Aufgrund der an- gegebenen Strucktur besitzt das System die Periodizit¨at a

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theoretische Festk¨orperphysik Ubungen zu Moderne Theoretische Physik III¨ SS 13

Prof. Dr. G. Sch¨on L¨osungsvorschlag zu Blatt 10

Dr. M. Marthaler, Dr. A. Poenicke 28.06.2013

1. Harmonische Kette: Gegeben ist eine zwei atomige Kette, wobei die zwei verschie- denen Atome sich durch ihre Masse unterscheiden (siehe Bild 1).

u_n sn

K

u_n+1 a/2

a

K

Abbildung 1: Zwei-atomige Kette mit den Atompositionen S_n und U_n

Atome um die Position U_n haben die Masse m_u und entsprechend Atome bei S_n die Masse m_s. Zwischen allen Atomen gilt die selbe Federkonstante K. Aufgrund der an- gegebenen Strucktur besitzt das System die Periodizit¨at a. Via Lagrange Funktion, Hamilton Funktion oder durch direktes ablesen lassen sich die Bewegungsgleichungen bestimmen.

Es ergeben sich folgende newtonsche Bewegungsgleichungen (in Matrixform):

m_u 0 0 m_s

¨ z_n=K

−2 1 1 −2

z_n+

0 1 0 0

zn−1+ 0 0

1 0

z_n+1

mit z_n = u_n

s_n

die mit Hilfe eines Ansatzes mit ebenen Wellen:

u_n(t) =u e^i[kna−ωt] s_n(t) = s e^{i[k(na+a2)−ωt]} also

z_n(t) = e^i[kna−ωt]

u se^ika2

gel¨ost werden soll (entgegen dem ¨Ubungsblatt verwenden wir ein Reelless). Die Matrix- form der Bewegungsgleichung legt einen solchen Ansatz nahe, da die Struktur einer ein- atomigen Kette (mit geigneten Koeffizienten) wiederhergestellt wurde:zn−1−2z_n+z_n+1. (a) Zuerst soll bestimmt werden wie die periodischen Randbedingungen sich auf die

m¨oglichen L¨osungen des Systems auswirken.

Mit der Bedingung der Periodizit¨at bez¨uglich a folgt:

zn+N(t) = zn(t) ⇒ e^{ikN a} = 1 ⇒ k = 2π a

m

N, m= 0,1,2, . . . , N −1

Die Einschr¨ankung |m| < N folgt aufgrund der Vermeidung doppelt gez¨ahlter Zust¨ande. Die Periodizit¨at bez¨uglich a impliziert das 2N Atome als Freiheitsgrade zur Verf¨ugung stehen. Die Zahl der m¨oglichen Zust¨anden muss demnach ebenfalls 2N sein (z_n enth¨alt immer 2 Freiheitsgrade).

Eine Symmetrisierung des Intervalls f¨uhrt zur Einschr¨ankung: −π

a < k ≤ π a .

(b) Unter Verwendung des Ansatzes ergibt sich f¨ur die Bewegungsgleichung (re-absorbieren des e^ika-Faktors):

K

−2 e^ika2 e^−ika2 −2

+

0 e^−ika2

0 0

+

0 0 e^ika2 0

+ω²

m_u 0 0 m_s

u s

= 0 und damit die quadratische Gleichung:

ω²m_u−2K 2Kcos(k^a₂) 2Kcos(k^a₂) ω²m_s−2K

= 0 (1)

die gel¨ost wird durch (Siehe Abbildung 2 f¨ur die Auftragung von ω±(k)):

ω²_±=Km_u+m_s m_um_s ±K

s

m_u+m_s m_um_s

2

− 4

m_um_s sin²(ka 2)

=Km_u+m_s m_um_s ±K

s

m_u−m_s m_um_s

2

+ 4

m_um_scos²(ka

2). (2) Desweiteren sind die dazu geh¨orenden Eigenmoden von Interesse (die Art der Schwin- gung). Aus der Determinanten (1) folgt dass:

u

s =−2Kcos(k^a₂)

ω²m_u−2K (3)

gerade die Form der Schwingung angibt.

