4 insgesamt,davon 3 zu lösen

(1)

WI-OPR-P12-031122-AUFGABEN Seite 1 von 5 Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen

Fach Operations Research

Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. WI-OPR-P12-031122

Datum 22.11.2003

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

· Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier sowie die vorbereiteten Vorlagen und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

· Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich die- se bezieht.

· Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektor zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

· Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

· Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel:

Aufgaben: 4 insgesamt,

davon 3 zu lösen

Studienbriefe Taschenrechner Höchstpunktzahl: -100-

Bewertungsschlüssel

Pflichtaufgaben Beide Aufgaben sind

zu lösen.

Wahlaufgaben Eine Aufgabe ist zu

lösen.

Aufgabe 1 2 W3 W4 å

max. erreichbare Punkte 33 33 34 34 100

Notenspiegel

Note ^1,0 ^1,3 ^1,7 ^2,0 ^2,3 ^2,7 ^3,0 ^3,3 ^3,7 ^4,0 ^5,0

bei Punkten 100 - 95 94,5 - 90 89,5 – 85 84,5 - 80 79,5 - 75 74,5 - 70 69,5 - 65 64, 5 - 60 59,5 - 55 54,5 - 50 49,5 - 0

(2)

WI-OPR-P12-031122-AUFGABEN Seite 2 von 5

Aufgabe 1 33 Punkte

Gegeben sei Ihnen die erweiterte Vorgangsliste eines kleinen Projektes, welches lediglich Minimalforderungen (Minimalabstände) aufweist. Dabei sind alle Dauerwerte und Zeitdifferenzen in der Einheit „Tage“ aufgeführt. Eine vorab durchgeführte Strukturanalyse hat die in der ersten Spalte genannten Rangwerte geliefert. Zusätz- lich sind die Scheinvorgänge „Anfang“ und „Ende“ berücksichtigt worden.

Rang UV(Diff) Typ Vorgang Dauer

0 - Anfang 0

3 K(4)

I(3)

AA EE

A 1

2 G(2) EA B 4

1 Anfang(0) EA C 4

3 B(3) EA D 4

3 K(-1) EA E 4

4 D(1)

A(0)

AA EA

F 1

1 Anfang(0) EA G 3

4 D(1) AA H 2

2 G(1) EA I 2

4 A(1)

E(2)

AA EE

J 3

2 C(3) EE K 2

5 F(0), H(0), J(0) EA Ende 0

a) Führen Sie die Zeitanalyse durch, indem Sie nach einer geeigneten Sortierung der obigen Vorgänge für alle Vorgänge die vier Vorgangszeitpunkte FAZ, SAZ, FEZ und SEZ und für alle echten Vorgänge die gesamte Pufferzeit bestimmen.

Nutzen Sie bitte für die Lösung das Formblatt L1.

b) Nennen Sie die Projektdauer und alle kritischen Vorgänge.

c) Nennen und interpretieren Sie die gesamte Pufferzeit des Vorganges I.

(3)

Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen HFH · Hamburger Fern-Hochschule

Aufgabe 2 33 Punkte

Lösen Sie die nachstehende LO-Aufgabe mit Hilfe der zugehörigen dualen Aufgabe.

1 2 3

2 3

1 2 3

I Z 4x 2x x min

II x x 2x 16

x x 6

x x x 5

III x , x ,x 0

= + - ®

+ + ³

+ £

+ - £

³

(4)

Wahlbereich: Es ist nur eine Aufgabe zu lösen.

Aufgabe W3 34 Punkte

Mit einem Lieferwagen sollen an einem Tag vom Lager 1 aus drei Kunden in den Orten 2, 3 und 4 aufgesucht und mit je einer Waschmaschine beliefert werden. Am Ende soll der Lieferwagen wieder zu seinem Ausgangsort 1 zurückkehren. Nachste- hend ist Ihnen für die betrachteten Orte die Distanzmatrix D genannt.

