Tipps & Tricks f¨ur Mathematische Vortr¨age mit L

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Tipps & Tricks f¨ ur Mathematische Vortr¨ age mit L

^A

TEX

Arbeitsgruppe Diskrete Optimierung Magdeburg

4. April 2016

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Grundlagen Strukturierung Beamer-Folien Die Tafel

Agenda

1 Grundlagen

1 Zielstellung

2 Mathematische Literatur

2 Strukturierung des Vortrags

1 Einf¨uhrung 2 Hauptteil 3 Beweise 4 Schlussteil

3 Erstellung der Beamer-Folien

1 Warum L^ATEX?

2 Das Beamer-Paket 3 Grafiken mit TikZ

4 Die Tafel

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Agenda

1 Grundlagen

1 Zielstellung

2 Mathematische Literatur

4 Die Tafel

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Zielstellung

Mathematik im Grundstudium

Vorlesungen: Aufbereiteten Stoff verstehen Ubungen: Verst¨¨ andnis durch Benutzung festigen

Seminare

Ziel ist es, ein neues Thema selbstst¨andig . . . zuerarbeiten,

Beweise verstehen - der Stoff ist nicht aufbereitet! Beweisschritte selbst durchf¨uhren.

aufzuarbeiten

Zusammenh¨ange erkennen: Wo geht welche Bedingung ein? Vorwissen der Zielgruppe einordnen.

Wichtige Resultate und Methoden aussuchen. und zupr¨asentieren.

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Zielstellung

Seminare

Beweise verstehen - der Stoff ist nicht aufbereitet!

Beweisschritte selbst durchf¨uhren.

aufzuarbeiten

Zusammenh¨ange erkennen: Wo geht welche Bedingung ein? Vorwissen der Zielgruppe einordnen.

Wichtige Resultate und Methoden aussuchen. und zupr¨asentieren.

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Zielstellung

Seminare

aufzuarbeiten

Zusammenh¨ange erkennen: Wo geht welche Bedingung ein?

Vorwissen der Zielgruppe einordnen.

Wichtige Resultate und Methoden aussuchen.

und zupr¨asentieren.

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Zielstellung

Seminare

aufzuarbeiten

Zusammenh¨ange erkennen: Wo geht welche Bedingung ein?

Vorwissen der Zielgruppe einordnen.

Wichtige Resultate und Methoden aussuchen.

und zupr¨asentieren.

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Mathematische Literatur

Bemerkungen

Mathematische Texte lesen sich nicht wie ein Roman!

Zum Teil existieren noch keine ausgereiften Begriffe.

Ziel: Begriffe und Zusammenh¨angenachvollziehenundverstehen.

Nachvollziehen

Für Autoren selbstverständliche Dinge sind oftmals nicht erwähnt! Ziel: Fehlende Beweisschritte vervollständigen.

Verstehen

Nur weil man jeden Schritt eines Beweises nachvollzogen hat, hat man den Beweis als Ganzes noch nicht verstanden!

Ziel: “Big Picture”-Sicht auf die Argumente erlangen.

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Mathematische Literatur

Bemerkungen

Nachvollziehen

Für Autoren selbstverständliche Dinge sind oftmals nicht erwähnt!

Ziel: Fehlende Beweisschritte vervollst¨andigen.

Verstehen

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Mathematische Literatur

Bemerkungen

Nachvollziehen

Für Autoren selbstverständliche Dinge sind oftmals nicht erwähnt!

Ziel: Fehlende Beweisschritte vervollst¨andigen.

Verstehen

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Sekund¨ arliteratur

Wie findet man weitere Literatur?

Zun¨achst Literaturverweise in der Prim¨arquelle Suchmaschinen im Internet!

Viele aktuelle Artikel finden sich z.B. auf arxiv.org.

Falls man einen bestimmten Artikel nicht frei, bzw. ¨uber die Universit¨at findet, kann man den Autor auch direkt anschreiben!

Dear Prof. Doe,

I became interested when reading the abstract of your article

"The life of Jon Doe" in the Journal of Unknown People. I would be very grateful if you sent me a PDF version of the article. Best regards,

Jane Doe

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Sekund¨ arliteratur

Wie findet man weitere Literatur?