Im Fall

|k| π/a folgt f¨ur die Dispersion:

ω²_±≈Km_u+m_s mums

1±

1− 2m_um_s (mu+ms)²

k²a² 4

also ω₊(k) ≈ q

2K^m_m^u+ms

ums −O(k²) und ω−(k) ≈ q

K

2(mu+ms)ka. Die Form der Schwingung ist dann f¨ur station¨are Oszillationen (k→0):

u s =

−^m_m^s

u f¨ur + 1 f¨ur −

und damit gegenphasig im optischen + Fall, und gleichphasig im akkustischen

−Fall.

|k| 'π/a folgt f¨ur die Dispersion:

ω_±² = K

m_um_s [m_u+m_s± |m_u−m_s|]

Der Sprung zwischen akkustischer und optischer Mode ist damit∼2K^|m_m^u−ms|

ums . Im Fall gleicher Massen liegt bei π/aeine Entartung vor die daher r¨uhrt, dass die Brillouin Zone k¨unstlich vergr¨oßert wurde (a statt a/2).

Abbildung 2: Links Entarteter Fall: optische und akkustische Moden ¨uber k aufgetragen.

RechtsEntartung aufgel¨ost: Optische und akkustische Moden als separierte Energieb¨ander

¨

uber k aufgetragen.

2. Phononen:

Die Moden der Kette seien mit λ bezeichnet, also λ ≡ (k,±), (±) steht f¨ur op- tisch/akustisch, mit den entsprechenden Eigenfrequenzen ω_λ. Jeder Mode λ wird nun ein harmonischer Oszillator zugeordnet.

(a) F¨ur jede Mode:

λ : Hλ =~ωλ(a^†_λaλ + 1/2) , Hλ|nλi=~ωλ(nλ+ 1/2)|nλi , nλ = 0,1,2,3, . . . Dann lautet die kanonische Zustandssumme derunterscheidbaren Oszillatoren:

Z =X

α

e^−βEα =Y

λ

∞

X

nλ=0

e^{−β~ωλ(nλ+1/2)}

!

=Y

λ

e^−β~ωλ12 1−e^−β~ωλ

!

Innere Energie:

U = −1 Z

∂Z

∂β =− ∂

∂β ln(Z) =− ∂

∂β X

λ

−β~ω_λ

2 −ln 1−e^−β~ωλ

= X

λ

~ω_λ 1

2+g(~ω_λ)

=U₀+X

λ

~ω_λg(~ω_λ) (b) Hochtemperaturlimes k_BT ~ω_λ ⇒ e^β~ωλ ≈1 +β~ω_λ:

U =X

λ

~ωλ

1

2+ kBT

~ω_λ

=X

λ

kBT

1 + 1 2

~ωλ

k_BT

= 2N kBT

1 +O ~ωλ

k_BT

| {z }

1

In f¨uhrender Ordnung ist dies genau der Gleichverteilungssatz, der besagt, dass jeder Freiheitsgrad, der quadratisch in der Lagrange-Funktion auftritt mit 1/2N k_BT zur inneren Energie beitr¨agt (2N Atome oder Moden, die jeweils in der kinetischen und potentiellen Energie quadratisch auftreten).

Die spezifische W¨arme erh¨alt man durch Ableiten nach T und wir finden C_V = 2N k_B. Im Allgemeinen lautet das Dulong-Petit’sche Gesetz

C_V =dN rk_B

mit der Raumdimension d, der Anzahl der Einheitszellen N und der Anzahl der Atome pro Einheitszeller.

(c) Das Einstein-Modell liefert f¨ur optische Phononen brauchbare Resultate. Man erh¨alt mit den Annahmen vom ¨Ubungsblatt die innere Energie

U =U₀+ 2N ~ω₀ e^β~ω0 −1 und daraus sofort die spezifische W¨arme

C_V = ∂U

∂T = 2N k_B(~ω₀)² (k_BT)²

e^β~ω0 e^β~ω0 −12 =

Θ_E 2T

2

2N k_B sinh^{2 Θ}_2T^E mit der charakteristischen Einstein-Temperatur

k_BΘ_E =~ω₀ .

Hochtemperaturlimes T Θe ( exp (ΘE/T)≈1 + ΘE/T ):

⇒ U −U₀ = 2N k_BT und C_V = 2N k_B . Tieftemperaturlimes T Θ_e ( exp (Θ_E/T)1 ):

U −U₀ ≈2N ~ω0

e^β~ω0 = 2N~ω₀e^−ΘE/T CV ≈2N kB

Θ_E T

2

e^−ΘE/T

Sowohl U als auch C_V verschwinden, sind also im Limes T → 0 exponentiell un- terdr¨uckt. Dieses exponentielle Verhalten ist typisch f¨ur Systeme mit einer Ener- giel¨ucke.

