Differentialrechnung 7. Kapitel aus meinem Lehrgang ANALYSIS Sprachprofil - Oberstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Z¨urich www.ronaldbalestra.ch 9. Mai 2011

Differentialrechnung

7. Kapitel

aus meinem Lehrgang ANALYSIS Sprachprofil - Oberstufe KSOe

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch

9. Mai 2011

Uberblick ¨¨ uber die bisherigenANALYSIS - Themen:

1 Funktionen (Grundlagen) 1.1 Einf¨uhrung

1.2 Definitionen

1.3 Darstellungsmethoden

1.4 Ein Beispiel aus dem Aktienmarkt 1.5 Das Auffinden von Nullstellen

1.6 Mengentheoretische Betrachtungen im & am Graphen

2 Affine Funktionen

2.1 Einf¨uhrung - Ein Leitprogramm

2.2 Die gegenseitige Lage affiner Funktionen 2.3 Abstandsbestimmung

3 Quadratische Funktionen 3.1 Repetition

3.2 Der Graph einer quadratischen Funktion 3.3 Mini-Maxi-Satz & Symmetrieeigenschaften 3.4 Die quadratische Funktion und ihre Nullstellen 3.5 Eine Aufgabe

3.6 Kubische Gleichungen/ Gleichungen dritter Ordnung

4 Potenz- & Exponentialfunktionen

4.1 Der Graph einer quadratischen Funktion (Rep.) 4.2 Die Potenzfunktionen

4.3 Die Exponentialfunktionen

4.4 Die Umkehrfunktion / ein Unterrichtspuzzle in 7 Runden 4.5 Wachstums- & Zerfallsprozesse

5 Folgen & Reihen

5.1 Darstellung von (Zahlen-) Folgen 5.2 Eigenschaften von Folgen

5.3 Konvergenz & Divergenz

5.4 Die unendliche geometrische Reihe 5.5 Vier Anwendungen

5.6 Finanzmathematik

6 Rationale Funktionen

6.1 Grundgebriffe & Definitionen 6.2 Der Fundamentalsatz der Algebra 6.3 Rationale Funktionen

6.4 Das Verhalten auf dem Rand des Definitionsbereichs 6.5 Das Verhalten f¨urx← ±∞

6.6 Ein Puzzle

Inhaltsverzeichnis

7 Differentialrechnung 1

7.1 Der Differenzenquotient & die Steigungsfunktion . . . 2

7.2 Die Ableitungsregeln . . . 9

7.3 Die Ableitungsregeln speziellerFunktionen - eine Lernaufgabe . . . 15

7.4 Die Kettenregel . . . 19

7.4.1 Die Ableitung der Umkehrfunktionen. . . 22

7.5 Erste Anwendungen . . . 25

7.5.1 Schnittwinkelprobleme . . . 27

7.6 Vortragsreihe FS ’11 . . . 29

7.7 Kurvendiskussion . . . 30

7.8 Extremalwertaufgaben . . . 37

7 Differentialrechnung

In diesem Kapitel werden wir uns mit der Differentialrechnung besch¨aftigen, einem Hauptbestandteil derInfinitesimalrechnung(des Rechnens im unendlich Kleinen).

Wir werden uns wieder mit Grenzprozessen und beliebigen Ann¨aherungen aus- einandersetzen und als Anwendung die Diskussion von Funktionen vertiefen.

Dabei gilt es unter anderem neue M¨oglichkeiten kennenzulernen, welche bishe- rige, teilweise nicht immer anwendbare oder sehr zeitintensive Methoden abl¨osen und uns auch erlauben, Fragen nach z.B. dem Kr¨ummungsverhalten oder der Existenz von lokalen & globalen Extremas von Funktionen zu beantworten.

Typische Anwendungen sind auchSchnittwinkel-undExtremalwertproblemeoder Approximationen. . . , welche wir ebenfalls besprechen werden.

Gute Kenntnisse der Differentialrechnung, insbesondere der Ableitungsre- geln, erleichtern sp¨ater den Einstieg und das Arbeiten in derIntegralrechnung, dem zweiten Hauptbestandteil der Infinitesimalrechnung.

Zum geschichtlichen Hintergrund zwei grosse Namen, welche die Entwick- lung der Physik und der Mathemtik weit ¨uber ihre Lebenszeit hinaus gepr¨agt haben.

