This leads to chemical potential dependence −βµ= exp −2π~2n mkT (3) which is a finite in the thermodynamic limit when N

Karlsruher Institut f¨ur Technologie www.tkm.kit.edu/lehre/

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 14

Prof. Dr. J¨org Schmalian Blatt 8

Dr. Una Karahasanovic, Dr. Peter Orth Besprechung 13.06.2014

1. BEC

(a) Critical temperature for free bose gas in d= 2. We have that

N = V (2π)²

Z

d²k 1

exp β^~_2m^2k2 −βµ

−1 (1)

where N₀ is the number of bosons in ground state. Substituting x= β^~_2m^2k2, we get that

N = V mkT (2π)~²

Z ∞

0

dx 1

exp (x−βµ)−1

| {z }

−ln (1−e^βµ)

. (2)

Letn=n/V be the density of bosons. This leads to chemical potential dependence

−βµ= exp

−2π~²n mkT

(3) which is a finite in the thermodynamic limit when N → ∞ while the density N/V =n is held constant. The number of bosons N₀ in the ground state is

N₀ = 1

e^−βµ−1 (4)

, which is some finite number in the limit N → ∞, whilen =N/V is fixed, due to µbeing non-zero in this limit (from Eq (3)). The fraction of bosons in the ground state α = N₀/N, see (4) hence goes to zero in the limit N → ∞ with n = N/V constant. Hence, BEC will not be achieved at any finite temperature. However at T = 0, all bosons condense into ground state, which gives T_c= 0.

(b) Critical temperature for 3-d harmonic trap. The energy levels of harmonic oscillator are given by

_nx,ny,nz = (n_x+ 1/2)~ω_x+ (n_y + 1/2)~ω_y + (n_z+ 1/2)~ω_z. (5) When the chemical potential becomes equal to the energy of the lowest level₀₀₀ = 1/2~(ω_x+ω_y+ω_z), BEC becomes possible.

The critical temperature is determined from

N = Z ∞

0

dnx

Z ∞

0

dny

Z ∞

0

dnz

1

exp (β~(ω_xn_x+ω_yn_y+ω_zn_z))−1

= ζ(3)

(β~)³ω_xω_yω_z (6)

which leads to (forω_x =ω_y =ω_z =ω)

kTc=~ω N

ζ(3) 1/3

. (7)

In particular, we have found thatT_c'N^1/3, while for the free bose gas in d= 3, it was found that Tc'N^2/3 (see previous problem sheet).

(c) Regime ωz kT ωx = ωy = ω. In this regime nz = 0 is fixed and the sy- stem behaves as effectively being 2-dimensional. Then, we determine the critical temperature from

N = Z ∞

0

dn_x Z ∞

0

dn_y 1

exp (β~(ωnx+ωny))−1

= (kT_c)²π²

6~²ω_xω_y (8)

which leads to the critical temperature

kT_c=

√6~ω

π N^1/2 (9)

i.e. T_c is finite in the presence of the trap. This is due to the fact that the density of states changes in the presence of harmonic potential – for d= 2 free boson case the density of statesg() was constant.

(d) Regime ω_x, ω_y kT ω_z. In this regime n_x = n_y = 0 is fixed, and the system becomes effectively 1-dimensional. Then

N = Z ∞

0

dn_z 1

exp (β~n_zω_z −βµ)¯ −1, (10) whereµ= 1/2~(ω_z +ω_x+ω_y) + ¯µ.

Then after performing the integral

N β~ω_z =−ln (1−e^βµ¯) (11) which for small βµ¯ leads to

−βµ¯= exp (−N β~ω_z) (12) The thermodynamic limit is defined asN → ∞, whileN ω_z =const. This is equiva- lent to part (a) (for example compare (10) and (2), here N ω_z =const in thermody- namic limit plays the role of density being fixed in problem a)). Hence the critical temperature will be zero, following the same line of reasoning as in part a).

2. Van-der-Waals-Gas und Maxwellkonstruktion: (5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25 Punkte)

(a) Betrachten wir zun¨achst das totale Differential der inneren Energie U(T, V)≡U(S(T, V), V)

dU = ∂U

∂S

∂S

∂T V

dT + ∂U

∂S

∂S

∂V T

dV + ∂U

∂V T

dV

=T ∂S

∂T V

dT +

T ∂p

∂T V

−p

T

dV

=C_V (V, T)dT +

T ∂p

∂T V

−p

dV (13)

wobei wir die Maxwell-Beziehung _∂T^∂p

V = _∂V^∂S

T verwendet haben.

