¨Ubungsblatt 2, Besprechung 7.11.06 Aufgabe 1: Euler-Lagrange Leiten Sie die Euler-Lagrange Gleichungen her unter der Voraussetzung, dass auch Ableitungen zweiter Ordnung vorkommen k¨onnen: L

Quantenfeldtheorie I WS 06/07 Prof. Jan Plefka

Ubungsblatt 2, Besprechung 7.11.06 ¨

Aufgabe 1: Euler-Lagrange

Leiten Sie die Euler-Lagrange Gleichungen her unter der Voraussetzung, dass auch Ableitungen zweiter Ordnung vorkommen k¨onnen: L=L(φ_i, ∂_µφ_i, ∂_µ∂_νφ_i).

Aufgabe 2: Quantisierung auf dem Kreis: Windungs- und Impulszust¨ande Wir betrachten eine skalare Feldtheorie in einer Raumdimension in Form

eines Kreises mit Umfang L. Die Wirkung f¨ur das skalare Feld φ(x, t) lautet

S[φ] = Z

dt Z L

0

dx[¹₂(∂_tφ)²−¹₂ (∂_xφ)²].

1. Argumentieren Sie, dass das Feldφ wie folgt entwickelt werden kann:

φ(x, t) = 1

√L

∞

X

k=−∞

φ_k(t)e^2πikx/L

Ist φ_k reel?

2. Geben Sie die Wirkung in den φk an. Wie erwartet haben wir es mit einer unendlichen Summe von quantenmechanischen Systemen zu tun. In dieser Summe m¨ochten wir zwei Beitr¨age unterscheiden: S = S0+Sosz., wobei S0 =R

dt¹₂(∂tφ0)² und Sosc die Beitr¨age der durchφk

mit k 6= 0 beschriebenen Oszillationen enth¨alt. Bestimmen Sie die zu φ_k konjugierten Impulse π_k und geben Sie s¨amtliche Kommmutatorre- lationen an.

3. Wie lautet die Hamiltonfunktion H =H₀+H_osc des Gesamtsystems?

Wie sehen sie Spektren der UnterhamiltonfunktionenH₀ undH_oscaus?

4. Betrachten Sie nun den Fall, dass das Feld φ selbst auf einem Kreis

“lebt”, d.h. die Koordinate auf einem Kreis vom Radius R beschreibt, so dass wirφ mit φ+ 2πRzu identifizieren haben. Argumentieren Sie, warum nun φ durch

φ(x, t) = 2πmR

L x+ 1

√L

∞

X

k=−∞

φ_k(t)e^2πikx/L

1

zerlegt werden muss. Welche Werte darf m annehmen? Was ist die Bedeutung vonm? Verdeutlichen Sie Ihre Antwort mittels einer Skizze.

5. Geben Sie nun wiederum die Wirkung an und zerlegen Sie diese in zwei Beitr¨age S₀ und S_osc. Den Anteil S₀ bezeichnet man auch als

“Nullmodenbeitrag”. Wie lauten nun die verallgemeinerten Impulse und Kommmutatorrelationen?

6. Leiten Sie aus der Periodizit¨at von φ ∼ φ+ 2πR eine Bedingung f¨ur φ₀ ab (Achtung: Normierungen). Wie lautet das Spektrum des kon- jugierten Impulses π₀ (diskret/kontinuierlich)?

7. Geben Sie den Hamiltonian und die Grundzustandsenergie an. Betra- chten wir nun lediglich die Beitr¨age aus dem Nullmodensektor. Zeigen Sie, dass das Energiespektrum hier durch

E0(m, n) = 1 2L

h~n²

R² + (2πR)²m² i

gegebn ist. Wenn Sie ~ = 1 setzen wollen, ist das auch gut. Was passiert wenn manRdurch~/(2πR) ersetzt? Im Kontext von Stringth- eorie bezeichnet man dieses Ph¨anomen als T-Dualit¨at.

Aufgabe 3: Propagator in Ortsdarstellung explizit Bestimmen Sie, die in der Vorlesung eingef¨uhrte Funktion

h0|φ(x)φ(y)|0i=D(x−y) =

Z d³p (2π)³

1

2E_~p e^{−ip·(x−y)}

explizit mittels Besselfunktionen f¨ur (x−y) raumartig, d.h. dass (x−y)² =

−r² gilt.

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