(d) Annahme: ω_λ =ω_akkustisch=ck.

Die Grundzustandsenergie ist U₀ =P

λ ~ωλ

2 . Es gilt dann also U −U0 = X

k

~ck

e^β~ck−1 = V 2π

Z ^π_a

−^π

a

dk ~ck

e^β~ck−1 = N a π

(k_BT)²

~c

Z ^π~c

akB T

0

dx x e^x−1

kBT~c^π_a

→ N a π

(k_BT)²

~c

Z ∞

0

dx x

e^x−1 = N aπ 6

(k_BT)²

~c +O(e^{−akB Tπ~c} )

Die spezifische W¨arme ergibt sich dann zu CV = ∂U

∂T = N aπk_B² 3~c T .

Man kann leicht zeigen (in einer analogen Rechnung), dass im allgemeinen gilt C_V ∝T^d ,

was dann f¨urd= 3 das bekannte T³–Gesetz ergibt.

Die vorgenommen N¨aherung entspricht im Wesentlichen dem Debye-Modell. Im All- gemeinen wird allerdings die Integralgrenze nicht nach∞geschoben, so dass Korrek- turen zur Temperaturabh¨angigkeit auftreten und die Resultate auch f¨ur “mittlere”

Temperaturbereiche g¨ultig werden.

Das Einstein Modell wird relevant sobald die Temperatur T ∼ Θ_E erreicht (damit wird dann auch Dulong Petit reproduziert.).

3. Chemisches Potential f¨ur zweidimensionales Elektronengas:

(a) Das Großkanonische Potential des Fermi-Gases ist gegeben ¨uber die Zustandsumme Ω(T, V, µ) =−kTlnZG =−kT X

λ

ln

1 +e^{−(ελ−µ)/kT} ,

und die Teilchenzahl die partielle Ableitung nach dem chemischen Potential hNi=−∂Ω

∂µ =kT X

λ

1 kT

e^{−(ελ−µ)/kT} 1 +e^{−(ελ−µ)/kT}

=X

λ

1

e^{(ελ−µ)/kT} + 1 =X

λ

f(ε_λ).

Die Teilchenzahl ist also gegeben durch die besetzten Zust¨ande, beschrieben durch die Fermi-Verteilung f(ε). Mit Hilfe der Zustandsdichte l¨asst sich die Summe als Energie-Integral ausdr¨ucken

N =hNˆi= Z

dε D(ε)f(ε) =D_2d Z

dε f(ε). (4)

da die zwei-dimensionalen Zustandsdichte konstant ist, gegeben durch D_2d= (2s+ 1) A

(2π)² 2πm

~² ,

somit ergibt sich im Grenzfall tiefer Temperaturen N =D_2d

Z ∞

0

d θ(µ−) =D_2dµ wobei f(ε) = 1 e^−µkT + 1

T→0

−→θ(µ−ε) (5) verwendet wurde.

(b) Aus der vorhergehenden Rechnung (Gl.(4)) folgt f¨ur endliche Temperaturen:

N =D_2dkT Z ∞

− ^µ

kB T

dz e^z+ 1. Mit Hilfe des Hinweises ergibt sich:

Z b

a

dz e^z+ 1

(e^z=t)

= Z tb

ta

dt t(t+ 1) =

Z tb

ta

dt 1

t − 1 t+ 1

= ln t t+ 1

tb

ta

= ln 1

e^−z+ 1

b

a

und damit

N =D2dkT ln

1 +e^kTµ

.

Unter Verwendung des Ergebnisses aus Aufgabe a) und der Annahme konstanter Teilchenzahl folgt (µ(T = 0) =ε_F):

ε_F=kT ln

1 +e^kTµ

→ µ(T) =kT ln

e^kTεF −1

und somit T_µ=0 = ε_F kln 2 .

Betrachtet man die Temperaturgrenzf¨alle so findet man kT ε_F: ln

e^kTεF −1

= ε_F

kT + ln

1−e^−kTεF

≈ ε_F

kT −e^−kTεF µ(T)≈ε_F−kT e^−kTεF =ε_F− O

e^−kTεF

kT ε_F: ln

e^kTεF −1

≈ln ε_F

kT + 1 2!

ε_F kT

2

+. . .

µ(T)≈ −kT lnkT ε_F