0 6 8 7

9 0 9 11

D 8 6 0 7

10 8 9 0

æ ö

ç ÷

=ç ÷

ç ÷

è ø

Finden Sie mit Hilfe der Branch-and-Bound-Methode den kürzesten Hamiltonschen Zyklus vom Ausgangsort 1 über die übrigen Orte und zurück zum Ort 1. Verwenden Sie dabei bei jedem Schritt Reduktionstabellen. Halten Sie Ihre einzelnen Zerle- gungen und die berechneten unteren Schranken für die Rundreiselänge in einem Entscheidungsbaum übersichtlich fest. Ganz knappe Erläuterungen sollten die einzelnen Schritte verständlich machen. Nennen Sie den kürzesten Hamiltonschen Zyklus und seine wahre Länge. Gewertet wird nur eine mit der Branch-and-Bound- Methode gewonnene Lösung!

(5)

Aufgabe W4 34 Punkte

Eine Ausleihfirma für Baumaschinen besitzt die vier Lager L1, ..., L4 mit insgesamt 80 Baumaschinen des gleichen Typs, davon l1=12 Maschinen in L1, l2=15 Maschinen in L2, l3=45 Maschinen in L3 und l4=8 Maschinen in L4. Die drei Kunden K1, K2 und K3

fordern für den nächsten Tag vom obigen Maschinentyp k1=10 Maschinen, k2=15 Maschinen und k3=30 Maschinen an. Die Kosten für den Transport einer Bauma- schine vom Li (i=1,2,3,4) zum Kunden Kk (k=1,2,3) sind durch die in folgender Matrix aufgeführten Bewertungszahlen cik in einer Geldeinheit gegeben.

( )

^ik

7 8 8

9 11 11

c 9 11 13

8 9 10

æ ö

ç ÷

=ç ÷

ç ÷

è ø

Wie sind die Transporte durchzuführen, damit die Gesamttransportkosten minimal werden? Bestimmen Sie die minimalen Gesamttransportkosten, und halten Sie Ihre Lösung übersichtlich in einem Diagramm fest.

(6)

WI-OPR-P12-031122-AUFGABEN L1

Lösung Aufgabe 1 a

Name, Vorname:

Matrikel-Nr:

UV(Diff) Typ V D FAZ SAZ FEZ SEZ GP

Bitte geben Sie dieses Blatt mit Ihrer Lösung ab.

(7)

WI-OPR-P12-031122-Korrekturrichtlinie Seite 1 von 7

Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen

Fach Operations Research

Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. WI-OPR-P12-031122

Datum 22.11.2003

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich vorge- schrieben:

· Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

· Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüs- selung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

· Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

· Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zu Abwertung eines Teilschritts führen. Wurde mit einem fal- schen Zwischenergebnis richtig weiter gerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

· Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor: Erstkorrektur in rot, evtl. Zweitkorrektur in grün.

· Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebene Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in die Ergebnisliste ein.

· Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Notenschema zu Grunde zu le- gen:

NOTENSPIEGEL

Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0

Punkte 100 - 95 94,5 - 90 89,5 - 85 84,5 - 80 79,5 - 75 74,5 - 70 69,5 - 65 64,5 - 60 59,5 - 55 54,5 - 50 49,5 - 0

· Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

10. Dezember 2003

in Ihr Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Ter- min ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüber- schreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrumsleiter anzuzeigen.

BEWERTUNGSSCHLÜSSEL

Pflichtaufgaben Beide Aufgaben sind

zu lösen.

Wahlaufgaben Eine Aufgabe ist zu

lösen.