Die obige Relation k¨onnen wir nutzen um eine weitere

”Maxwell-Beziehung “ herzuleiten

∂U

∂T

V

(13)= C_V (V, T) ,

∂U

∂V

T (13)=

T ∂p

∂T V

−p

∂U

∂T ∂V = ∂U

∂V ∂T ⇒ ∂C_V

∂V T

= ∂

∂T

T ∂p

∂T V

−p

V

. (14)

Bestimmen wir zun¨achstT _∂T^∂p V −p:

p = N kBT V −N b −

N V

2

a

∂p

∂T V

= N kB

V −N b T ∂p

∂T _V

−p = N

V 2

a (15)

Wegen (15) und (14) ist die W¨armekapazit¨at unabh¨angig vom Volumen, wir k¨onnen also schreiben

dU =C_V (T)dT + N

V 2

adV

Diese Beziehung kann nun integriert werden. Wir beginnen im Anfangszustand mit (T₀, V₀) sowie der inneren Energie U₀ und erhalten somit

U(T, V) =U₀(V₀, T₀) + Z T

T0

C_V (T)dT −N²a 1

V − 1 V0

.

F¨ur kleine Temperatur¨anderungen k¨onnen wir die W¨armekapazit¨at als konstant annehmen C_V (T) =C_V ¹ und erhalten dadurch

U(T, V) = U₀(V₀, T₀) + C_V (T −T₀)−N²a 1

V − 1 V₀

. (16)

Die innere Energie nimmt also f¨ur zunehmendes Volumen zu. Bei zunehmendem Volumen wird der mittlere Abstand zwischen den Teilchen gr¨oßer, wodurch der Effekt der anziehenden Wechselwirkung verringert wird, die Energie des Systems steigt folglich.

Nun vergleichen wir dies mit dem Ergebnis, das man im Grenzfall niedriger Teil- chendichten aus der Zustandssumme erh¨alt. Aus der Vorlesung (Kapitel 6.1) ist bekannt:

Z = V^N N!λ(T)^dN

1 + N² 2V a(T)

(17) mit

λ(T) =

h² 2πk_BT m

¹₂

, ∂_Tλ(T) = −λ(T) 2T a(T) = 2a

k_BT −2b , ∂Ta(T) =− 2a k_BT²

Bestimmen wir zun¨achst die Freie Energie und damit die Entropie

F =−k_BTln(Z) (18)

S =− ∂F

∂T

V,N

=kBln(Z) +kBT∂_TZ

Z (19)

Somit erhalten wir f¨ur die Innere Energie im Grenzfall N/V 1 U =F +T S=k_BT²∂_TZ

Z = k_BT² Z

∂Z

∂λ(T)

∂λ(T)

∂T + ∂Z

∂a(T)

∂a(T)

∂T

= kBT²N!λ(T)^dN V^N 1 + ^N_2V²a(T)

− V^NdN

N!λ(T)^dN+1∂_Tλ(T)

1 + N² 2V a(T)

+ V^N

N!λ(T)^dN N²

2V ∂_Ta(T)

=k_BT²

"

−N d

λ ∂_Tλ(T) + N² 2V

∂Ta(T) 1 + ^N_2V²a(T)

#

=k_BT²N (

−d

λ∂_Tλ(T) + N

2V ∂_Ta(T) +O

"

N V

2#)

=N (d

2k_BT − N

V a+O

"

N V

2#)

(20)

1This is motivated by the fact that for an ideal non-interacting gas we know that the heat capacity is d/2N k (N k/2 per degree of freedom), i.e. independent from temperature and we expect the deviations from this to be small. Alternative way to see this is to start with the derivation from Eq (17) and follow the steps to (20)-(21), where one can see that in the limit of low density N/V (classical limit, where inter-particle distance is much bigger than thermal deBroglie wavelength) possible temperature dependent corrections to heat capacity become negligible.

bestimmen wir nun noch die W¨armekapazit¨at C_V =

∂U

∂T

V

= d

2N k_B+O

"

N V

2#

(21) so sehen wir, dass gilt

U(T, V)≈CVT − N²a

V (22)

was zu zeigen war.

(b) Die Isothermen des Van-der-Waals-Gases haben folgende Form:

Die ¨Anderung der freien Energie ist gegeben durch:

dF =−SdT −P dV +µdN und bei konstanter Teilchenzahl entlang einer Isothermen:

dF =−P dV also folgt:

F(V) =F(V₀)− Z V

V0

P(V)dV

wobeiP(V) die aus der Van-der-Waals-Gleichung resultierende Isotherme ist.