Der englische Physiker und Mathematiker Isaac Newton (1643 - 1727) und der deutsche Mathematiker und PhilosophWilhelm Leibniz (1646 - 1716)ent- wickelten unabh¨angig voneinander in der zweiten H¨alfte des 17. Jahrhunderts die Differentialrechnung.

W¨ahrend f¨ur Leibniz philosophische und mathematische Fragen im Zentrum standen, waren es f¨ur Newton physikalisch-mechanische Bewegungsprobleme.

In der historischen Entwicklung der Differentialrechnung spielte das sog.

Tangentenproblemeine grosse Rolle:

Existiert f¨ur eine beliebige Funktion in einem vorgegeben Punkt die Tangente an den Graphen ?

Wie l¨asst sich deren Steigung bzw. Funktionsgleichung bestimmen ?

Auch wir werden diesen Einstieg w¨ahlen und beginnen mit demDifferenzenquo- tientenund derSteigungsfunktion.

7.1 Der Differenzenquotient & die Steigungsfunktion

Wir wollen der folgenden Frage nachgehen:

Wie bestimme ich die Steigung einer Funktionf(x)an der Stellex0 ?

Zusammenfassend k¨onnen wir definieren:

Def.: DieSteigungeiner Funktionenf :R→Ran der Stellex0:⇔

EineTangenteist vom Funktionstyp . . . d.h. von folgender Form:

t(x) = . . . wobei gilt: a= b=

Wir wollen damit die Berechnung der Steigung einer beliebigen Funktion herleiten:

Im n¨achsten Schritt wollen das Verhalten der Steigung ¨uber den ganzen Definitionsbereich einer Funktion graphisch darstellen:

Beispiel 7.1.1 f(x) = 0.5x+ 2

- 6

- 6

Beispiel 7.1.2 g(x) =. . .

Aus der graphischen Betrachtung folgt:

•

•

•

F¨ur die Steigung vong(x) an der Stellex=−4 gilt:

Skizziere die zugeh¨origeSteigungsfunktion:

Aufgaben : Wir betrachten die folgende Funktion:

f(x) = 1

30x³− 3

20x²−5.4x 1. Berechne f⁰(x) an den Stellen

(a) x1= 9 (b) x2= 1.5

(c) x₃=−6 (d) x₄=−18

2. Skizziere die zugeh¨orige Steigungsfunktion.

3. Bestimme die Funktionsgleichung der Tangen- te an den Graphen vonf

(a) an der Stellex₂, (b) im PunktP = (x₃/?).

4. Bestimme die Funktionsgleichung der Stei- gungsfunktion.

(Verwende Informartionen aus der graphischen

Einige Notationen & Definitionen:

• Wir werden (falls nichts anderes vermerkt wird) immer reellwertige Funk- tionen mit einem totalgeordneten und ordnungsvollst¨andigen Definitions- bereich verwenden:

f :D(f)^{of f en}⊂R → W(f)⊂R, x₀∈ D(f)

• Def.: f⁰(x0) heisst die Ableitung von f an der Stellex0 und ist wie folgt definiert:

f⁰(x₀) := lim

x→x0

f(x)−f(x₀) x−x0

• Die Ableitung ist einGrenzwertund als solcher ist er eindeutig bestimmt, wenn er existiert.

• Eine Funktion f heisst differenzierbar in x0 :⇔ limx→x0

f(x)−f(x0) x−x0

existiert.

Schreibweise: f⁰(x₀)

• Eine Funktionf heisstdifferenzierbar:⇔ f ist auf dem ganzen Defini- tionsbereich differenzierbar.

Schreibweise: f⁰(x)

• Weitere Schreibweisen:

f⁰(x0) = df dxx0

Sprechweise: df nachdx an der Stellex0

• Funktionen lassen sich gelegentlich auchmehrfach ableiten:

f⁰⁰(x) =d²f

dx² , f⁰⁰⁰(x) = d³f dx³ , . . . Sprechweise: f zwei-/ dreistrich vonx.

F¨ur Ableitungen h¨oherer Ordnung wird folgende Schreibweise verwendet:

f⁽⁴⁾(x), f⁽⁵⁾(x), . . . f⁽ⁿ⁾(x)

Sprechweise: 4te, 5te, . . . nte Ableitung vonf (nachx).

