2. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I-A 21. Februar 2006

Musterloesung

21. Februar 2006

Name: . . . . Vorname: . . . . Matr.-Nr.: . . . .

Bearbeitungszeit: 135 Minuten

• Trennen Sie den Aufgabensatz nicht auf.

• Benutzen Sie f¨ur die L ¨osung der Aufgaben nur das mit diesem Deckblatt ausgeteilte Papier.

L ¨osungen, die auf anderem Papier geschrieben werden, k ¨onnen nicht gewertet werden. Wei- teres Papier kann bei den Tutoren angefordert werden.

• Notieren Sie bei der Aufgabe einen Hinweis, wenn die L ¨osung auf einem Extrablatt fortge- setzt wird

• Schreiben Sie deutlich! Doppelte, unleserliche oder mehrdeutige L ¨osungen k¨onnen nicht gewer- tet werden.

• Schreiben Sie nicht mit Bleistift!

• Schreiben Sie nur in blau oder schwarz!

Musterloesung

1. Aufgabe (5 Punkte): Allgemeine Fragen

Bitte beantworten Sie die folgenden Fragen:

1.1. Einweggleichrichter (0.5 Punkte)

Geben Sie die Schaltung einer Einweg-Gleichrichterschaltung (auch Einpuls-Mittelpunktschaltung M1) mit kapazitiver Gl¨attung an.

L¨ osung:

C D

∼ ^u

^u

1.2. Strom und Spannung am Kondensator (0.5 Punkte)

Geben Sie Formel f¨ur die Beziehung von Strom und Spannung am Kondensator an.

L¨ osung:

i C = C · d

dt u C

I _C = C · ω · U _C

1.3. ¨ Ubertragungsfunktion (0,5 Punkte)

Geben Sie die Formel f¨ur die ¨ Ubertragungsfunktion v = ^U _U

E

folgender Schaltung an.

L¨ osung:

R

U C

E U

A

v = 1 1 + jωRC

oder mit

τ = R · C v = 1

1 + jωτ 1.4. Z-Diode (0,5 Punkte)

Zeichnen Sie eine Stabilisierungsschaltung mit einer Z-Diode. Kennzeichnen Sie die Eingangsspan- nung U _E und die Ausgangsspannung U _A .

L¨ osung:

Musterloesung

R

Z-Diode

U

U

1.5. Wirkleistung (0,5 Punkte)

Geben Sie die an einem Widerstand R umgesetzte Wirkleistung P an, wenn an ihm die Spannung U _{ef f} abf¨allt.

L¨ osung:

P = U _{ef f}

R

1.6. Wechselstromersatzwiderstand (0,5 Punkte)

Geben Sie die Formel f¨ur den Wechselstromersatzwiderstand Z _ges f¨ur die gezeigte Anordnung an.

L¨ osung:

C₁ C₂

Z _ges = 1 jω(C

+ C

) 1.7. Ortskurve (0,5 Punkte)

Zeichnen Sie die Ortskurve des gezeigten komplexen Widerstandes bei fester Frequenz ω = const.

und ver¨anderlichem Widerstand R. Kennzeichnen Sie dabei R = 0 und R → ∞ .

R L

Im

Re

R=0 R → ∞

1.8. Zeiger und Zeitverl¨aufe an der Spule (1 Punkt)

• Zeichnen Sie die Zeiger f¨ur Strom und Spannung an einer Induktivit¨at f¨ur U _L = U · e ^

in die

komplexe Ebene (links) ein.

Musterloesung

• Zeichnen Sie in das Diagramm (rechts) den Zeitverlauf f¨ur den Spulenstrom i _L (t) f¨ur den ge- gebenen Zeitverlauf der Spannung u _L (t) ein.

L

Im

Re U_L

I_L

U

I

0 0.25 0.5 0.75 1

−1

−0.5 0 0.5 1

uL(t) i

L(t)

t / T uL / V & iL / A

1.9. Diodenkennlinie (0.5 Punkte)

Zeichnen Sie in das Diagramm die linearisierte Diodenkennlinien im Durchlassbereich ein. Machen Sie dabei die charakteristischen Kenngr¨oßen kenntlich.

