Ubungsaufgaben komplexe ¨ Wechselstromrechnung

Ubungsaufgaben komplexe ¨ Wechselstromrechnung

Kamal Abdellatif, Philip Geißler 27. September 2020

Impendanz-, Strom, Spannungs-, Leistungs- und Arbeitsrechnung Aufgabe I: Wirkleistung Motor

Ein Elektromotor kann im Ersatzschaltbild als Reihenschaltung von einer Spule mit Induktivit¨atLMotor und eines WiderstandesRMotor dargestellt werden. Der Motor habe 1 kW Wirkleistung bei U_eff = 230 V und f = 50 Hz. Was ist die maximal m¨ogliche Induktivit¨atL_Motor des Motors und welchen Widerstand R_Motor w¨urde dies erzwingen?

Vergleiche den Wirk- mit dem Blindwiderstand.

L¨osung I: Wirkleistung Motor

P_eff= 1

2UˆIˆRe(R+XL)

|R+X_L| = Uˆ² 2

Re(R+XL)

|R+X_L|² = Uˆ² 2

R R²−X_L²

R_1/2= Uˆ²±

qUˆ⁴+ 16P_eff² X_L² 4P_eff

Da X_L² negativ (oder 0) ist, gibt es 2 m¨ogliche Motorwiderst¨ande f¨ur geringe Indukti- vit¨aten. F¨ur steigende Induktivit¨aten n¨ahren sich diese aneinander an, bis sie bei der Grenzinduktivit¨at denselben Wert wiedergeben. F¨ur noch h¨ohere Induktivit¨aten exis- tieren keine Widerst¨ande mehr, welche die angegebene Wirkleistung erzielen. Warum nicht? Um die Grenzinduktivit¨at zu erhalten, setzen wir den Radikanten also gleich 0.

0= ˆ^! U⁴+ 16P_eff² X_L² R_1/2=

Uˆ²±√ 0 4P_eff =

Uˆ²

4P_eff =⇒ XL=

Uˆ²

4P_effi =R_1/2i

Im Grenzfall sind Blind- und Wirkwiderstand also gleich. Nun k¨onnen wir schließlich

Aufgabe II: Motorkompensation

Selbes Motorkonzept, anderer Motor. Der Wirkwiderstand R_Motor sei 10 Ω. Man habe nun die M¨oglichkeit, ein weiteres passives Bauteil parallel zum Motor zu schalten, um die Blindleistung der Gesamtschaltung zu minimieren. Welches Bauteil sollte man w¨ahlen und wie verh¨alt sich dessen Kenngr¨oße in Abh¨angigkeit von L_Motor. Man berechne die Kenngr¨oße explizit f¨urLMotor = 100 mH undf = 50 Hz.

L¨osung II: Motorkompensation

X_R,L=R+ iωL

Z =XR,LkXX = 1

1

R+iωL+ _X¹

X

R L

X_X

Wir k¨onnen versuchen, den Gesamtblindwiderstand gleich 0 zu setzen. Denn sollte dies m¨oglich sein, so haben wir mit Sicherheit den Blindwidersatnd minimiert.

Re(Z) =Z = 1

1

R+iωL+_X¹

X

= 1

XX+R+iωL XX·(R+iωL)

= X_X ·(R+ iωL) XX+R+ iωL

Hier ergibt sich die triviale L¨osung, X_X = 0 Ω zu setzen. Dies entspricht aber einer Parallelschaltung mit einem Kurzschluss, ¨uber welchen logischerweise jeder Strom fließt (keine Resonanz). Da der Motor dadurch aber nutzlos wird, schließen wir diese L¨osung aus und bringen den Bruch auf einen reellen Nenner.

iωLXX+RXX

R+ (iωL+X_X) = iωLXXR−iωLRXX −RX_X² R²−(iωL+X_X)²

| {z }

Realteil

+R²XX+ω²L²XX −iωLX_X² R²−(iωL+X_X)²

| {z }

Imagin¨arteil (reeller Nenner)

