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Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2018/19)

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Vorlesung

Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2018/19)

Kapitel 6: Formulierungen und L¨osungskonzepte

Volker Kaibel

Otto-von-Guericke Universit¨at Magdeburg

(Version vom 17. Januar 2019)

(2)

0/1-Knapsack Problem (Problem 5.1)

Problem (0/1-Knapsack Problem)

Instanz: Gewichte g ∈Qn+, Gewichtsschranke G ∈Q+, Werte w ∈Qn+

Aufgabe: Finde I? ⊆[n]mit g(I?)≤G , so dass

w(I?) = max{w(I)|I ⊆[n],g(I)≤G} ist.

(3)

0/1-Knapsack Problem (Problem 5.1)

Variablen: x ∈ {0,1}n Bedeutung: xi = 1⇐⇒i ∈I

max hw,xi

s.t. hg,xi ≤ G x ∈ {0,1}n

(4)

Bin-Packing Problem (Problem 5.9)

Problem (Bin-Packing Problem) Instanz: Zahlen a1, . . . ,an∈Q+

Aufgabe: Finde f : [n]→[k]mit P

i:f(i)=j

ai ≤1 f¨ur alle j ∈[k], so dass k minimal ist.

(5)

Bin-Packing Problem (Problem 5.9)

Variablen: x ∈ {0,1}n×k Bedeutung: xij = 1⇐⇒f(i) =j Variablen: y ∈ {0,1}n

Bedeutung: yj = 1⇐⇒Es gibt i ∈[n] mit f(i) =j min h1n,yi

s.t. ha,x?,ji ≤ 1 f¨ur alle j ∈[n]

xij ≤ yj f¨ur alle j ∈[n]

x ∈ {0,1}n×k y ∈ {0,1}k

(6)

Maschinen-Scheduling (Problem 5.13)

Problem (Makespan-Minimierung)

Instanz: Dauern p∈Qn+ von n Jobs, Anzahl m∈N gleichartiger Maschinen

Aufgabe: Aufteilung f : [n]→[m]der Jobs auf die Maschinen, so dass

max{ X

i:f(i)=j

pi|j ∈[m]}

m¨oglichst klein ist.

(7)

Maschinen-Scheduling (Problem 5.13)

Variablen: x ∈ {0,1}n×m Bedeutung: xij = 1⇐⇒f(i) =j Variablen: y ∈Q+

Bedeutung: y obere Schranke an P

i:f(i)=j

pi f¨ur jedesj ∈[m]

min y

s.t.

m

P

j=1

xij = 1 f¨ur alle i ∈[n]

n

P

i=1

pixij ≤ y f¨ur alle j ∈[m]

x ∈ {0,1}n×m y ∈ Q+

(8)

Standortplanung (Problem 5.12)

Problem (Facility Location Problem)

Instanz: Endliche Mengen{1, . . . ,K} von Kunden und {1, . . . ,S} von m¨oglichen Standorten mit Fixkosten fi ∈Q+ f¨ur das ¨Offnen von Standort i und

Service-Kosten cij ∈Q+ f¨ur das Bedienen von Kunde j vom er¨offneten Standort i aus.

Aufgabe: Teilmenge X? ⊆[S]von zu ¨offnenden Standorten und Zuordnungσ: [K]→X?, so das

X

i∈X?

fi+ X

j∈[K]

cσ(j)j

minimal ist.

(9)

Standortplanung (Problem 5.12)

Variablen: x ∈ {0,1}K×S Bedeutung: xij = 1⇐⇒σ(i) =j Variablen: y ∈ {0,1}S

Bedeutung: yj = 1⇐⇒Standort j wird er¨offnet min

S

P

j=1

fjyj +

K

P

i=1 S

P

j=1

cijxij

s.t.

S

P

i=1

xij = 1 f¨ur alle i ∈[K] xij ≤ yj f¨ur alle j ∈[S]

x ∈ {0,1}K×S y ∈ {0,1}S

(10)

F¨ arbung von Graphen (Problem 5.10)

Problem (Graphenf¨arbungsproblem) Instanz: Graph G = (V,E)

Aufgabe: Finde eine Abbildung f :V →[k]mit f(v)6=f(w) f¨ur alle {v,w} ∈E, so dass k minimal ist.