1 r_D

I

U

u

Musterloesung

2. Aufgabe (5 Punkte): Zeigerdiagramm

Gegeben ist folgende Schaltung:

∼ C U E = U · e  0

U A

R ₂

R ₁ L

U ₁ U _L

I C I ₂ I ₁

2.1. Qualitatives Zeigerdiagramm (2 Punkte)

Zeichnen Sie (auf der n¨achsten Seite) das qualitative Zeigerdiagramm aller Str¨ome und Spannungen f¨ur U _E = U · e ^

.

Beachten Sie:

• Rechte Winkel und Zeigeradditionen sind klar zu kennzeichnen!

• W¨ahlen Sie die Spannungen betragsm¨aßig gr¨oßer als die Str¨ome!

• Zeichnen Sie nicht zu klein!

• Zeichnen Sie das karthesische Koordinatensystem ein!

L¨ osung:

Musterloesung

U

I

I

I

U

U

U

+U

U

Re

Im

1.

I

k U

2.

I _C

U

3.

I

= I

+ I _C

4.

U _L

I

5.

U

k I

6.

U _E = U

+ U _L + U

7. Re-Ahse

k U _E

8. Im-Ahse 90

◦

vor Re-

Ahse

2.2. Gesamtimpedanz (1 Punkt)

Berechnen Sie symbolisch die Gesamtimpedanz Z _ges , die die Spannungsquelle im Leerlauffall (R

→

∞ ) speisen muss, und stellen Sie diese in der Form Z = X + Y dar.

L¨ osung:

Z _ges = R

+ X _L + X _C (1)

= R

+ ωL + 1

ωC

= R

+ ωL −  1 ωC Z _ges = R

+ 

ωL − 1 ωC

oder

Z _ges = R

+ ω

L − 1 ω

C

(2)

2.3. Ohmsche Gesamtimpedanz (1 Punkt)

Berechnen Sie, wie groß die Kapazit¨at C sein muss, wenn die Gesamtimpedanz Z _ges im Leerlauffall (R

→ ∞ ) rein ohmisch sein soll.

L¨ osung:

Musterloesung ^{L −} _L ^{ω 1}

₌ ^{C = 0 1 (3)}

ω

C C = 1

ω

L (4)

2.4. ¨ Ubertragungsfunktion (1 Punkt)

Ersetzen Sie die Spule L durch einen Kurzschluss. Wie lautet jetzt die ¨ Ubertragungsfunktion V = ^U _U

E

im Leerlauffall (R

→ ∞ ).

L¨ osung:

V = U _A U _E

= 1

1 + ωCR = 1

1 + ωτ (5)

Musterloesung

3. Aufgabe (5 Punkte): Komplexe Superposition

Die nachfolgende Schaltung ist gegeben.

R ₁

R 2

L

u _B ( t ) = ˆ b · sin( ω t ) i _A ( t ) = a ( const. )

i _Z ( t )

C

u _{R 1} ( t )

i _C ( t )

3.1. Ersatzschaltbilder (1 Punkt)

Zeichnen Sie die beiden Ersatzschaltbilder zur Berechnung des Netzwerkes nach dem Superpositions- prinzip. Tragen Sie alle Teilstr¨ome und -spannungen ein, die Sie in Ihren Berechnungen verwenden.

L¨ osung:

Musterloesung

R 1

i _A ( t ) = a ( const. )

i _ZA ( t ) u _{R 1} ( t )

R ₂ L

u _B ( t ) = ˆ b · sin( ω t ) i _ZB ( t )

C i _C ( t )

3.2. Symbolische Stromberechnung (2,5 Punkte)

Stellen Sie eine Formel (symbolisch!) f¨ur den Strom i _Z (t) auf. Verwenden Sie dazu das Superposi- tionsprinzip. Anmerkung: Geben Sie die Ergebnisse in zeitabh¨angiger Form an. Keine Zwischener- gebnisse ¨uberspringen!

