1.1Fest,fl¨ussig,gasf¨ormig 1StatikundDynamikderGaseundFl¨ussigkeiten Inhaltsverzeichnis

Erg¨ anzungen zu Physik I

Universit¨ at Z¨ urich, HS 2010, U. Straumann Version 26. Februar 2011

Inhaltsverzeichnis

1 Statik und Dynamik der Gase und Fl¨ ussigkeiten 1.1 1.1 Fest, fl¨ ussig, gasf¨ ormig . . . 1.1 1.2 Der hydrostatische Druck . . . 1.1 1.3 Hydrostatischer Druck im ¨ ausseren Kraftfeld . . . 1.3 1.4 Beispiel zur Hydrostatik . . . 1.4 1.5 Str¨ omungen, Kontinuit¨ atsgleichung . . . 1.9 1.6 Bewegungsgleichung: Die Eulergleichung . . . 1.12 1.7 Energiebetrachtung: Die Bernoulligleichung . . . 1.13 1.8 Z¨ ahigkeit, Newton’sche Reibung und die Navier-Stokes-Gleichung . . . 1.16 1.9 Anwendungen mit reibungsbehafteten Str¨ omungen . . . 1.19 1.10 Grenzfl¨ achen von Fl¨ ussigkeiten – Koh¨ asion und Adh¨ asion . . . 1.22

1 Statik und Dynamik der Gase und Fl¨ ussigkeiten

1.1 Fest, fl¨ ussig, gasf¨ ormig

Gase und Fl¨ ussigkeiten sind Systeme, die im str¨ omungsfreien, makroskopischen Gleichgewichts- zustand keine Schubspannungen aufweisen (τ = 0). Solche Systeme werden auch Fluide ge- nannt.

W¨ ahrend bei festen K¨ orpern die Molek¨ ule durch intermolekulare Kr¨ afte an Gleichgewichtslagen gebunden sind, um die herum sie thermisch angeregte Schwingungen ausf¨ uhren, befinden sich die Molek¨ ule von Fl¨ ussigkeiten und Gasen in regelloser, ungebundener Bewegung. Ihre mittlere kinetische Energie ist gr¨ osser als die Bindungsenergie.

Der Unterschied zwischen Fl¨ ussigkeit und Gas beruht auf der Gr¨ osse der intermolekularen

Kr¨ afte. In Fl¨ ussigkeiten sind die Molek¨ ule dicht gepackt (siehe Abbildung 1.1. Sie bilden Trop-

fen mit einer definierten freien Oberfl¨ ache. Die Kompressibilit¨ at ist klein. Gase dagegen bilden

keine Tropfen, sondern beanspruchen das ganze, ihnen zur Verf¨ ugung stehende Volumen. Die

Kompressibilit¨ at ist im allgemeinen gross.

fest flüssig gasförmig

H

O

Abbildung 1.1: Die drei Zustandsformen von Wasser.

1.2 Der hydrostatische Druck

Der Spannungszustand eines ruhenden Gases oder einer Fl¨ ussigkeit ist durch eine einzige Span- nung, den hydrostatischen Druck p = p(~ r), eindeutig bestimmt. Um dies zu verdeutlichen kann man das in Abbildung 1.2 dargestellte Gedankenexperiment machen. In ein mit einer Fl¨ ussigkeit gef¨ ulltes Gef¨ ass wird am Ort ~ r ein kleiner Drucksensor eingebracht. Dieser Drucksensor besteht aus einem kleinen beweglichen Kolben mit der Fl¨ ache dA, der an einer Feder befestigt ist. Auf- grund der ¨ ausseren Kraft dF wird er in einem evakuierten Zylinder bewegt. Die Kraft dF bzw.

der Druck p = dF/dA kann aus der Deformation der Feder bestimmt werden. Der Drucksensor (d. h. die Lage des Fl¨ achenelements dA) l¨ asst sich am Ort ~ r mit einem Mechanismus in jede beliebige Richtung drehen. Es zeigt sich, dass der Druck p = p(~ r) unabh¨ angig von der Stellung des Fl¨ achenelements dA ist, d. h. mit anderen Worten, dass der Druck im Gegensatz zur Kraft eine skalare Gr¨ osse ist.

Drucksensor

dF dA

dF p = dA p

Drucksensor

p

Druck

F₂

F₁ x₁ x₂

Abbildung 1.2: Links: Gedankenexperiment zum hydrostatischen Spannungszustand; mit einem Druckmessger¨ at wird der lokale Druck in der Fl¨ ussigkeit gemessen. Rechts: Demonstration von Pascal’s Prinzip mit einem mit Wasser gef¨ ullten Kolben.

Ist die Substanz frei von irgendwelchen Volumenkr¨ aften, insbesondere gewichtslos, so ist der Druck unabh¨ angig vom Ort. Der Spannungszustand ist homogen. Man nennt dieses Erfahrungs- gesetz auch Pascal’s Prinzip, denn der franz¨ osische Mathematiker, Physiker und Philosoph Blaise Pascal (1623-1662) stellte 1652 fest, dass sich jede ¨ Anderung des Drucks, den man auf eine ein- geschlossene Fl¨ ussigkeit aus¨ ubt, unvermindert auf jeden Teil der Fl¨ ussigkeit und die W¨ ande des Beh¨ alters ¨ ubertr¨ agt.

Man kann Pascal’s Prinzip mit einem mit Wasser gef¨ ullten Gef¨ ass demonstrieren (Abbildung

1.2), an dem ein Zylinder mit verschiebbarem Kolben der Fl¨ ache A

angebracht ist. Dr¨ uckt

man diesen Kolben hinein, so str¨ omt aus allen irgendwo angebrachten L¨ ochern Wasser mit glei- cher Intensit¨ at aus. Wenn eine solche ¨ Offnung mit einem zweiten Zylinder mit Kolbenfl¨ ache A

versehen ist, dann bewegt sich dieser Kolben beim Hereinschieben des ersten hinaus. Da die Fl¨ ussigkeit inkompressibel ist, m¨ ussen die Volumen¨ anderungen an den beiden Kolben einander kompensieren. Wenn der erste Kolben um die Distanz x

hineingeschoben wird, die Volumen- abnahme also x

A

betr¨ agt, muss sich der zweite Kolben um x

herausbewegen, sodass gilt:

x

A

= x

A

. Ausser der Volumen¨ anderung muss noch die geleistete Arbeit an beiden Kolben die gleiche sein: x

F

= x

F

. Damit ergibt sich

x

F

x

A

= x

F

x

A

F

A

= F

A

p Der Druck ist der gleiche, wie wir dies postuliert haben.

Die Einheit des Drucks ist das Pascal. Andere gebr¨ auchliche Einheiten sind Atmosph¨ are (atm), Torr (zu Ehren von Evangelista Torricelli (1608-1647)) und bar:

1 Pascal = 1 Pa = 1 Newton/m

= 10

bar,

1 atm = 760 Torr = 1.0133 bar = 1.0133×10

Pa, und

1 Torr = Druck einer 1 mm hohen Quecksilber-S¨ aule (Hg) = 133.3 Pa;

zum Vergleich: Druck einer 1 mm hohen Wasser-S¨ aule r (H

O) = 9.8 Pa.

1.3 Hydrostatischer Druck im ¨ ausseren Kraftfeld

Die Druckverteilung und der Spannungszustand wird in dem Moment inhomogen, wenn sich die Fl¨ ussigkeit in einem Kraftfeld befindet, wie dies zum Beispiel im Gravitationsfeld der Erde der Fall ist. Es treten dann Druckgradienten auf, der Druck ist nicht mehr an jedem Ort derselbe.

Er ist aber gem¨ ass Definition immer noch eine skalare Gr¨ osse.

Die freie Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ ache wird zu einer ¨ Aquipotentialfl¨ ache des Kraftfeldes, wo die potenti- elle Energie konstant ist und die Kr¨ afte senkrecht zu diesen Fl¨ achen wirken. Im Gravitationsfeld der Erde sind diese Fl¨ achen konzentrische Kugeln um den Erdmittelpunkt, im Nahbereich hori- zontale Ebenen, wie wir das von der Meeresoberfl¨ ache und der Oberfl¨ ache von Seen her kennen.

Die Meeresoberfl¨ ache ist nur dann eine ideale Kugeloberfl¨ ache, wenn keine Schubspannungen auftreten, d. h. im statischen Fall. Im dynamischen Fall, z. B. bei Sturm, muss dies nicht so sein.