(11)

F¨ arbung von Graphen (Problem 5.10)

Variablen: x ∈ {0,1}V×[k] Bedeutung: xvj = 1⇐⇒f(v) =j Variablen: y ∈ {0,1}k

Bedeutung: yj = 1⇐⇒Farbe j wird verwendet min

k

P

j=1

yj

s.t.

Pk

j=1

xvj = 1 f¨ur alle v∈V

xvj +xwj ≤ 1 f¨ur alle j ∈[k],{v,w} ∈E xvj ≤ yj f¨ur alle j ∈[k]

x ∈ {0,1}V×[k]

y ∈ {0,1}k

(12)

Maximale Schnitte (Problem 5.3)

Problem (Maximum Cut Problem)

Instanz: Graph G = (V,E) mit Kantengewichten c ∈QE Aufgabe: Finde S? ⊆V mit

c(δ(S?)) = max{c(δ(S))|S ⊆V}.

(13)

Maximale Schnitte (Problem 5.3)

Vollst¨andiger Graph: Kn= ([n], [n]2 ).

Variablen: xv,w ∈ {0,1} (f¨ur alle 1≤v <w ≤n)

Bedeutung: xv,w = 1⇐⇒Kante {v,w} ist im Schnittδ(S) min

n

P

v=1 n

P

w=v+1

cv,wxv,w

s.t. xv,w+xw,u+xu,v ≤ 2 f¨ur alle {v,w,u} ∈ [n]3 xv,w−xw,u−xu,v ≤ 0 f¨ur alle {v,w,u} ∈ [n]3 xv,w ∈ {0,1} f¨ur alle 1≤v <w ≤n

(14)

Eigenschaften dieser Modelle

I Lineare Zielfunktion

I Lineare Nebenbedingungen

I Ganzzahligkeitsbedingungen an Variablen (sogar:

0/1-Variablen)

I Polynomial viele Variablen und Nebenbedingungen (kompakte Formulierungen)

(15)

Problem des Handlungsreisenden (Problem 5.2)

Problem (Traveling Salesman Problem (TSP))

Instanz: Kantenl¨angen c ∈QEn des vollst¨andigen Graphen Kn= (Vn,En) auf n Knoten

Aufgabe: Finde Hamilton-Kreis H?⊆En mit

c(H?) = min{c(H)|H ⊆En Hamilton-Kreis}.

(16)

Problem des Handlungsreisenden (Problem 5.2)

Variablen: x ∈ {0,1}En Bedeutung: xe = 1⇐⇒e ∈H

min hc,xi s.t. P

e∈δ(v)

xe = 2 f¨ur alle v ∈V P

e∈δ(S)

xe ≥ 2 f¨ur alle ∅6=S (Vn

x ∈ {0,1}En

(17)

Bemerkungen zum TSP-Modell

I Die Gleichungen heißenGrad-Gleichungen.

I Die Ungleichungen in diesem Modell heißen

Subtour-Eliminations Bedingungen; sie garantieren, dassx charakteristischer Vektor einer zusammenh¨angenden Menge von Kanten ist.

I Das Modell hat exponentiell viele Subtour-Eliminations Bedingungen, f¨ur die aber das Separationsproblem effizient gel¨ost werden kann (MinCut Problem mit wegenx≥0 nicht-negativen Gewichten, vgl. Separationsalgorithmus f¨ur Matchingprobleme).

(18)

Ausfallsichere Netzwerke (Problem 5.11)

Problem (Survivable Network Design Problem) Instanz: Graph G = (V,E), Kantenkosten c ∈QE+,

Zusammenhangsforderungen rs,t ∈Nf¨ur alle s,t ∈V Aufgabe: Finde eine Kantenteilmenge F? ⊆E , f¨ur die in G[F]

f¨ur jedes Paar s,t ∈V wenigstens rs,t paarweise kantendisjunkte s-t-Wege existieren, so dass c(F?) minimal ist.

(19)

Ausfallsichere Netzwerke (Problem 5.11)

Variablen: x ∈ {0,1}En Bedeutung: xe = 1⇐⇒e ∈H min hc,xi

s.t. P

e∈δ(S)

xe ≥ rs,t f¨ur alles,t ∈V,S ⊂V,s ∈S,t6∈S x ∈ {0,1}En

Bemerkungen:

I Die Ungleichungen in diesem Modell garantieren wegen Satz 2.21 (ungerichtete Version des Satzes von Menger) die geforderten Ausfallsicherheiten.

