Einf¨ uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 4

Prof. Dr. Volker Kaibel

Dipl.-Comp.-Math. Matthias Walter Wintersemester 2013/2014

Einf¨ uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 4

www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise13/emo/

Abgabe in der ¨Ubung am 21.11.2013 oder vorher in G02-207b

Aufgabe 1 (4 Punkte)

Wie kann man ein lineares Optimierungsproblem min{⟨c, x⟩ ∶Ax=b, x≥On} (mit A ∈ R^m×n, b∈R^m und c∈Rⁿ) als ein semidefinites Optimierungsproblem formulieren?

Tipp: Identifizie den Rⁿ mit der Menge der Diagonalmatrizen in R^n×n.

Aufgabe 2 (5 Punkte)

Beweise folgende Variante des Farkas-Lemmas: F¨ur A∈R^m×n und b∈R^m gilt: Entweder es gibt x∈Rⁿ mit Ax=b und x≥Oⁿ oder es gibt ein y∈R^m mit y^⊺A≥Oⁿ und y^⊺b= −1 (aber nicht beides).

Aufgabe 3 (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass f¨ur

A=

⎛⎜⎜

⎜⎝

2 −1 0

0 1 2

−3 −1 0 0 1 −2

⎞⎟⎟

⎟⎠

∈R^4×3 das Ungleichungssystem Ax≤ −14 keine L¨osung hat.

Bitte wenden!

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Einf¨uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 4 S. 2/2

Aufgabe 4 (0 Punkte)

Ein System Ax ≤b (A ∈ R^m×n, b ∈ R^m) von linearen Ungleichungen heißt minimal un- zul¨assig, falls P^≤(A, b) ∶= {x∈Rⁿ∶Ax≤b} = ∅ ist, aber f¨ur jedes Subsystem ˜Ax≤˜b, das aus Ax≤b durch Weglassen irgendeiner Ungleichung entsteht, P^≤(A,˜ ˜b) ≠ ∅ ist.

Zeige, dass f¨ur ein minimal unzul¨assiges System Ax≤b f¨ur jedes solche Subsystem sogar {x∈Rⁿ∶Ax˜ =˜b} ≠ ∅gilt.

Tipp: Wir k¨onnen annehmen, dass ˜Ax ≤ ˜b aus Ax ≤ b durch Weglassen der letzten Ungleichung entstanden ist. Seien ⟨a⁽ⁱ⁾, x⟩ ≤b_i (i∈ [m]) die Ungleichungen des Systems Ax≤b. F¨ur 0≤p<q≤mseiA(p, q)das System derm−1 Gleichungen und Ungleichungen

⟨a⁽ⁱ⁾, x⟩ =b_i (i≤p)

⟨a⁽ⁱ⁾, x⟩ ≤bi (i>p, i≠q).

Konstruieren Sie nun induktiv L¨osungen x(p, q) von A(p, q) (p = 0, . . . , m−1, q = p+ 1, . . . , m).

Aufgabe 5 (6 Punkte)

Zeige (ohne Verwendung der konvexgeometrischen Resultate aus der Vorlesung) den wich- tigen Teil des Farkas-Lemmas: Sind A∈R^m×n, b∈R^m so, dass das Polyeder P^≤(A, b) = ∅ ist, so gibt es y∈R^m, y≥Om, mit y^⊺A=On und y^⊺b= −1.

Tipp: Wir k¨onnen annehmen, dassAx≤bminimal unzul¨assig ist (warum?). Da die Menge {x∈Rⁿ∶Ax=b} = ∅ ist, gibt es nach Linearer Algebra ein y ∈ R^m mit y^⊺A = On und y^⊺b= −1.

Zeige mit Hilfe des Results ¨uber minimal unzul¨assige Systeme, dass y≥O^m ist.