Zun¨achst Literaturverweise in der Prim¨arquelle Suchmaschinen im Internet!

Viele aktuelle Artikel finden sich z.B. auf arxiv.org.

Falls man einen bestimmten Artikel nicht frei, bzw. ¨uber die Universit¨at findet, kann man den Autor auch direkt anschreiben!

Dear Prof. Doe,

I became interested when reading the abstract of your article

"The life of Jon Doe" in the Journal of Unknown People. I would be very grateful if you sent me a PDF version of the article.

Best regards, Jane Doe

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Agenda

1 Grundlagen

1 Einf¨uhrung 2 Hauptteil 3 Beweise 4 Schlussteil

4 Die Tafel

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Einf¨ uhrung

Zweck

In der Einf¨uhrung geht es darum, die Fragestellung . . .

1 zu erklären und die dafür nötigen Begriffe einzuführen;

2 zu motivieren (ggf. auf artverwandte Probleme zu verweisen);

3 in den Kontext einzuordnen (bekanntes Wissen / ¨altere Fragestellungen).

↝Nach der Einf¨uhrung sollte jeder wissen, worum es geht!

Hinweise

Zielgruppe und deren Vorwissen bedenken.

Welche Begriffe sind notwendig zum Verst¨andnis der Fragestellung und welche erst sp¨ater?

Warum ist diese Fragestellung sinnvoll (und z.B. nicht trivial)?

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Einf¨ uhrung

Zweck

In der Einf¨uhrung geht es darum, die Fragestellung . . .

1 zu erklären und die dafür nötigen Begriffe einzuführen;

2 zu motivieren (ggf. auf artverwandte Probleme zu verweisen);

3 in den Kontext einzuordnen (bekanntes Wissen / ¨altere Fragestellungen).

↝Nach der Einf¨uhrung sollte jeder wissen, worum es geht!

Hinweise

Zielgruppe und deren Vorwissen bedenken.

Welche Begriffe sind notwendig zum Verst¨andnis der Fragestellung und welche erst sp¨ater?

Warum ist diese Fragestellung sinnvoll (und z.B. nicht trivial)?

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Hauptteil

Zweck

Pr¨asentieren Sie die wichtigen Resultate und Implikationen.

Hinweise

Der Hauptteil ist der l¨angste Teil im Vortrag!

Die Grundidee und -struktur der Beweise sollte nach dem Vortrag allen klar sein.

Zu einem Beweis sollten Sie auch Details verraten, aber dabei nicht unbedingt ¨uberεreden!

Wenn möglich, bringen Sie ein verständliches Beispiel für das Resultat oder die Methode.

Was folgt aus dem Resultat?

Vergessen Sie nicht, Autoren (typischerweise mit Jahreszahl) anzugeben!

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Hauptteil

Zweck

Hinweise

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Hauptteil

Zweck

Hinweise

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Beweise - Ein Beispiel

Nach ¨Ubersetzung lautet Proposition 2.1 ausFiorini et al, 2011wie folgt:

Proposition

SeienQ⊆R^e undP⊆R^d zwei Polytope undπ∶R^e→R^d eine affine Abbildung mitπ(Q) =P, dann ist die Abbildungh, die jeder SeiteF vonPdie Menge h(F) ∶=Q∩π⁻¹(F)zuordnet, eine Einbettung des SeitenverbandesL (P)in den SeitenverbandL (Q).

Wichtige Fragen

Wiederholung: Was waren nochmal Seiten von Polytopen? Was ist eine Einbettung? (↝injektiver Homomorphismus) Was ist ein Seitenverband?

Definition (Seitenverband;Ziegler, 2001:Lectures on Polytopes) Die Menge der Seiten eines Polytops, geordnet nach Inklusion bildet einen Verbandmit Operationen∧und∨(und weiteren Eigenschaften!):

F∧F^′∶=F∩F^′.

F∨F^′∶=arg min{dim( ̂F) ∶F,F^′⊆ ̂F}= kleinste Seite, dieF,F^′enth¨alt F∨ (F∧F^′) =F =F∧ (F∨F^′)

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Beweise - Ein Beispiel

Proposition

Wichtige Fragen

Wiederholung: Was waren nochmal Seiten von Polytopen?

Was ist eine Einbettung?