Denken wir uns einen Zylinder als Teil eines Fluides mit H¨ ohe dz und der Deckel- und Boden- fl¨ ache dA, das sich in einem Kraftfeld, z.B. der Gravitation ~ g, befindet. Auf diesen Zylinder wirken die Druckkr¨ afte F auf den Deckel und den Boden, sowie das Gewicht G des Fluides (siehe Skizze zur vertikalen Fl¨ ussigkeitss¨ aule auf der n¨ achsten Seite). Die Komponenten in der Zylinderachse z lauten:

F

= p(z)

dA

p(z + dz)

dA G

= m g

= ρ V g

= ρ dA dz g

Im statischen Fall herrscht Gleichgewicht, das heisst das Gewicht und die Druckkr¨ afte m¨ ussen sich gerade kompensieren:

G

+ F

= 0

dp dz = ρ g

Das gleiche Resultat bekommen wir f¨ ur die anderen drei Raumrichtungen x und y, indem wir die Achse unseres gedachten Zylinders jeweils in die entsprechende Richtung drehen. Es gibt also drei Gleichungen f¨ ur die drei Raumrichtungen. Wir k¨ onnen diese in Vektorschreibweise zusammenfassen:

grad p = ρ ~ g

Die statische Druckverteilung bildet sich also so aus, dass ihr Gradient gerade gleich der Kraft- dichte der Volumenkraft ist. Diese Gleichungen gelten auch dann, wenn das Kraftfeld nicht homogen ist und wenn die Dichte selbst vom Ort abh¨ angig ist.

1.4 Beispiele zur Hydrostatik:

In diesem Abschnitt werden ein paar, vorwiegend technische Beispiele aus der Hydrostatik be- handelt, oder zum mindestens ihre physikalischen Grundlagen dargelegt.

Beispiel – hydraulische Presse oder Hebeb¨ uhne: Man ben¨ utzt hier die Konstanz des hydrostatischen Drucks.

Der Kolben (K

), der zum Pressen oder zum He- ben dient, hat eine grosse Oberfl¨ ache (A

), be- wegt sich aber um kleine Distanzen (x

). Der Kol- ben (K

), der hineingedr¨ uckt wird, macht grosse Wege, hat eine kleine Oberfl¨ ache (A

) und bean- sprucht eine kleinere Kraft (F

).

K

: F

= pA

K

: F

= pA

A

>> A

F

>> F

, x

<< x

F₁

F₂

A₂ p A₁

p

Beispiel – Druckverteilung in einer vertikalen Fl¨ us- sigkeitss¨ aule:

Die Fl¨ ussigkeit befindet sich im Erdfeld, ihre Oberfl¨ ache ist horizontal, d. h. eine ¨ Aquipotentialfl¨ ache (mgh = U = const.). Auf die Fl¨ ussigkeit (Dichte ρ) dr¨ uckt von aussen die Luft mit dem Druck p

. Bei jedem Volumenelement dV = dxdydz im Innern m¨ ussen sich Volumen- und Ober- fl¨ achenkr¨ afte das Gleichgewicht halten.

Der Druck p in Funktion der Wassertief z wird entsprechend dem vorhergehenden Abschnitt:

dp dz = ρg

z

p

p(z)

dG p(z+dz)

dV

l

F¨ ur eine inkompressible Fl¨ ussigkeit ist ρ konstant und wir erhalten durch Integration p(z) = p

+ ρgz

Der Druck nimmt mit der Tiefe linear zu, bei Wasser z. B. um circa 1 atm pro 10 m (ρ = 1000 kg/m

, dp/dz = 9810 Pa/m).

Der eingangs erw¨ ahnte Unterschied zwischen Gasen und Fl¨ ussigkeiten zeigt sich, wenn man mit den gleichen Ans¨ atzen wie oben die Druckverteilung in der Luft berechnet.

Beispiel – Druckverteilung in der Atmosph¨ are: Wir nehmen an, dass die Temperatur in der ganzen Lufts¨ aule die gleiche ist. Die Dichte der Luft h¨ angt allerdings vom Druck ab. Diese Abh¨ angigkeit ergibt sich aus der Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase pV = RT . Diese Gleichung wird in der Thermodynamik im Abschnitt 3.2.1 ausf¨ uhrlich diskutiert. Die Gleichung gibt den Zusammenhang wieder zwischen dem Druck p, dem Volumen V und der Temperatur T eines Mols eines idealen Gases, als das wir die Luft bei gen¨ ugend kleinem Druck ansehen k¨ onnen.

R ist eine Konstante, die ideale Gaskonstante. Man erh¨ alt f¨ ur die Masse eines Mols ρV = M und damit p/ρ = RT /M = kT /m. m ist die Masse eines Molek¨ uls (M = N

m), N

ist die Avogadro’sche Zahl und k ist die Boltzmann’sche Konstante (k = R/N

). Bei fester Temperatur ist das Verh¨ altnis von Dichte und Druck konstant.

Die Gleichgewichtsbedingung ist wieder wie oben, nun allerdings mit z positiv nach oben gew¨ ahlt, daher das negative Vorzeichen f¨ ur dp/dz

−

dp

dz = ρ(z)g = mg

kT p = M g RT p

Wir erkennen wieder eine Gleichung, wo die ¨ Anderung einer Gr¨ osse (hier eine Abnahme des Drucks mit der H¨ ohe) proportional zur Gr¨ osse (hier Luftdruck) selber ist. Die L¨ osung der ent- sprechenden Gleichung ist dann eine Exponentialfunktion (siehe Abschnitt 2.5.4.2.3):

p(z) = p

exp(− mgz

kT )

ρ(z) = ρ

exp(− mgz kT )

In dieser sogenannten barometrischen H¨ ohenformel ist p

der Druck auf der Bezugsh¨ ohe (z = 0).

Im Term mgz erkennen wir die potentielle Energie eines Molek¨ uls der Masse m, kT hat daher ebenfalls die Dimension einer Energie. F¨ ur Luft erh¨ alt man bei T = 288.15 K (15

C) mit p

= 1.013 bar und ρ

= 1.225 kgm

folgenden praktischen Ausdruck f¨ ur die Barometerformel:

p(z) = 1.013 bar

exp(− z 8432 m ) Der Luftdruck f¨ allt also in der H¨ ohe

z

= ln 2

8432 m = 5844 m der sog. Halbwertsh¨ ohe, auf die H¨ alfte ab.

Der Exponent (−mgz/kT ) zeigt, dass der Druck f¨ ur schwere Gase mit der H¨ ohe schneller ab-

nimmt als f¨ ur leichte Gase. In der folgenden Tabelle sind einige Werte f¨ ur den Partialdruck von

Sauerstoff (O

) und Wasserstoff (H

) bei 0

C (273 K) f¨ ur verschiedene H¨ ohen z zusammenge-

stellt:

H¨ ohe Partialdruck von O

Partialdruck von H

z (m) p

(z)/p

(0) p

(z)/p

(0)

0 1.00 1.00

1000 0.87 0.99

5000 0.50 0.96

10000 0.25 0.92

Der Partialdruck von O

f¨ allt bei einer H¨ ohenzunahme um 5000 m auf die H¨ alfte, der Partial- druck von H

dagegen nimmt nur um ca. 4 % ab.

F¨ ur kleine H¨ ohen z, d.h. f¨ ur z p

/(ρ

g)

8000 m, kann die Barometerformel vereinfacht werden, indem man die Exponentialfunktion entwickelt: exp(−x)

1

x f¨ ur x 1. Mit x = ρ

gz/p

erh¨ alt man

p(z)

p

ρ

gz

Abgesehen vom negativen Vorzeichen (infolge Druckabnahme mit steigender H¨ ohe) ist dieser Ausdruck identisch mit dem Ausdruck f¨ ur die Druckverteilung in einer vertikalen Fl¨ ussigkeits- s¨ aule.

In der Herleitung der Barometerformel wurde angenommen, dass die Atmosph¨ are isotherm sei.

Dies ist aber nicht der Fall. F¨ ur 1000 m H¨ ohenzunahme sinkt die Temperatur um rund 6.5

C und erreicht in einer H¨ ohe von 11000 m einen Wert von

C. Bis etwa 20000 m bleibt die Temperatur fast konstant und nimmt anschliessend wieder markant zu. Die Abweichungen des tats¨ achlichen Druckverlaufs in der Atmosph¨ are von demjenigen entsprechend der Barometer- formel betragen aber nur einige Prozent, so dass die Barometerformel als eine gute N¨ aherung betrachtet werden kann.

Auftrieb: Eine Konsequenz der Druckzunahme mit zunehmender H¨ ohe der Wassers¨ aule ¨ uber einem eingetauchten Objekt, ist der Auftrieb. Ein starrer K¨ orper erf¨ ahrt in einer Fl¨ ussigkeit (oder in einem Gas) an seiner Oberfl¨ ache Druckkr¨ afte, die, wie wir eben gesehen haben, mit der Tiefe zunehmen. Ihre Resultierende, der sogenannte Auftrieb, ist daher nach oben gerichtet.

