A n a ly s is 3

Index orientierbar,95 Orientierung,96 meromorph,56 Normaleneinheitsvektor,80 nullhomotop,15 offen,3 Ordnung,33 OrdnungdesPols,45 Parameterdarstellung,67 äquivalent,68 Poincare-Identität,112 Polstelle,45 Potential,76 Produkt,110 projizierbar,81 Puiseux-Reihen,41 punkteweisekonvergent,5 Randpunkt,92 Residuum,50 RiemannscheFläche,33 Rotation,76 SatzvonGreen,87 Skalarfeld,76 Stammfunktion,12 Standardabschätzung,75 Standardbereich,81 stetig,4 Tangenteneinheitsvektor,68 Tangentialebene,79 Tangentialraum,94 Umlaufszahl,48 Vektorfeld,75 Divergenz,75 Gradient,76 Gradientenfeld,76 Potential,76 Rotation,76 Skalarfeld,76

verträglich,113 Vielfachheit,33 wachsenderIndex,108 Weg,10 Wegintegral,77 wegzusammenhängend,31 wesentlicheSingularität,46 ZerlegungderEins,99 136

Priv.-Doz.Dr.PeterH.Lesky,UniversitätStuttgart

A n a ly s is 3

Vorlesungsmitschrieb Stuttgart,Wintersemester2012/2013 Revision:2.Januar201 FürHinweiseaufDruckfehlerundKommentarejederArtbinichdankbar. 1HenriMenke,phy86901@stud.uni-stuttgart.de

Index

In d e x

0-dimensionaleMannigfaltigkeit,91C1-homotop,15k-Grundform,108k-Inhalt,103k-dimensionaleMannigfaltigkeitmitRand,92k-dimensionaledifferenzierbareMannig-faltigkeit,91

abgeschlossen,3Ableitung,9,110Ableitungsfunktion,9Abschluss,4absolutkonvergent,5Abstand,99analytisch,18analytischfortsetzbar,60analytischeFortsetzung,60,62Arbeit,106Argument,2Atlas,91kompatibel,96orientiert,95verträglichorientiert,97

berandet,55Betrag,2bewerteterKörper,2Bogenlängendarstellung,73

Cauchy-FormelfürLaurent-Koeffizienten,44Cauchy-RiemannschenDifferentialglei-chungen,18

Differentialform,107differenzierbar,9Divergenz,75

einfachzusammenhängend,64ErweiterteCauchy’scheIntegralformel,24

FlächeimR3,79 FlächeninhaltderFlächeF,80Fluss,106

ganzeFunktion,25Gebiet,31geschlossen,10gleichmäßigkonvergent,5Gradient,76Gradientenfeld,76GreenscherBereich,87

hebbareSingularität,45holomorph,18

Innere,4Integral,80Integralvonf,10isolierteSingularität,45

Jordan-Kurve,67

Karte,91gleichorientiert,95Kompatibilität,95Klassem,91komplexenZahlen,1konjugiertkomplexeZahl,2konvergiert,3Kreiskette,60Kurve,67Bogenlänge,69glatt,69rektifizierbar,69stückweiseglatt,69KurvenintegralvonfüberK,74

Länge,13längs,60Laurent-Entwicklung,44Laurent-Reihe,44

Mannigfaltigkeit,91

0-dimensional,91kompakt,104

135 DiesesWerkistuntereinerCreativeCommonsLizenzvomTypNamensnennung-Nicht-kommerziell-WeitergabeuntergleichenBedingungen3.0Deutschlandzugäng-lich.UmeineKopiedieserLizenzeinzusehen,konsultierenSiehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/de/oderwendenSiesichbrieflichanCreativeCom-mons,444CastroStreet,Suite900,MountainView,California,94041,USA.