L¨ osung:

1. L¨ osungsm¨ oglichkeit:

F¨ ur Teilschaltung A):

i ZA (t) = a

F¨ ur Teilschaltung B):

Inkomplexe Darstellung umformen(entweder mitEektivwerten oderSheitelwer-

tenrehnen; ubliherweise werdenEektivwerte verwendet)

u B (t) → U _B = 1

√ 2

ˆ b e ^j

= 1

√ 2

ˆ b (0.5 Punkte)

Berehnung derGesamtimpedanz

Z (0.5 Punkte)

Musterloesung ^{Z = j ω C 1 || j ω L || R}

^{= j ω C 1 + j ω L}

^{|| R}

^{= j ω C + j ω L 1}

^{+ R}

Berehnung deskomplexen Stroms

I _ZB I _ZB = U _B

Z =

j ω C + 1

j ω L + 1 R

U _B =

1 R

+ j

ω C − 1 ω L

ˆ b

√ 2

Umrehnung indie vollstandige reelle Darstellung

(jeweils 0.5 Punkte)

| I _ZB | = | ˆ b |

√ 2 s

1 R

+

ω C − 1 ω L

phase

(I _ZB ) = arctan

Im

(I _ZB )

Re

(I _ZB )

= arctan

ω R

C − R

ω L

Ergebnis zusammenfassen(Eektivwert inSheitelwert umrehnen):

i _Z (t) = i _ZA (t)+i _ZB (t)

Daraus folgt

(0.5 Punkte)

i _Z (t) = a + | ˆ b | s

1 R

+

ω C − 1 ω L

sin

ω t + arctan

ω R

C − R

ω L

2. L¨ osungsm¨ oglichkeit:

F¨ ur Teilschaltung A):

i _ZA (t) = a

F¨ ur Teilschaltung B):

i c (t) = C d u B (t)

dt = ω ˆ b C cos(ωt), i L (t) = 1 L

Z

u B (t) dt = − ˆ b

ωL cos(ωt)

i R (t) = ˆ b R

sin(ωt) (jeweils 0.5 Punkte)

⇒ i ZB (t) = i c (t)+i L (t)+i R (t) = ˆ b

(ωC − 1

ωL ) cos(ωt) + 1 R

sin(ωt)

(0.5 Punkte)

Musterloesung ^{⇒ i Z (t) = a + ˆ b}

(ωC − 1

ωL ) cos(ωt) + 1 R

sin(ωt)

(0.5 Punkte)

3.3. Stromberechnung (0.5 Punkte)

Wie groß ist der Strom i _Z ( t ) f¨ur ˆ b = 220V , a = 1A , R

= 100Ω , R

= 105Ω , L = 200mH und C = 100 µ F ? Die Frequenz f sei 50Hz . Diese Angaben gelten auch f¨ur die nachfolgenden Aufga- ben.

L¨ osung:

Einsetzen undausrehnen. Es folgt

i _Z (t) = 1A + 4 sin(ωt + 1, 012) A

3.4. Spannungsberechnung (0.5 Punkte) Wie groß ist die Spannung u _R

(t) ¨uber R

?

L¨ osung:

Die Spannungsquelle liefert keinen Anteil. Daher gilt

u R

(t) = i A (t) · R

= a · R

= 1A · 100Ω = 100V

3.5. Strom durch Kondensator (0.5 Punkte)

Wie groß ist der Strom i _c (t) durch den Kondensator C?

L¨ osung:

Hier hat die Stromquelle keinen Einu. Daher ist die Spannung



uber denKondensator

gleih der Spannung derSpannungsquelle, d.h.

u B (t) → U _B = 1

√ 2

ˆ b, I _C = U _B

1/(jωC ) = j 1

√ 2 ˆ b ω C

Es folgt nah



Ubergang von

I _C → i c (t) i c (t) = ˆ b ω C sin(ω t+ π

2 ) = 220V 2 π 50Hz 100 · 10

F sin(ω t+ π

2 ) = 2 π sin(ω t + π

2 ) A

Musterloesung

4. Aufgabe (5 Punkte): Ortskurve

Gegeben ist die folgende Schaltung:

2 1

C R

R ^Gegeben: _R

_{= 470Ω}

R

= 1.2kΩ f = 1.5kHz

C = [50 , 100 , 300] nF

4.1. Impedanz angeben (2 Punkte)

Geben Sie den Real- und den Immagin¨aranteil der Gesamtimpedanz Z (Formel) an.