=⇒ 0 =R²XX +ω²L²XX −iωLX_X² ωL·X_Xi =R²+ω²L²

XX =−R²+ω²L²

ωL i =⇒ Im(XX)<0 Ω

Das kompensierende Bauteil sollte also kapazitiv sein. Einsetzen der vorgegebenen Gr¨oßen liefert

X_C =−(10 Ω)²+ (2π·50 Hz)²(100 mH)²

2π·50 Hz·100 mH i≈ −34.6iΩ C= −i

ωX_C = 1

2π·50 Hz·34,6 Ω ≈92µF

Aufgabe III: Kenngr¨oßen des kompensiertenRC-Spannungsteilers Ein Spannungsteiler aus zwei Widerst¨anden

mit den Widerstandswerten R1 und R2 wird mit einem Kondensator CL im Wechselstrom belastet. Zu diesem Zeitpunkt sei die Kapazit¨at CR des Regelkondensators noch 0, praktisch ein offener Schalter. Wie sehr bricht die Ausgangs- spannung in Abh¨angigkeit der Kreisfrequenz ein [f(ω) :=U_a(ω)/U_e]?

Ue R₁ ^Ua

C_L C_R

R₂

Welches Verhalten l¨asst sich beobachten, wenn man nunCR so ausw¨ahlt, dass CRR1 = C_LR2 gilt?

L¨osung III: Kenngr¨oßen des kompensiertenRC-Spannungsteilers

Die Gesamtschaltung bleibt weiterhin ein Spannungsteiler, nur nun mit einer Parallel- schaltung aus Kondensator und Widerstand. Insofern kann man die ¨ubliche Spannungs- teilerformel verwenden.

U_a= R2kX_CL

R₁+ (R₂ kX_CL) R₂ kX_CL = R2·X_CL R₂+X_CL

Definieren wir uns nun die normierte Frequenz Ω_L = ωR₂C_L, so k¨onnen wir uns die Ausgangsspannung in einigen Grenzf¨allen f¨ur ω approximieren, um ein Gef¨uhl f¨ur das Verhalten der ¨Ubertragsfunktion zu bekommen.

R2 kXC_L =

R2

iωC_L

R2+_iωC¹

L

= R2

1 + iΩL

≈







R2 f¨ur ΩL1

R2

1+i f¨ur Ω_L= 1 XC_L f¨ur ΩL1

=⇒ Ue

Ua

≈











R2

R1+R2 f¨ur Ω_L1

R2

(1+i)R1+R2 f¨ur Ω_L= 1

X_CL

R1+X_CL f¨ur ΩL1

F¨ur niedrige Frequenzen arbeitet der kapazitive Spannungsteiler wie ein ohmscher, f¨ur große Frequenzen ω⁻¹ R2CL sinkt die Ausgangsspannung wie beim Tiefpass 1.Ord- nung, mit der Grenzkreisfrequenz (R₂C_L)⁻¹. Setzen wir nunC_RR₁ =C_LR₂, so wird auch die erste Teilimpedanz des Spannungsteilers komplex. Wir definieren zus¨atzlich noch ΩR=ωR1CR zur Vereinfachung der folgenden Formeln und bemerken ΩL= ΩR=: Ω.

Ue

U_a = R2 kXC_L

(R₁ kX_CR) + (R₂ kX_CL) =

R2

1+iΩL

R1

1+iΩR +_1+iΩ^R2

L

Aufgabe IV: Leistungskosten

Energieversorger rechnen f¨ur Privatkunden nicht Blind- und Wirkleistung getrennt ab. Stattdessen wird von einer ohmschen Belastung ausgegangen und Energie (p = 31,5ct/kWh) ¨uber die approximierte Leistung ˜P =UeffIeff berechnet. Angenommen man hat in seiner Wohnung R_Last = 100 Ω einen KondensatorschrankC= 1 F parallel ange- schlossen. Wie viel zahlt man dann j¨ahrlich zu viel an den Energieversorger? (Annahme:

Blindleistung eigentlich kostenlos, da keine Energie verloren geht.)

