1. Übungsblatt

Institut f¨ur theoretische Physik Universit¨at zu K¨oln

Prof. Dr. Martin Zirnbauer Charles Guggenheim Dr. Sebastian Schmittner

Klassische Theoretische Physik 2 – ¨ Ubungsblatt 1

Abgabe bis 27.10.2015

Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~cg/ktp2

Aufgabe 1.1. Komplexe (Wiederholung)

Wir betrachten in dieser Aufgabe den in Abbildung 1 dargestellten Kettenkomplex.

a. Berechnen Sie den Rand der 1-Ketten δ,β+γ−η,β+γ−α und β+γ−δ−α.

b. Sind die in Aufgabe a) gefundenen geschlossenen Ketten R¨ander? Wenn ja, von welcher 2-Kette?

c. W¨ahlen Sie {B, C, D, β, γ, η,Γ} als Basis eines Unterkomplexes und geben Sie die Matrixdarstellung des Randoperators ∂

C1⊕C2 :C1⊕C2 → C0⊕C1 in dieser Basis an.

Wie erhalten Sie hieraus (in welcher Basis?) die Matrix des dualen Ko-Randoperators d

C⁰⊕C¹ : C⁰⊕C¹ → C¹⊕C²? Wie viele geschlossene Ketten gibt es, d.h. was ist die Dimension des Kerns von∂?

d. Identifizieren Sie im Unterkomplex aus Aufgabenteil c)Ci'Cⁱ mithilfe der Basiswahl.

Bestimmen Sie nun die Matrix des Laplaceoperators ∆ = (d +∂)² bzgl. dieser Basis.

A B

D C

α β γ

δ

η Γ Ω

Abbildung 1: Beispiel f¨ur einen Kettenkomplex.

Aufgabe 1.2. Inneres Produkt

Betrachten Sie den magnetischen Teil der Lorentzkraft, K^m = −qι(v)B, wobei q die Ladung,v der Geschwindigkeitsvektor der Punktladung undB die magnetische Feldst¨arke ist.

a. Wiederholen Sie die Rechnung aus der Vorlesung und bestimmen Sie K^m f¨ur ein allgemeinesB undv.

b. Sei nun q=−1,v=v0ex undB =B0dx∧dy. Zeichnen Sie B undv imE3. Zeichnen Sie außerdem in einem neuen Bildι(v)B (benutzen Sie Aufgabenteil a).

Vergleichen Sie die beiden Bilder und ¨uberlegen Sie, was die Vorschrift f¨ur ι(v)B im Kettenbild ist.

Hinweis: Achten Sie auf die Orientierungen!

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c. Wiederholen Sie Teil b) f¨ur eine 1-Kette (2-Form) mit innerer Orientierung.

d. Das innere Produkt l¨asst sich auf Differenzialformen beliebigen Grades erweitern. Sei ω einek-Form und vein Vektor, dann ist ι(v)ω definiert durch

(ι(v))ω(x₁, . . . ,xk−1) =ω(v,x₁, . . . ,xk−1), das heißt man setzt den Vektorv in das erste Argument ein.

Wie l¨asst sich also die Vorschrift aus Aufgabenteil b erweitern auf beliebige Ketten?

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