I Auch hier kann das Separationsproblem (s-t MinCut Problem) effizient gel¨ost werden.

(20)

Quadratische 0/1-Optimierung (Problem 5.4)

Problem (Quadratische 0/1-Optimierung) Instanz: Kostenmatrix(cij)∈Qn×n

Aufgabe: Finde 0/1-Vektor x? ∈ {0,1}n mit

n

X

i,j=1

cijxi?xj? = min{

n

X

i,j=1

cijxixj|x∈ {0,1}n}.

(21)

Quadratisches Zuordnungsproblem (Problem 5.5)

Problem (Quadratic Assignment Problem (QAP))

Instanz: Zielfunktionskoeffizienten dijkl ∈Q(i,j,k,l ∈[n]) Aufgabe: Finde n×n Permutationsmatrix(xij?)∈ {0,1}n×n mit

n

X

i,j,k,l=1

dijklxij?xkl?

= min

n

X

i,j,k,l=1

dijklxijxkl

(xij)n×n Permut.-Matrix .

(22)

Eigenschaften dieser Modelle

I Nicht-lineare Zielfunktion (i.a. noch nicht einmal konvex)

I Lineare Nebenbedingungen

I 0/1-Variablen

I Ein Ansatz: Linearisierung mittels folgenden Lemmas.

Lemma 6.1

F¨ur a,b,c ∈ {0,1} gilt

c =ab ⇐⇒ (c ≤a und c ≤b und c ≥a+b−1).

(23)

Lineares Modell f¨ ur Quadratische 0/1-Optimierung

Variablen: x ∈ {0,1}n Variablen: y ∈ {0,1}n×n

Bedeutung: yij =xixj (f¨ur x∈ {0,1}n) min

n

P

i,j=1

yij

s.t. yij −xi ≤ 0 f¨ur alle i ∈[n]

xi+xj −yij ≤ 1 f¨ur alle i ∈[n]

x ∈ {0,1}n

(24)

Lineares Modell f¨ ur Quadratisches Zuordnungsproblem

Variablen: xij ∈ {0,1}n×n Variablen: y ∈ {0,1}[n]4

Bedeutung: yijkl =xijxkl (f¨ur x ∈ {0,1}n×n) min

n

P

i,j,k,l=1

yijkl s.t.

n

P

j=1

xij = 1 f¨ur alle i ∈[n]

n

P

i=1

xij = 1 f¨ur alle j ∈[n]

yijkl−xij ≤ 0 f¨ur alle i,j ∈[n]

xij +xkl −yijkl ≤ 1 f¨ur alle i,j,k,l ∈[n]

x ∈ {0,1}n×n y ∈ {0,1}[n]4

(25)

Bemerkungen

I Die obigen ganzzahligen linearen Optimierungsmodelle kann man prinzipiell mit Standardverfahren f¨ur die ganzzahlige lineare Optimierung berechnen (siehe VL im SoSem).

I F¨ur stark strukturierte kombinatorische Optimierungsprobleme wie die obigen gibt es jedoch in der Regel wesentlich bessere spezialisierte Verfahren.

I Die wichtigsten Konzepte sind hier Branch-and-Bound Algorithmen (vor allem unter praktischen Gesichtspunkten) und Approximationsalgorithmen(vor allem unter theoretischen Gesichtspunkten).

I Auch ganzzahlige nicht-lineare (in der Regel konvexe) Modelle spielen in der kombinatorischen Optimierung eine wichtige Rolle; wir werden solche Modelle z.B. f¨ur das Max-Cut Problem untersuchen.

(26)

Ger¨ ust des Branch-and-Bound Verfahrens

Situation:

I Endliche Menge X von zul¨assigen L¨osungen (die in der Regel nicht explizit vorliegen).

I F¨ur jedesX ∈ X sei c(X)∈Qder Zielfunktionswert vonX.

I Ziel: Finde X? ∈ X mitc(X?) = min{c(X)|X ∈ X }. Algorithmus:

1: Bestimme eine primale SchrankeU ∈Q∪ {∞} mit min{c(X)|X ∈ X } ≤U

und, falls U 6=∞, einXbest∈ X mit c(Xbest) =U.

2: Initialisiere den Branch-and-Bound Baum mit seinem Wurzelknoten X.