Um den Auftrieb zu berechnen, denken wir uns den K¨ orper ersetzt durch die von ihm verdr¨ angte Fl¨ ussigkeit, das sogenannte D´ eplacement. Da es genau die gleiche Oberfl¨ ache hat wie der K¨ orper, erf¨ ahrt es den gleichen Auftrieb. Da die Fl¨ ussigkeit ruht, ist das D´ eplacement im Gleichgewicht:

A ~ + G ~

= 0

A ~ =

G ~

=

ρ

~ gdV

Der Auftrieb ist entgegengesetzt gleich dem Gewicht der verdr¨ angten Fl¨ ussigkeit und greift wie dieses im Schwerpunkt S

des D´ eplacements an. Dieses Gesetz ist als Archimedes’sches Prinzip bekannt.

Auf den eingetauchten K¨ orper betr¨ agt die Gesamtkraft somit F ~ = A ~ + G ~

=

Z

(−ρ

+ ρ

)~ gdV

Ist die Dichte des K¨ orpers gr¨ osser als die der Fl¨ ussigkeit, ρ

> ρ

, so sinkt er auf den Grund, ist sie kleiner, ρ

< ρ

, so steigt er solange, bis er teilweise auftaucht.

Weist die Fl¨ ussigkeit (oder das Gas) ein Dichtegef¨ alle auf, ρ

= ρ

(h), so schwebt der K¨ orper in der H¨ ohe h, wo ρ

= ρ

.

Wasser Stein Holz A

mg

A mg

A mg

Beispiel – Suspensionen: In einer Fl¨ ussigkeit suspendierte Molek¨ ule einer gel¨ osten Substanz oder K¨ orner irgendeines Stoffs mit der Masse m

verhalten sich wie ein verd¨ unntes Gas. (siehe auch Osmose, Abschnitt 3.3.2 der Thermodynamik). F¨ ur die entsprechende Konzentrationsver- teilung gilt im Schwerefeld ebenfalls die barometrische H¨ ohenformel:

ρ(z) = ρ

exp(− m

gz kT )

Wegen des Auftriebs ist statt m

die effektive Masse m

einzusetzen:

m

=

(ρ

ρ

)dV

Ist m

gz

<< kT , so ist die Suspension homogen. Ist m

gz >> kT , sinken die suspendierten K¨ orner auf den Grund, f¨ ur m

gz < 0 steigen sie zur Oberfl¨ ache.

Beispiel – Torricelli’sches Ausflusstheorem: Fliesst aus einer ¨ Offnung eines Gef¨ asses Fl¨ ussigkeit, so h¨ angt die Ausflussgeschwindigkeit von der H¨ ohe des Fl¨ ussigkeitsspiegels ¨ uber dem Loch ab.

Mit abnehmender H¨ ohe nimmt auch die Ausflussmenge pro Zeiteinheit ab. In der Zeit dt str¨ omt die Menge dm = ρAdx = ρAvdt aus dem Loch mit Querschnitt A aus. Ihre kinetische Energie ist

dT = ρAvdt v

2

Diese kinetische Energie ist die Folge der Arbeit dW , die von den Oberfl¨ achenkr¨ aften geleistet wird, hier von (p

p

)A.

dW = (p

p

)Adx = (p

p

)Avdt = dT Mit p

p

= ρgh

v

= 2 p

p

ρ = 2 ρgh ρ = 2gh Diese Formel hatten wir schon einmal angetroffen. Eine von der H¨ ohe h frei fallendes Objekt erreicht den Boden mit der Geschwindigkeit v =

2gh.

Bei der sogenannten Mariotte’schen Flasche bleibt die Aus- str¨ omgeschwindigkeit konstant

v =

2gh

bis der Fl¨ ussigkeitsstand niedriger als h

ist.

h'

p₀ v p₀

h

p₀ v p₀

p

dV=Adx

Beispiel – Rotierende Fl¨ ussigkeit: Wenn ein Zylinder, der mit einer Fl¨ ussigkeit der Dichte ρ gef¨ ullt ist, mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um seine vertikale Achse rotiert, die Fl¨ us- sigkeit steigt gegen aussen hoch. Die Oberfl¨ ache, die, wie wir schon wissen, eine ¨ Aquipoten- tialfl¨ ache ist, nimmt die Form eines Rotationsparaboloids an. Befinden sich in der Fl¨ ussigkeit gel¨ oste oder eingetauchte Substanzen, so wandern diese, wenn ihre Dichte gr¨ osser ist als die des Wassers, nach aussen und wandern nach innen, auf die Drehachse zu, wenn ihre Dichte kleiner ist. Dieser Effekt wird in Ultrazentrifugen zur Trennung von Makromolek¨ ulen benutzt.

Beide Beobachtungen lassen sich auf die radiale Druckzunahme in der rotierenden Fl¨ ussigkeit zur¨ uckf¨ uhren.

Diese kann aus der Analyse der Kr¨ afte auf ein Volumenelement der Fl¨ ussigkeit abgeleitet werden.

In vertikaler Richtung hatten wir vorher gefunden:

dp

dz = ρg wegen (p(z + dz)

p(z))dA = ρgdzdA

Auf das Volumenelement dV = dzdA wirkt das Gewicht dG = gρdV , das durch den Druckun- terschied in vertikaler Richtung (multipliziert mit der Oberf¨ ache dA) aufgehoben werden muss.

In Funktion der Wassertiefe z nahm der Druck linear zu

p(z) = p(z = 0) + ρgz = p

+ ρgz

Rotiert das Volumenelement auf einer Kreisbahn mit Radius r mit Winkelgeschwindigkeit ω, so ist die Zentripetalbeschleunigung v

/r = rω

. Die Zentripetalkraft muss von einem radialen Druckunterschied (multipliziert mit der Oberfl¨ ache) geliefert werden:

(p(r + dr)

p(r))dA

= rω

dm = rω

ρdrdA

dp

dr = ρω

r

In radialer Richtung ist also die Druckzunahme proportional zum Abstand vom Drehzentrum, der Druck selber nimmt quadratisch mit dem Radius zu bei festem z

p(r) = p(r = 0) + 1

2 ρω

r

= p

+ 1 2 ρω

r

Aus den Kr¨ aften lassen sich die entsprechenden Kur- ven der potentiellen Energie und umgekehrt berechnen (siehe Abschnitt 2.6.3)

U (z, r) = ρdV (gz + ω

r

2 ) F¨ ur die Oberfl¨ ache ist U konstant, also

gz + ω

r

2 = const.

Setzt man f¨ ur r = 0, z = z

, so folgt z = z

ω

r

2g

t ^r

z z

dA dA'

dG dZ

dz

dr p(r)

dV p(r+dr) p(z)

p(z+dz)

Die Oberfl¨ ache hat wie behauptet die Form eines Paraboloids. Vergleicht man wieder die verti- kale mit der radialen Richtung, so kann auch die Wirkung des sogenannten Zentrifugalauftriebs erkl¨ art werden nennt. In einer ruhenden Fl¨ ussigkeit nimmt der Druck mit der Tiefe zu. Die resultierende Auftriebskraft zeigt nach oben und hat den gleichen Betrag wie das Gewicht des D´ eplacements. In der rotierenden Fl¨ ussigkeit nimmt der Druck radial nach aussen zu, die Auf- triebskraft zeigt daher nach innen und hat den gleichen Betrag wie die Zentripetalkraft auf das verdr¨ angte Wasservolumen:

A ~

=

~ r r

Z

ρ

rω

dV

F¨ ur ρ

> ρ

bewegt sich das Objekt K nach aussen, f¨ ur ρ

< ρ

hin zur Drehachse.

Der Zentrifugalauftrieb f¨ uhrt in Zentrifugen zu einer Trennung von Teilchen verschiedener Dich- te. Zentrifugen werden in Laboratorien und in technischen Betrieben eingesetzt, z. B. zur Ab- scheidung von Niederschl¨ agen oder Bakterien, zur Abtrennung der Blutk¨ orperchen vom Serum oder zur Abtrennung des Fettes von der Milch. Mit sog. Ultrazentrifugen, mit denen man bis zu 20’000 Umdrehungen/s erreicht, ist es gelungen, bei Eiweissmolek¨ ulen und anderen makro- molekularen Verbindungen den Sedimentationsprozess so detailliert zu verfolgen, dass man das Molekulargewicht und die Molek¨ ulform bestimmen konnte.

Erf¨ ahrt ein Mensch bei der Bewegung auf einer gekr¨ ummten Bahn extreme Normalbeschleunigungen (a

> g, z. B. Akrobatikflug, Raumfahrt), so entsteht ein Druckgef¨ alle im Blut, das je nach Richtung zu einem ¨ Uber- oder Unterdruck im Kopf f¨ uhrt.

1.5 Str¨ omungen, Kontinuit¨ atsgleichung

Uberlagert sich der statistischen, thermischen Bewegung von Gas- oder Fl¨ ¨ ussigkeitsmolek¨ ulen eine korrelierte, d. h. geordnete Driftbewegung, so spricht man von einer Str¨ omung. Sie kann durch ein Stromlinienbild (Abbildung 1.3) veranschaulicht werden. Die Stromlinien sind die ¨ uber die thermische Bewegung ausgemittelten Bahnen der einzelnen Teilchen oder eines Probek¨ orpers, der von der Str¨ omung mitgef¨ uhrt wird. Die Driftgeschwindigkeit ist somit tangential zu den Stromlinien.