Inhaltsverzeichnis

In h a l t s v e r z e ic h n is

1Funktionentheorie1 1.1Grundlagen1 1.2HolomorphieundAnalytizität17 1.3Nullstellen33 1.4IntegralelängsgeschlossenerKurven43 1.5AnalytischeFortsetzung59 2Vektoranalysis67 2.1Kurvenintegrale67 2.2FlächenintegraleimR379 2.3VolumenintegraleundIntegralsätze81 2.4Mannigfaltigkeiten91 2.5ZerlegungderEins99 2.6IntegrationaufMannigfaltigkeiten103 2.7Differentialformen106 2.8RechnenmitDifferentialformen110 3GewöhnlicheDifferentialgleichungen117 3.1Funktionalanalysis117 3.2Beispiele118 3.3ExistenzundEindeutigkeit124 3.4LineareDifferentialgleichungen128 Index135

iii

GewöhnlicheDifferentialgleichungen 3 1.)LösezunächstdashomogeneSystem.DerAnsatzy=xαlieferteinLösung

y1(x)= 1xfürx∈I.DerAnsatzvond’Alembert: y(x)=c(x) 1xführtzu

y2(x)= e−2x

x

aufI.Esergibtsich

W(x)=det  1x e−2xx− 1x2 −2xe−2x−e−2xx2 

|{z}=:B =− 2e−2x

x2 ≠0(aufI)

und

B−1= x+ 12 x2− e2x

2 xe2x

2 !

VariationderKonstanten:

c′1c′2 !=B−10

1−e−2x

x != 12 1−e−2x

1−e2x !

berechnec1,c2:

c1= 1

2 (x+ e−2x

2)c2= 1

2 (x− e2x2) fürypart(x)mussgelten ypart(x)= 1

2 (x+ e−2x

2) 1x + 1

2 (x− e2x2) e−2x

x

= 1

2 + e−2x

4x + e−2x

2 − 1

4x

Wähleypart= 1

2+ e−2x 2unddamit yinhom= 1

2 + e−2x

2 +c1 1x +c2 e−2x

x c1,c2∈Rµ

133

3.4

LineareDifferentialgleichungen isteinVektorraum-Isomorphismus.EineBasisvonLhomheißtFundamental- system. b.)Füry1,...,yn∈Lhomsindäquivalent i.){y1,...,yn}istFundamentalsystem ii.) ∀x∈I:W(x)=det     y1(x)···yn(x)

. . .

. ..

. . .

y(n−1) 1(x)···y(n−1) n(x)

    

≠0 (Wronski-Determinante) iii.)∃x0∈I:W(x)≠0 2.)IminhomogenenFall(g≠0): a.) Linhom=ypart+Lhom wobeiypart∈Linhombeliebigaberfestgewählt. b.)VariationderKonstanten:Ist{y1,...,yn}einFundamentalsystem,soist y(x):=c1(x)y1(x)+···+cn(x)yn(x) genaudannLösungderDGL,falls c′ 1      

y1 y′ 1 . . .

y(n−1) 1

      +c′ 2

      

y1 y′ 1 . . .

y(n−1) 1

      +···+c′ n

      

y1 y′ 1 . . .

y(n−1) 1

      =

      0 0 . . . g

      

⇐⇒

    c′ 1 . . . c′ n

    =

    

y1(x)···yn(x) . . .

. ..

. . .

y(n−1) 1(x)···y(n−1) n

    ⁻

1 |{z} det(...)=W(x)≠0

      0 . . . 0 g

      

⋊ 4.7¸BeispielGegebensei xy′′ +2(x+1)y′ +2y=1−e−2x FormeinpassendeFormum: y′′+2(1+1 x)y′+2 xy=1−e−2x x DieLösungexistiertaufI=(0,∞)oderaufI′=(−∞,0) 132

Funktionentheorie

1 F u n k t io n e n t h e o r ie

1.1Grundlagen 1.1DefinitionDiekomplexenZahlenwerdendefiniertdurch C≔{(x,y):x,y∈R} mitdenVerknüpfungen (x1,y1)+(x2,y2)≔(x1+x2,y1+y2), (x1,y1)·(x2,y2)≔(x1x2−y1y2,x1y2+y1x2).⋊ 1.2Bemerkung:1.)(C,+,·)isteinKörpermitNullelement(0,0)undEinselement(1,0). 2.)ϕ:R→C:x֏(x,0)isteininjektiverKörperhomomorphismus,insbesondere gilt ϕ(x1+x2)=ϕ(x1)+ϕ(x2), ϕ(x1·x2)=ϕ(x1)·ϕ(x2). IdentifiziereRmitϕ(R)={(x,0):x∈R}.Schreibe(x,0)≕x∈R 3.)ImaginäreEinheiti≔(0,1) =⇒

