1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix
0 0 4 1
2 5 1 7
−1 2 0 −3
1 3 0 α
.
2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar:
1 3 −1 4
2 5 −1 3
0 4 −3 1
−3 1 −5 −2
.
3. Seienn≥2 undx1,. . . ,xn∈R. Zeigen Sie
det
1 x1 x21 . . . xn−11 1 x2 x22 . . . xn−12
... ... ... ...
1 xn x2n . . . xn−1n
= Y
1≤i<j≤n
(xj−xi) .
4. Seienn≥2,En dien×nEinheitsmatrix und
En0 =
0 . . . 0 1 0 . . . 1 0 ... ... ... ... 1 . . . 0 0
.
Berechnen Sie det(aEn+bEn0) f¨ura,b∈R.
5. Seienn∈NundA,B,C, D n×nMatrizen.Asei invertierbar und es gelteAC=CA. Zeigen Sie det
A B
C D
= det(AD−CB) .
1. Berechnen Sie f¨urn≥2 die Determinante der folgendenn×nMatrix:
−2 1 0 0 0 . . . 0
1 −2 1 0 0 . . . 0
0 1 −2 1 0 . . . 0
...
0 . . . 0 1 −2 1 0 . . . 0 1 −2
.
2. SeiA∈M(n×n;R) eine schiefsymmetrische Matrix, dh.AT =−A. Zeigen Sie det(A) = 0, fallsn ungerade ist.
3. Es seienσ, τ ∈ S6,
σ=
1 2 3 4 5 6
5 4 1 6 3 2
, τ =
1 2 3 4 5 6
4 6 5 3 1 2
.
(a) Berechnen Sie:σ−1, τ−1, σ·τ, σ−1·τ, τ·σ, τ−1·σ.
(b) Schreiben Sieσ, τ als Produkt von Transpositionen.
(c) Berechnen Sie sgn(σ),sgn(τ) sowie die Vorzeichen aller unter a) angef¨uhrten Permutationen.
(d) Bestimmen Sie die kleinstens, t∈Nso, dassσs=τt= id.
4. Eine MatrixP ∈M(n×n;R) heisstPermutationsmatrix, wenn jede Zeile und jede Spalte von P genau eine Eins und sonst Nullen enth¨alt.
F¨urπ∈ Sn seiPπ:= (δi,π(j))i,j=1,...,n∈M(n×n;R).
Beweisen Sie:
(a) Die Abbildungπ7→Pπ ist eine Bijektion vonSn auf die Menge der Permutationsmatrizen in M(n×n;R).
(b) F¨ur alleσ, τ ∈ Sn gilt:Pσ·Pτ =Pσ·τ.
(c) F¨ur alleπ∈ Sn gilt:Pπ∈GL(n;R),Pπ−1=Pπ−1, detPπ = sgn(π) .
(d) Jede Permutationsmatrix l¨asst sich als Produkt von Vertauschungsmatrizen Ttausch(i, j) dar- stellen. Welche Wirkung hat die Multiplikation einer Permutationsmatrix von rechts an eine MatrixA ?
5. Sei n ∈ N. Zeigen Sie, dass die Anzahl der Permutationen σ ∈ Sn mit sgn(σ) = 1 gleich ist der Anzahl der Permutationenσ∈ Sn mit sgn(σ) =−1.
1. Lsen Sie mit Hilfe der Cramerschen Regel folgendes Gleichungssystem ¨uberC: 2x1+ix2+ (1 +i)x3= 1
x1−2x2+ix3= 0
−ix1+x2−(2−i)x3= 1 .
2. Gegeben sind die Ebenen
E1={(x, y, z)∈R3 | x−2y+z= 1}, E2={(x, y, z)∈R3 | 2x+y= 2} . Bestimmen Sie das orthogonale Komplement des Richtungsvektors ihrer Schnittgeraden.
3. Bestimmen Sie das orthogonale Komplement das Richtungsvektors der Schnittgeraden zweier Ebe- nen dasR3 (sofern eine solche existiert).