Aufgabe 1 2 W3 W4 å

max. erreichbare Punkte 33 33 34 34 100

(8)

Lösung Aufgabe 1 33 Punkte

UV(Diff) Typ V D FAZ SAZ FEZ SEZ GP

- Anfang 0 0 0 0 0 , 3 -

Anfang(0) EA C 4 0 3 4 7 3

Anfang(0) EA G 3 0 0 3 3 , 7 0

G(2) EA B 4 5 5 9 9 0

G(1) EA I 2 4 8 6 10 4

C(3) EE K 2 5 9 , 8 7 11 , 10 3

K(4) I(3)

AA EE

A 1 9

8

12 10

9

15 , 13 3

B(3) EA D 4 12 14,13,12 16 17 , 16 0

K(-1) EA E 4 6 10 10 14 4

D(1) A(0)

AA EA

F 1 13

10

15 14 16 2

D(1) AA H 2 13 14 15 16 1

A(1) E(2)

AA EE

J 3 10

9 13

13

12 16 3

F(0),H(0),J(0) EA Ende 0 14,15,13, 16

16 16 16 -

b) Die Projektdauer beträgt 16 Tage.

Kritische Vorgänge sind G, B und D.

c) Die gesamte Pufferzeit des Vorganges I ist 4 (Tage). Der Anfangszeit- punkt von I läßt sich unter den günstigsten Bedingungen um 4 Tage (Ar- beitstage) verschieben, ohne den Projektendzeitpunkt zu verzögern.

6 P 6 P 6 P 6 P

1 P 1 P

2 P 2 P

3 P

(9)

Lösung Aufgabe 2 33 Punkte

x1 x2 x3 s1 s2 s3

4 2 -1 min 16 -6 -5 max

1 1 2 16 1 0 -1 4

0 -1 -1 -6 1 -1 -1 2

-1 -1 1 -5 2 -1 1 -1

³ £

-2 1 -1 1

s1 s2 s3 x1 x2 x3 k1 r.S.

0 0 0 0 0 0 -1 0

-2 1 -1 0 0 -1 0 1

1 0 -1 1 0 0 0 4

1 -1 -1 0 1 0 0 2

-2 1 -1 0 0 -1 1 1

0 0 0 0 0 0 -1 0

1 0 -1 1 0 0 0 4

-1 0 -2 0 1 -1 1 3

-2 1 -1 0 0 -1 1 1

s1 s2 s3 x1 x2 x3 r.S.

16 -6 -5 0 0 0 0

4 0 -11 0 0 -6 6

1 0 -1 1 0 0 4

-1 0 -2 0 1 -1 3

-2 1 -1 0 0 -1 1

0 0 -7 -4 0 -6 -10

1 0 -1 1 0 0 4

0 0 -3 1 1 -1 7

0 1 -3 2 0 -1 9

Die Optimallösung der primalen LO-Aufgabe lautet: x1=4 , x2=0 , x3=6 , s1=0 , s2=0 , s3=7 mit Zmin=10.

Punkteverteilung: Für die beiden Tabellen im Schema zusammen: 6 Punkte; für jede Simplextabelle: 5 Punkte; für die Optimallösung: 6 Punkte; für die Nebenrechnung in Phase 2: 1 Punkt

³

Zielzeile+6^.3.Restriktion

(10)

Lösung Aufgabe W3 34 Punkte

1 2 3 4 Min 1 2 3 4

1 ∞ 6 8 7 6 1 ∞ 0 2 1

2 9 ∞ 9 11 9 2 0 ∞ 0 2

3 8 6 ∞ 7 6 3 2 0 ∞ 1

4 10 8 9 ∞ 8 4 2 0 1 ∞

29 Min 0 0 0 1 1

1 2 3 4

1 ∞ 0⁰ 2 0⁰

2 0² ∞ 0¹ 1

3 2 0⁰ ∞ 0⁰

4 2 0¹ 1 ∞

1) M®M₁: Wahl von (2, 1). Das bedingt d₁₂^* =∞.