Die Geschwindigkeitsvektoren einer Str¨ omung bilden ein Vektorfeld ~ v(~ r, t). Die Stromlinien sind die Feldlinien dieses Feldes.

Ist das Stromlinienbild zeitlich unver¨ anderlich, so spricht man von einer station¨ aren Str¨ omung, d.h. an einem bestimmten Ort ~ r ist die Str¨ omungsgeschwindigkeit ~ v(~ r) zeitunabh¨ angig. Die Ge- schwindigkeit eines mit der Str¨ omung mitschwimmenden Teilchens, das ja seinen Ort ver¨ andert, braucht dabei keineswegs zeitlich konstant zu sein.

Zeigt eine Str¨ omung ein glattes Stromlinienbild, so nennt man sie laminar. Sind die Stromlinien

verwirbelt, so nennt man die Str¨ omung turbulent. Bei realen Gasen und Fl¨ ussigkeiten erfolgt

beim ¨ Uberschreiten einer kritischen Geschwindigkeit v

bei der Um- oder Durchstr¨ omung eines

Hindernisses ein ¨ Ubergang von einer laminaren zu einer turbulenten Str¨ omung. qUrsache der

Turbulenz sind dynamische Schubspannungen als Folge der Viskosit¨ at. Im folgenden wollen wir

uns auf laminare Str¨ omungen beschr¨ anken.

v

P Stromlinie

Abbildung 1.3: Bild einer Fl¨ ussigkeitstr¨ omung um einen Zylinder herum, das mit Einf¨ arbung der Fl¨ ussigkeit sichtbar gemacht wurde (links). Der Geschwindigkeitsvektor der str¨ omenden Fl¨ ussigkeitsmenge ist immer parallel zur Stromlinie (rechts).

A₁

v₁ A₂ v₂

Abbildung 1.4: Im engen Querschnitt unter der Br¨ ucke dr¨ angen sich die Stromlinien zusammen (rechts). Dies bedeutet auch eine h¨ ohere Str¨ omungsgeschwindigkeit, solange der Fluss ¨ uberall gleich tief ist, und die Oberfl¨ achenverteilung der Stromlinien den Vorgang beschreibt. Das gleiche Bild und der gleiche Effekt zeigen sich bei einer Verengung einer Wasserr¨ ohre (links).

Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur station¨ are Str¨ omungen: Wird die Anzahl der Stromlinien pro Fl¨ acheneinheit gr¨ osser, die Stromdichte, wie wir diese Gr¨ osse nennen wollen, gr¨ osser, so ent- spricht dies auch einer gr¨ osseren Geschwindigkeit. Abbildung 1.3 erinnert an eine uns vermut- lich bekannte Beobachtung des Anwachsens der Str¨ omungsgeschwindigkeit in der N¨ ahe einer Einschn¨ urung des Flussbetts. Die physikalische Grundlage dieser Beobachtung ist die Erhaltung des Gesamtflusses, die einfliessende Wassermenge pro Zeiteinheit muss gleich der ausfliessenden sein. Bei kleinerem Querschnitt muss daher die Durchflussgeschwindigkeit gr¨ osser werden. Die mathematische Form dieser Erfahrung ist die Kontinuit¨ atsgleichung.

F¨ ur die mathematische Definition des Flussbegriffes betrach- ten wir eine sogenannte Stromr¨ ohre innerhalb einer statio- n¨ aren Str¨ omung, d. h. einen durch Stromlinien begrenzten Schlauch mit Eintrittsfl¨ ache A

und Austrittsfl¨ ache A

. In der Zeit dt fliessen durch A

und A

die Wassermengen

dm

= ρ

v

A

dt und dm

= ρ

v

A

dt

B A₁

A₂ C

Im station¨ aren Fall muss wegen der Erhaltung der Materie bei A

gleichviel hinein wie bei A

hinaus fliessen. Daher gilt die

Kontinuit¨ atsgleichung : ρ

v

A

= ρ

v

A

Bei Fl¨ ussigkeiten kann ρ als konstant angenommen werden, ρ = ρ

= ρ

, so dass gilt v

A

= v

A

d. h. der Fluss des ~ v-Feldes l¨ angs einer Stromr¨ ohre ist konstant, bzw. der Fluss durch eine geschlossene Fl¨ ache gleich Null. Wir haben hier die Ein- und Austrittsfl¨ ache senkrecht zur Str¨ omungsgeschwindigkeit gew¨ ahlt, was einem Spezialfall entspricht. F¨ ur diesen Fall lautet dann die Aussage der Kontinuit¨ atsgleichung:

Die Geschwindigkeit l¨ angs einer station¨ aren, laminaren Str¨ omung ist umgekehrt proportional zum Rohrquerschnitt.

In etwas allgemeinerer Form definieren wir als Fluss durch eine Fl¨ ache A (mit d ~ A

ndA) ˆ

Φ =

A

~

v

d ~ A

A

(~ v

n)dA ˆ =

A

v

dA =

A

v cos αdA Der Einheitsvektor ˆ n steht senkrecht auf dem Fl¨ achenelement dA, v

ist die Normalkomponente der Geschwindigkeit ~ v.

dA v

_

vcos_= v·dAdA nˆ

Diese Definition des Begriffs Fluss (Φ) schliesst die M¨ oglichkeit ein, dass die Geschwindigkeit nicht an allen Orten der Fl¨ ache A gleich ist und ferner, dass die Fl¨ ache nicht notwendigerweise normal zu den Flusslinien steht. F¨ ur A

~ v (α = π/2) ist der Fluss minimal, f¨ ur A

~ v (α = 0) ist der Fluss maximal. F¨ ur eine beliebig gestellte Querschnittsfl¨ ache A der Stromr¨ ohre ist dann der Fluss Φ konstant.

Diese Definition des Flusses erlaubt uns eine allgemeinere Formulierung der Kontinuit¨ atsglei- chung f¨ ur den Massenfluss einers Fluides:

W¨ ahlen wir als Fl¨ ache, f¨ ur die wir f¨ ur das Flussintegral auswerten, eine geschlossene Oberfl¨ ache A

, die das Volumen V begrenzt. Dann besagt die Massenerhaltung, dass der einkommende Fluss gleich dem ausgehenden Fluss sein muss. Der Gesamtfluss ist also gleich null. Vorausgesetzt wird dabei, dass sich im Innern des Volumens keine Massenquelle oder -Senke befindet.

Kontinuit¨ atsgleichung : Φ =

AV

ρ ~ v

d ~ A =

AV

ρ v

dA = 0

Diese Form der Kontinuit¨ atsgleichung gilt f¨ ur beliebige Formen von Volumen, und auch im Falle, dass die Dichte ortsabh¨ angig ist.

Die Definition des Flusses kann auf beliebige Vektorfelder erweitert werden, anstelle des Ge- schwindigkeitsfeldes ~ v tritt dann z. B. das elektrische Feld E, das Magnetfeld ~ B, oder auch das ~ Gravitationsfeld ~ g.

Fluss eines Vektorfelds S ~ : Φ

A

S ~

d ~ A =

A

S

dA

Abbildung 1.5 zeigt ein Vektorfeld ( E−Feld in diesem Fall), den oberen Teil einer solchen ge- ~ schlossenen Oberfl¨ ache A

(man nennt sie auch eine Gauss’sche Fl¨ ache) und einige Fl¨ achenele- mente auf der Oberfl¨ ache zur Illustration wie der Fluss zu berechnen ist.

1

E 3 2

Gauss'sche Fläche

dA

dA

dA

E E 1

2 3

e e

Abbildung 1.5: Eine beliebig geformte geschlossene Oberfl¨ ache (Gauss’sche Fl¨ ache), die in ein Vektorfeld (hier das E−Feld) hineingelegt wird. Drei ausgew¨ ~ ahlte Fl¨ achenelemente sind gezeigt, die verschiedene Orientierungen des Feldvektors und der Fl¨ ache zeigen.

1.6 Bewegungsgleichung: Die Eulergleichung

Das zweite Newton’sche Prinzip sagt uns, wie sich Massen unter Einfluss von Kr¨ aften bewegen.

Betrachten wir wieder einen kleinen Zylinder mit Volumen dV = dA dz und Masse dm = ρ dV , dessen Achse parallel zur z-Richtung liegt, genau wie im Falle der Hydrostatik (Abschnitt 1.3).

Sei p der Druck auf Deckel und Boden, und dF ~ eine Volumenkraft (z.B. Gewicht: dF ~ = dm ~ g).