 2i=(0,1)·(0,1)=(−1,0)=−1 (x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+y·i=x+iy RechneninC (x,y)·(x,y)=(x+iy)·(x+iy)11221122 2=xx+ixy+ixy+(i)yy12122112 =xx−yy+i(xy+xy)12121221 11x−iyx−iy1 ===(x−iy)2222x+iyx+iyx−iyx−(iy)x+y ! x−yx−y =+i=, 22222222x+yx+yx+yx+y

GewöhnlicheDifferentialgleichungen 3 b.)Setzey(x)=c1(x)y1(x)+···+cn(x)yn(x)indieDGLein:

y′= nX

i=1 (c′jyj+cjy′j) !=A(x) nX

j=1 cjyj +g

⇐⇒ nX

j=1 c′jyj+ nX

j=1 cjy′j= nX

j=1 cjA(x)yj|{z}y′j +g

⇐⇒ nX

j=1 c′jy′j=g 4.4DefinitionSeiI⊂ReinIntervallunda0,...,an−1,g∈C(I→R).Dannheißt

y(n)+an−1y(n−1)+···+a1y′+a0y=gfürdieUnbekanntey∈Cn(I→R)lineareDifferentialgleichungn-terOrdnung.Fürg=0nennenwirsiehomogen,sonstinhomogen.⋊

4.5Bemerkung:1.)Seiy∈Cn(I→R)eineLösungvonobigerDGL,u1:=y,u2:=y′,...,un:=y(n−1),dannist

u′=  y′

y′′

...y(n−1)

y(n)  =  u2u3...un−an−1un−an−2un−1−···−a0u1+g 

=  01···0... ... ...0 0001−a0−a1···−an−1  +  0...0g 

2.)Istumgekehrtu∈C1(I→Rn)LösungvonobigemSystemundy:=u1,dannlösty∈Cn(I→R)dieursprünglichlineareDGLn-terOrdnung.⊸

4.6Korollar:Folgerung1.)ImFallg=0:

a.)DieMengederLösungen

Lhom={y∈Cn(I→R):...}

bildeteinenlinearenUnterraumvektorvonCn(I→R)derDimensionn.DieAbbildung

Px0:Lhom→Rn:y֏Px0(y):=  y(x0)y′(x1)...y(n−1)(x0) 

131 1.1 Grundlagen

DerRealteileinerkomplexenZahlistdefiniertals

Re(x,y)=Re(x+iy)=x,

derImaginärteilistdefiniertals

Im(x,y)=Im(x+iy)=y.⊸

GaußscheZahlenebene

Re Im

ϕ |z

|

x=Re(z) y=Im(z) z=x+iy

1.3Definition1.)z=x+iy=⇒z=x−iyheißtkonjugiertkomplexeZahlzuz.

2.)|z|= px2+y2= √z·zheißtBetragvonz.

3.)Polardarstellung:Seiz=x+iy=|z|(cosϕ+isinϕ),wobeiϕ=arg(z)(Argumentvonz)eindeutiggegebenistdurch

−π≤ϕ<π,cosϕ= xpx2+y2,sinϕ= ypx2+y2.

RechnenmitPolardarstellung:

z1·z2=|z1|·|z2|(cos(ϕ1+ϕ2)+isin(ϕ1+ϕ2)) zn=|z|n(cosnϕ+isinnϕ)

DieLösungvonzn=r(cosϕ+isinϕ)istgegebendurch

|z|=r1/n, ϕ= ψn + 2πkn ,k=0,1,...,n−1.⋊

1.4Satz(C,+,·,|·|)isteinbewerteterKörper,dasheißtfür|·|:C→Rgelten:

1.)|z|≥0∧(|z|=0⇐⇒z=0)

2.)|z1·z2|=|z1|·|z2| 3.)|z1+z2|≤|z1|+|z2|(△-Ungleichung)