4. SeiM ⊂Rn. Zeigen Sie, dassM⊥ ein Unterraum desRn ist.
5. SeiAeine reellen×nMatrix mit Rang 1. Zeigen Sie:
(a) Es gibt a, b ∈ Rn mit A = abT (dabei seien a, b Spaltenvektoren und das Produkt das Matrixprodukt).
(b) Sind a, bwie in (a), so giltA2=hb, aiA.
6. Seih·,·idas Standardskalarprodukt aufR3 unda, b,c,d∈R3. Zeigen Sie ha×b, c×di=ha, cihb, di − ha, dihb, ci . Folgern Sie daraus:
(a) ka×bk2=kak2· kbk2− ha, bi2.
(b) ka×bk=kak · kbksin(θ), wobeiθ der vonaundb eingeschlossene Winkel ist.
1. Zeigen Sie, dass die 1-Norm und die∞-Norm aufRn Normen sind und dass sie ¨aquivalent sind.
2. Sei
A= a c
c b
eine reelle, symmetrische 2×2 Matrix. F¨urx,y∈R2 setze hx, yi=xTAy . Wann isth·,·iein Skalarprodukt aufR2?
3. F¨ur eine quadratische MatrixA, sei tr(A) (die Spur (engl. trace) vonA) die Summe aller Diagonal- elemente vonA. Zeigen Sie, dass durchhA, Bi= tr(ATB) ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum aller reellern×n-Matrizen definiert wird.
4. Es sei P2(R) der Vektorraum aller Polynomfunktionen R → R vom Grad ≤ 2. Zeigen Sie, dass durch
hf, gi= Z 1
0
f(x)g(x)dx
ein Skalarprodukt aufP2(R) definiert wird.p∈P2(R) sei definiert durchp(x) =x+ 2 f¨ur allex∈R. Bestimmen Sie{p}⊥.
5. Es sei (V,k · k) ein reeller normierter Raum, in dem die Vierecksgleichung gilt:
kx+yk2+kx−yk2= 2kxk2+ 2kyk2 f¨ur allex,y∈V.
F¨urx,y∈V setze
hx, yi= 1
2(kx+yk2− kxk2− kyk2) . Zeigen Sie:
(a) F¨ur allex,y,z∈V gilthx, y+zi=hx, yi+hx, zi.
(b) F¨ur allex,y∈V und aller∈Qgilthx, ryi=rhx, yi.
(c) F¨ur allex,y∈V und aller∈Qgilthx, ryi=rhx, yi.
(d) h·,·iist ein Skalarprodukt aufV und die dadurch definierte Norm ist geradek · k.
1. Zeigen Sie, dass die 1-Norm und die∞-Norm aufRn Normen sind und dass sie ¨aquivalent sind.
2. Sei
A= a c
c b
eine reelle, symmetrische 2×2 Matrix. F¨urx,y∈R2 setze hx, yi=xTAy . Wann isth·,·iein Skalarprodukt aufR2?
3. F¨ur eine quadratische MatrixA, sei tr(A) (die Spur (engl. trace) vonA) die Summe aller Diagonal- elemente vonA. Zeigen Sie, dass durchhA, Bi= tr(ATB) ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum aller reellern×n-Matrizen definiert wird.
4. Es sei P2(R) der Vektorraum aller Polynomfunktionen R → R vom Grad ≤ 2. Zeigen Sie, dass durch
hf, gi= Z 1
0
f(x)g(x)dx
ein Skalarprodukt aufP2(R) definiert wird.p∈P2(R) sei definiert durchp(x) =x+ 2 f¨ur allex∈R. Bestimmen Sie{p}⊥.
5. Es sei (V,k · k) ein reeller normierter Raum, in dem die Vierecksgleichung gilt:
kx+yk2+kx−yk2= 2kxk2+ 2kyk2 f¨ur allex,y∈V.
F¨urx,y∈V setze
hx, yi= 1
2(kx+yk2− kxk2− kyk2) . Zeigen Sie:
(a) F¨ur allex,y,z∈V gilthx, y+zi=hx, yi+hx, zi.