(↝injektiver Homomorphismus) Was ist ein Seitenverband?

F∧F^′∶=F∩F^′.

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Beweise - Ein Beispiel

Proposition

Wichtige Fragen

Was ist eine Einbettung? (↝injektiver Homomorphismus)

Was ist ein Seitenverband?

F∧F^′∶=F∩F^′.

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Beweise - Ein Beispiel

Proposition

Wichtige Fragen

Was ist eine Einbettung? (↝injektiver Homomorphismus) Was ist ein Seitenverband?

F∧F^′∶=F∩F^′.

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Beweise - Ein Beispiel

Proposition

Wichtige Fragen

Was ist eine Einbettung? (↝injektiver Homomorphismus) Was ist ein Seitenverband?

F∧F^′∶=F∩F^′.

F∨F^′∶=arg min{dim( ̂F) ∶F,F^′⊆ ̂F}= kleinste Seite, dieF,F^′ enth¨alt F∨ (F∧F^′) =F =F∧ (F∨F^′)

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Seitenverb¨ ande von Polytopen

dimension

−1 ∅

0 V (P)

1 E(P)

n−1 F (P)

n P

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Seitenverb¨ ande von Polytopen

dimension

−1 ∅

0 V (P)

1 E(P)

n−1 F (P)

n P

F

G F⊆G and

dim(G) =dim(F) +1

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Seitenverb¨ ande von Polytopen

dimension

−1 ∅

0 V (P)

1 E(P)

n−1 F (P)

n P

F

G F⊆G and

dim(G) =dim(F) +1

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Seitenverb¨ ande von Polytopen

L(7-simplex)

Erinnerung: Der7-Simplex ist die konvexe H¨ulle der Einheitsvektoren imR⁸.

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Beweise - Fortsetzung Beispiel

Proposition

Beweis.

F¨ur jede SeiteF vonP, definiert durch die Ungleichung⟨a,x⟩ ≤β, giltπ(y) ≤β f¨ur jedesy ∈Q mit Gleichheit genau dann, wennπ(y) ∈F gilt. Daher isth(F) eine Seite vonQ, definiert durch die Ungleichung ⟨a, π(y)⟩ ≤β. Offensichtlich istheine Einbettung.

Wichtige Fragen

Warum gilt die Ungleichung f¨ur jedesF und jedesy ∈Q? Warum gilt Gleichheit im beschriebenen Fall?

Wieso ist diese Ungleichung linear?

Nichts ist offensichtlich: Beweise die Injektivit¨at selbst! Ebenso: BeweiseF⊆G ⇐⇒ h(F) ⊆h(G)

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Beweise - Fortsetzung Beispiel

Proposition

Beweis.

Wichtige Fragen

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Beweise - Fortsetzung Beispiel

Proposition

Beweis.

Wichtige Fragen

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Beweise - Fortsetzung Beispiel

Proposition

Beweis.

F¨ur jede SeiteF vonP, definiert durch die Ungleichung⟨a,x⟩ ≤β, giltπ(y) ≤β f¨ur jedesy ∈Q mit Gleichheit genau dann, wennπ(y) ∈F gilt.

Daher isth(F) eine Seite vonQ, definiert durch die Ungleichung ⟨a, π(y)⟩ ≤β. Offensichtlich istheine Einbettung.

Wichtige Fragen

Warum gilt die Ungleichung f¨ur jedesF und jedesy ∈Q?

Warum gilt Gleichheit im beschriebenen Fall?

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Beweise - Fortsetzung Beispiel

Proposition

Beweis.

F¨ur jede SeiteF vonP, definiert durch die Ungleichung⟨a,x⟩ ≤β, giltπ(y) ≤β f¨ur jedesy ∈Q mit Gleichheit genau dann, wennπ(y) ∈F gilt. Daher isth(F) eine Seite vonQ, definiert durch die Ungleichung ⟨a, π(y)⟩ ≤β.

Offensichtlich istheine Einbettung.

Wichtige Fragen

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Beweise - Fortsetzung Beispiel

Proposition

Beweis.

Wichtige Fragen

Nichts ist offensichtlich: Beweise die Injektivit¨at selbst!

