z²+ε²)^1/2−ε, wennz≥0

0, wennz <0 .

4. Aufgabe

Sei Ω⊂Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand und f ∈L²(Ω). Sei (w_k)k∈N eine ONB von H₀¹ und u_m =

m

P

k=1

d^k_mw_k die L¨osung von Z

Ω

∇u_m∇w_k dx= Z

Ω

f w_k dx; k = 1, . . . , m

Zeigen sie, dass eine Teilfolge von (u_m)m∈N existiert, die schwach in H₀¹ gegen die schwache L¨osung von

−∆u = f in Ω u = 0 auf ∂Ω

konvergiert. Konvergiert dann auch die gesamte Folge (u_m)_m gegen diese L¨osung?

5. Aufgabe

Gegeben sei das Dirichlet–Problem

∆u = e^u−c(x) in Ω, u = 0 auf ∂Ω,

wobei Ω⊂Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand ist, und c∈L^∞(Ω).

a) Finden Sie eine untere L¨osungu(x), und eine obere konstante L¨osung u f¨ur die obige Gleichung.

Hinweis. Benutzen Sie f¨ur die untere L¨osung die Green’sche Funktion f¨ur den Laplace–Operator auf Ω.

b) Zeigen Sie, dass die Gleichung eine L¨osung u in H₀¹(Ω)∩H²(Ω) hat.

Hinweis. Ersetzen Sie die Nichtlinearit¨at zuerst durch h(u), mit h(z) =

e^u, z≥u e^z, z < u,

und benutzen Sie den Fixpunktsatz von Sch¨afer. Motivieren Sie anschließend mit dem Vergleichsprinzip, warum das Abschneiden mittelshkeine Wirkung auf die gefundene L¨osung hat.

c) Zeigen Sie, dass die L¨osung u eindeutig ist.

Besprechung in der ¨Ubung am 27.03.