A 4 Komplexe Zahlen 102
A 4 Einige Rechenregeln zu komplexen Zahlen
Eulersche Formel : exp ( j α ) = e
±jα= cos α + j sin α
Da cos α und sin α als Projektionen eines Einheitsvektors auf zwei orthogonale Achsen eines Koordinatensystems aufgefaßt werden können, ergibt sich heraus die Möglichkeit zur Darstellung einer komplexen Größe in der Gaußschen Zahlenebene.
komplexe Zahl z: konjugiert komplexe Zahl z*:
z = x + j y = Re z + j Im z z* = x - j y = Re z - j Im z z = |z| exp(j α ) = |z| e j α z* = |z| exp(-j α ) = |z| e -j α
Für den Betrag einer komplexen Zahl gilt: z = ( Re z )2+ ( Im z )2 = x
2+ y
2 = z z ⋅
∗ .
= x
2+ y
2= z z ⋅
∗.
Die Phase α ergibt sich aus der Darstellung in der Gauß-Ebene zu: α = arctan Im Re z z
Weitere wichtige Beziehungen sind: cos α
α α
= e
j+ e
−j2 sowie sin α
α α
= e − e
−j
j j
2 .
Im Übrigen gelten auch bei Rechnungen mit komplexen Zahlen die Regeln der Arithmetik. So las- sen sich z.B. Real- und Imaginärteil bei den häufig auftretenden komplexen Brüchen durch Erwei- tern mit dem konjugiert komplexen Nenner trennen und wie folgt Betrag und Phase bestimmen:
z a b
c d
a b c d
c d c d
ac bd bc ad c d
= +
+ = +
+ ⋅ −
− = + + −
+ j
j
j j
j j
j( )
2 2
; z a b
c d
a b c d
a b c d
= +
+ ⋅ −
− = +
+ j
j
j j
2 2
2 2