L¨osung IV: Leistungskosten

Uber die Impedanz erh¨¨ alt man sowohl die Effektive Leistung, als auch den Scheinwider- stand, aus welchem man die Scheinleistung erh¨alt. Diese muss man dann nur noch mit der Zeit und dem Preis multiplizieren um die j¨ahrlichen Kosten zu erhalten.

Z =RkX_C = 1

1

100 Ω + i2π·50 Hz ≈(10⁻⁶−3·10⁻³i)Ω Peff =

UˆIˆ 2

Re(Z)

|Z| =U_eff² Re(Z)

|Z|² ≈5,290 kW Wirkleistung

P˜ =U_effI_eff=U_eff² 1

|Z| =P_eff |Z|

Re(Z) ≈16,62 MW Scheinleistung j¨ahrl. Kosten = ˜P·T·p= 16,62 MW·31,54 Ms·31,5ct/kWh≈45,85 Mio.e

Extrakosten = ( ˜P −P_eff)·T·p= 16,61 MW·31,54 Ms·31,5ct/kWh≈45,86 Mio.e Ganz sch¨on teuer.

Konzeption komplexer Wechselstrom Aufgabe I: Effektive und Exakte verrichtete Arbeit

Ab welcher L¨ange eines 1 MHz Signales ¨uber ein RC-Reihenglied (100 Ω, 10 nF) weicht die effektive Arbeit nur noch maximal ein Promille von der genauen Arbeit ab?

L¨osung I: Effektive und Exakte verrichtete Arbeit

Berechnen wir die Impedanz des Reihengliedes, so k¨onnen wir aus dieser auf die exakte und effektive Leistung schließen und daraus dann die Arbeit erhalten.

X = (100−100i)Ω P_eff = 1

√2·2·UˆIˆ P_exakt= sin(2π·1 MHz)·sin

2π·1 MHz +π 4

·UˆIˆ W_eff =P_efft= UˆIˆ

√2·2t W_exakt= UˆIˆ·t

√2·2 −cos(4 MHz·πt) + sin(4 MHz·πt)

√2π·8 MHz ·UˆIˆ

W_eff−W_exakt Weff

= cos(4 MHz·πt) + sin(4 MHz·πt)

√2π·8 MHz

√2·2

t = sin ^π₄ + 4 MHz·πt

√2πt·2 MHz

≤ 1

√2πt·2 MHz

=! 1 1000

=⇒ t_Abw≈ 1000

√2π·2 MHz = 1 ms 2√

2π ≈113µs

Man sieht, dass die effektive Arbeit bei solchen Frequenzen sehr schnell sehr genau der exakten Arbeit entspricht und sich immer weiter mit 1/t relativ gegen die exakte Ar- beit ann¨ahert. Was gegebenenfalls auff¨allt, ist dass die exakte Leistung zwischenzeitlich negativ ist. Dies l¨asst sich dadurch erkl¨aren, dass die Schaltung die vorher elektrisch gespeicherte Arbeit (von dann, wenn Pexakt > Peff) wieder abgibt, und damit insgesamt kurzzeitig Energie abgibt.

Aufgabe II: Nichtnegativer Wirkwiderstand

Jedes einzelne passive Bauteil hat einen nichtnegativen Wirkwiderstand. Aus der Ab- geschlossenheit der komplexen Zahlen unter Addition und Inversion folgt, dass auch Kombinationen von Reihen- und Parallelschaltungen nichtnegative Wirkwiderst¨ande be- sitzen, da die Gesamtimpedanz von diesen nur durch Inversion und Addition aus den Einzelimpedanzen berechnet werden kann.

Z₁+Z₂ = (R₁+R₂) + (I₁+I₂)i =⇒ Re(Z₁+Z₂) =R₁+R₂>0 1

Z₁ = R1−I1i

R²₁+I₁² =⇒ Re 1

Z₁

= R1

R²₁+I₁² >0 Man beweise, ob/dass dies auch f¨ur allgemeine Zweipolschaltungen (wie z.b. die H- Br¨ucke) gilt.