Aufgabe 1. (Landau-Symbole) Gegeben sei die Funktion

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Algorithmische Mathematik I

Wintersemester 2017/18 Prof. Dr. Ira Neitzel AR. Dr. Tino Ullrich

Ubungsblatt 5. ¨ Abgabe am 13.11.2017 vor der Vorlesung.

Aufgabe 1. (Landau-Symbole) Gegeben sei die Funktion

f (x) = 32x

⁴

− 12x

⁵

+ 13x

⁷

(ln(x))

⁴

+ x

⁹

, x > 0.

Geben Sie einfache Funktionen g

1

(x), g

2

(x) an, so dass a. f = O(g

₁

) f¨ ur x → ∞, d.h. a = ∞,

b. f = o(g

2

) f¨ ur x → 0, d.h. a = 0 .

(2 + 2 = 4 Punkte) Aufgabe 2. Beweisen Sie den folgenden Satz. Seien alle |ε

_i

| ≤ ε < 1/n f¨ ur 1 ≤ i ≤ n sowie δ definiert durch

1 + δ =

n

Y

i=1

(1 + ε

i

)

^±1

Dann gilt

|δ| ≤ n · ε 1 − n · ε .

Bemerkung: Dabei bedeutet “±1” im Exponenten, daß bei (1 + ε

_i

) f¨ ur 1 ≤ i ≤ n der Exponent entweder +1 oder −1 lautet, aber nicht f¨ ur alle 1 ≤ i ≤ n identisch zu sein braucht !

(4 Punkte) Aufgabe 3. (Stabilit¨ atsanalyse)

Es seien Maschinenzahlen a

1

, ..., a

n

gegeben und

f (a

₁

, ..., a

_n

) =

n

X

i=1

a

_i

.

Der Computer habe die Maschinengenauigkeit ε und wir setzen n ≤ (2ε)

⁻¹

voraus. Es wird sukzessive addiert und nach jedem Zwischenergebnis gerundet, was in einer Funk- tion ˜ f(a

1

, ..., a

n

) resultiert .

a. Zeigen Sie, dass ˜ f r¨ uckw¨ artsstabil ist, d.h. betrachten Sie f(a ˜

₁

, ..., a

_n

) = f (a

₁

(1 + δ

₁

), ..., a

_n

(1 + δ

_n

))

und zeigen Sie, dass sich die relativen Eingabefehler δ

_i

wie |δ

_i

| ≤ Cε verhalten.

Dabei ist die Konstante C von den a

_i

unabh¨ angig.

1

(2)

b. Zeigen Sie, dass f¨ ur den absoluten Fehler zwischen ˜ f und f gilt

| f(a ˜

₁

, ..., a

_n

) − f (a

₁

, ..., a

_n

)| ≤ 2ε

n

X

i=1

|n − i + 1||a

_i

|

gilt.

c. In welcher Reihenfolge sollte summiert werden, um den Fehler zu minimieren?

Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 2!

(3 + 2 + 1 = 6 Punkte) Aufgabe 4. (Was macht dieses Programm? (schriftlich bearbeiten!))

Gegeben seien n Gleitkommazahlen a

₁

, . . . , a

_n

. Damit wird folgendes Programm aus- gef¨ uhrt (dabei bezeichne := die Zuweisung):

s := a

1

c := 0

for i := 2, . . . , n:

t

1

:= a

i

− c t

₂

:= s + t

₁

t

₃

:= t

₂

− s s := t

2

c := t

3

− t

1

return s

a. Was berechnet das Programm, wenn alle Operationen ohne Rundungsfehler aus- gef¨ uhrt werden?