(b) F¨ur allex,y∈V und aller∈Qgilthx, ryi=rhx, yi.
(c) F¨ur allex,y∈V und aller∈Rgilthx, ryi=rhx, yi.
(d) h·,·iist ein Skalarprodukt aufV und die dadurch definierte Norm ist geradek · k.
1. Es seienV ein Vektorraum (¨uberRoder C), h·,·i ein Skalarprodukt aufV undU ein Unterraum von V mit U +U⊥ = V. Zeigen Sie: Ist πU: V → V die orthogonale Projektion auf U, so gilt kπU(x)−πU(y)k ≤ kx−ykf¨ur allex,y∈V.
2. Es seienV ein Vektorraum (¨uberRoderC), h·,·i ein Skalarprodukt aufV undU, W Unter¨aume vonV mitU +U⊥ =V =W+W⊥. SindπU, πW:V →V die orthogonalen Projektionen auf U (bzw.W), so gilt
U ⊂W ⇐⇒ πU ◦πW =πU .
3. Es seiV ein Vektorraum (¨uberRoderC),h·,·i ein Skalarprodukt aufV. Zeigen Sie: SindU1,U2, U3Unterr¨aume vonV mitUi ⊥Uj f¨ur alle 1≤i < j ≤3, so ist die SummeU1+U2+U3 direkt.
4. Wir betrachtenR4 mit dem Standardskalarprodukt, den affinen Unterraum U ={(x, y, z, w)∈R4 | 4x−2y+ 2z−w= 3}
und den Punktp= (1,2,−3,4). Bestimmen Sie den Abstand von pzuU.
5. Wir betrachtenR2mit der∞-Normk · k∞undg⊂R2 sei diex-Achse. Zeigen Sie, dass es Punkte p∈g gibt, sodasskp−(1,1)k∞ minimal wird. Wieviele solche Punkte gibt es?
6. Gegeben sind die Punkte
(x1, y1) = (0,10),(x2, y2) = (1,4),(x3, x4) = (2,4),(x4, y4) = (3,−10) imR2. Bestimmen Sie eine quadratische Polynomfunktionf:R→R, sodass
4
X
i=1
(f(xi)−yi)2
minimal wird.
1. Seien
v1=
1
−α
−1 2
, v2=
0 1
−1 2
, v3=
−3 6 3
−3α
∈R4
mitα∈R. Bestimmen Sie eine Basis des orthogonalen Komplements vonL({v1, v2, v3}).
2. Sei E eine Ebene im R3, n∈ R3 orthogonal auf alle Richtungsvektoren von E mit knk = 1 und p∈R3. Zeigen Sie: der Normalabstand vonpzuE ist|hp−x, ni|f¨ur beliebigesx∈E.
3. SeiK∈ {R,C}. AufKn betrachten wir das Standard innere Produkt. Seienb1,. . . ,bm∈Kn. Zeigen Sie:
ρ
Gram(b1, . . . , bm)
= dimL({b1, . . . , bm}) .
4. Bestimmen Sie mit dem Schmidtschen Verfahren eine Orthonormalbasis von
L({
1 0 0 0 0
,
1 0 1 0 0
,
1 1 1 0 2
,
2 1 0 2 3
}) .
5. EsV der Vektorraum der polynomialen FunktionenR→Rvom Grad≤3 mit dem Skalarprodukt hf, gi=
Z 1
−1
f(x)g(x)dx . Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis vonV.
1. Gegeben sind die beiden Geraden
g={
1 2 3
+t
1 5
−4
| t∈R}, h={
−1 2 3
+t
1 7
−2
| t∈R} .
Bestimmen Sie den Abstand vong undh, d.h.
inf{kx−yk | x∈g, y∈h} .
2. Gegeben sind die vier Punkte x1
y1
= 1
1
, x2
y2
= −1
−5
, x3
y3
= −2
3
, x4
y4
= 2
4
.