Wir finden alsoF(V) aus P(V) durch integrieren:

Schematisch erhalten wir folgende Ergebnisse:

F¨ur die Isotherme Kompressibilit¨atκ_T :=−_V¹

∂V

∂p

T ,N gilt 1

V κ_T =− ∂p

∂V

T ,N

= ∂²F

∂V²

T ,N

(23) F¨ur T < T_C wird dieser Ausdruck negativ im Bereich V_< < V < V_>. In diesem Bereich ist die L¨osung der Van-der-Waals-Gleichung unphysikalisch. Das homogene Gas ist nicht stabil.

(c) Eine konvexe freie Energie im unphysikalischen Bereich der Van-der-Waals-Kurven kann erreicht werden, wenn die Koexistenz zweier PhasenAundB(fl¨ussig, gasf¨ormig) angenommen wird. Ein solcher Bereich wird motiviert durch die Tatsache, dass bei Variation des Drucks zwei physikalische L¨osungen (zus¨atzlich zur unphysikalischen) aus der Van-der-Waals-Gleichung resultieren. Wir bezeichnen im Koexistenzbereich die stabile, physikalisch realisierte Koexistenz-P(V)-Kurve mitP_coex(V) und die aus der Van-der-Waals-Gleichung resultierende mit P_{V dW}(V).

Die mechanische Stabilit¨at erfordert zun¨achst, dass der Druck in den beiden Phasen gleich ist:

PA(V) =PB(V) =P_coex(V)

Desweiteren ¨andert sich der Druck im Koexistenzbereich nicht mit dem Volumen Pcoex(V)|_V

A<V <VB =PA=PB.

Diese Eigenschaft folgt aus der Bedingung, dassµA(P, T) und µB(P, T) Funktionen von lediglichP undT sind (daG(T, P, N) = N µ(T, P)²). DruckP und Temperatur T sind in beiden Phasen gleich, und im Gleichgewicht mussµA(P, T) =µB(P, T) gel- ten. Da die Funktionen µA(P, T) und µB(P, T) verschieden sind (das ist die Bedin- gung daf¨ur, dass es sich um zwei verschiedene Phasen handelt), f¨uhrt die Gleichung µA(P, T) = µB(P, T) auf eine Koexistenzkurve Pcoex(T) in einem P-T-Diagramm.

[Bem.: Auf dieser Koexistenzkurve ist das GesamtvolumenV unbestimmt]. Daraus folgt, dass entlang einer Isotherme (T=konstant) im Koexistenzbereich auch der Druck konstant bleiben muss. [Bem.: Ausserhalb des Koexistenzbereichs existiert die zus¨atzliche Beschr¨ankung µA(P, T) = µB(P, T) nicht, also kann P entlang der Isotherme wieder variieren.] Aus dem Gesagten folgt, dass die korrekte Isotherme imP −V-Diagramm eine horizontale Linie ist. Wir m¨ussen also nur noch heraus- finden, mit welchem Druck P = P_A = P_B diese horizentale Linie assoziiert ist.

Im F −V-Diagramm entspricht die Koexistenzkurve einer Geraden mit Anstieg

−PA=−PB.

DamitF uberall eine konvexe Funktion von¨ V wird, muss die entsprechende Gerade im Koexistenzbereich in die Tangenten vonF bei VA und VB m¨unden, das heißt,

−PA= ∂F

∂V

T,N

V=VA

=−PB = ∂F

∂V

T,N

V=VB

= F(V_A)−F(V_B)

V_A−V_B (24)

2Aus U =T S−pV +µN undG=U−T S+pV folgt G(T, P, N) =N µ(T, P, N). Dividiert man z.B.

diese Gleichung durchN, steht auf der linken Seite die intensive Gr¨oßeG(T, P, N)/N. Folglich muss auch auf der rechte Seite eine intensive Gr¨oße stehen undµ(T, P, N) kann nicht vonN abh¨angen, alsoµ(T, P).

Benutzen wir nun, dass

F(V_A)−F(V_B)≡ Z V_B

VA

P_{V dW}(V)dV so ergibt sich mit (24)

Z VB

VA

P_{V dW}(V)dV =P_A(V_B−V_A) (25)

Dies ist ein Ausdruck f¨ur die Maxwell-Konstruktion: Die Fl¨achen zwischen den Van- der-Waals-Isothermen und der horizontalen Isothermen im Koexistenzbereich sind oberhalb und unterhalb der horizontalen Isothermen gleich. Grafisch interpretiert besagt Gleichung (25) n¨amlich, dass die Fl¨ache unterhalb der VdW-Isothermen gleich der Fl¨ache des hellgrauen Rechtecks sein muss. Dies ist jedoch nur m¨oglich, wenn der schraffierte Bereich fl¨achengleich dem

”oben fehlenden“weißen Bereich ist.