Bevor wir im n¨achsten Abschnitt dieAbleitungsregelnkennenlernen werden, wollen wir noch einige elementare Funktionen unter Anwendung der Definition ableiten:

Beispiel 7.1.3 a(x) =const.=c, c∈R

⇒a⁰(x₀) =

b(x) =x

⇒b⁰(x0) =

c(x) =ax

⇒c⁰(x0) =

d(x) =ax+b

⇒d⁰(x0) =

e(x) =x²

⇒e⁰(x₀) =

f(x) =ax²

⇒f⁰(x0) =

Bem.:

Analysis-Aufgaben:Differentialrechnung 1

7.2 Die Ableitungsregeln

Mit Hilfe der Ableitungsregeln und der expliziten Kenntnis der Ableitungen einiger weniger elementarer Funktionen lassen sich sehr viele Funktionen auf einfache Art und Weise differenzieren.

Wir beginnen mit derSummenregelund derProduktregel:

Satz: Wir gehen von zwei differenzierbaren Funktionen f und g und einer beliebigen Konstanteλ∈Raus:

f, g:D ⊂R → R, λ∈R

⇒

f +g : D → R λ·f : D → R f·g : D → R







sind ebenfalls diff.bar

und es gilt: i. (f +g)⁰(x) =f⁰(x) +g⁰(x) ii. (λ·f)⁰(x) =λ·f⁰(x)

iii. (f ·g)⁰(x) =f⁰(x)·g(x) +f(x)·g⁰(x)

Bem.: i. ist die sog.Summenregelund hat zur Folge, dasssumman- denweiseabgeleitet werden darf:

a(x) = 5x+ 12

b(x) = 17x²+ 5x+ 12

Bem.: ii. ist die sog.Regel der konstanten Faktorenund hat zur Folge, dass konstante Faktoren beim Ableiten erhalten bleiben:

c(x) = 35x²

iii. ist die sog.Produkteregeluind erm¨oglicht uns das Ableiten eines Produnktes zweier Funktionen:

d(x) = (5x+ 12)·17x²

e(x) = (x²+ 2x)·(3x²−5x)

f(x) = (x+ 1)(x−1)

Zum Beweis des Satzes:

Beweis: i. & ii. : Anwendung der Grenzwerts¨atze.

iii. : (f·g)⁰(x) = lim_h→0 f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x) h

= lim_h→0 1 h

f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x) +

f(x+h)g(x)−f(x+h)g(x)

= lim_h→0 1 h

f(x+h)· g(x+h)−g(x) + g(x)· f(x+h)−f(x)

= limh→0 f(x+h)g(x+h)−g(x)

h +

lim_h→0 g(x)· f(x+h)−f(x) h

= f(x)·g⁰(x) +g(x)·f⁰(x)

= f⁰(x)g(x) +f(x)g⁰(x)

Aufgaben : Repetiere die Grenzwerts¨atz und arbeite die obigen Beweise durch.

Um allePolynomfunktionenableiten zu k¨onnen, m¨ussen wir die Ableitungs- regel f¨ur diePotenzfunktionenkennen:

Satz: f(x) =xⁿ, n∈N∪ {0} ⇒ f⁰(x) =n·xⁿ⁻¹ Beweis: (mit vollst¨andiger Induktion)

i. Verankerung: n= 0 : X n= 1 : X ii. Induktionsschritt: n7→n+ 1

Wir definieren: a(x) :=x b(x) :=xⁿ c(x) :=xⁿ⁺¹

⇒ c(x) = a(x)b(x)

⇒ c⁰(x) = a⁰(x)b(x) +a(x)b⁰(x)

= 1·xⁿ+x·n·xⁿ⁻¹

= (1 +n)·xⁿ

Beispiel 7.2.1 g(x) =x² ⇒ g⁰(x) = h(x) =x⁴ ⇒ h⁰(x) =

Kontrolliere mit der Produkteregel:

k(x) =x⁴⁵ ⇒ k⁰(x) = l(x) = 3·x¹² ⇒ l⁰(x) = m(x) =−7·x³¹ ⇒ m⁰(x) = n(x) =x+x²+x³ ⇒ n⁰(x) =

p(x) = 0.5x²−4x³+²₃x⁶+ 12x−1 ⇒ p⁰(x) = q(x) =x⁻² ⇒ q⁰(x) =

Um alle gebrochenrationalen Funktionen ableiten zu k¨onnen, brauchen wir eine weitere Ableitungsregel, dieQuotientenregel:

Satz: Seien f, g:D ⊂R → R diff.bar undg(x)6= 0,∀x∈ D.