2 3 4 2 3 4

1 ∞ 2 0 1 ∞ 1 0¹

3 0 ∞ 0 3 0⁰ ∞ 0⁰

4 0 1 ∞ 4 0⁰ 0¹ ∞

Min 0 1 0 1

2) M®M₂: Wahl von (2,1). Das bedingt d = ∞.^*₂₁

1 2 3 4 1 2 3 4

1 ∞ 0 2 0 1 ∞ 0⁰ 2 0⁰

2 ∞ ∞ 0 1 2 ∞ ∞ 0² 1

3 2 0 ∞ 0 3 0⁰ 0⁰ ∞ 0⁰

4 2 0 1 ∞ 4 0⁰ 0⁰ 1 ∞

Min 2 0 0 0 2

M: s(M) = ρ = 29+1 = 30

1½ P 1½ P

1 P

M1: ρ1=1 s(M1) = s(M)+ρ1= = 30+1 = 31

1 P 1 P

1 P 2 P

2 P

M2 : ρ2=2 s(M2) = s(M)+ρ2 = 30+2 = 32 1 P

1 P

(11)

3) M₁®M₃: Wahl von (1, 4). Zum Ausschließen des Kurzzyklus 2-1-4-2 wird

*

d = ∞ gesetzt.42

2 3

3 0 ∞

4 ∞ 0

4) M₁®M₄: Wahl von (1, 4). Das bedingt d = ∞.₁₄^*

2 3 4 Min 2 3 4

1 ∞ 1 ∞ 1 1 ∞ 0 ∞

3 0 ∞ 0 0 3 0 ∞ 0

4 0 0 ∞ 0 4 0 0 ∞

1

Der kürzeste Hamiltonsche Zyklus lautet 1-4-3-2-1. Seine Länge beträgt 31.

2 P

1 P

M3 : ρ3 = 0

s(M3) = s(M1)+ρ3 = 31

Gewählt werden die Verbindungen (3, 2) und (4, 3). 1 P

2 P

1 P

M4: ρ4 = 1

s(M4) = s(M1)+ρ4 = 31+1 = 32 1 P

(3, 2) (4, 3)

M 30

M1

31

M3

31

(2, 1)

(1, 4)

M2

32

M4

32

(2,1)

(1,4)

Entscheidungsbaum: 5 P

5 P

(12)

Lösung Aufgabe W4 34 Punkte

Gesamtaufkommen = 12+15+45+8=80 > Gesamtbedarf = 10+15+30=55

0 1 1 -12

7 8 8 0 0 -

7 10-D 2+D 12 2

9 1 11 11 0 -

10 5-D 10+D 15 5

9 3 11 2 13 0

12 D 20-D 25 45 7

8 0 9 10 - 0 -

8 8 8 3

10 15 30 25

½1 ½4 ½6 ½7

0 1 4 -9

7 8 8 3 0 -

7 5-D 7 D

9 - 11 - 11 0 -

7 15

9 11 - 13 0

9 5+D 15-D 25

8 0 9 10 2 0 -

8 8

0 4 4 -9

7 - 8 8 0 -

4 7-D 5+D

9 - 11 0 11 0 -

7 15

9 11 2 13 0

9 10 D 10-D 25

8 - 9 10 - 0 -

5 8

D=5 1 P

D=5 5 P

D=7 5 P

7 P

(13)

0 2 4 -9

7 - 8 - 8 0 -

4 12

9 - 11 - 11 0 -

7 15

9 11 13 0

9 10 7+D 3-D 25

8 - 9 10 1 0 -

7 8-D D

0 2 3 -9

7 - 8 - 8 0 -

5 12

9 - 11 - 11 0 -

8 15

9 11 13 - 0

9 10 10 25

8 - 9 10 0 -

7 5 3

536 10 3 9 5 11 10 9 10 11 15 8 12

Z_min = × + × + × + × + × + × =

D=3 5 P

5 P

L1: 12 L2: 15 L3: 45 L4: 8

K₁: 10 K₂: 15 K₃: 30

12 15

10

10 5

3 ^{3,5 P}

2,5 P