Kreisberechnungen GEOMETRIE Kapitel 2 WRProfil - Gymnasiale Mittelstufe Ronald Balestra CH - 8046 Z¨urich www.ronaldbalestra.ch

Kreisberechnungen

GEOMETRIE Kapitel 2

WRProfil - Gymnasiale Mittelstufe

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch

Name:

Vorname:

28. Mai 2020

Uberblick ¨¨ uber die bisherigenGeometrie - Themen:

1 Ahnlichkeit¨

1.1 Definitionen & Eigenschaften 1.2 Die Kongruenzabbildungen

1.3 Zentrische Streckungen & deren Eigenschaften 1.4 ¨Ahnlichkeit im Dreieck

1.5 Die Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras 1.6 ¨Ahnlichkeit im & am Kreis

1.7 GeoGebrain der Geometrie 1.8 Die Strahlens¨atze

Inhaltsverzeichnis

2 Kreisberechnungen 1

2.1 Definitionen . . . 1

2.2 Repetition . . . 2

2.3 Die Fl¨achen geradlinig begrenzter Figuren . . . 4

2.4 Kreisfl¨ache . . . 5

2.5 Kreisumfang . . . 11

2.6 Anwendungen & erstaunliche Eigenschaften . . . 15

2.6.1 Mond - Durchmesser & Entfernung. . . 16

2.6.2 Entfernung Erde - Sonne . . . 17

2.6.3 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach O. R¨omer . . 18

2.6.4 Letzte Aufgabe . . . 20

2 Kreisberechnungen

2.1 Definitionen

Wir werden in diesem Abschnitt die wichtigsten Begriffe im Zusammenhang mit einem Kreis besprechen.

Def.: Der Kreis/ die Kreislinie ist eine geschlossene Kurve, deren Punkte von einem ausgezeichneten Punkt, dem Mittelpunkt, den gleichen Abstand haben.

Bem.: • geschlossene Kurve ohne Abstandsbedingung

• Abstandsbedingung f¨ur eine nicht-geschlossene Kurve

• Weitere Begriffe:

2.2 Repetition

Wir beginnen mit der Repetition einiger wichtiger geometrischer Figuren und den zugeh¨origen Formeln zur Berechnung von Umfang und Fl¨acheninhalt.

Anschliessend besprechen wir eine Idee zur Fl¨achenberechnung von krummlinig begrenzten Figuren, welche wir auch zur Herleitung vonπund der Fl¨achenfor- mel des Kreises verwenden werden.

Aufgaben 2.1 Erg¨anze die folgende Liste mit den geometrischen Figuren und zugeh¨origen Formeln, an welche Du Dich noch erin- nern kannst:

Skizze Namen Charakteristika Fl¨acheninhalt & -umfang

Skizze Namen Charakteristika Fl¨acheninhalt & -umfang

Geometrie-Aufgaben: Kreisberechnungen 1 (Zugeh¨orige L¨osungen)

2.3 Die Fl¨ achen geradlinig begrenzter Figuren

Aufgaben 2.2 Leite die Formel zur Berechnung einer Dreiecksfl¨ache her.

2.4 Kreisfl¨ ache

Wir wollen uns im Folgenden ¨uber die Absch¨atzung einer beliebigen krummli- nigen Figur an den Fl¨acheninhalt eines Kreises heranarbeiten:

• Fl¨acheninhalt einer krummlinig begrenzten Figur:

• Eine erste grobe Absch¨atzung des Fl¨acheninhaltes eines Kreises:

• Eine erste Verfeinerung:

Aufgaben 2.3 Bestimme die Inhalte der folgenden eingef¨arbtenFl¨achen:

1. (a) f¨ur d= 5,

(b) allgemein.

2. (a) f¨ur r1= 4 undr2= 2,

(b) allgemein.

3. Bestimme den Radiusr2 des klei- nen Kreises, so dass dieser die Fl¨ache des grossen Kreises mit r₁= 4 halbiert.

4. (a) f¨ur r = 5 und ¨Offnungswin- kelα= 33⁰,

(b) allgemein.

5. (a) f¨ur r1 = 3, r2 = 5 und ¨Off- nungswinkelα= 60⁰

(b) allgemein.

Geometrie-Aufgaben: Kreisberechnungen 2 (Zugeh¨orige L¨osungen)

Aufgaben 2.4 Die M¨ondchen des Hippokrates

Die Fl¨achenA2und A3 werden als dieM¨ondchen des Hip- pokrates bezeichnet, nach dem griech. Mathematiker aus Chios (2. H¨alfte des 5. Jahrhunderts.

• Berechne und vergleiche den Fl¨acheninhalt A₁ des Dreiecks∆ABC mit dem Fl¨acheninhalt A₂+A₃ der beiden M¨ondchen.

(Verwende mit den ¨ublichen Bezeichnungen a = 85 und b= 36 )

• Was f¨ur eine Vermutung dr¨angt sich auf ?

• Beweise Deine Vermutung:

2.5 Kreisumfang

Wir werden die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs ¨uber die Zerlegung der Kreisfl¨ache herleiten:

Aufgaben 2.5 Zwei wichtige Formeln gleich in der folgenden Aufgabe:

1. Bestimme die L¨ange des Kreisbogensbin einem Kreis mit Radiusr und zugeh¨origen ¨Offnungswinkelα.

und beweise, dass f¨ur den Inhalt des zugeh¨origen Kreissektors gilt: A= ¹₂rb

2. Gegeben ist die folgende Kreisbogenfigur in einem Quadratgitter mit der Gitterkonstantes.

Berechne den Umfang in Abh¨angigkeit vons.