Außerdemgiltdie»△-Ungleichungnachunten«:

|z1±z2|≥ |z1|−|z2| ⋊

2

3.4

LineareDifferentialgleichungen 2.)InhomogenerFall(g≠0): a.)DieMengederLösungenLinhombildeteinenaffinenUnterraumvonC1(I→ Rn) Linhom={y∈C1(I→Rn:y′=A(x)y+g(x)) Istypart∈Linhomeinebeliebige,aberfestgewählt(partikuläreLösung),sogilt Linhom=ypart+Lhom b.)NutzeVariatonderKonstanten:Ist{y1,...,yn}einFundamentalsystem,so ist y(x)=c1(x)y1(x)+···+cn(x)yn(x) genaudannLösungvony′=A(x)y+g(x),wenn c′ 1y1+···+c′ nyn=g⇐⇒ y1···yn |{z} det(...)=W(x)≠0

    c′ 1 . . . c′ n

    =g ⇐⇒

    c′ 1 . . . c′ n

    = y1···yn−1 g Beweis1.)a.)Nach4.1istLhom≠0.Seieny,˜yLösungenvony′=A(x)yund α,β∈R,dannistfüru=αy+β˜y u′=αy′+β˜y′=αAy′+βA˜y′=Au unddamitu∈Lhom.DamitistLhomUntervektorraum.DieAbbildungPx0ist linearundwohldefiniert,dadieLösungderDGLeindeutig. b.)Px0isteinVektorraum-Isomorphismus,da {y1,...,yn}lin.unabhängig⇐⇒{Px0y1,...,Px0yn}lin.unabhängig ⇐⇒det(y1(x0)...yn(x0))=W(x0)≠0 2.)a.)Zeigeypart+Lhom⊂Linhom.Seiy∈Lhom,u:=y+ypart,dannist u′=y′+y′ part=Ay+Aypart+g=Au+g alsou∈Linhom. ZeigeLinhom⊂ypart+Lhom.Seiu∈Linhom,y:=u−ypart,dannist y′=Au+g−(Aypart+g)=Ay alsoy∈Lhomunddamitu=ypart+y∈ypart+Lhom. 130

Funktionentheorie

1.5DefinitionEineFolge(zn)inCkonvergiertgegenz∈C,falls ∀ε>0∃Nε∈N∀n>Nε:|zn−z|<ε. Manschreibtz=lim n→∞znoderzn→z(n→∞).⋊ 1.6SatzEsgeltezn→zundwn→winC.Danngelten 1.)zn±wn→z±w, lim n→∞(zn+wn)=lim n→∞zn+lim n→∞wn. 2.)zn·wn→z·w, 3.)Fallsw≠0und w′ n≔  1fallswn=0 wnsonst, dann zn wn→z w. 4.)zn→z⇐⇒Rezn→Rez∧Imzn→Imz.⋊ 1.7Definition1.)Seienr>0,z0∈C.Dannheißt Kr(z0)≔{z∈C:|z−z0|<r} offeneKreisscheibeumz0. Re

Im br

Kr(z0) z0 2.)EineTeilmengeO⊆Cheißtoffen,falls ∀z∈O∃rz>0:Krz(z)⊆O A⊆Cheißtabgeschlossen,fallsC\Aoffen. BeliebigeVereinigungenundendlicheSchnitteoffenerMengensindoffen.Beliebige SchnitteundendlicheVereinigungenabgeschlossenerMengensindabgeschlossen.

GewöhnlicheDifferentialgleichungen 3 4.2Bemerkung:AnwendungvonPicard-LindelöfaufobigeDifferentialgleichungmity(x0)=y0(fürvorgegebenes(x0,y0)∈I×Rn),B:=Rn,D=RnundLipschitzbedingung

kf(x,y)−f(x,˜y

)k=kA(x)(y−

)k≤cky−yk˜y˜

fürx∈K⊂ImitKkompakt.

DerSatzliefertalsoeinelokaleLösungφ:=y∈C1([x0−r,x0+r]→Rn).ErneuteAnwendungmitAnfangsbedingungy(x0+r)=φ(x0+r)liefertdieLösung ψ:=y∈C1([x0+r−˜r,x0+r+˜r]→Rn)

ZusammenklebenderLösungenliefert

y(x)=  φ(x)x0−r≤x≤x0+rψ(x)x0+r≤x≤x0+r+˜r Diesesyiststetigauf[x0−r,x0+r+˜r].Weiteristy′stetigaufdemselbenIntervall,da

φ′(x0+r)=A(x0+r)φ(x0+r)+g(x0+r)

=A(x0+r)ψ(x0+r)+g(x0+r)

=ψ′(x0+r) Alsistdiesesy∈C1([x0−r,x0+r+r′]→Rn)eineLösungvon y′=A(x)y+g(x)∧y(x0)=y0