(d) Die Stabilit¨at der Koexistenz zweier Teilsysteme A und B erfordert:

TA =TB =T wenn W¨aermeaustauch m¨oglich ist, PA =PB =P wenn Volumenaustauch m¨oglich ist, µA =µB =µ wenn Teilchenaustauch m¨oglich ist.

Desweiteren folgt aus der Diskussion in b), dass auf einer Isothermen (T=konstant) im Koexistenzbereich auch der Druck und das chemische Potential konstant bleiben m¨ussen, also sogarP_A=P_Bundµ_A=µ_Bgelten (wobei hierAundBden Zust¨anden mit Volumina V_A und V_B entsprechen).

Mittels der Gibbs-Duhem-Beziehung dµ=−S

NdT + V NdP

folgt daraus f¨ur die Integrale entlang einer Van-der-Waals-Isothermen von Zustand A nach Zustand B:

Z B

A

dµ= 1 N

Z B

A

V_{V dW}(P)dP

und wegen µB−µA= 0:

Z B

A

VV dW(P)dP = 0 (Maxwell-Konstruktion) (e)

P +N²a V²

(V−N b) =N k_BT ⇒ V³−

N b+N kBT P

V²+N²a

P V−N³ab P = 0 Polynom dritten Grades hat 3 komplexe Nullstellen:

(V −V₁)(V −V₂)(V −V₃) = 0

ist die Normalform. F¨ur T < T_c bei Dampfdruck (Koexistenzdruck) ergeben sich drei reelle Nullstellen. F¨urT =T_c beiP_c ergibt sich eine dreifache Nullstelle beiV_c.

⇒ vergleiche 0 = (V −V_C)³ =V³−3V_CV²+ 3V_C²V −V_C³

mit obiger Form des Polynoms. Dies liefert drei Gleichungen f¨ur die Unbekannten P_c, V_c und T_c:

3VC =N b+ N k_BT_C

P_C ; 3V_C² = N²a

P_C ; V_C³ =N³ab P_C und somit: V_C = 3N b; P_C = a

27b²; k_BT_C = 8 27

a b und P_CV_C

N k_BT_C = 3

8 Dies ist eine universelle, materialunabh¨angige Konstante.

3. Ising-Modell

(a) Wir leiten zun¨achst eine hilfreiche Relation her. Sei σ ∈ {−1,1} und α∈C e^ασ =

∞

X

n=0

1

n!(ασ)ⁿ

=

∞

X

m=0

1

(2m)!(ασ)^2m+

∞

X

m=0

1

(2m+ 1)!(ασ)^2m+1

σ^2m=1

=

∞

X

m=0

1

(2m)!α^2m+σ

∞

X

m=0

1

(2m+ 1)!α^2m+1

= coshα+σsinhα

Die Zustandssumme f¨ur N Spins lautet Z(N) =X

{σ^z_i}

exp

"

J k_BT

N−1

X

i=1

σ_i^zσ^z_i+1

#

=X

{σ^z_i} N−1

Y

i=1

exp J

k_BTσ_i^zσ_i+1^z

,

exp J

k_BTσ_i^zσ_i+1^z

= cosh J

k_BT +σ^z_iσ^z_i+1sinh J k_BT, und speziell f¨ur N=3:

Z(3) = X

{σ^z_i} 2

Y

i=1

cosh J

k_BT +σ_i^zσ_i+1^z sinh J k_BT

(26)

= X

{σ^z_i}

cosh² J

k_BT + (σ₁^zσ₂^z+σ₂^zσ₃^z) cosh J

k_BT sinh J

k_BT +σ^z₁σ₂^zσ₂^zσ₃^zsinh² J k_BT

= 2³cosh² J k_BT, weil

X

{σ_i^z}

σ^z₁σ₂^z =X

{σ_i^z}

σ^z₂σ₃^z = 0, und

X

{σ^z_i}

σ^z₁σ^z₂σ₂^zσ₃^z =X

{σ_i^z}

σ₁^zσ₃^z = 0.

