Aufgabe 12.2 Geben Sie für die Formelmenge Φ

HTWK Leipzig, Fakultät IMN

Prof. Dr. Sibylle Schwarz sibylle.schwarz@htwk-leipzig.de

12. Übung zur Vorlesung „Modellierung“ Wintersemester 2015/16 Lösungen bis 12. Januar 2016 einzusenden im Opal-Kurs zum Modul:

https://bildungsportal.sachsen.de/opal/url/RepositoryEntry/9360769029

Aufgabe 12.1

Geben Sie für die prädikatenlogische Formel ϕ=∀x∃y (P(x, y)∧ ¬P(y, x)) a. eine Struktur A= (A,J·K^A)∈Mod(ϕ) mit einem endlichen Universum Aan, b. eine Struktur B= (B,J·K^B)6∈Mod(ϕ) mit einem endlichen UniversumB an, c. eine Struktur C= (C,J·K^C)∈Mod(ϕ) mit einem unendlichen UniversumC an, d. eine Struktur D= (D,J·K^D)6∈Mod(ϕ) mit einem unendlichen Universum Dan.

Aufgabe 12.2

Geben Sie für die Formelmenge

Φ =











∀x∃yE(x, y)

∀x ¬E(x, x)

∀x∀y (E(x, y)→E(y, x))

∀x∀y (E(x, y)→((R(x)∧B(y))∨(B(x)∧R(y))))











a. eine endliche Struktur A= (A,J·K^A) an, dieΦ erfüllt, b. eine unendliche Struktur B= (B,J·K^B) an, dieΦerfüllt und

c. eine Struktur C an, dieΦ nicht erfüllt.

d. Hat die Formelmenge Φein Modell mit einem Universum aus genau drei Elementen?

Aufgabe 12.3

Geben Sie einen erfüllbaren Satz ϕ an, so dass für alle Strukturen S = (S,J·K^S) ∈ Mod(ϕ) gilt|S| ≥3.

Aufgabe 12.4

In der SignaturΣ = (Σ_F,Σ_R)mitΣ_F =∅undΣ_R={(E,2),(=,2)}lassen sich Eigenschaften gerichteter und ungerichteter Graphen beschreiben. E repräsentiert die Kantenrelation und

=die Identität der Knoten des Graphen.

Geben Sie für jede der folgenden Mengen von Graphen eine geeignete Menge X und eine Formel aus FOL(Σ,X) an, für welche genau alle Graphen dieser Mengen Modelle sind:

a. Menge aller Graphen ohne Kanten,

b. Menge aller ungerichteten Graphen ohne Schlingen,

c. Menge aller vollständigen ungerichteten Graphen ohne Schlingen, d. Menge aller gerichteten Graphen mit wenigstens drei Knoten,

e. Menge aller ungerichteten schlingenfreien Graphen, die einenC3 als Teilgraphen enthal- ten,

f. Menge aller ungerichteten Graphen, die einenP4 als induzierten Teilgraphen enthalten.

Aufgabe 12.5

Geben Sie einen Satz (Formel ohne freie Variablen) aus FOL(Σ,X) für Σ = (Σ_R,Σ_F) mit Σ_F ={(a,0),(b,0),(f,2)} undΣ_R ={(P,2)} (X können Sie selbst geeignet wählen) an, die genau in allen Strukturen wahr ist, in denenP als Halbordnung,f als kommutative Funktion und aals neutrales Element bzgl.f interpretiert wird.

Aufgabe 12.6

Gegeben ist die FormelmengeΦ ={¬(a∧ ¬b),¬b∨c}

a. Welche der folgenden Formeln sind semantische Folgerungen aus Φ?

(a) ¬(a∧b) (b) ¬a∨c

b. Geben Sie eine Formel ψ an, die die Aussagenvariable c nicht enthält, so dass c eine semantische Folgerung aus der Formelmenge Φ∪ {ψ} ist.

c. Geben Sie eine Formelϕ an, so dass die FormelmengeΦ∪ {ϕ} unerfüllbar ist.

Aufgabe 12.7

Repräsentieren Sie die folgenden Sachverhalte durch eine Menge aussagenlogischer Formeln:

Wenn ein Einhorn ein Fabelwesen ist, dann ist es unsterblich. Ist es jedoch kein Fabelwesen, dann ist es ein sterbliches Säugetier. Sind Einhörner Säugetiere oder unsterblich, dann haben sie ein Horn. Einhörner mit Horn haben Zauberkraft.

a. Ist diese Formelmenge erfüllbar? Warum?

b. Welche der folgenden Aussagen lassen sich aus dieser Formelmenge semantisch folgern:

(a) Das Einhorn ist ein Fabelwesen.

(b) Das Einhorn hat Zauberkraft.

(c) Das Einhorn hat ein Horn.

Übungsaufgaben, Folien und weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie online unter www.imn.htwk-leipzig.de/~schwarz/lehre/ws15/modellierung