Fl¨achen- & Kreisberechnungen
GEOMETRIE Kapitel 2
MNProfil - Gymnasiale Mittelstufe
Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch
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Uberblick ¨¨ uber die bisherigenGeometrie - Themen:
1 Ahnlichkeit¨
1.1 Definitionen & Eigenschaften 1.2 Die Kongruenzabbildungen
1.3 Zentrische Streckungen & deren Eigenschaften 1.4 ¨Ahnlichkeit im Dreieck
1.5 Die Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras 1.6 ¨Ahnlichkeit im & am Kreis
1.7 GeoGebrain der Geometrie 1.8 Die Strahlens¨atze
Inhaltsverzeichnis
2 Kreisberechnungen 1
2.1 Definitionen . . . 1
2.2 Repetition . . . 2
2.3 Die Fl¨achen geradlinig begrenzter Figuren . . . 4
2.4 Kreisfl¨ache . . . 6
2.5 Kreisumfang . . . 15
2.6 π . . . 20
2.7 Anwendungen & erstaunliche Eigenschaften . . . 21
2.7.1 Mond - Durchmesser & Entfernung. . . 22
2.7.2 Entfernung Erde - Sonne . . . 23
2.7.3 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach O. R¨omer . . 24
2.7.4 Das Additionstheorem von Einstein . . . 26
2.7.5 Letzte Aufgabe . . . 30
2 Kreisberechnungen
2.1 Definitionen
Wir werden in diesem Abschnitt die wichtigsten Begriffe im Zusammenhang mit einem Kreis besprechen.
Def.: Der Kreis/ die Kreislinie ist eine geschlossene Kurve, deren Punkte von einem ausgezeichneten Punkt, dem Mittelpunkt, den gleichen Abstand haben.
Bem.: geschlossene Kurve ohne Abstandsbedingung
Abstandsbedingung f¨ur eine nicht-geschlossene Kurve
Weitere Begriffe:
2.2 Repetition
Wir beginnen mit der Repetition einiger wichtiger geometrischer Figuren und den zugeh¨origen Formeln zur Berechnung von Umfang und Fl¨acheninhalt.
Anschliessend besprechen wir eine Idee zur Fl¨achenberechnung von krummlinig begrenzten Figuren, welche wir auch zur Herleitung vonπund der Fl¨achenfor- mel des Kreises verwenden werden.
Aufgaben 2.1 Erg¨anze die folgende Liste mit den geometrischen Figuren und zugeh¨origen Formeln, an welche Du Dich noch erin- nern kannst:
Skizze Namen Charakteristika Fl¨acheninhalt
& -umfang
Skizze Namen Charakteristika Fl¨acheninhalt
& -umfang
Geometrie-Aufgaben: Kreisberechnungen 1 (Zugeh¨orige L¨osungen)
2.3 Die Fl¨ achen geradlinig begrenzter Figuren
Aufgaben 2.2 Leite die Formel zur Berechnung einer Dreiecksfl¨ache her.
Aufgaben 2.3 Formuliere denSatz von Heron und leite ihn her.
2.4 Kreisfl¨ ache
Wir wollen uns im Folgenden ¨uber die Absch¨atzung einer beliebigen krummli- nigen Figur an den Fl¨acheninhalt eines Kreises heranarbeiten:
Fl¨acheninhalt einer krummlinig begrenzten Figur:
Eine erste grobe Absch¨atzung des Fl¨acheninhaltes eines Kreises:
Eine erste Verfeinerung:
Aufgaben 2.4 Sch¨atze den Fl¨acheninhalt eines Kreises in Abh¨angigkeit ei- nes beliebigen Radius rab.
Verwende hierzu die Beziehung
1
12A=AM CBD−A∆M CB
und die folgende Verfeinerung:
f¨ur die¨ausserenRechtecke:
f¨ur dieinnerenRechtecke:
Auf der n¨achsten Seite sind in einer Tabelle fast alle notwendigen Teilstrecken und -fl¨achen berechnet:
Zu den inneren & ¨ausseren Rechtecksfl¨achen:
Aufgaben 2.5 Zeige durch Nachrechnen, dass die Werte f¨ur Ai6 und Aa6
stimmen und berechne selbst¨andigAi7 undAa7.
yn Ain yn0 Aan
y1= 19.97520r Ai1= 19.975400r2 y01= 2020r Aa1= 20400r2 y2= 19.899720r Ai2= 19.8997400r2 y02= 19.97520r Aa2= 19.975400r2 y3= 19.773720r Ai3= 19.7737400r2 y03= 19.899720r Aa3= 19.8997400r2 y4= 19.595920r Ai4= 19.5959400r2 y04= 19.773720r Aa4= 19.7737400r2 y5= 19.364920r Ai5= 19.3649400r2 y05= 19.595920r Aa5= 19.5959400r2 y6= 19.078820r Ai6=19.0788400r2 y06= 19.364920r Aa6 =19.3649400r2
y7= Ai7= y07= Aa7=
y8= 18.330320r Ai8= 18.3303400r2 y08= 18.73520r Aa8= 18.735400r2 y9= 17.860620r Ai9= 17.8606400r2 y09= 18.330320r Aa9= 18.3303400r2 y10= 17.320520r Ai10= 17.3205400r2 y010= 17.860620r Aa10= 17.8606400r2
Berechne nun weiter:
die Summe aller inneren Rechtecke =
die Summe aller ¨ausseren Rechtecke =
⇒ . . .
