Stochastische Unabhängigkeit Aufgaben

Stochastische Unabhängigkeit

Aufgaben

Aufgabe 1

Ein fairer Würfel wird dreimal hintereinander geworfen. Es seien die folgenden Ergebnis- se gegeben:

A = { der Wurf ist eine 6 }

B = { die Summe der Augenzahlen der ersten beiden Würfe ist gerade}

C = { mindestens eine der gewürfelten Augenzahlen ist eine 3}

Überprüfen Sie, ob die folgenden Mengen von Ereignissen unabhängig sind:

(a) A und B (b) A und C (c) B und C (d) A, B und C Aufgabe 2

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Sind die folgenden Ereignisse stochastisch unabhän- gig, bzw. paarweise stochastisch unabhängig ?

A: Die Augenzahl beim ersten Wurf ist gerade.

B: Die Summe der beiden Augenzahlen ist gerade.

C: Beim zweiten Wurf fällt eine Primzahl.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1

Das dreimalige Werfen eines fairen Würfels entspricht der Gleichverteilung auf dem Er- gebnisraum Ω ={1,2, ...,6}³.

(a) Wir überprüfen die Ereignisse A und B auf Unabhängigkeit.

P(A) = ¹₆ · ⁶₆ · ⁶₆ = ⁶₆²₃ P(B) = ⁶₆ · ³₆ · ⁶₆ = ^6·3·6₆3

P(A∩B) =P({(6, ω₁, ω₂)|ω₂, ω₃ ∈ {1,2, ...,6}, ω₂gerade}) P(A∩B) = ^3·6₆3 = ₁₂¹

P(A)·P(B) = ⁶₆²3 · ^6·3·6₆3 = ¹₆ · ¹₂ = ₁₂¹ Die Ereignisse A und B sind unabhängig.

(b) Wir überprüfen die Ereignisse A und C auf Unabhängigkeit.

P(A∩C) = P({(6, ω₂, ω₃)|ω₂, ω₃ ∈ {1,2, ...,6}, ω₂ = 3∨ω₃ = 3}) P(A∩C) = P(A)·P({(ω₁, ω₂, ω₃)|ω₁, ω₂, ω₃ ∈ {1,2, ...,6},

ω₂ = 3∨ω₃ = 3})

P(A∩C) = P(A)·(1−P({(ω₁, ω₂, ω₃)|ω₁ ∈ {1,2, ...,6}, ω₂, ω₃ ∈ {1,2,4,5,6}}))

P(A∩C) = ⁶₆²3 ·(1−^6·5₆3²) = ¹₆ ·(1−²⁵₃₆) = ₂₁₆¹¹

Da die beiden Ergebnisse nicht gleich sind, sind die Ereignisse A und C nicht unabhängig.

(c) Wir überprüfen die Ereignisse B und C auf Unabhängigkeit.

P(B∩C) =P({(ω₁, ω₂, ω₃)|ω₁, ω₂, ω₃ ∈ {1,2, ...,6}, ω₁+ω₂gerade, ω₁ = 3∨ω₂ = 3∨ω₃ = 3})

P(B∩C) =P(C|B)·P(B) = (1−P(C^c|B))·P(B) = (1−^P(C_P(B)^c∩B))·P(B) P(B∩C) =P(B)−P(B∩C^c) = ¹₂ − (2·2+3·3)·5

216 = ¹₂ − ₂₁₆⁶⁵ = ₂₁₆⁴³ P(B)·P(C) =P(B)·(1−P(C^c)) = ¹⁸₆2 ·(1− ⁵₆³3) = ¹₂ · ₂₁₆⁹¹ = ₄₃₂⁹¹

Da die beiden Ergebnisse nicht gleich sind, sind die Ereignisse B und C nicht unabhängig.

(d) Wenn A,B und C unabhängig wären, müsste die Produktformel für alle Teilmengen gelten, dies ist jedoch nach den Teilaufgaben b) bzw. c) nicht der Fall. Damit sind die Ereignisse A,B, und C abhängig.

Lösung zu Aufgabe 2

P(^T_iA_i) = ^Q_iP(A_i) Ω ={1, ...,6}² A={ω∈Ω : ¹₂ωi ∈N}

B ={ω∈Ω : ¹₂(ω₁+ω₂ ∈N} C ={ω ∈Ω :ω₂ ∈ {2,3,5}

|A|= 18 =|B |=|C |

⇒P(A) =P(B) =P(C) = ¹₂ P(A|B) = ^P_P^(A∩B)_(B) =

1 41 2

= ¹₂ P(A|C) = ^P_P^(A∩C)_(C) = ¹₂ =P(A) P(B |C) = ¹₂ =P(B)

⇒ A,B,C paarweise stochastisch unabhängig P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C)

1

12 6= ¹₈ ⇒ A,B,C stochastisch abhängig Quelle: Stochastik

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