L¨ osung:

Z = R

+ R

|| 1

jwC = R

+ R

jwC [R

+ 1/(jwC)] = (6) R

+ R

jwCR

+ 1 = R

+ R

(1 − jwCR

)

(wCR

)

+ 1 = R

+ R

− jwCR

(wCR

)

+ 1 (7) Z = R

+ R

(wCR

)

+ 1 − j wcR

(wCR

)

+ 1 (8) Re { Z } = R

+ R

(wCR

)

+ 1 (9) Im { Z } = − wCR

(wCR

)

+ 1 (10)

4.2. ´Impedanz berechnen (1.5 Punkte)

Berechnen Sie die Impedanz in Polarkoordinaten f¨ur C=50, 100, 300 nF (Ihr Rechenweg muss nach- vollziehbar sein!).

L¨ osung:

Der Rehenweg mussnahvollziehbar sein!Hier stehennurdieErgebnisse.

Z(C = 50nF ) = 1472Ω · e

^j

(11) Z (C = 100nF ) = 1160.9Ω · e

^j

(12) Z (C = 300nF ) = 653Ω · e

^j

^.

(13)

4.3. Ortskurve (1 Punkt)

Zeichnen Sie die Ortskurve der Gesamtimpedanz Z der Schaltung (1cm=100 Ω). Kennzeichnen Sie

mindestens 4 Punkte der Ortskurve.

Musterloesung

L¨ osung:

300 nF Im

R + R

50 nF 100 nF

C R

C=0 Re

1 2

1

4.4. Variable Frequenz (0.5 Punkte)

Anstatt der Kapazit¨at wird nun die Frequenz variiert. Skizzieren Sie qualitativ die Ortskurve und kennzeichnen Sie die Punkte f = 0 und f → ∞ .

L¨ osung:

Die Kurvesieht auswiedieKurve inAufgabe1.3. DerPunkt fur

C = 0

w = 0

C → ∞

w → ∞

Musterloesung

5. Aufgabe (5 Punkte): ¨ Ubertragungsfunktionen

Gegeben ist die folgende Schaltung (Anmerkung: Der Impedanzwandler entkoppelt beide Schaltun- gen vollst¨andig, d.h. die Ausgangsspannung U _H des Impedanzwandlers ist immer gleich seiner Ein- gangsspannung.)

R

C

C

R U

U

Impedanzwandler

V 1 V 2 = 1 V 3

V 1 V 2 = 1 V 3

U

U

5.1. ¨ Ubertragungsverhalten (0,5 Punkte)

Welches prinzipielle ¨ Ubertragungsverhalten hat diese Schaltung?

L¨ osung:

Das erste RC-Glied ist ein Tiefpass, das zweite ein Hohpass. Hintereinander geshaltet

ergibt sih ein

Bandpass

5.2. ¨ Ubertragungsverh¨altnis berechnen (2,5 Punkte)

Berechnen Sie das komplexe ¨ Ubertragungsverh¨altnis V und den Amplitudengang der Schaltung.

L¨ osung:

Der Frequenzgang ist das in der Regel komplexe Verhaltnis

V

spannung

U

U

Es wirddie Spannung

U _H

U _H U

= 1/(j ω C)

R + 1/(j ω C ) = 1

1 + j ω RC ⇒ U _H = 1

1 + j ω RC U

Musterloesung

^{U U H}

^{= R + 1/(j ω C}

^R

^{) = 1 + j ω RC j ω RC ⇒ U}

^{= 1 + j ω RC j ω RC U H}

U

= j ω RC 1 + j ω RC

1

1 + j ω RC U

⇒ V = U

U

= j ω RC (1 + j ω RC )

In Real- und Imaginarteil aufspalten. Dazu uber und unter dem Bruhstrih mit

(1 − j ω RC )

V = (1 − j ω RC)

j ω RC

((1 + j ω RC)(1 − j ω RC))

= 2(ω RC)

+ j (ω RC − (ω RC)

) (1 + (ω RC)

)

Es folgt

Re

(V ) = 2(ω RC)

(1 + (ω RC)

)

Im

(V ) = ω RC − (ω RC)

(1 + (ω RC)

)

undderAmplitudengang ist

| V | = p

Re

(V )

+

(V )

= q

4(ω RC )

+ (ω RC − (ω RC )

)

(1 + (ω RC)

)

5.3. Amplitudengang skizzieren (1,5 Punkte)

Skizzieren Sie den Amplitudengang f¨ur R = 100Ω und C = 1 µF . Verwenden Sie dazu das vorgefer- tigte Diagramm. (Anmerkung: Amplitudengang nicht in dB).