Bestimmen Sie eine Funktionf:R\ {0} →R, der Formf(x) =αx+βx, sodass
4
X
i=1
(f(xi)−yi)2
minimal wird.
3. Es seien V ein Vektorraum (¨uber Roder C), h·,·iein Skalarprodukt auf V, und (v1, . . . , vn) eine Orthonormalbasis vonV. Zeigen Sie f¨ur x,y∈V:
hx, yi=
n
X
i=1
hx, viihvi, yi .
4. SeienK∈ {R,C}, V ein endlich–dimensionalerK-Vektorraum undh·,·i ein Skalarprodukt aufV. Zeigen Sie, dass es zu jeder linearen Abbildungf:V →Kgenau einv∈V gibt, sodass
f(w) =hv, wi f¨ur allew∈V gilt.
5. SeiA eine komplexe m×n-Matrix. Eine komplexen×m-MatrixB heißt Pseudo-Inverse vonA, falls gelten
(a) ABA=A.
(b) BAB=B.
(c) (BA)∗=BA.
(d) (AB)∗=AB.
Es seiB Pseudo-Inverse vonA. Zeigen Sie f¨ur allex∈Cn und f¨ur alley∈Cm: kAx−yk ≥ kABy−yk .
1. Es seiV der Vektorraum der polynomialen FunktionenR→Rvom Grad≤3 zusammen mit dem Skalarprodukt
hf, gi= Z 1
−1
f(x)g(x)dx .
Bestimmen Sie die Adjungierte der linearen AbbildungV →V,f 7→f0 (= erste Ableitung vonf).
2. Wir versehenR2 mit dem Skalarprodukt
hx, yi=xT 2 1
1 2
y
(vgl. Blatt 4, Aufgabe 1).
Bestimmen Sie die Adjungierte der linearen Abbildungf:R2→R2,f(x, y) = (3x−5y,7x+y).
3. Es sei V ein K-Vektorraum. F¨ur v∈ V definiere die Abbildungεv: V∗ →K durch εv(f) =f(v) f¨ur allef ∈V∗. Zeigen Sie:
(a) F¨ur allev∈V istεv linear, alsoεv ∈V∗∗.
(b) Die Abbildungε:V →V∗∗,v7→εv ist linear und injektiv.
(c) Ist dim(V)<∞, so istεein Isomorphismus.
4. Zeigen Sie, dass
1 1
−2
,
2 3
−4
,
3 1
−5
eine Basis vonR3 ist und bestimmen Sie die dazu duale Basis.
5. Es sei V ein K-Vektorraum und U ⊂ V ein Unterraum. Wir setzen ˜U ={f ∈ V∗ | f|U = 0}.
Zeigen Sie:
(a) ˜U ist ein Unterraum vonV∗. (b) ˜U ist isomorph zu (V /U)∗.
(c) Ist dim(V)<∞, so gilt dim(U) + dim( ˜U) = dim(V).
1. Es seienV2,V3 die Vektorr¨aume der polynomialen Funktionen R→Rvom Grad≤2 bzw.≤3.V2
undV3 seien jeweils mit dem Skalarprodukt
hf, gi= Z 1
−1
f(x)g(x)dx
versehen. Die lineare AbbildungF:V2 →V3 sei definiert durchF(f)(x) =xf(x) f¨ur alle f ∈V2
und allex∈R. Berechnen Sie die Adjungierte von F.
2.
(a) SeienKein K¨orper,f,g∈K[x] mitg6= 0. Es sei rder Rest bei der Division von f durchg.
Zeigen Sie, dass ein α∈K genau dann eine gemeinsame Nullstelle von f und g ist, wenn α eine gemeinsame Nullstelle von gundrist.
(b) Gegeben sind die Polynome
f =x7+x6−3x5−x4+ 5x3−x2−2x+ 3, g=x6−3x4+ 2x3+ 2x2−3x+ 2∈R[x] . Zeigen Sie, dass f undg keine gemeinsame Nullstelle inCbesitzen.
