13. ¨Ubungsserie Statistik I SoSe 2019 1. Aufgabe:

13. ¨ Ubungsserie Statistik I SoSe 2019

1. Aufgabe: Ein Unternehmen beliefert 200 Abnehmer mit seinen Produkten. Mit einem neuen Produkt soll eine Absatzsteigerung erzielt werden. Dazu gewinnt man durch Datenerfassungen bei den Abnehmern Aussagen ¨uber die Absatzsteigerung.

Durch eine Analyse dieser Daten soll eine Aussage ¨uber die erwartete Absatzsteige- rung gewonnen werden.

a) Bei einer Stichprobennahme vom Umfang n = 12 sollen keine zus¨atzlichen Informationen verwendet werden. Eine Realisierung der Stichprobe lautet:

x₁ = 43, x₂ = 58, x₃ = 58, x₄ = 51 x₅ = 43, x₆ = 55, x₇ = 50, x₈ = 54, x₉ = 44, x₁₀= 42 x₁₁= 41, x₁₂= 49.

Bestimmen Sie die Sch¨atzung f¨ur die erwartete Absatzsteigerung.

b) Uber die Abnehmer sind folgende Informationen bekannt:¨

Gr¨oße des Abnehmers: Großabnehmer (G), mittlerer Abnehmer (M), Kleinab- nehmer (K).

Wie soll die Stichprobennahme durchgef¨uhrt werden, wenn als zus¨atzliche In- formation ¨uber die Abnehmer die Gr¨oße verwendet wird und folgende Daten der Abnehmer bekannt sind:

Gr¨oße Anzahl Standardabweichung

G 70 3

M 40 1

K 90 4

i. Bestimmen Sie eine proportionale Schichtung (Stichprobenumfang n dis- kutieren)!

ii. Berechnen Sie f¨ur den Stichprobenumfang n = 12 eine varianzoptimale Schichtung!

iii. Die Kosten f¨ur die Ermittlung der erwarteten Absatzsteigerung betragen bei den Großabnehmern 7 Geldeinheiten, bei den mittleren Abnehmern 4 und bei den Kleinabnehmern 3 Einheiten. Insgesamt stehen aber nur 50 Einheiten zur Verf¨ugung. Berechnen Sie einen kostenoptimalen Plan f¨ur die Datenerhebung! Welchen Umfang hat die Stichprobe?

c) Bei einer proportionalen Schichtung erhielt man folgende Befragungsergebnisse:

1. Schicht (Großabnehmer) 42 59 43 42 2. Schicht (mittlerer Abnehmer) 52 55 51

3. Schicht (Kleinabnehmer) 59 56 56 44 52

Bestimmen Sie die Sch¨atzung f¨ur die erwartete Absatzsteigerung aus dieser Schichtenstichprobe unter Verwendung der Strukturinformation der Schicht- gr¨oßen!

d) Bestimmen Sie die (theoretische) Varianz des Sch¨atzers bei der reinen Zufalls- stichprobe und bei der Schichtenstichprobe (proportionale Schichtung) unter Verwendung der folgenden angenommenen Erwartungswerte in den Schichten sowie dem Stichprobenumfangn = 12:

Schicht Großabnehmer mittlere Abnehmer Kleinabnehmer

Erwartungswert 43 51 55

Wie groß ist der absolute und der relative Schichtungseffekt

i. theoretisch, d.h. f¨ur die exakt proportionale Schichtung, ii. f¨ur die fast proportionale Stichprobe vom Umfang n = 12, iii. f¨ur die oben bestimmte varianzoptimale Stichprobe,

iv. f¨ur die kostenoptimale Stichprobe? (Stichprobenumfang beachten!)