Physikalische Kinetik SS 2019
Blatt 3: Die Fokker-Planck-Gleichung
1. Fokker-Planck Gleichung und Schr¨ odingergleichung Betrachten Sie eine eindimensionale Fokker-Planck-Gleichung
∂
∂t p(x, t) = ˆ L
F Pp(x, t) auf −∞ < x < ∞ mit dem Fokker-Planck Operator
L ˆ
F P= − ∂
∂x µf (x) + D ∂
2∂x
2mit konstanten µ und D. Die Kraft f ist konservativ, f (x) = −∂U (x)/∂x.
• Unter welchen Bedingungen besitzt ein solches System einen Gleich- gewichtszustand?
• Betrachten Sie eine Hilfsfunktion Ψ(x, t) = exp (µU (x)/2D) p(x, t).
Zeigen Sie, dass diese Funktion einer Gleichung
− ∂
∂t Ψ(x, t) = ˆ HΨ(x, t)
gehorcht, wobei der Operator ˆ H nun Hermite’sch ist. Finden Sie das Potential U (x) in dem ensprechenden “Hamiltonian” (Super- potential ). F¨ ur den Operator ˆ H ist nun eine ganz normale Eigen- funktionsentwicklung m¨ oglich.
• Finden Sie U (x) f¨ ur U(x) = kx
2/2. Zeigen Sie, dass in diesem Fall der niedrigste Eigenwert von ˆ H, λ
1, gleich Null ist, λ
1= 0. Was folgt daraus?
• Betrachten Sie nun die L¨ osung p(x, t) f¨ ur eine vorgegebene An- fangsbedingung p(x, 0). F¨ ur welche p(x, 0) ist die Reihenentwick- lung von entsprechenden Ψ(x, t) ¨ uber die Eigenfunktionen von ˆ H m¨ oglich?
1
• Finden Sie f¨ ur diesen Fall die allgemeine Form der Zeitentwicklung von p(x, t) unter vorgegebener Anfangsbedingung p(x, 0) als Reihe in Eigenfunktionen ψ
n(x) von ˆ H.
Wie passiert die Ann¨ aherung von p(x, t) an den Gleichgewichts- zustand p(x, ∞) f¨ ur hinreichend grosse Zeiten t?
• (∗) Betrachten Sie nun einen allgemeineren ˆ H f¨ ur einer “unverd¨ achti- gen” Anfangsbedingung. Unter welchen Bedingungen geschieht die Ann¨ aherung an den Gleichgewichtszustand exponentiell?
2. Station¨ are Zust¨ ande
Betrachten wir eine allgemeine Form der Fokker-Planck-Gleichung (ein- fachheitshalber in eine Dimension) auf einem endlichen Intervall:
∂
∂t p(x, t) = − ∂
∂x µ(x)F (x)p(x, t) + ∂
∂x D(x) ∂
∂x p(x, t). (1) Nehmen wir an, dass diese Gleichung eine station¨ are, zeitunabh¨ angige L¨ osung p
0(x) besitzt. Die Natur dieser L¨ osung h¨ angt von der Randbe- dingungen ab.
Im Folgenden wird die Gleichung etwas umgeschrieben:
∂
∂t p(x, t) = ˆ L
F Pp(x, t) mit dem Fokker-Planck-Operator
L ˆ
F Pp(x, t) = − ∂
∂x A(x)p(x, t) + ∂
2∂x
2D(x)p(x, t).
Drucken Sie den Koeffizienten A(x) durch µ(x), F (x) und D(x) aus.
Zeigen Sie, dass die zeitabh¨ angige L¨ osung p(x, t) der Fokker–Planck Gleichung f¨ ur eine beliebige Anfangsbedingung p(x, 0) (und bei gleichen Randbedingungen) asymptotisch (t → ∞) sich auf diese station¨ are Verteilung zubewegt.
• Betrachten Sie das folgende Funktional (Kullback - Information):
K[p
1, p
2] =
Z
dx p
1(x, t) ln p
1(x, t)
p
2(x, t) ,
2
und zeigen Sie, dass f¨ ur zwei beliebige Wahrscheinlichkeitsdichten p
1(x, t) und p
2(x, t) gilt:
K [p
1, p
2] ≥ 0, (2)
wobei K[p
1, p
2] = 0 wenn p
1(x, t) = p
2(x, t).
Hinweis: F¨ uhren Sie eine Hilfsfunktion g(x) = x − 1 − ln(x) ein und zeigen Sie, dass g(x) ≥ 0 for x ≥ 0. Zeigen Sie, dass
R
dx p
1(x, t) ln[R(x, t)] =
Rdxp
1(x, t)g[1/R(x, t)] mit R(x, t) = p
1(x, t)/p
2(x, t) ist.
• Zeigen sie dass f¨ ur zwei beliebige L¨ osungen p
1(x, t) und p
2(x, t) der Fokker-Planck-Gleichung (1) gilt:
K(t) ˙ ≡ d
dt K[p
1, p
2] < 0. (3) Hinweis: Hier gibt es mehrere Wege. Versuchen Sie den folgenden:
– Zeigen Sie dass ˙ K =
Rdx[ln R L ˆ
F Pp
1−R p ˙
2] =
Rdx[p
1L ˆ
+F Pln R−
R p ˙
2], wobei ˆ L
+F Pein adjungierte Fokker-Planck-Operator ist.
Der adjungierte Fokker-Planck-Operator ist, wie ¨ ublich, durch ein Skalarprodukt definiert: (f
1, L ˆ
F Pf
2) = ( ˆ L
+F Pf
1, f
2) und liest
L ˆ
+F Pp(x, t) = A(x) ∂
∂x p(x, t) + D(x) ∂
2∂x
2p(x, t).
Beweisen Sie es durch partielle Integration.
– Zeigen Sie, dass
L ˆ
+F Pln R = 1 R
L ˆ
+F PR − D(x) 1 R
2∂R
∂x
!2