⇒ f

g ist ebenfalls diff.bar und es gilt:

f g

0

(x) = f⁰(x)g(x)−f(x)g⁰(x) g²(x)

Beweis: 1. Schritt:

1 g

0

(x) = lim

h→0 1

g(x+h)−_g(x)¹ h

= lim

h→0

g(x)−g(x+h) g(x+h)g(x)

h

= lim

h→0

1

g(x+h)g(x)· g(x)−g(x+h) h

= lim

h→0

1

g(x+h)g(x)· lim

h→0

g(x)−g(x+h) h

= 1

g²(x)·(−g⁰(x))

F¨ur den 2. Schritt: • Setze f

g 0

(x) =

f· 1 g

0

(x)

• Verwende die Produkteregel und den 1. Schritt

Mit Hilfe der Quotientenregel l¨asst sich die bisherige Ableitungsregel der Potenzfunktionen auch auf Potenzfunktionen mit negativen Exponenten anwen- den:

Beweisidee: • Setze f(x) =x⁻ⁿ =_x¹n

• Wende die Quotientenregel an.

Beispiel 7.2.2 r(x) =x¹⁷ x¹⁰

s(x) = x²+ 3 2x+x³

t(x) = 12x⁵−2x³ 0.5x²−x⁻²

Formuliere ein eigenes Beispiel:

7.3 Die Ableitungsregeln spezieller Funktionen - eine Lernaufgabe

Die Steigungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen und der Exponen- tialfunktion sollt ihr mit Hilfe dergraphischen Darstellung und GeoGebra be- stimmen.

DieIdee ist die folgende:

Ihr bestimmt explizit mehrere Tangenten ¨uber einem vorgegebenen Intervall an den Graphen der urspr¨unglichen Funktionf(x) und ver- wendet die Stellen, an welchen ihr die Tangenten bestimmt habt und die Steigungen der jeweils bestimmten Tangenten als Punkte des Graphen der gesuchten Steigungsfunktionf⁰(x).

Von den M¨oglichkeiten vonGeoGebraben¨otigt ihr:

• die Darstellung von Funktionen,

• die Einteilung der Achsen,

• das Arbeiten mit dem Schieberegler,

• das Bestimmen derTangente[neu],

• die Darstellung von Punkten,

• das Ausblenden von Objekten.

Wir beginnen mit dem Kennenlernen des neuen Befehls tangente und ma- chen dies wie ¨ublich ¨uber ein Beispiel:

Gebt als Beispiel die Funktion f(x) =x² ein.

Die Eingabe f¨ur den neuen Befehl lautet:

tangente[1, f(x)]

und liefert die Tangente an den Graphen vonf an der Stellex= 1.

Das Resultat ist:

die graphische und algebraische Darstellung der Tangente a:y= 2x−1

Als weitere Anwendung:

tangente[−2, f(x)] ⇒ b:y=−4x−4

Wir kommen nun zu dne Arbeitsanweisungen:

1. Darstellung der urspr¨unglichen Funktion, 2. Einteilung der Achsen im Koordinatensystem:

(ImBogenmassf¨ur die trigonometrischen Funktionen, Normalf¨ur die Exponentialfunktion.

3. Erstellen des Schiebereglersn:

von −2π bis 2π mit der Einteilung π/4 f¨ur die trigonometrischen Funk- tionen,

von -5 bis 3 mit der Einteilung 1/2 f¨ur die Exponentialfunktion.

4. Bestimmung der Tangenten: tangente[n, f(n)].

5. Erstellen der PunkteA= (n, f⁰(n)).

Das Ausblenden der urspr¨unglichen Funktion und des Schiebereglers l¨asst nur noch Punkte des Graphen der zugeh¨origen Steigungsfunktion zur¨uck, dessen Funktionsgleichung ihr erkennen sollt.

Bestimmt nun die Ableitungen von sinx,cosxunde^x. Verwendet f¨ur jede Funktion ein neues Fenster.