3. Es seiK ein endlicher K¨orper. Zeigen Sie, dass es einf ∈K[x]\ {0} mit folgenden Eigenschaften gibt:
(a) Jedesα∈K ist eine Nullstelle vonf.
(b) Istg∈K[x] ein Polynom, sodass jedesα∈K eine Nullstelle vongist, so gibt es einh∈K[x]
mit g=f h.
4. Es seiK=QoderK={0,1}der K¨orper aus Beispiel 7.1.3. Gegeben sind f =x6+x5+x4+x2+x+ 1, g=x4−x3+x−1∈K[x] . Dividieren Sief mit Rest durchg.
5. Zeigen Sie, dass das PolynomX2−1 unendlich viele Nullstellen in M2(R) besitzt, d.h., dass es unendlich vieleA∈M2(R) mitA2−E= 0 gibt (E= Einheitsmatrix).
1. Zeigen Sie, dass jedes nicht konstante f ∈ R[X] als Produkt von Polynomen vom Grad ≤ 2 ge- schrieben werden kann.
2. Sei f ∈ R[X] normiert mit Grad(f) = n ≥ 1. Zeigen Sie, dass es eine n×n Matrix A mit charakteristischem Polynomf gibt. Hinweis: Behandeln Sie die F¨allen= 1, 2 direkt und benutzen Sie dann Aufgabe 1.
3. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugeh¨origen Eigenr¨aume der Matrix
2 −1 0
−1 2 −3
0 −1 2
4. Es sei V3 der Vektorraum der Polynomfunktionen R → R vom Grad ≤ 3. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenr¨aume der linearen AbbildungT:V3→V3,f 7→f0+f00.
5. SeiA ∈Mn(R). Zeigen Sie: Ist λ∈Cein Eigenwert von A mit zugeh¨origem Eigenraum E(λ), so ist ¯λein Eigenwert vonA und f¨ur den EigenraumE(¯λ) vonAzu ¯λgilt
E(¯λ) ={¯v | v∈E(λ)} .
6. SeienA,B∈Mn(C). Zeigen Sie, dassABundBAdie gleichen Eigenwerte besitzen.
1. Diagonalisieren Sie folgende Matrizen (falls m¨oglich)
−5 0 7
6 2 −6
−4 0 6
,
−3 0 0 2a b a 10 0 2
2. Es seienV ein endlich dimensionaler Vektorraum undf:V →V linear mit f◦f =f. Zeigen Sie, dass 0 und 1 die einzigen Eigenwerte vonf sind. Was sind die zugeh¨origen Eigenr¨aume?
3. Es seiV ein endlich dimensionaler Vektorraum undf, g: V →V linear mit f◦g =g◦f. Zeigen Sie: Istλein Eigenwert vonf undE der zugeh¨orige Eigenraum, so giltg(E)⊂E.
4. Sei A ∈ Mn(R) eine diagonalisierbare Matrix mit Eigenwerten λ1,. . . , λn. Zeigen Sie, dass es MatrizenM1,. . . , Mn vom Rang 1 gibt, sodass
Ak=λk1M1+. . .+λknMn
f¨ur allek∈Ngilt.
5. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugeh¨origen geometrischen und algebraischen Vielfachheiten der Matrix
1 0 0 0
−4 −3 0 0
−2 −1 0 1
−8 −7 −4 4
.
6. SeiA ∈Mn(R).λ∈ Rheißt Linkseigenwert von A, falls es z ∈Rn\ {0} mit zTA =λzT gibt. z heißt dann ein Linkseigenvektor vonAzum Linkseigenwert λ.
Seien nunλ∈Rein Linkseigenwert vonA,zein zugeh¨origer Linkseigenvektor,µ∈Rein Eigenwert vonAmit zugeh¨origem Eigenvektorw. Zeigen Sie: gilt λ6=µ, so sindz,worthogonal.