Ebenso: BeweiseF⊆G ⇐⇒ h(F) ⊆h(G)

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Seitenverb¨ ande von Polytopen

L(7-simplex)

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Seitenverb¨ ande von Polytopen

L(7-simplex)

L(4-cross polytope) Erinnerung: Das4-Kreuzpolytop ist die konvexe H¨ulle der Einheitsvektoren desR⁴ und ihrer Negativen.

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Schlussteil

Zweck

1 Zusammenfassung des pr¨asentierten Inhalts

2 Diskussion zum Inhalt

3 Ausblick (wenn sinnvoll)

Hinweise

Was war die Fragestellung?

Welche Teile wurden durch die Resultate beantwortet?

Nach Feedback fragen: Soll noch etwas genauer erkl¨art werden? Welche Fragen sind offen geblieben?

Welche Fragen haben sich neu ergeben?

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Schlussteil

Zweck

Hinweise

Nach Feedback fragen: Soll noch etwas genauer erkl¨art werden? Welche Fragen sind offen geblieben?

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Schlussteil

Zweck

Hinweise

Nach Feedback fragen: Soll noch etwas genauer erkl¨art werden?

Welche Fragen sind offen geblieben? Welche Fragen haben sich neu ergeben?

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Schlussteil

Zweck

Hinweise

Nach Feedback fragen: Soll noch etwas genauer erkl¨art werden?

Welche Fragen sind offen geblieben?

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Agenda

1 Grundlagen

1 Warum L^ATEX?

2 Das Beamer-Paket 3 Grafiken mit TikZ

4 Die Tafel

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Der Vortrag mit Beamer

Hinweise zum Vortrag mit Beamer

K¨ummern Sie sich auch um die Technik (z.B. vorher Verbindung Beamer-Laptop testen).

Benutzen Sie hilfreiche Grafikenunderklären Sie diese. Vermeiden Sie viel Text auf einmal - Animationen können Informationsüberfluss steuern.

Aber: Vermeiden Sie ¨ubertriebene Animationen!

Ein kurzer Witz oder ein Comic an geeigneter Stelle k¨onnen das Publikum wieder aufwecken, aber zuviel lenkt ab.

Wie viel Zeit sollte man pro Foliemindestenseinplanen? Richtig:1−2Minuten.

In dieser Zeiterkl¨aren. Nicht einfach die Folie vorlesen!

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Der Vortrag mit Beamer

Benutzen Sie hilfreiche Grafikenunderkl¨aren Sie diese.

Vermeiden Sie viel Text auf einmal - Animationen k¨onnen Informations¨uberfluss steuern.

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Der Vortrag mit Beamer

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Der Vortrag mit Beamer

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Der Vortrag mit Beamer

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Der Vortrag mit Beamer

Wie viel Zeit sollte man pro Foliemindestenseinplanen?

Richtig:1−2Minuten.

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Der Vortrag mit Beamer

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Der Vortrag mit Beamer

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L

^A

TEX

What you see is what you get

In WYSIWYG-Systemen wieMicrosoft PowerpointoderLibreOffice Impresswerden Beamer-Folien unmittelbar bearbeitet. Es gibt meist

unterst¨utzende Funktionen, die z.B. Inhaltsverzeichnisse automatisch erzeugen.

L^ATEX

Im Gegensatz dazu wird in L^ATEX eher programmiert: In einer Textdatei werden das Layout definiert,

die Dokumentstruktur (Kapitel, Abschnitte, etc.) definiert, die Texte verfasst

und Bilder / Tabellen eingebunden.

Im Anschluss wirdkompiliertund es entsteht z.B. ein PDF-Dokument.

Weitere Informationen

http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Basics http://tobi.oetiker.ch/lshort/lshort.pdf

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^A

TEX

L^ATEX

Im Gegensatz dazu wird in L^ATEX eher programmiert: In einer Textdatei werden

das Layout definiert,

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L

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L^ATEX

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L

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TEX

L^ATEX

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L

^A

TEX

L^ATEX

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Warum L

^A

TEX?

Nachteile

L^ATEX ist schwerer zu erlernen als ein WYSIWYG-Programm.

Das Dokument und die erzeugende Datei sind getrennt.

Bei geringf¨ugigen ¨Anderungen muss trotzdem neu kompiliert werden.