Leitet mit Hilfe der Quotientenregel die Ableitung von tanx exakt her

und l¨ost die folgenden Beispiele:

Beispiel 7.3.1 Leite die folgenden Funktionen ab:

a(x) = 1 + 2x−3x⁴+e^x−5e^x

b(x) = 2 sinx+ 3 cosx−4 tanx

c(x) = 5x⁴ 4x³

d(x) = 2³ 3x⁴

f(x) =e²x

g(x) = sin 2x+ 3 cos 4x

7.4 Die Kettenregel

Mit Hilfe der Kettenregel werden wirverkn¨upfteFunktionen ableiten k¨onnen.

Wir werden anhand eines Beispiels sehr detailiert die Anwendung der Ket- tenregelbesprechen und verwenden dazu die folgenden Funktionen:

a(x) = sinx , i(x) = 2x

⇒ (a+i)(x) =

⇒ (a+i)⁰(x) =

⇒ (a·i)(x) =

⇒ (a·i)⁰(x) =

⇒ (a:i)(x) =

⇒ (a:i)⁰(x) =

⇒ (a◦i)(x) =

Entscheidend bei der Anwendung der Kettenregel ist, dieinnereund die¨aussereFunktion zu erkennen:

x 7−→ⁱ 2x

x 7−→^a sinx )

⇒ a◦i:x7→sin(2x)

Die Ableitungsregel f¨urverkn¨upfteFunktionen lautet:

Beispiel 7.4.1

• f(x) = cos(¹₂x) ⇒

x 7→ . . .

x 7→ . . .







⇒ a◦i:. . .7→. . .

innere Fkt.: i(x) =. . . ⇒ i⁰(x) =. . . .

¨

aussere Fkt.: a(x) =. . . ⇒ a⁰(x) =. . . .

⇒ f⁰(x) =

• g(x) =√

2x²+ 2 ⇒

x 7→ . . .

x 7→ . . .







⇒ a◦i:. . .7→. . .

innere Fkt.: i(x) =. . . ⇒ i⁰(x) =. . . .

¨aussere Fkt.: a(x) =. . . ⇒ a⁰(x) =. . . .

⇒ g⁰(x) =

• h(x) =√³

x⁴ ⇒

x 7→ . . .

x 7→ . . .

innere Fkt.: i(x) =. . . ⇒ i⁰(x) =. . . .

¨aussere Fkt.: a(x) =. . . ⇒ a⁰(x) =. . . .

⇒ h⁰(x) =

• j(x) =e^x2 ⇒

innere Fkt.: i(x) =. . . ⇒ i⁰(x) =. . . .

¨

aussere Fkt.: a(x) =. . . ⇒ a⁰(x) =. . . .

⇒ j⁰(x) =

• k(x) = sin²(x) ⇒

i(x) =. . . ⇒ i⁰(x) =. . . . a(x) =. . . ⇒ a⁰(x) =. . . .

⇒ k⁰(x) =

• l(x) =x¹·e^2c3x4

• m(x) =

√2

x³

x⁴ + tanx·e^x−2x²cos(x²)

• Formuliere ein eigenes Beispiel:

7.4.1 Die Ableitung der Umkehrfunktionen

Definiere den Begriff der Umkehrfunktion und regeptiere deren Eigenschaften:

Fasse die Standardumkehrfunktionen zusammen:

Bevor wir mit denersten Anwendungenbeginnen, wollen wir noch die Ab- leitungsregel des nat¨urliche Logarithmus herleiten:

Satz: f(x) = lnx ⇒ f⁰(x) = ¹_x

Beweis: f(x) = lnx x = e^f(x) x⁰ =

e^f(x)0

1 = f⁰(x)·e^f(x) 1

e^f(x) = f⁰(x) 1

e^lnx = (lnx)⁰ (lnx)⁰ = 1

x

F¨ur die Ableitung desallgemeinen Logarithmusf(x) = log_axgilt:

Satz: f(x) = log_ax ⇒ f⁰(x) = 1 x·lna Beweis: Wir verwenden:

· log_ax=^ln_ln^x_a,

· die Regel f¨ur konst. Faktoren

· ⇒

Formuliere und Beweise die Ableitungsregeln f¨ur Umkehrfunktionen:

Analysis-Aufgaben:Differentialrechnung 4

7.5 Erste Anwendungen

1. Wir betrachten die folgende Funktionsgleichung:

f(x) = 0.1·(x−9)(x−1)(x+ 5)

(a) Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt P = (3/f(3)) an den Graphen vonf:

(b) Bestimme die Gleichung der Normalen im KurvenpunktP:

2. Wir betrachten die folgende Funktionsgleichung: g(x) =x³−2x²+ax.

(a) Bestimme den Parameter a so, dass der Graph von g an der Stelle x0= 4 die Steigung 2 hat.