Im Gegensatz zur Hydrostatik m¨ ussen sich die Kr¨ afte nun nicht mehr unbedingt aufheben; wenn die Summe der Kr¨ afte verschieden von null ist, ergibt sich eine Beschleunigung der Masse dm.

In z-Richtung gilt also die Bewegungsgleichung:

dm z ¨ = p(z)dA

p(z + dz)dA + dF

Dividieren wir diese Gleichung durch das Volumen dV = dA dz, definieren die Kraftdichte f ~ = F /dV ~ (im Gravitationsfeld ist f ~ = ρ ~ g)und setzen die Beschleunigung durch die Ableitung der Geschwindigkeit v

, erhalten wir:

ρ dv

dt =

∂p

∂z + f

Diese Ueberlegung k¨ onnen wir auch in die x und y Richtung ausf¨ uhren, und erhalten so drei Gleichungen f¨ ur die drei Raumrichtungen x, y, und z. In Vektorschreibweise fassen wir die drei Gleichungen zusammen, und erhalten damit die

Eulergleichung der Fluiddynamik : ρ d~ v

dt =

p + f ~

Sie beschreibt die allgemeine Geschwindigkeitsverteilung einer reibungsfreien Fl¨ ussigkeit.

Im Geschwindigkeitsfeld ~ v(x, y, z, t) begegnen wir einem typischen Beispiel einer (vektorwerti- gen) Funktion mehrerer Variablen, wie sie in der Mathematik f¨ ur Naturwissenschafter bespro- chen wurden. Die partielle Ableitung (Storrer, Seite 334) nach der Zeit hat hier eine besondere Bedeutung. Es gilt n¨ amlich:

∂~ v

∂t = 0

stationaer

Eine Str¨ omung hatten wir ja station¨ ar genannt, wenn das Stromlinienbild nicht von Zeit abh¨ angt.

In der Tat, wenn wir an einem festen Ort (x,y,z) sitzen, und die Ver¨ anderung in der Zeit bo- ebachten, dann ist das gerade die partielle Ableitung. Sie verschwindet genau dann, wenn sich das Stromlinienbild im Laufe der Zeit nicht ¨ andert.

Im Gegensatz dazu nennt man die Ableitung, die in der Eulergleichung vorkommt, auch die sub- stantielle Ableitung. Sie beschreibt die Aenderung der Geschwindigkeit, die man sieht, wenn man mit einem Massenteilchen mitgeht. Die partielle und die substantielle Ableitung sind nat¨ urlich v¨ ollig verschieden.

Analog wie in der Mechanik der Massenpunkte liegt auch hier bei der Integration dieser Glei- chung oft das Hauptproblem bei der Bestimmung der Randbedingungen.

1.7 Energiebetrachtung: Die Bernoulligleichung

Wie in der Mechanik der Massenpunkte kann das System statt mit den Bewegungsgleichungen auch durch Energieerhaltung beschrieben werden. Das vereinfacht oft die L¨ osung des Problems, und erlaubt uns auch direkter anwendbare Gesetze zu formulieren.

Wir betrachten eine laminare, station¨ are Str¨ omung einer inkompressiblen, hier nun auch reibungsfreien Fl¨ ussigkeit in einer R¨ ohre variablen Querschnitts und dazu variabler H¨ ohenlage. Diese R¨ ohre muss nicht notwendigerweise reell existieren, sondern kann durch eine Gruppe von zusammen- gefassten Stromlinien gebildet werden. Die Eintrittsfl¨ ache A

und die Austrittsfl¨ ache A

sind senkrecht zur Str¨ omung gew¨ ahlt, und ferner soll auch die Geschwindigkeit nicht

¨ uber den Bereich der Fl¨ achen variieren. Gem¨ ass der Kon- tinuit¨ atsgleichung erhaltem wir f¨ ur die im Zeitintervall dt die Fl¨ achen passierende Fl¨ ussigkeitsmenge dm

dm = dm

= ρv

A

dt = dm

= ρv

A

dt

y₁ p₁ v₁ Eingang y L

y

x x v₂

p₂ y₂ Ausgang Ideale

Flüssigkeit

Wir wollen nun eine Energiebilanz aufstellen f¨ ur den Zeitraum dt. Die vom Druck netto geleistete Arbeit dW (Druck

Fl¨ ache

Weg) ist gleich der Zunahme von kinetischer und potentieller Energie: dW = dT + dU .

dW = p

A

v

dt

p

A

v

dt dT = dm

2 (v

v

) dU = gdm(y

y

)

⇒

p

p

= ρ( v

2

v

2 + gy

gy

)

⇒

p

+ ρ

2 v

+ ρgy

= p

+ ρ

2 v

+ ρgy

Da die Orte 1 und 2 v¨ ollig willk¨ urlich gew¨ ahlt waren, folgt die Konstanz dieses Ausdrucks l¨ angs der ganzen Str¨ omung (y

h):

p + ρ

2 v

+ ρgh = const. Bernoulli

sche Gleichung

Die vom Schweizer Physiker und Mathematiker Daniel Bernoulli (1700-1782) formulierte Be- ziehung gilt entlang der Stromlinien einer reibungslosen, inkompressiblen Fl¨ ussigkeit. Verl¨ auft die Stromlinie entlang einer ¨ Aquipotentialfl¨ ache der Gravitationskraft, so reduziert sich die Ber- noulli’sche Gleichung auf den Ausdruck

ρv

2 + p = const.

p

p ist der wirkliche, von einem in der Str¨ omung liegenden Manometer gemessene Druck, der Term ρv

/2 hat ebenfalls die Dimension eines Druckes und heisst dynamischer Druck oder Staudruck.

p

bezeichnet man als den Gesamtdruck. In Worten lautet also die Bernoulli’sche Gleichung:

Statischer Druck (p) plus Staudruck (ρv

/2) ergibt den Gesamtdruck (p

)

Die Bernoulli’sche Gleichung ist die Basis f¨ ur das Verst¨ andnis verschiedener Alltagsph¨ anomene und technischer Instrumente. Einige von ihnen wollen wir nun n¨ aher betrachten.

Beispiel – Messung von Str¨ omungsge- schwindigkeiten mit dem Pitot-Rohr:

Beim Pitot-Rohr handelt es sich um einen stromlinienf¨ ormigen Hohlk¨ orper, bei dem die Druckdifferenz zwischen dem Staupunkt A vorn und einer seitlichen ¨ Offnung B gemessen wird. In A ist die Str¨ omungsgeschwindigkeit null, bei der seitlichen ¨ Offnung dagegen v. Es gilt dann (ρ

=Dichte der Luft, ρ

= Dichte der Manometerfl¨ ussigkeit)

h l B

B v

Staupunkt A l_Luft

A : v = 0, p

= p

B : p

= p

+ ρ

2 v

p

p

= ρ

2 v

= ρ

gh

⇒

v =

s

2(p

p

)

ρ

=

s

2ghρ

ρ

Hier haben wir den am Manometer abgelesenen Druckunterschied (H¨ ohe h) bereits eingesetzt.

Beispiel – Hydrodynamisches Paradoxon: Str¨ omt ein Gas aus einer Druckflasche gegen eine bewegliche Platte, so wird die- se angesaugt und nicht etwa weggeblasen. Infolge der hohen Ge- schwindigkeit des Gases zwischen den beiden Platten ist dort der Druck kleiner als der Luftdruck aussen. Die beiden Platten werden zusammen gepresst.

Beispiel: Druckverteilung in einem Venturi-Rohr:

Ein Rohr mit variablem Querschnitt schliesst eine statio- n¨ are Str¨ omung ein. Der Druck p im Rohr variiert eben- falls mit dem Querschnitt. Die Kombination von Konti- nuit¨ atsgleichung und Bernoulli’scher Gleichung liefert

v

v

= A

A

ρ

2 v

+ p

= ρ

2 v

+ p

= ρ 2 v

( A

A

)

+ p

⇒

p

= p

+ ρ

2 v

(1

A

A

) < p

Mit A

= A

folgt p

= p

. Im Experiment, ob nun das Rohr von Luft durchstr¨ omt oder von Wasser durchflossen wird, sind die Drucke p

und p

kleiner als berechnet. Man be- obachtet selbst bei einem Rohr mit unver¨ anderlichen Quer- schnitt einen linearen Druckabfall. Dies kommt daher, dass eine der Voraussetzungen der Bernoulli’schen Gleichungen, n¨ amlich die Absenz von Schubkr¨ aften und Reibung nicht erf¨ ullt ist.

p

p

p

v

p

p

p

v

v

v

Im Alltag verwendete Varianten des Venturi-Rohrs sind Zer- st¨ auber (a), Wasserstrahlpumpe (b), und Bunsenbrenner (c). An der D¨ usen¨ offnung (kleiner Querschnitt) ist die Ge- schwindigkeit gross, der Druck klein, so dass der Strahl eine Saugwirkung aus¨ ubt. Der erreichbare Enddruck der Wasser- strahlpumpe ist nicht beliebig klein, sondern begrenzt durch den Dampfdruck p

des Wassers (bei 20

C p

= 23 mbar).