DieFortsetzungistsolangemöglich,bisy∈C1(I→Rn)(ohneBeweis).⊸

4.3Satz1.)HomogenerFall(g=0):

a.)DieMengederLösungen

Lhom={y∈C1(I→Rn:y′=A(x)y)

bildeteinenUntervektorraumvonC1(I→Rn)derDimensionn.Fürfestesx0∈Iist

Px0:Lhom→Rn:y֏Px0y:=y(x0) einVektorraum-Isomorphismus.EineBasisvonLhomheißtFundamentalsys-tem(auchimFallg≠0).

b.)FürnLösungeny1,...,yn∈Lhomsindäquivalent:i.){y1,...,yn}isteinFundamentalsystemii.)∀x∈I:W(x):=det(y1(x)...yn(x))≠0(Wronski-Determinante)iii.)∃x0∈I:W(x0)≠0.

129 1.1 Grundlagen

FüreinebeliebigeTeilmengeM⊆Cist

˚M≔ [

O∈{O⊆C:Ooffen∧O⊆M} O(istoffen)

dasInnerevonM(diegrößteoffeneMengeO⊆M)

M≔ \

A∈{A⊆C:Aabgeschlossen∧M⊆A} A(istabgeschlossen)

derAbschlussvonM(diekleinsteabgeschlosseneMengeAmitM⊆A)⋊

1.8¸Beispiel1.)0,Csindoffenundabgeschlossen.AlleanderenTeilmengenvonCsindentwederoffen,abgeschlossenoderkeinsvonbeidem(beispielsweisehalb-offeneIntervalle).

2.)Kr(z0)istoffen.

Kr(z0)={z∈C:|z−z0|≤r}

3.)RistnichtoffeninC.

Fürz0∈Ristfürbeliebigkleinesr>0stets Kr(z0)∩C\R≠0.

Re Im

R1 Kr(1)

IstR⊆Cabgeschlossen?Ja.⇐⇒IstC\Roffen?Ja.µ

1.9DefinitionSeiO⊆Coffen,f:O→C.Dannheißtfstetiginz0∈O,falls

∀ε>0∃δε∀z∈O:|z−z0|<δ=⇒|f(z)−f(z0)|<ε

oder

∀(zn)FolgeinO:zn→z0=⇒f(zn)→f(z0).

fheißtstetig,fallsfinjedemz0∈Ostetigist.⋊ 1.10Satz1.)Seienf,g:O→C,z0∈O,f,gstetiginz.Dannsind

f±g,f·g, fg fallsg(z0)≠0

stetiginz0.

4

3.4

LineareDifferentialgleichungen a.)F(y)iststetigund kF(y(x))−y0k3.4 ≤

Zx kf(ξ,y(ξ))kdξ |{z}x0 ≤M

defδ ≤M·|x−x|≤M·δ≤R0 ˜˜AlsoF(D)≤D. ˜˜b.)AußerdemistD≠0,dennφ∈Dfürφ(x):=y.0 c.)FisteineKontraktion. Z x ˜˜kF(y)−F(y)k=supf(ξ,y(ξ))−f(ξ,y(ξ))dξ∞ x−δ≤x≤x+δx000

=sup x0−δ≤x≤x0+δ

Zx f(ξ,y(ξ))−f(ξ,˜y(ξ)) x0

|{z} ≤Lky(ξ)−˜y(ξ)k≤Lky−˜yk∞

dξ

≤Lky−˜yk∞·|x−x0| |{z} ≤δ Lδ≤1 2 ≤1 2 |{z} =qky−˜yk∞ DerBanachscheFixpunktsatzbesagtjetzt ∃!y∈˜B:F(y)=y alsoy∈C([x0−δ,x0+δ]→B)undausF(y)=yergibtsich y0+Zx x0f(ξ,y(ξ))dξ=y(x) DieÄquivalenzzurursprünglichenDGLliefertsomitdenBeweisdafür,dassdieLösung eindeutigist. 3.4LineareDifferentialgleichungen 4.1DefinitionSeiI⊂ReinIntervall,A∈C(I→Rn2 ),g∈C(I→Rn).DieDifferentialglei- chung y′=A(x)y+g(x) |{z} =R(y) fürdieUnbekanntey∈C1(I→R)heißtlinearesSystem1.Ordnung.Fürg=0nennen wireshomogen,sonstinhomogen.⋊ 128