Aufgaben 2.6 Bestimme die Inhalte der folgenden eingef¨arbtenFl¨achen:
1. (a) f¨ur d= 5,
(b) allgemein.
2. (a) f¨ur r1= 4 undr2= 2,
(b) allgemein.
3. Bestimme den Radiusr2 des klei- nen Kreises, so dass dieser die Fl¨ache des grossen Kreises mit r1= 4 halbiert.
4. (a) f¨ur r = 5 und ¨Offnungswin- kelα= 330,
(b) allgemein.
5. (a) f¨ur r1 = 3, r2 = 5 und ¨Off- nungswinkelα= 600
(b) allgemein.
Aufgaben 2.7 Die M¨ondchen des Hippokrates
Die Fl¨achenA2und A3 werden als dieM¨ondchen des Hip- pokrates bezeichnet, nach dem griech. Mathematiker aus Chios (2. H¨alfte des 5. Jahrhunderts.
Berechne und vergleiche den Fl¨acheninhalt A1 des Dreiecks∆ABC mit dem Fl¨acheninhalt A2+A3 der beiden M¨ondchen.
(Verwende mit den ¨ublichen Bezeichnungen a = 85 und b= 36 )
Was f¨ur eine Vermutung dr¨angt sich auf ?
Beweise Deine Vermutung:
2.5 Kreisumfang
Wir werden die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs ¨uber die Zerlegung der Kreisfl¨ache herleiten:
Aufgaben 2.8 Zwei wichtige Formeln gleich in der folgenden Aufgabe:
Bestimme die L¨ange des Kreisbogens b in einem Kreis mit Radius r und zugeh¨origen ¨Offnungswinkelα.
und beweise, dass f¨ur den Inhalt des zugeh¨origen Kreissektors gilt: A =
1 2rb
Aufgaben 2.9 Gegeben ist die folgende Kreisbogenfigur in einem Quadrat- gitter mit der Gitterkonstante s.
Berechne den Umfang in Abh¨angigkeit vons.
Aufgaben 2.10 2. Gegeben ist wieder die folgende Kreisbogenfigur in ei- nem Quadratgitter mit der Gitterkonstante s.
Berechne dieses mal den Fl¨acheninhalt in Abh¨angig- keit vons.
Aufgaben 2.11 Bestimme den Inhalt & den Umfang der schraffierten Fl¨ache
1. in Abh¨angigkeit vona, 2. f¨ur a= 1.
Aufgaben 2.12 Eine weitere Aufgabe aus der Aufgabensammlung SMART, der Uni Bayreuth:
Links zu weiteren Aufgabensammlungen:
https://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/smart/rs/j09/kreisI/kreisI.pdf
https://smart.uni-bayreuth.de/data//gym/Mathematik/j10/374/374.html
2.6 π
Weiterf¨uhrende & vertiefende Themen . . .
Die Transzendenz vonπ
Berechnungsmethoden/ N¨aherungsverfahren zur Bestimmung vonπ
Historischeπ-N¨aherungen bis zur Monte Carlo - Methode (vergl. Barth: Anschauliche Geometrie 10)
2.7 Anwendungen & erstaunliche Eigenschaften
Wir wollen uns mit weiteren Schattenspielen in der Astronomie besch¨aftigen.
Dazu werden wir die Kenntnisse von Eratosthenes(Kreisberechnungen 3/ Aufg.6) und erstaunlich einfache ¨Uberlegungen verwenden, um
denMonddurchmesserzu bestimmen,
dieEntfernung Erde-Mondzu berechnen,
dieEntfernung Erde - Sonnezu berechnen und
dieLichtgeschwindigkeitabzusch¨atzen.
Anschliessend werden wir uns noch mit demAdditionstheorem von Einstein befassen, welches sich mit den Eigenschaften von sich sehr scnell bewegenden K¨orpern befasst.
Abschliessen werden wir dieses Kapitel mit einer letzten Aufgabeund einer interessanten Erkenntnis.
2.7.1 Mond - Durchmesser & Entfernung
Mit dem Wissen ¨uber den Durchmesser der Erde (Eratosthenes, und wer es nochmals durcharbeiten will:
www.physics2005.org/projects/eratosthenes/...
und der Vermutung, dass die Sonne sehr viel weiter von der Erde entfernt ist als der Mond, konnten schon die alten Griechen dieGr¨osse des Mondesabsch¨atzen.