Mit ¨ Ol- oder Quecksilber-Strahlpumpen bei tiefen Tempera- turen k¨ onnen Enddrucke bis zu etwa 10

mbar erreicht wer- den. Beim Bunsenbrenner hilft der Unterdruck in der N¨ ahe des an der D¨ use austretenden Gases die f¨ ur das Aufrechter- halten des Verbrennungsvorgangs notwendige Luft anzusau- gen.

Düse Düse

Gas

Luft Luft

1.8 Z¨ ahigkeit, Newton’sche Reibung und die Navier-Stokes-Gleichung

Bei der Einf¨ uhrung der Reibungskr¨ afte haben wir bereits erw¨ ahnt und in verschiedenen Bei- spielen (Kugel im ¨ Ol, Schiff) auch ben¨ utzt, dass reale Fl¨ ussigkeiten nicht reibungsfrei sind. Die Bremswirkung auf sich in der Fl¨ ussigkeit bewegende Objekte hing ab von der Z¨ ahigkeit der Fl¨ ussigkeit einerseits – charakterisiert durch die Viskosit¨ atskonstante η – und der Form und Beschaffenheit der Oberfl¨ ache andererseits.

In einer realen Fl¨ ussigkeit treten also Schubspannungen auf, an den Oberfl¨ achen und im Innern zwischen einzelnen Fl¨ ussigkeitsschichten. In einem Modell, wo man sich die Fl¨ ussigkeitsmolek¨ ule durch harte Kugeln ersetzt denkt, wie in Abbildung 1.6 dargestellt, ist diese Reibung dadurch erkl¨ arbar, dass beim Gleiten der einzelnen Schichten ¨ ubereinander lauter kleine Potentialber- ge (siehe auch Abbildung 2.39) ¨ uberwunden werden m¨ ussen. Beim Beispiel der rotierenden F¨ ussigkeit im Schwerefeld, das wir vorher behandelt haben, h¨ atte die Rotation des Gef¨ asses sich ohne Reibung gar nicht auf die Fl¨ ussigkeit ¨ ubertragen lassen.

W d 2 ¡ ^x W

Abbildung 1.6: Wenn eine Fl¨ ussigkeitsschicht bestehend aus den die Molek¨ ule darstellenden Kugeln ¨ uber die dar- unterliegende gleitet, hat sie Potentialberge der angege- benen Form zu ¨ uberwinden. Von einer Schicht auf die n¨ achste wird dabei Impuls ¨ ubertragen, und daher eine Kraft ausge¨ ubt. Die H¨ ohe der Buckel bestimmt die Vis- kosit¨ at η der Fl¨ ussigkeit. Um eine Schicht ganz von der Oberfl¨ ache abzul¨ osen muss die Energie 2 aufgewendet werden.

Um den quantitativen Zusammenhang zwischen Reibungskr¨ aften und der Viskosit¨ at einer Fl¨ ussigkeit zu erhalten, machen wir einen Modellversuch. Zwischen zwei parallel gestellten Platten, die sich mit der Geschwindigkeit v

zueinander bewegen, befindet sich ein Gas oder eine Fl¨ ussigkeit. Ist v

unterhalb einer kritischen Ge- schwindigkeit v

, so haften an beiden Platten die Grenzschichten.

Dazwischen stellt sich eine laminare Str¨ omung mit einer linearen Geschwindigkeitsverteilung v(x) = ax ein (x=horizontale Koor- dinate in der Zeichnung). Die Schubspannungen und Reibungs- kr¨ afte zwischen den benachbarten Fl¨ ussigkeitsschichten sind, wie dies Newton erstmals formulierte, proportional zum Geschwindig- keitsgradienten Newton’sches Reibungsgesetz

τ = η dv

dx mit dv

dx = a = v

d

d F R

v₀ Wand

Platte v

Betrachten wir nun eine Scheibe der Fl¨ ache dA, der Dicke dx und der Masse dm = ρ dA dx, die sich in der Zeichnung in vertikaler (z-)Richtung mit der Geschwindigkeit v

bewegt. Ihre Bewegungsgleichung lautet

dm dv

dt = τ (x + dx) dA

τ (x) dA

wenn wir vorl¨ aufig nur die Reibungskraft ber¨ ucksichtigen. Dividieren durch dV ergibt:

ρ dv

dt = ∂τ

∂x

Wir setzen das Newton’sche Reibungsgesetz ein und erhalten:

ρ dv

dt = η ∂

v

∂x

Macht man die gleiche Ueberlegungen in allen drei Raumrichtungen, fasst das Resultat in Vek- torschreibweise zusammen und nimmt auch noch den Druckgradienten grad p und die Volumen- kraftdichte f ~ wie in der Eulergleichung dazu, erh¨ alt man die vollst¨ andige Bewegungsgleichung, die sogenannte Navier-Stokes-Gleichung (hier in der Form f¨ ur inkompressible Fl¨ ussigkeiten):

ρ d~ v

dt =

p + f ~ + η ∆~ v mit der Definition f¨ ur den Laplaceoperator:

∆v

= ∂

v

∂x

+ ∂

v

∂y

+ ∂

v

∂z

und ∆~ v = (∆v

, ∆v

, ∆v

)

Die Navier-Stokes-Gleichung kann man analytisch in der Regel nicht l¨ osen, stattdessen werden numerische Methoden und Computer eingesetzt.

Im Gegensatz zur Betrachtung bei den reibungsfreien Str¨ omungen f¨ uhrt uns hier die Energie- erhaltung nicht auf ein praktisches Gesetz: Wegen der Reibung geht ein Teil der Energie ja in W¨ arme ¨ uber.

Diese Newton’sche Reibungsgesetz hat die gleiche Form wie die Diffusions- und W¨ armeleitungs- gleichung, die wir im Sommersemester in der Thermodynamik antreffen werden. Bei diesen Prozessen handelt es sich ebenfalls um Transportph¨ anomene. W¨ armeleitung kommt durch Ener- gie¨ ubertragung und Energietransport zustande, der bei den St¨ ossen der Molek¨ ule untereinander sowohl in der Fl¨ ussigkeit wie im Gas auftritt. Diffusion bedeutet Materietransport.

F¨ ur Gase steigt, f¨ ur Fl¨ ussigkeiten sinkt η mit zunehmender Temperatur. F¨ ur Gase ist η druckun- abh¨ angig. Typische Werte der Viskosit¨ atskonstante η sind in Tabelle 1.1 aufgef¨ uhrt. Als Einheit der Viskosit¨ at wird normalerweise ben¨ utzt

1 Poise = 0.1 Nsm

Beispiel – Messung von η: Eine kleine Al-Platte wird durch ein mit ¨ Ol gef¨ ulltes Gef¨ ass ge-

zogen. Bei konstanter Kraft, bestimmt durch das Gewicht der an dem Faden h¨ angenden Masse,

l¨ asst sich η aus der Geschwindigkeit der Platte bestimmen. Die Geschwindigkeit nimmt vom Be-

ginn der Bewegung zun¨ achst exponentiell ansteigend zu (siehe Abschnitt 2.5.4.2.3), und erreicht

dann die Grenzgeschwindigkeit, wo sich Antrieb und Reibung die Waage halten.

Substanz η [Poise]

0

C 20

C 50

C 100

C

Luft 0.00017 0.00017 0.00022

H

O 0.0179 0.0101 0.0055 0.0028

Rhizinus¨ ol 9.50

Glycerin 15.3

17

C 23

C 30

C 37

C

Blut 0.04

Blutplasma 0.020 0.0173 0.015 0.013

Tabelle 1.1: Viskosit¨ atskon- stante f¨ ur verschiedene Sub- stanzen

Die Gleichgewichtbedingungen lauten

Faden : F

mg = 0 Platte : F

2Aτ

m

g = 0 m

= d

A(ρ

ρ

) τ = η dv

dx = 2v

η d

m

g ist das um den Auftrieb verminderte Gewicht der Plat- te, 2Aτ ist – Schubspannung

Fl¨ ache – die bremsende Rei- bungskraft. Es ergibt sich

η = (m

m

)g 4A

d v

A F

G L o d' Al

d d'<<d

m G Öl

Stoke’sches Reibungsgesetz f¨ ur eine Kugel: Wird eine Kugel von einem viskosen Fluid umstr¨ omt, so kann man die gesamte Kraft auf die Kugel mit dem Newton’schen Reibungsgesetz berechnen. Sie ist wie oben proportional zur Geschwindigkeit v und der Z¨ ahigkeit η. Die geome- trischen Faktoren sind schwieriger zu brechnen; als Resultat erh¨ alt man f¨ ur die gesamte Kraft auf die Kugel mit Radius r:

F

= 6π r η v Stoke

sche Reibung

Ubergang zu Turbulenz: ¨ Die kritische Geschwindigkeit v

, bei der die laminare Str¨ omung in eine turbulente umschl¨ agt, h¨ angt auch von der Viskosit¨ at η ab, dazu von der Dichte ρ und einer charakteristischen L¨ ange L (Gef¨ assdimension, Durchmesser des Hindernisses usw.). In unserem Beispiel w¨ are L der Plattenabstand. Auf Grund empirischer Resultate ergibt sich

v

= R

η ρL

R

ist eine charakteristische Konstante, die dimensionslose Reynold’sche Zahl. F¨ ur glatte Rohre findet man z. B. R

= 2300. Ist der Rohrdurchmesser L = 1 cm, so erh¨ alt man die folgenden kritischen Geschwindigkeiten:

v

= 23 cm/s f ¨ ur Wasser v

= 320 cm/s f ¨ ur Luft

In der turbulenten Str¨ omung wird die die Widerstandskraft proportional zur Dichte und zum

Quadrat der Geschwindigkeit und h¨ angt im ¨ ubrigen stark von der geometrischen Form des

K¨ orpers ab.