Funktionentheorie

2.)Seif:O→eO⊆Cstetiginz0∈Oundg:eO→Cstetiginf(z0). Dannistg◦fstetiginz0.BeweisüberFolgen.⋊ 1.11Bemerkung:Stetigkeitgenausofürf:M→CmitbeliebigerMengeM⊆C.⊸ 1.12FunktionenfolgenSeiM⊆C,fn,f:M→C 1.)(fn)heißtpunkteweisekonvergentgegenfaufM,falls ∀z∈M∀ε>0∃Nε,z∈N∀n>Nε,z:|fn(z)−f(z)|<ε. 2.)(fn)heißtgleichmäßigkonvergentgegenfaufM,falls ∀ε>0∃Nε∈N∀n>Nε∀z∈M:|fn(z)−f(z)|<ε.⋊ 1.13SatzSeienfn:M→Cstetig,(fn)gleichmäßigkonvergentaufMgegenf.Dannistf auchstetigaufM. BeweisSeienz0∈M,ε>0festund |f(z)−f(z0)|≤|f(z)−fn(z)|+|fn(z)−fn(z0)|+|fn(z0)−f(z0)|. 1.Schritt:WähleeinNεso,dass|f(z)−fn(z)|<ε/3fürn>Nεundbeliebigez (gleichmäßigeKonvergenzvonfn),also |f(z)−f(z0)|≤|f(z)−fn(z)| |{z} <ε/3+|fn(z)−fn(z0)|+|fn(z0)−f(z0)| |{z} <ε/3

. 2.Schritt:Setzen≔Nε+1undnutzedieStetigkeitvonfn.Für|z−z0|<δgilt,dann |f(z)−f(z0)|≤|f(z)−fn(z)| |{z} <ε/3+^|f

Nε+1(z)−fNε+1(z0)|<ε/3 z}|{ |fn(z)−fn(z0)|+|fn(z0)−f(z0)| |{z} <ε/3 ≤ε 3+ε 3+ε 3=ε. 1.14DefinitionEineReihe∞P n=0anheißtabsolutkonvergent,falls∞P n=0|an|konvergentist.⋊ 1.15Weierstraß-KriteriumIst∞P n=0anmitan≥0konvergentundgiltfn:M→C,|fn(z)|≤ anaufM⊆C,soistdieReihe∞P n=0fn(z)gleichmäßigkonvergentaufMundabsolut konvergentfürz∈M.⋊

GewöhnlicheDifferentialgleichungen 3 3.7Satz:Picard-LindelöfSei(B,k·k)einBanachraum,(x0,y0)∈R×B,I=[x0−r,x0+r]⊂ReinIntervallundD:={y∈B:ky−y0k≤R}füreinR∈R.Seif∈C(I×D→B)mit

∃L>0∀(x,y),(x,˜y)∈I×D:kf(x,y)−f(x,˜y)k≤Lky−˜yk

d.h.ferfüllteineLipschitz-BedingungbezüglichzweiVariablen.Weiterseien

M:=supI×D kf(x,y)k<∞δ:=min 12L , RM ,r

DannexistierteineeindeutigeLösungyvon

y∈C1([x0−δ,x0+δ]→B)(3.1)

∧y′(x)=f(x,y(x))x0−δ≤x≤x0+δ(3.2)∧y(x0)=y0(3.3)

.

Beweis1.)FormuliereeineäquivalenteIntegralgleichung.yistgenaudanneineLösungvon(3.1),wenn

y∈C([x0−δ,x0+δ]→B)∧y(x)=y0+ Zx

x0 f(ξ,y(ξ))dξ(3.4) mit Rxx0...= Rx0x...fallsx<x0.

Beweis(3.1)=⇒(3.4)

IntegrieredieDifferentialgleichungin(3.1):Zx

x0 y ′(ξ)dξ= Zxx0 f(ξ,y(x))dξy(x)−y(x0)|{z}=y0 = Zxx0 f(ξ,y(x))dξ

(3.4)=⇒(3.1)

f(ξ,y(ξ))iststetiginξ.NachdemHauptsatzisty′=0+f(x,y(x))mity′

stetig.Fürx=x0inderIntegralgleichung:y(x0)=y0+0.

2.)Zeige,dass(3.4)eineeindeutigeLösungbesitzt.