Vorteile

Layout und Satz sind einheitlich f¨ur das gesamte Dokument. Formeln und andere komplexe Terme sind einfacher.

Spätere größere Anpassungen (z.B. anderes Symbol fürR) ist leichter. Es gibt diverse Automatismen: Inhaltsverzeichnis, Nummerierungen, Positionierung von Bildern / Tabellen.

Kollaboration ist technisch einfacher zu realisieren (git,hg,svn, etc.)

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Warum L

^A

TEX?

Nachteile

L^ATEX ist schwerer zu erlernen als ein WYSIWYG-Programm.

Das Dokument und die erzeugende Datei sind getrennt.

Bei geringf¨ugigen ¨Anderungen muss trotzdem neu kompiliert werden.

Vorteile

Layout und Satz sind einheitlich f¨ur das gesamte Dokument.

Formeln und andere komplexe Terme sind einfacher.

Spätere größere Anpassungen (z.B. anderes Symbol fürR) ist leichter.

Es gibt diverse Automatismen: Inhaltsverzeichnis, Nummerierungen, Positionierung von Bildern / Tabellen.

Kollaboration ist technisch einfacher zu realisieren (git,hg,svn, etc.)

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L

^A

TEX - Technisches

Linux

L

^A

TEX - Technisches

Linux

Das Beamer-Paket

L^ATEX-Beamer-Klasse

Auswahl an verschiedenen Layouts und die M¨oglichkeit, eigene zu entwerfen.

Nimmt einem Fußnoten, Navigation und Anordnung der Elemente ab.

Bietet Auswahl an Strukturelementen, wie z.B. Bl¨ocken.

Ein Handout kann aus demselben Quelltext erzeugt werden wie die Pr¨asentation.

http://www2.informatik.hu-berlin.de/~mischulz/beamer.html

http://www.pro-linux.de/artikel/2/105/praesentationen-mit-latex-beamer.html

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Grafiken mit TikZ

1 TikZ-Umgebung ¨offnen.

2 Punkte des Gitters definieren.

3 Gitternetz zeichnen.

4 Schatten zeichnen.

5 Koordinaten des Polytops festlegen.

6 Layout des Polytops festlegen.

7 Fl¨achen des Polytops f¨ullen.

8 TikZ-Umgebung schließen.

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Grafiken mit TikZ

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Grafiken mit TikZ

\ b e g i n { t i k z p i c t u r e } 2 Punkte des Gitters definieren.

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Grafiken mit TikZ

% T r a n s f o r m a t i o n R ^2 - > R ^2

\ def \ g r i d i x { + 0 . 4 8 } \ def \ g r i d i y { + 0 . 1 6 }

\ def \ g r i d j x { -0.40} \ def \ g r i d j y { + 0 . 2 0 }

% C o o r d i n a t e s

\ f o r e a c h \ i in {0 ,... ,6}

{

\ f o r e a c h \ j in {0 ,... ,6}

{

\ c o o r d i n a t e ( G -\ i -\ j ) at

( 2 . 5 + \ g r i d i x *\ i + \ g r i d j x *\ j , 0.3 + \ g r i d i y *\ i + \ g r i d j y *\ j );

} }

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Grafiken mit TikZ

% H e l l g r a u e r H i n t e r g r u n d

\ f i l l [ b l a c k ! 1 0 ! w h i t e ] ( G -0 -0) - - ( G -0 -6) - - ( G -6 -6) - - ( G -6 -0) - - c y c l e ;

% G i t t e r n e t z

\ t i k z s e t { g r i d l i n e /. s t y l e ={ thin , b l a c k ! 4 0 ! w h i t e }}

\ f o r e a c h \ i in {0 ,... ,6}

{

\ d r a w [ g r i d l i n e ] ( G -\ i -0) - - ( G -\ i - 6 ) ; }

\ f o r e a c h \ j in {0 ,... ,6}

{

\ d r a w [ g r i d l i n e ] ( G -0 -\ j ) - - ( G -6 -\ j );

}

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Grafiken mit TikZ

% S c h a t t e n

\ d r a w [ black , o p a c i t y = 0 . 8 ] ( G -1 -3) - - ( G -2 -2) - - ( G -4 -2) - - ( G -5 -3) - - ( G -4 -4) - - ( G -2 -4) - - c y c l e ;

\ f i l l [ black , o p a c i t y = 0 . 5 ] ( G -1 -3) - - ( G -2 -2) - - ( G -4 -2) - - ( G -5 -3) - - ( G -4 -4) - - ( G -2 -4) - - c y c l e ; 5 Koordinaten des Polytops festlegen.