Aufgaben 2.6 2. Gegeben ist wieder die folgende Kreisbogenfigur in ei- nem Quadratgitter mit der Gitterkonstantes.

Berechne diesmal den Fl¨acheninhalt in Abh¨angigkeit vons.

Aufgaben 2.7 Bestimme den Inhalt & den Umfang der schraffierten Fl¨ache

1. in Abh¨angigkeit von a, 2. f¨ur a= 1.

Geometrie-Aufgaben: Kreisberechnungen 3 (Zugeh¨orige L¨osungen)

2.6 Anwendungen & erstaunliche Eigenschaften

Wir wollen uns mit weiteren Schattenspielen in der Astronomie besch¨aftigen.

Dazu werden wir die Kenntnisse von Eratosthenes(Kreisberechnungen 3/ Aufg.6) und erstaunlich einfache ¨Uberlegungen verwenden, um

• denMonddurchmesserzu bestimmen,

• dieEntfernung Erde-Mondzu berechnen,

• dieEntfernung Erde - Sonnezu berechnen und

• dieLichtgeschwindigkeitabzusch¨atzen.

Anschliessend werden wir uns noch mit demAdditionstheorem von Einstein befassen, welches sich mit den Eigenschaften von sich sehr scnell bewegenden K¨orpern befasst.

Abschliessen werden wir dieses Kapitel mit einer letzten Aufgabeund einer interessanten Erkenntnis.

2.6.1 Mond - Durchmesser & Entfernung

Mit dem Wissen ¨uber den Durchmesser der Erde (Eratosthenes) und der Ver- mutung, dass die Sonne sehr viel weiter von der Erde entfernt ist als der Mond, konnten schon die alten Griechen dieGr¨osse des Mondesabsch¨atzen.

Wir gehen also von folgender Situation aus

und verwenden noch die einfache Beobachtung, dass der Mond ca. 1 Stunde ben¨otigt, um sich um die L¨ange seines eigenen Durchmessers zu bewegen.

W¨ahrend einer Zentralfinsternis bleibt der Mond ca. 2 volle Stunden im Erdschatten.

F¨ur denDurchmesser des Mondesfolgt somit:

Da wir den Mond unter einem Winkel von rd. 1/2 Grad sehen, folgt f¨ur die Distanz Erde-Mond:

2.6.2 Entfernung Erde - Sonne

Mit weiteren einfachen ¨Uberlegungen hat Aristarchauch schon die Entfernung von der Erde zur Sonne abgesch¨atzt:

Aristarch ist bei seiner Winkelmessung auf eine ¨Offnung von 87⁰ erhalten und hat somit die folgende Entfernung berechnet:

Mit heutigen Methoden wird die Winkel¨offnung mit 89⁰51⁰ gemessen.

Bestimme die daraus folgende Entfernung.

2.6.3 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach O. R¨omer

Aufgrund astronomischer Beobachtungen entdeckte und mass Olaf R¨omer als erster bereits 1675 die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit:

Die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Verfinsterungen des Jupiter- mondes Io, die w¨ahrend seines Umlaufs durch seinen Eintritt in den Schatten des Jupiters verursacht werden, betr¨agt 42,5 Stunden. Es wird nun genau dann der Zeitpunkt der Verfinsterung gemessen, wenn die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne dem Jupiter am n¨achsten steht.

Nach Ablauf eines halben Jahres sind 103 Verfinsterungen einander gefolgt und es l¨asst sich vorausberechnen, wann die 104. Verfinsterung eintreten wird. Die beobachtete Verfinsterung tritt jedoch ungef¨ahr 1000 Sekunden sp¨ater ein als berechnet. Inzwischen hat sich n¨amlich die Erde von der Position E₁ auf die Position E₂ weiterbewegt und ist somit vom Jupiter um rd. einen Erdbahn- durchmesser, also um etwa 300 Millionen Kilometer, weiter entfernt. Die Ver- finsterung ist um die Zeit verz¨ogert eingetreten, die das Licht braucht, um diese Strecke zu durchlaufen.

Wir gehen also von folgender Situation aus:

Eine sch¨one Animation ist zu finden unter www.leifiphysik.de

und k¨onnen daraus f¨ur die Lichtgeschwindigkeit folgern:

(Olaf R¨omer fand als Wert f¨ur die Lichtgschwindigkeit:c= 227000km/s.)

2.6.4 Letzte Aufgabe

Wir gehen von einem Globus von 0.25m Radius aus. Um seinen ¨Aquator bie- gen wir einen Draht so, dass dieser eng anliegt. Wir nehmen nun einen neuen Draht, welcher genau 1m l¨anger ist, biegen ihn zu einem Kreis und legen ihn konzentrisch in die ¨Aquatorialebene.

Bestimme den Abstand zwischen dem neuen Draht und dem Globus.

Wir gehen nun von der Erdkugel aus und legen wieder einen neuen Draht, der 1m l¨anger ist, konzentrisch in die ¨Aquatorialebene und bestimme den Abstand zur Erde.

Was f¨allt beim Vergleichen der Resultate auf ?

Formuliere eine Vermutung und beweise sie.