Wir gehen also von folgender Situation aus
und verwenden noch die einfache Beobachtung, dass der Mond ca. 1 Stunde ben¨otigt, um sich um die L¨ange seines eigenen Durchmessers zu bewegen.
W¨ahrend einer Zentralfinsternis bleibt der Mond ca. 2 volle Stunden im Erdschatten.
F¨ur denDurchmesser des Mondesfolgt somit:
Da wir den Mond unter einem Winkel von rd. 1/2 Grad sehen, folgt f¨ur die
2.7.2 Entfernung Erde - Sonne
Mit weiteren einfachen ¨Uberlegungen hat Aristarchauch schon die Entfernung von der Erde zur Sonne abgesch¨atzt:
Aristarch ist bei seiner Winkelmessung auf eine ¨Offnung von 870 erhalten und hat somit die folgende Entfernung berechnet:
Mit heutigen Methoden wird die Winkel¨offnung mit 890510 gemessen.
Bestimme die daraus folgende Entfernung.
2.7.3 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach O. R¨omer
Aufgrund astronomischer Beobachtungen entdeckte und mass Olaf R¨omer als erster bereits 1675 die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit:
Die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Verfinsterungen des Jupiter- mondes Io, die w¨ahrend seines Umlaufs durch seinen Eintritt in den Schatten des Jupiters verursacht werden, betr¨agt 42,5 Stunden. Es wird nun genau dann der Zeitpunkt der Verfinsterung gemessen, wenn die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne dem Jupiter am n¨achsten steht.
Nach Ablauf eines halben Jahres sind 103 Verfinsterungen einander gefolgt und es l¨asst sich vorausberechnen, wann die 104. Verfinsterung eintreten wird. Die beobachtete Verfinsterung tritt jedoch ungef¨ahr 1000 Sekunden sp¨ater ein als berechnet. Inzwischen hat sich n¨amlich die Erde von der Position E1 auf die Position E2 weiterbewegt und ist somit vom Jupiter um rd. einen Erdbahn- durchmesser, also um etwa 300 Millionen Kilometer, weiter entfernt. Die Ver- finsterung ist um die Zeit verz¨ogert eingetreten, die das Licht braucht, um diese Strecke zu durchlaufen.
Wir gehen also von folgender Situation aus:
Eine sch¨one Animation ist zu finden unter www.leifiphysik.de
und k¨onnen daraus f¨ur die Lichtgeschwindigkeit folgern:
(Olaf R¨omer fand als Wert f¨ur die Lichtgschwindigkeit:c= 227000km/s.)
2.7.4 Das Additionstheorem von Einstein
Wenn wir schon die ungef¨ahre Gr¨osse der Lichgeschwindigkeit kennen (der ak- tuelle Wert ist: . . . ), so wollen wir uns mit einer interessanten Eigenschaft von sichsehr schnell(relativistisch) bewegenden K¨orpern besch¨afti- gen, die durch das sog. Additionsheorem von Einstein beschrieben wird.
Die folgenden Situationen sind uns vertraut:
Einstein’sches Additionstheorem :
Wenn zwei K¨orper sich mit sehr grossen Geschwindigkeiten aufein- ander zubewegen, so gilt f¨ur die resultierende Geschwindigkeit:
vr= v1+v2 1 +v1v2
c2
Wir wollen nun einige interessante Aussagen & Folgen dieses Theorems un- tersuchen:
1. F¨urkleineGeschwindigkeiten gilt das bisher bekannte: vr=v1+v2
2. Die resultierende Geschwindigkeit ist immer kleiner als die Summe der zu addierenden Geschwindigkeiten: vr< v1+v2
3. Die Addition von zwei Geschwindigkeiten die kleiner alscsind, ergibt eine resultierende Geschwindigkeit, die immer kleiner alscist:
4. Was geschieht, falls eine der zu addierenden Geschwindigkeiten gleich der Lichtgeschwindigkeit ist?
5. Und wenn beide zu addierenden Gewschwindikeiten gleichc sind?
Untersuche selbst:
6. Existiert immer genau eine resultierende Geschwindigkeit?
2.7.5 Letzte Aufgabe
Wir gehen von einem Globus von 0.25m Radius aus. Um seinen ¨Aquator bie- gen wir einen Draht so, dass dieser eng anliegt. Wir nehmen nun einen neuen Draht, welcher genau 1m l¨anger ist, biegen ihn zu einem Kreis und legen ihn konzentrisch in die ¨Aquatorialebene.
Bestimme den Abstand zwischen dem neuen Draht und dem Globus.
Wir gehen nun von der Erdkugel aus und legen wieder einen neuen Draht, der 1m l¨anger ist, konzentrisch in die ¨Aquatorialebene und bestimme den Abstand zur Erde.
Was f¨allt beim Vergleichen der Resultate auf ?
Formuliere eine Vermutung und beweise sie.
Aufgaben 2.13 Bestimme den konstanten Abstand f¨ur die folgenden Verl¨angerungensdes Drahtes:
1. s= 3 2. s= 5 3. s=a