1. Sind die gegebenen MatrizenAundB ¨ahnlich?
A=
4 2 −1
0 3 0
−2 2 5
, B=
5 −2 2
−1 4 −1
0 0 3
2. Ist die Matrix
A=
1 1 · · · 1 2 2 · · · 2 ... ... . .. ... n n · · · n
∈Mn(R)
mit den Matrixeintr¨agenaij =i, 1 ≤i, j ≤n diagonalisierbar? Berechnen Sie gegebenenfalls die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix.
3. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
B=
n+ 1 1 · · · 1 1
1 n+ 1 . .. ... ...
1 1 . .. 1 1
... ... . .. n+ 1 1
1 1 · · · 1 n+ 1
∈Mn(R)
mit den Matrixeintr¨agenbij= 1 +nδij, 1≤i, j≤n.
4. Seien A, B ∈ Mn(R) diagonalisierbare Matrizen mit AB = BA. Zeigen Sie, dass A und B die gleichen Eigenr¨aume besitzen, also simultan diagonalisierbar sind.
5. SeienA∈Mn(R) und exp(A) :=P∞
k=0Ak/k! die Matrixexponentialfunktion. Berechnen Sie exp(A) f¨ur die Matrix
A=
1 2 0 0
−1 4 0 0
0 0 −1 0
3 −3 0 −1
.
6. L¨osen Sie die Differentialgleichungdx(t)/dt=Ax(t), x(0) =x0 mit den Daten
A=
−4 6 0
−3 5 0
3 −3 2
, x0=
1
−4
−2
.
1. Sind die gegebenen MatrizenAundB ¨ahnlich?
A=
3 0 0
10 1 1
20 −4 5
, B=
6 1 0
−13 2 1 38 6 1
2. Bestimmen Sie Jordanbl¨ockeJ1,. . . , Jr, sodass die Matrizen
2 0 0 0
2 5 1 0
−5 −10 1 1
12 23 3 0
,
J1
. .. Jr
¨ahnlich sind.
3. Es seiJ ein Jordanblock zum Eigenwertλder L¨anger. Bestimmen Sie Jn f¨ur allen∈N.
4. SeiA∈Mn(R) und seif ∈R[X] das Minimalpolynom vonA. Zeigen Sie: Zu jedemg∈R[X] gibt es genau einh∈R[X] mitg(A) =h(A) undGrad(h)< Grad(f).
5. SeiA∈Mn(R) invertierbar. Zeigen Sie, dass esa0,. . . ,an−1∈Rmit
A−1=
n−1
X
i=0
aiAi
gibt.
6. Zeigen Sie, dassA∈Mn(R) genau dann nilpotent (Ak = 0 f¨ur eink ∈N) ist, wenn 0 der einzige Eigenwert ( inC) vonAist.
1. F¨urA∈M20(R) sei folgendes bekannt:
k 1 2 3 4 5 6 7
dim(ker(A+ 2E)k) 3 6 8 9 10 11 11 dim(ker(A+ 5E)k) 3 5 7 9 9 9 9 Bestimmen Sie die Jordannormalform vonA.
2. SeiA∈Mn(C) mit A∗=−A. Zeigen Sie, dass jeder Eigenwert von Arein imagin¨ar ist.
3. SeiA∈Mn(R) schiefsymmetrisch (AT =−A). Zeigen Sie:
(a) E+Aist invertierbar.
(b) (E+A)−1(E−A) ist orthogonal.
(c) det (E+A)−1(E−A)
= 1.
4. SeiA∈Mn(R) orthogonal. Zeigen Sie:
(a) det(A)∈ {−1,1}.
(b) Sei n= 2 undf:R2→R2 definert durchx7→Ax. Ist det(A) = 1 so ist f eine Drehung (um welchen Winkel?). Ist det(A) =−1 so istf eine Spiegelung an einer Geraden (an welcher?).
5. SeiA∈M3(R) orthogonal. Zeigen Sie f¨ur allex,y∈R3:
A(x×y) = det(A)(Ax)×(Ay) .
6. Entscheiden Sie ob die Menge
{(x, y)∈R2 | −7x2+ 48xy+ 7y2= 1}
leer, eine Hyperbel oder eine Ellipse ist.