1000 2000 3000 4000 5000

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

|V |

f in Hz

5.4. Verst¨andnisfrage (0,5 Punkte)

Musterloesung

Stellen Sie sich vor, dass Sie die Schaltung so aufbauen wollen. Sie haben aber nur 130, 200 und 500Ω Widerst¨ande und Kondensatoren mit 33 und 500nF . Was machen Sie? Bitte Begr ¨unden!

L¨ osung:

Ihnehme die

200Ω

500nF

R · C

Musterloesung

6. Aufgabe (5 Punkte): Dioden und Z-Dioden

6.1. Spannung an Diodenschaltungen (2 Punkte)

Bestimmen Sie die Ausgangsspannungen U _A

. . . U _A

an den 4 Diodenschaltungen. F¨ur alle Schal- tungen gilt:

• Die Eingangsspannung ist U _DC = 10 V

• F¨ur jede in Durchlaßrichtung betriebene Diode (auch die Z-Diode) gilt U _F = 0, 7 V

• Bei einer Z-Diode fließt auch in Sperrpolung Strom, wenn die Durchbruchspannung ¨uberschritten wird. Es soll gelten: U Z = 6, 2 V

L¨ osung:

1. Die Diode wird inDurhlarihtung betrieben, anihr fallt die Spannung

U F

U A

= U F = 0, 7 V

2. Die Diode wird inSperrihtung betrieben, an ihr fallt die gesamte Spannung

U DC

ab:

U A

= U DC = 10 V

3. Die beiden Dioden werden in Durhlarihtung betrieben, der Spannungsabfall an

beidenDiodenist

2 · U F

U A

= U DC − (2 · U F ) = 10 V − 2 · 0, 7 V = 8, 6 V

4. DieZ-Diode arbeitetalsnormaleDioden,dasieinDurhlarihtungbetriebenwird,

anihrfallt

U F

U A

= U DC − U F = 10 V − 0, 7 V = 9, 3 V

Musterloesung

6.2. Spannungbegrenzerschaltung - Ersatzschaltbild (2 Punkte) Gegeben ist die nebenstehende Spannungs-

begrenzerschaltung. Zeichnen Sie je ein Ersatzschaltbild f¨ur die positive und die negative Halbwelle der Eingangsspannung.

Ber¨ucksichtigen Sie hierbei:

• U ˆ = 20 V , f = 50 Hz, R = 2 k Ω

• f¨ur alle Dioden ist r _F = 0

• f¨ur die Dioden D1 und D3 ist r R = ∞ und U _F = 0, 7 V

• f¨ur die Z-Diode D2 gilt r _Z = 0, r _F = 0 und U F = 0.7 V , U Z = 9, 3 V

L¨ osung:

Wahrend der positiven Halbwelle leitet

D1

D2

ImErsatzshaltbild entfallen nah Vorga-

be

r _F , r _Z

r _R

D3

undkannvernahlassigtwerden

r R = ∞

Wahrend der negativen Halbwelle leitet

D2

D1

zeZweig vernahlassigt werden

r _R = ∞

Die Diode

D3

Musterloesung

Skizzieren Sie den Verlauf der Ausgangsspannung U _A ( t ) in das gegebene Diagramm.

Ber ¨ucksichtigen Sie hierbei die vereinfachenden Angaben aus Unteraufgabe 6.2

L¨ osung:

Wahrend der positiven Halbwelle leitet die Diode D1, die Z-Diode wird in Sprerrih-

tung, also in ihrem Zener-Arbeitsbereih betrieben. Damit wird die Ausgangsspannung

aufdie Zenerspannung

U _Z = 10 V

U (t) = U _Z

Ausgangsspannung der Eingangsspannung

WahrenddernegativenHalbwelle sperrtdieDiode

D1

D3

AusgangdieSpannungauf

U A,min = − U F

U (t) = − U F

folgt die Ausgangsspannung derEingangsspannung