Das Land NRW hat Gelder für den Austausch von veralteten Messsystemen bewilligt bekommen.
Es sollen insgesamt 5400 Geräte ausgetauscht werden, 4100 davon werden durch das neue System BL830 ersetzt, die restlichen durch KA560.
Vor der Installation werden die Geräte geprüft. Das Prüfgerät entdeckt 97 % aller defekten Systeme BL830, jedoch nur 75 % der defekten KA560. Ist das geprüfte Gerät defekt, entstehen lediglich die Kosten für die Software.
Lösung
System Ausschuss Prüfgerät
entdeckt
Anzahl der neuen Geräte für den Austausch
BL830 0,4 % 97 % 4100
KA560 0,09 % 75 % 1300
3.1 Bestimmen Sie, mit wie vielen defekten Geräten insgesamt gerechnet werden muss.
4100 ∗ 0,004 + 1300 ∗ 0,0009 = 17,57 ≈ 18 (𝐺𝑒𝑟ä𝑡𝑒)
3.2 Stellen Sie den Sachverhalt (defekte Geräte) in einer Vierfeldertafel in Stückzahlen und in Prozentanteilen dar.
defekt intakt
BL830 4100*0,004=16,4
16,4/5400=0,3037 %
4100-16,4=4083,6 4083,6/5400=75,62%
4100 75,93%
KA560 1300*0,0009=1,17
1,17/5400=0,02%
1300-1,17=1298,83 1298,83/5400=24,05%
1300 24,07%
17,57 0,33%
5382,43 99,67%
5400 100 %
3.3 Ermitteln Sie den Anteil der alten defekten Systeme KA560 am Anteil aller gelieferten defekten Geräte.
1,17/17,57=6,66 %
3.4 Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 6000 produzierten Systemen des Typs BL830 …
a) genau 10 defekt sind. B(6000; 0,004; 10)=0,06%
b) mehr als 10 defekt sind. 1-F(6000; 0,004; 10)=99,89%
c) höchstens 10 defekt sind. F(6000; 0,004; 10)=0,11%
d) zwischen 5970 und 6000 Systemen intakt sind.
F(6000; 0,996; 5999)-F(6000; 0,996; 5970)=1-0,1317=86,83%
e) unter den ersten 1000 Systemen 3 defekt sind. B(1000; 0,004; 3)=19,56%
Die Polizei führt eine Geschwindigkeitskontrolle durch. Bei einer Geschwindigkeit von mehr als 83 km/h liegt ein Tempoverstoß vor. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 19 % ist die
Geschwindigkeit eines vorbeifahrenden Pkw größer als 83 km/h.
3.5 Berechnen Sie die Anzahl der Geschwindigkeitsmessungen, die mindestens durchgeführt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein Tempoverstoß erfasst wird.
Das Land NRW diskutiert, ob es weitere Gelder aus den eigenen Töpfen investieren soll, um mehr der neueren Geräte zu kaufen, damit es langfristig gesehen weniger Verluste macht.
Folgende Zahlen liegen vor:
• Das System BL830 kostet 7500 Euro, die zugehörige Software 325 Euro.
• Das System KA560 3500 Euro, die Software 295 Euro.
• Die Installationskosten für BL830 betragen 739 Euro, für KA560 495 Euro.
• Für das ältere System muss mit zusätzlichen Wartungskosten in Höhe von 2000 Euro gerechnet werden.
Vor der Installation werden die Geräte geprüft. Das Prüfgerät entdeckt 97 % aller defekten Systeme BL830, jedoch nur 75 % der defekten KA560. Ist das geprüfte System defekt, entstehen lediglich die Kosten für die Software. Wird das defekte System nicht erkannt, so wird es
installiert, nach Feststellung des Defekts kostenlos demontiert und der Einkaufspreis ersetzt.
Zustand des Systems
Intakt Defekt & erkannt Defekt &
nicht erkannt
Erwartungswert
BL830
Kosten X 7500+325+739=8564€ 325€ 1064€
8531,13 €
P(X) 99,6% 0,4*0,97=0,388% 0,012%
KA560
Kosten X 3500+295+495+2000=6290€ 295€ 790€
6284,72 €
P(X) 99,91% 0,09*0,75=0,0675% 0,0225%
Das Land sollte zunächst nicht in weitere neue Systeme investieren, bevor diese keinen
finanziellen Mehrwert aufweisen. Dieser kann erst durch den Einsatz der neuen Geräte erfasst und ausgewertet werden. Nach aktuellem Stand bedeutet die Installation des neuen Geräts einen Kostenfaktor, der um 2246,41 € höher ist als bei den alten.