Nichtnewton’sche Fl¨ ussigkeiten: Viele Fl¨ ussigkeiten erf¨ ullen das Newton’sche Reibungsge- setz nicht, d. h. die Viskosit¨ at η ist nicht konstant, sondern nimmt mit zunehmendem Geschwin- digkeitsgradienten zu oder ab. Solche sogenannten Nicht-Newtonschen Fl¨ ussigkeiten sind z. B.

Blut, Speichel, Dispersionsfarben, Pasten, Salben, Gele.

1.9 Anwendungen mit reibungsbehafteten Str¨ omungen

Str¨ omung und Geschwindigkeitsverteilung in einem zylindrischen Rohr: In vielen Anwendungen trifft man auf die folgende Situation: Die Str¨ omung einer Fl¨ ussigkeit durch ein zylindrisches Rohr wird durch einen Druckunterschied an den beiden Enden des Rohrs auf- rechterhalten. Die allt¨ agliche Erfahrung lehrt, dass die Durchflussmenge vom Rohrdurchmesser einerseits und vom Druck andererseits abh¨ angt. Ferner ist die Geschwindigkeitsverteilung in dem Rohr inhomogen. In der Mitte ist die Geschwindigkeit am gr¨ ossten. Beide Befunde finden wir in den Hagen-Poiseuille’schen Gesetzen ausgedr¨ uckt.

F¨ ur ein Rohr mit Radius R der L¨ ange L, in dem durch einen Druckunterschied ∆p eine laminare Str¨ omung unterhalten wird, finden wir ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil

v(r) = 1 4

∆p

ηL (R

r

)

v

R r F_p p₁

p₂ v₀

Die Durchflussmenge ergibt sich zu Q = π∆p R

8ηL [m

s

]

Zum Beweis der beiden Beziehungen denken wir uns aus der Fl¨ ussigkeit eine zylindrische Stromr¨ ohre mit Radius r herausgeschnitten: Infolge des Druckunterschieds ∆p wirkt auf diesen Zylinder eine Kraft in der Str¨ omungsrichtung

F

= πr

(p

p

) = πr

∆p

Durch das radiale Geschwindigkeitsgef¨ alle dv/dr an der Mantelfl¨ ache eine entgegengerichtete Reibungskraft

F

= η2πr dv dr Im station¨ aren Fall herrscht Gleichgewicht

F ~

+ F ~

= 0

πr

∆p + 2πrLη dv dr = 0

⇒

dv

dr =

∆p

2ηL r Integration : v(r) =

r

∆p

4ηL + C

Die Integrationskonstante C erhalten wir aus der Randbedingung v(r = R) = 0

C = R

∆

4ηL Damit ist die erste Beziehung bewiesen.

Die Durchflussmenge berechen wir zun¨ achst f¨ ur einen Hohlzylinder mit gleichem Radius wie die Stromr¨ ohre, aber mit der Wandst¨ arke dr. In diesen Hohlzylinder tritt am Ende im Zeitintervall t durch die Eintrittsfl¨ ache 2πrdr das Wasservolumen dV = 2πrdr v(r)t ein.

dV

t = v(r)2πrdr = π∆p(R

r

)

2ηL rdr

Was im gleichen Zeitintervall durch den gesamten Rohrquerschnitt eintritt erh¨ alt man durch Integration:

Q

V

t = π∆p 2ηL

Z R 0

(R

r

)rdr = πR

∆p 8ηL

Die Wassermenge M ergibt sich aus Q durch Multiplikation mit der Dichte ρ. Bei einer kon- stanten mittleren Geschwindigkeit v w¨ are die Durchflussmenge Q = πR

v. Setzen wir die wahre Durchflussmenge Q gleich der mittleren Durchflussmenge Q so ergibt sich f¨ ur die mittlere Ge- schwindigkeit

v = R

∆p 8ηL

Diesen Zusammenhang k¨ onnen wir ben¨ utzen, um die gesamte Kraft zu berechnen, die aufgrund der Fl¨ usssigkeitsreibung auf das Rohr wirkt. Die auf ein St¨ uck Rohr der L¨ ange L und der Querschnittsfl¨ ache πR

wirkende Kraft R

ist gleich der Fl¨ ache mal Druckunterschied, also:

R

= πR

∆p = 8πηLv

wobei wir die obige Formel f¨ ur die mittlere Geschwindigkeit verwendet haben. Wie bei der Stoke’schen Reibung an der Kugel, ist auch hier die totale Kraft proportional zu η und v.

Damit die Str¨ omung laminar bleibt, muss v < v

gelten. ¨ Uberschreitet v die kritische Geschwin- digkeit, so wird die Str¨ omung turbulent. Bei einer turbulenten Str¨ omung ist die Durchflussmenge kleiner, die Reibung gr¨ osser als beim laminaren Fall.

Weitere Kr¨ afte in Str¨ omungen – Dynamischer Auftrieb und Widerstand: Wird ein K¨ orper von einem Gas oder einer Fl¨ ussigkeit umstr¨ omt, so treten neben den schon behandelten auch Kr¨ afte auf, die proportional dem Quadrat der Anstr¨ omgeschwindigkeit sind.

Von einem Stromlinienbild, wie z. B. dem f¨ ur ein Fl¨ ugelprofil in Abbildung 1.7, kann die Ge-

schwindigkeitsverteilung (Kontinuit¨ atsgleichung) und damit die Druckverteilung (Bernoulli’sche

Gleichung) der umstr¨ omenden Substanz abgelesen werden. Der aufgerichtete Fl¨ ugel lenkt den

Luftstrom nach unten ab. Das Ablenken entspricht einer Kraft des Fl¨ ugels auf den Luftstrom,

und nach dem 3. Newton’schen Prinzip ¨ ubt der Luftstrom eine entgegengesetzt gleiche Kraft

auf den Fl¨ ugel aus. Die vertikale Komponente (allgemeiner die Komponente normal zu ~ v) dieser

Kraft nennt man den dynamischen Auftrieb A ~

, die horizontale Komponente (allgemeiner die Komponente parallel zu ~ v) nennt man den dynamischen Widerstand R ~

. Da die Dichte der Stromlinien oberhalb des Fl¨ ugels gr¨ osser ist als unterhalb, ist die Geschwindigkeit dort h¨ oher, der Druck kleiner und die resultierende Kraft daher aufw¨ arts gerichtet, wie es uns die Ber- noulli’sche Gleichung lehrt. Der dynamische Auftrieb hat nichts mit dem statischen Auftrieb in Gasen und Fl¨ ussigkeiten zu tun, auf den das Prinzip von Archimedes hinweist und der Ballone fliegen und Eisberge schwimmen l¨ asst. Der dynamische Auftrieb entsteht nur, wenn Str¨ omung und umstr¨ omtes Objekt relativ zueinander in Bewegung sind.

v₂ v₁

Luftwiderstand Auftrieb

Anstellwinkel

Abbildung 1.7: Stromlinienverteilung f¨ ur einen Flugzeugfl¨ ugel der gegen¨ uber der Ho- rizontalen leicht geneigt ist. Die resultie- rende Kraft hat eine vertikale Komponente (dynamischer Auftrieb) und eine horizonta- le Komponente (dynamischer Widerstand).

In einer reibungsfreien Fl¨ ussigkeit w¨ are der dynamische Widerstand null, mit Reibung haben wir eine Stoke’sche Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit. Diese Kraft gen¨ ugt jedoch nicht, um den dynamischen Widerstand zu erkl¨ aren, der mit dem Quadrat der Geschwindigkeit zunimmt.

