Stundenprotokoll Sprachverarbeitung Nr. 03 Komplexe Zahlen
Definition:
Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass auch Wurzeln negativer Zahlen berechnet werden können. Dies gelingt durch Einführung einer imaginären Einheit i als Lösung der Gleichung:
.
Komplexe Zahlen werden meist in der Form dargestellt, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist. Auf die so dargestellten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei i2 stets durch − 1 ersetzt werden kann und umgekehrt.
Man nennt a den Realteil und b den Imaginärteil von .
Wozu überhaupt?
Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu
Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt.
Darstellungsformen:
• Die Darstellung heißt algebraische Form.
• Die Darstellung heißt Polarform oder trigonometrische Form.
• Die Darstellung mit Hilfe der komplexen e-Funktion heißt auch Exponentialform.
Rechenregeln :
• Addition und Subtraktion komplexer Zahlen werden (in der algebraischen Form) komponentenweise durchgeführt.
• Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert.
• Bei der Division komplexer Zahlen werden ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert.
• Beim Potenzieren komplexer Zahlen werden ihre Beträge potenziert und ihre Argumente (Winkel) mit dem Exponenten multipliziert.
Komplexe Zahlenebene:
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlen