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Grafiken mit TikZ

% K o o r d i n a t e n d e s 3 D - P o l y t o p s

\ c o o r d i n a t e [ a b o v e = 1.5 of G -2 -2] ( P - 0 ) ;

\ c o o r d i n a t e [ a b o v e = 2.5 of G -5 -3] ( P - 5 ) ; 6 Layout des Polytops festlegen.

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Grafiken mit TikZ

% L a y o u t

\ t i k z s e t {

p o l y D r a w F r o n t /. s t y l e ={ b l a c k } , p o l y D r a w B a c k /. s t y l e ={ black ,

d e n s e l y d a s h e d } ,

p o l y F i l l F r o n t /. s t y l e ={ d r a w = none , f i l l = blue , o p a c i t y =0.4} ,

p o l y F i l l B a c k /. s t y l e ={ d r a w = none , f i l l = blue , o p a c i t y = 0 . 3 }

}

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Grafiken mit TikZ

\ d r a w [ p o l y F i l l B a c k ] ( P -0) - -( P -1) - -( P -2) - -( P -3) - - c y c l e ;

\ d r a w [ p o l y F i l l B a c k ] ( P -1) - -( P -5) - -( P -2) - - c y c l e ;

\ d r a w [ p o l y F i l l B a c k ] ( P -2) - -( P -5) - -( P -4) - -( P -3) - - c y c l e ;

\ d r a w [ p o l y F i l l F r o n t ] ( P -3) - -( P -0) - -( P -4) - - c y c l e ;

\ d r a w [ p o l y F i l l F r o n t ] ( P -0) - -( P -1) - -( P -5) - -( P -4) - - c y c l e ;

\ d r a w [ p o l y D r a w B a c k ] ( P -1) - -( P -2) - -( P - 3 ) ;

\ d r a w [ p o l y D r a w B a c k ] ( P -2) - -( P - 5 ) ;

\ d r a w [ p o l y D r a w F r o n t ] ( P -4) - -( P -3) - - ( P -0) - -( P -1) - -( P -5) - -( P -4) - -( P - 0 ) ; 8 TikZ-Umgebung schließen.

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Grafiken mit TikZ

\ end { t i k z p i c t u r e }

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Agenda

1 Grundlagen

4 Die Tafel

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Die Tafel

Hinweise zum Arbeiten an der Tafel

Vordem Vortrag die Tafel gründlich wischen und Kreidevorrat überprüfen.

Tafelbild vorher planen: Was steht auf welcher Seite?

↝sehr wichtig bei “Schultafeln”! Skizzen und Diagramme vorher ¨uben.

Formulierungen vorher ¨uberlegen. Sonst f¨allt kurz vor Schluss ein:

“Herr Professor, darf ich Rechtsnebenklassenvertretersystem abk¨urzen?”

Allgemeine Hinweise

Seien Sie pünktlich, lieber etwas zu früh, um z.B. den Raum zu lüften. Reden Sie zum Publikum, insbesondere zu Ihren Kommilitonen!

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Die Tafel

↝sehr wichtig bei “Schultafeln”!

Skizzen und Diagramme vorher ¨uben.

Allgemeine Hinweise

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Die Tafel

Allgemeine Hinweise

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Die Tafel

Allgemeine Hinweise

Seien Sie pünktlich, lieber etwas zu früh, um z.B. den Raum zu lüften.

Reden Sie zum Publikum, insbesondere zu Ihren Kommilitonen!

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Quellen

Samuel Fiorini, Volker Kaibel, Kanstantsin Pashkovich, and Dirk Oliver Theis.

Combinatorial bounds on nonnegative rank and extended formulations.

CoRR, abs/1111.0444, 2011.

Till Tantau.

The L^ATEX Beamer Class, February 2008.

Till Tantau.

TikZ and PGF – Manual for Version 2.10, February 2010.