(b) Bestimme den Parameter a so, dass der Graph von g an der Stelle x0= 4 ein lokales Extremum hat.

(c) Bestimme den Parameter a so, dass der Graph von g an der Stelle x₀= 4 eine Nullstelle hat.

(d) Bestimme den Parameter a so, dass der Graph von g an der Stelle x0= 4 die x-Achse ber¨uhrt.

7.5.1 Schnittwinkelprobleme

Theoretische Vorbetrachtungen:

• Schnittwinkel zwischen Graph &x-Achse:

• Schnittwinkel zwischen Graph & Graph:

Wir betrachten die folgenden Funktionen:

f(x) =x·(x−8) g(x) = 10⁻¹·(x−12)(x+ 3)x

Bestimme die Winkel, unter welchen sich die Graphen schneiden.

7.6 Vortragsreihe FS ’11

7.7 Kurvendiskussion

Das Ziel einerKurvendiskussion ist, die charakteristischen Eigenschaften einer Funktion zu diskutieren (und sie graphisch darstellen zu k¨onnen.)

Wir beginnen mit der Diskussion einerPolymomfunktion:

f(x) =x⁵−4x⁴+ 14x²−17x+ 6

f⁰(x) = . . .

f⁰⁰(x) = . . .

Aufgaben : Diskutiere die folgenden Funktionen:

(Bestimme die charakteristischen Gr¨ossen, skizziere den zugeh¨origen Graphen und kontrolliere mit Hilfe des TR)

f(x) =1

6 ·x³−3x²+ 2x

g(x) =x⁴−5x³+ 6x²+ 4x−8

Aufgaben : Bestimme unter Verwendung der graphischen Dar- stellung

• die Nullstellen,

• die Extremalstellen,

• die minimalen/ maximalen Funktionswerte,

• die Wendepunkte:

Aufgaben : Skizziere den Verlauf einer Funktionf(x), welche die folgende 1. & 2. Ableitung aufweist:

(VerwendeW(f) = [−2,2] )

1. Ableitung:

2. Ableitung:

Gesuchte Funktion:

Als n¨achstes Beispiel wollen wir einegebrochenrationale Funktionvollst¨andig diskutieren:

Repetiere vorerst die schon bekannten Eigenschaften, welche wir bei einer gebrochenrationalen Funktion bestimmen k¨onnen:

Eine vollst¨andige Diskussion:

f(x) = −5x²+ 5 x³

Vereinbarung:

Zu einervollst¨andigen Diskussiongeh¨oren:

Analysis-Aufgaben:Differentialrechnung 6

7.8 Extremalwertaufgaben

Wir schliessen das Kapitel Diffentialrechnung mit weiteren klassischen Anwen- dungen: denExtremalwertaufgaben

Wenn wir Problemstellungen durch eine Funktion darstellen k¨onnen, lassen sich maximale oder minimale L¨osungen des Problems (falls existent) sehr einfach mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmen: . . .

Beispiel 7.8.1

1. Im 1. Quadranten soll unter dem Graphen vonf(x) =−x²+ 4 ein Recht- eck so eingezeichnet werden, dass dessen Fl¨acheninhalt maximal ist:

(a) Bestimme den maximalen Fl¨acheninhalt.

(b) Bestimme die L¨ange/ Breite eines solchen Rechtecks f¨ur den maxi- malen Umfang.

2. Zerlege die Zahl 15 so in zwei Summanden, dass das Produkt der Sum- manden maximal wird.

3. Bestimme den Punkt Q auf dem Graphen von f(x) = 0.25x² , welcher vom Punkt P = (6/0) den kleinsten Abstand hat.

4. Einem geraden Kreiskegel mit einer H¨ohe von 10 und einem Grundkreis- radius von 2 ist ein Zylinder so einzubeschreiben, dass dessen Volumen maximal wird.

Bestimme Radius und H¨ohe des Zylinders.