R

= C

v

Die Ursache dieser Kraft ist die Wirbelbildung hinter dem umstr¨ omten Hindernis, d. h. diese Kraft tritt erst dann auf, wenn der ¨ Ubergang von der laminaren zur turbulenten Str¨ omung (v > v

) schon vollzogen ist. Die sich an den Grenzfl¨ achen bildenden Wirbel tragen kinetische Energie mit, die dem Flugobjekt entzogen wird. Der Koeffizient C

h¨ angt sehr stark von der Geometrie des Profils ab. Welche Geometrie die g¨ unstigste ist lehrt uns die Natur, f¨ ur einen

“stromlinienf¨ ormigen” Hai ist C

sicher kleiner als f¨ ur einen Kugelfisch. In Tabelle 1.2 sind die Werte f¨ ur verschiedene fl¨ achengleiche Profile miteinander verglichen.

Der dynamische Auftrieb macht sich auch bemerkbar bei der Bewegung von rotierenden Ob- jekten. Ein rotierendes Objekt hat eine andere Flugbahn als ein Objekt, das sich nicht dreht.

Abbildung 1.8 demonstriert die Ursache dieser Beobachtung, die man den Magnus-Effekt nennt.

Der rotierende Ball nimmt die Luft an seiner Oberfl¨ ache mit, und erzeugt dadurch eine asymme-

trische Geschwindigkeitsverteilung und eine entsprechende Kraft, die je nach Drehrichtung nach

unten gerichtet (top-spin, k¨ urzere Flugbahn), noch oben gerichtet (bottom spin im Golf, slice

im Tennis, l¨ angere Flugbahn) oder, h¨ aufig unerw¨ unscht, wenn die Drehung nicht um eine hori-

zontale Achse erfolgt, seitw¨ arts gerichtet ist. In diesem Fall bekommt man in der horizontalen

Projektion gekr¨ ummte Flugbahn.

v₂ v₁

v₂ v₁

F Auftrieb Luftwiderstand

Abbildung 1.8: Die Stromlinienverteilung f¨ ur einen sich nicht drehenden Ball (oben) ist symmetrisch bez¨ uglich einer horizontalen Achse. F¨ ur einen sich drehenden Ball f¨ uhrt die Z¨ ahigkeit des Mediums zu einer Zirkula- tionsstr¨ omung um den Ball herum (Mitte).

Der anstr¨ omende Luftstrom wird durch die Zirkulation abgelenkt und die entsprechende Kraft ist f¨ ur diese Drehrichtung aufw¨ arts ge- richtet (unten).

0.22 0.34 0.08 1.58 1.33

Widerstandskoeffizient C_R

Tabelle 1.2: Vergleich verschiedener fl¨ achengleicher Profile.

1.10 Grenzfl¨ achen von Fl¨ ussigkeiten – Koh¨ asion und Adh¨ asion Unter Koh¨ asionskr¨ aften verstehen wir die inne-

ren, intermolekularen Kr¨ afte in einer Substanz, welchen wir schon ¨ ofters begegnet sind. Der ab- stossende Anteil wirkt nur zwischen benachbar- ten Molek¨ ulen. Die Reichweite der anziehenden Kraft wirkt sich ¨ uber mehrere Molek¨ ule hinweg aus, ¨ uber Distanzen von ca. 10

m. Im Innern einer Fl¨ ussigkeit ist ein Molek¨ ul den anziehen- den Kr¨ aften benachbarter Molek¨ ule von allen Seiten ausgesetzt. Die resultierende Kraft F ~

ist null. Anders liegen die Verh¨ altnisse f¨ ur ein Molek¨ ul nahe der Oberfl¨ ache. Hier ergibt sich eine in das Innere der Fl¨ ussigkeit gerichtete re- sultierende Kraft F ~

.

F_tot = 0

~1nm F_tot

Die nach innen gerichteten, intermolekularen Kr¨ afte ziehen die Fl¨ ussigkeit zusammen und er-

zeugen somit in der Fl¨ ussigkeit einen Binnendruck p

, dessen Gr¨ osse von den Molekularkr¨ aften

abh¨ angt. Der Binnendruck f¨ uhrt zu einem Korrekturterm der Zustandsgleichung f¨ ur reale Gase (Van der Waalsgleichung, siehe Thermodynamik).

Adh¨ asionskr¨ afte heissen die intermolekularen Kr¨ afte, wenn sie zwischen Molek¨ ulen verschiedener Substanzen, also vor allem an Grenzfl¨ achen auftreten. Je nach Art der beteiligten Molek¨ ule kann die Adh¨ asion (A) gr¨ osser oder kleiner sein als die entsprechende Koh¨ asion (K).

A > K: Zwei Fl¨ ussigkeiten vermischen sich. Eine Fl¨ ussigkeit benetzt einen festen K¨ orper. (Ex- periment: Essig – Wasser)

A < K : Zwei Fl¨ ussigkeiten entmischen sich. Keine Benetzung eines festen K¨ orpers durch eine Fl¨ ussigkeit. (Experiment: Paraffin¨ ol – Wasser)

Grenzfläche

A K>

A K>

Durchmischung zweier Flüssigkeiten Entmischung zweier Flüssigkeiten

Oberfl¨ achenspannung: Grenzt eine Fl¨ ussigkeit an Vakuum so treten keine Adh¨ asionskr¨ af- te auf. Wenn keine anderen ¨ ausseren Kr¨ afte vorhanden sind, so bewirkt die Koh¨ asion, dass alle Molek¨ ulabst¨ ande m¨ oglichst klein werden, d. h. die Fl¨ ussigkeit wird Kugelform annehmen (Regentropfen, Hg-Tropfen, Experiment: schwebende Oliven¨ olkugel in einer Alkohol-Wasser- Mischung, siehe Abbildung 1.9).

Eine Energiebetrachtung f¨ uhrt zum gleichen Resultat. Jede Bindung an ein Nachbarmolek¨ ul liefert einen negativen Beitrag (−E

) zur potentiellen Energie. Diese ist daher kleiner, je mehr solcher Bindungen vorhanden sind. Den Oberfl¨ achenmolek¨ ulen fehlen jedoch nach aussen die Nachbarn, d. h. es fehlen Bindungen. Die gesamte Energie ist daher minimal, wenn m¨ oglichst wenige Molek¨ ule an der Oberfl¨ ache sitzen, d. h. das Verh¨ altnis von Oberfl¨ ache zu Volumen minimal ist, was wieder zur Kugelform f¨ uhrt:

Kugel : V = 4

3 πr

, A = 4πr

A V = 3

r = 3

4π

3V = 4.84

√3

V W¨ urfel : V = a

, A = 6a

A

V = 6 a = 6

√3

V > 4.84

√3

V

Will man die Oberfl¨ ache vergr¨ ossern, so muss man Energie in die Fl¨ ussigkeit hineinstecken. Dies

l¨ asst sich mit einem Drahtb¨ ugel, der in eine Seifenl¨ osung eingetaucht wird und dabei eine La-

melle aufspannt, quantitativ zeigen (Abbildung 1.10). Der B¨ ugel h¨ angt an einer Waage, die ohne

Lamelle einen kleineren Ausschlag zeigt. Die Oberfl¨ ache wird um den Betrag dA = 2Ldx ver-

gr¨ ossert. Die Kraft F ergibt sich aus der Differenz der Anzeigen mit und ohne Lamelle. Die beim

Flüssigkeitstropfen (unstabil)

Flüssigkeit Flüssigkeitstropfen (stabil) Oberfläche

Abbildung 1.9: Illustration zur Tropfenbildung bei Fl¨ ussigkeiten.

Herausziehen des B¨ ugel geleistete Arbeit ist dW = 2F dx. Das Verh¨ altnis der hineingesteckten Energie (geleisteten Arbeit) zur Oberfl¨ achenvergr¨ osserung

dW

dA = 2F dx 2Ldx = F

L nennt man Oberfl¨ achenspannung γ .

γ = dE dA

Energie Fl¨ ache

=

Kraft L¨ ange

F L

dx

Lamelle

F F

F=G_m F=G_m

Abbildung 1.10: Messung der Oberfl¨ achenspannung.

Grenzt die Fl¨ ussigkeit nicht an Vakuum, sondern an ein anderes Medium, so gelten die obigen Uberlegungen wenigstens n¨ ¨ aherungsweise, wenn dieses sehr verd¨ unnt ist, wie z. B. ein Gas.

Typische Werte f¨ ur γ an Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ achen, ¨ uber welchen sich Luft befindet, sind in Tabelle 1.3 aufgef¨ uhrt. Die Oberf¨ achenspannung ist temperaturabh¨ angig. Sie kann z. B. f¨ ur Wasser durch sogenannte Detergentien stark verringert werden.

An ebenen Oberfl¨ achen ist die Resultierende der Oberfl¨ a-

chenspannung gleich Null. Auf ein konvexes Fl¨ achenelement

dagegen resultiert eine Kraft nach innen, auf ein konkaves

eine solche nach aussen. In beiden F¨ allen strebt die gest¨ orte

Oberfl¨ ache zur ebenen, minimalen Form zur¨ uck.