Allgemein gilt f¨ur N Spins P

{σ^z_i}σ^z_jσ_k^z = 2^Nδ_jk und man erh¨alt mit der selben Argumentation wie f¨ur 3 Spins:

Z(N) = 2^N

cosh J k_BT

N−1

(27) (b)

F =−k_BTlnZ(3) =−3k_BT ln 2−2kBT ln cosh J k_BT. (c)

S=−∂F

∂T = 3k_Bln 2 + 2k_Bln cosh J

k_BT −2J

T tanh J k_BT, c_H =T

∂S

∂T

H

= 2J² k_BT²

1

cosh²[J/(k_BT)]. (d)

hσ_i^zi= 1 Z(3)

X

{σ_i^z}

σ^z_i exp

"

J kBT

N−1

X

i=1

σ^z_iσ_i+1^z

#

= 1

Z(3) X

{σ_i^z}

σ^z_i

N−1

Y

i=1

cosh J

kBT +σ^z_iσ^z_i+1sinh J kBT

= 0

weil alle Glieder antisymmetrisch sind

(e)

M(H) = − ∂F

∂H

T ,N

=k_BT∂_HZ(H, N) Z(H, N)

= 1

Z(H, N) X

{σ^z_i} N

X

j=1

µσ_j^zexp

"

J k_BT

N−1

X

i=1

σ_i^zσ_i+1^z + µH k_BT

N

X

i=1

σ_i^z

#

wobei

Z(H, N) = X

{σ_i^z}

exp

"

J k_BT

N−1

X

i=1

σ^z_iσ_i+1^z + µH k_BT

N

X

i=1

σ^z_i

# .

WennµH k_BT,

exp µH

kBTσ_i^z

≈1 + µH kBTσ_i^z, und Z(H, N)≈Z(N).

Dann erhalten wir M(H) = 1

Z(H, N) X

{σ^z_i} N

X

j=1

µσ^z_jexp

"

J k_BT

N−1

X

i=1

σ^z_iσ_i+1^z

# 1 +

N

X

i=1

µH k_BTσ_i^z

!

=µ

N

X

j=1

hσ^z_ji

|{z}

d)= 0

+µ²H k_BT

N

X

j=1 N

X

i=1

hσ_i^zσ_j^zi

≡χH mit

χ= µ² k_BT

N

X

i=1 N

X

j=1

hσ^z_iσ_j^zi.

Betrachten wir zun¨achst hσ^z_iσ_j^zi= 1

Z X

{σ_i^z}

σ^z_iσ_j^zexp

"

J kBT

N−1

X

k=1

σ_k^zσ_k+1^z

#

= 1 Z

X

{σ_i^z}

σ^z_iσ_j^z

N−1

Y

k=1

cosh J

kBT +σ_k^zσ_k+1^z sinh J kBT

= 1 Z

X

{σ_i^z}

σ^z_iσ_j^z(

cosh J kBT

N−1

+

cosh J kBT

^N−2

sinh J

kBT σ₁^zσ₂^z+σ₂^zσ₃^z+· · ·+σ_N−1^z σ_N^z +

cosh J k_BT

N−3

sinh J k_BT

2

σ₁^zσ₃^z+σ₁^zσ₂^zσ₃^zσ^z₄+· · ·+σ^z₂σ₄^z+· · ·+σ_N^z₋₂σ^z_N +· · ·)

(27)=

tanh J k_BT

|i−j|

dabei haben wir verwendet, dass im Produkt nur der Term ¨ubrig bleibt in welchem σ^z_iσ_j^z mit sich selbst multipliziert wird.

F¨ur N = 3 erhalten wir mit dieser Formel oder direkt mit (26):

h(σ_i^z)²i= 1, hσ^z₁σ₂^zi=hσ^z₂σ^z₃i= 1

Z(3)2³cosh J

k_BT sinh J

k_BT = tanh J k_BT, hσ₁^zσ^z₃i= 1

Z(3)2³sinh² J

k_BT = tanh² J k_BT. Somit gilt

3

X

i=1 3

X

j=1

hσ_i^zσ_j^zi= 3+2 (hσ^z₁σ₂^zi+hσ^z₂σ^z₃i+hσ₁^zσ^z₃i) = 3+2

2 tanh J

k_BT + tanh² J k_BT

.

und f¨ur die Magnetisierung erhalten wir:

M = µ²H k_BT

"

1 + 2

1 + tanh J k_BT

2# .

(f)

χ= ∂M

∂H H→0

= µ² k_BT

"

1 + 2

1 + tanh J k_BT

2# .