BeweisSei(˜B,k·k∼):=(C([x0−δ,x0+δ]→B),k·k∞)einBanachraumund

˜D:=C([x0−δ,x0+δ]→D) (abgeschlosseneTeilmengein˜B)DefiniereT:˜D→˜B:y→F(y)durch F(y)(x):=y0+ Zx

x0 f(ξ,y(ξ))dξ

127 1.1 Grundlagen

1.16¸BeispielSeienM≔K2(0)⊆C,fn(z)≔ zn(n+1)22n.Wähle

an≔ 1(n+1)2=⇒  ∞Xⁿ₌

0 1(n+1)2<∞,d.h.konvergent

|fn(z)|≤an

=⇒g(z)≔ ∞P

n=0 fn(z)iststetigaufK2(0)µ

1.17PotenzreihenSei(an)eineFolgeinC,

R≔ 1limsupn→∞ np|an| ,mit 10 ≔∞, 1∞ ≔0.

DannkonvergiertdiePotenzreihe

f(z)≔ ∞X

n=0 an(z−z0)n

für|z−z0|<Runddivergiertfür|z−z0|>R.SiekonvergiertgleichmäßigaufjedemKreisKr(z0)mit0<r<R.InsbesondereistfstetigaufKR(z0).

z0 z

Rr b b

Fallsan+1an

konvergentist,gilt

R= 1limn→∞ an+1an .⋊

1.18Definition

ez≔ ∞X

n=0 znn! ,fürz∈C cosz≔ ∞X

n=0 (−1)nz2n

(2n)! ,fürz∈C sinz≔ ∞X

n=0 (−1) nz2n+1

(2n+1)! ,fürz∈C⋊

6

3.3

ExistenzundEindeutigkeit BeweisSchreibe Zb f(x)dx a

=limkS(f)kZ δ(Z)→0 ^N =lim δ(Z)→0 (Z)X j=1f(ξj)(xjxj−1)

=limsup δ(Z)→0

N(Z)X j=1kf(ξj)k(xj−xj−1 |{z} =SZ(kfk)→R^{b a}kf(x)kdx =Zb akf(x)kdx 3.5Satz:HauptsatzSeif:[a,b]→BstetigundF(x):=Rb af(ξ)dξ(a≤x≤b). DannistFdifferenzierbarund F′(x)=f(x)a≤x≤b BeweisFürh>0betrachte

^{1 h}

(F(x+h)−F(x)) |{z} =Rx+h xf(ξ)dξ(AdditivitätIntegral)

−

1 hRx+h xf(x)dξ z}|{ f(x) = 1 hZx+h x(f(ξ)−f(x))dξ

≤1 h

Zx+h xkf(ξ)−f(x)k |{z} <εfür|ξ−x|≤h<δdafstetiginx

dξ ≤1 hZx+h xεdξ=ε fürh<δ. 3.6Korollar:FolgerungFallsG∈C1([a,b]→B)undG′=f(GStammfunktionvonf), dannist (G−F)′=0 Also(ohneBeweis)G=F+cmitc∈B.DamitistdasIntegral Zb af(x)dx=F(b)−F(a) =G(b)−c−(G(a)−c) =G(b)−G(a) unabhängigvonderWahlderStammfunktion.⋊ 126

Funktionentheorie

Bemerkung:Exemplarischfürez:

an+1 an

=

1 (n+1)! 1 n!=1 n+1→0 =⇒R=∞,diePotenzreiheistkonvergentaufganzC.⊸ 1.19Cauchy-ProduktvonReihenIst∞P n=0anabsolutkonvergentund∞P n=0bnkonvergentin C,sogilt  ∞X n=0an  ∞X n=0bn =

∞X n=0

 nX k=0akbn−k

  BeweisSeien A≔

∞X n=0an,B≔

∞X n=0bn,Bℓ≔

ℓX n=0bn NX n=0

nX k=0akbn−km=n−k =

NX n=0

N−mX m=0anbm=

NX n=0an

N−mX m=0bm |{z} BN−m−B+B kbzw.n

m 0123. . .

N 123···N

bb

b b

b

b b

b

b

b b

b

b bm=N−n l≔N−n = n=N−ℓℓ=0,1,...,N

NX ℓ=0aN−ℓ(Bℓ−B) |{z} (∗)Z.Z.→0

+

NX n=0anB |{z} →A·B (∗)=

NεX ℓ=0aN−ℓ(Bℓ−B)+

NX ℓ=Nε+1aN−ℓ(Bℓ−B)