3: Initialisiere die Menge A={X } der aktiven Branch-and-Bound Knoten.

(27)

4: while A6=∅do

5: W¨ahle einen aktiven KnotenS ∈A.

6: A←A\ {S}

7: if |S|= 1 then

8: Sei S={X}

9: if c(X)<U then

10: Xbest←X

11: U ←c(X)

12: Gehe zu Schritt 4.

13: (Bound:) Bestimme eineduale Schranke L∈Qmit L≤c(X) f¨ur alle X ∈ S

f¨ur dasSubproblem S.

14: if L<U then

15: (Branch:) ¨Uberdecke S=S1∪ · · · ∪ Sr mitr ≥2 (oft paarweise disjunkten) SubproblemenS1, . . . ,Sr 6=∅.

16: Erweitere B durch Anh¨angen der r neuen Branch-and-Bound KnotenS1, . . . ,Sr an S.

17: A←A∪ {S1, . . . ,Sr}

(28)

Bemerkungen zum B&B-Verfahren

I Das Verfahren l¨ost das Minimierungsproblem.

I Bricht man das Verfahren vor seiner Terminierung ab, so kann man zumindest f¨ur Probleme mit nicht-negativen

Zielfunktionen a posteriori eine beweisbare Absch¨atzung der Qualit¨at der bis dahin besten gefundenen L¨osungXbestgeben:

I Man berechnet untere SchrankenLS ur alle noch aktiven SubproblemeS ∈A.

I Ist

Lmin= min{LS| S ∈A}>0,

so ist der Wertc(Xbest) vonXbest ochstens das c(XLbest)

min -fache des Optimalwerts.

I Maximierungsprobleme lassen sich analog l¨osen.

(29)

Bemerkungen zum B&B-Verfahren

I In Schritt 1 kann man alle Arten von Heuristiken einsetzen (z.B. Simulated Annealing, evolution¨are Algorithmen, Tabusuche, lokale Suche,. . . ); diese sind jedoch kein Thema dieser Vorlesung. (Je besser die initiale primale Schranke ist, umso ¨ofter ist die Bedingung in Schritt 14 nicht erf¨ullt, und umso kleiner bleibt der Branch-and-Bound Baum.)

I In Schritt 13 kann man zus¨atzlich versuchen, mit Heuristiken f¨ur das Subpropblem S die primale SchrankeU zu verbessern.

I Wichtige Faktoren f¨ur die Effizienz:

I Qualit¨at der dualen Schranken

I Effizienz der Bestimmung der dualen Schranken

I Zusammenspiel der Branching-Regel (Art der erzeugten Subprobleme) und der Bounding-Prozedur

I Gr¨oßter Teil der mathematischen Arbeit: Strukturanalyse f¨ur den Entwurf von Bounding-Prozeduren

I In der Regel hat man keine (nicht trivialen) Absch¨atzungen f¨ur die Laufzeit.

(30)

LP-basiertes B&B

I Sei das (kombinatorische) Optimierungsproblem als ganzzahliges lineares Optimierungsproblem

min{hc,xi |Ax ≤b,x ∈Zn}

formuliert (A∈Qm×n,b∈Qm so, dass Ax ≤b nur endlich viele ganzzahlige L¨osungen besitzt).

I M¨oglichkeit f¨ur das Branching: W¨ahlei ∈[n] undκ∈Z (geeignet) und partitioniere

S ={x∈Zn|ASx ≤bS} in

S1 =S ∩ {x∈Z|xi ≤κ}={x ∈Zn|AS1x≤bS1} und

S2 =S ∩ {x ∈Z|xi ≥κ+ 1}={x∈Zn|AS2x≤bS2} (allgemeiner:branching-on-hyperplanes).

(31)

LP-basiertes B&B

I Bestimme duale Schranken durch L¨osen der LP-Relaxierungen

min{hc,xi |ASx ≤bS,x∈Qn}

(≤min{hc,xi |ASx ≤bS,x∈Zn}) (kontinuierliche lineare Optimierungsprobleme).

I Sei xS ∈Qn die gefundene Optimall¨osung der LP-Relaxierung des aktuellen SubproblemsS

I Falls xS∈Zn (alsoxS ∈ S):

I Fallshc,xSi<U: Setze am Ende von Schritt 13Xbest xS.

I Dann wird der Test in Schritt 14 in jedem Fall negativ ausfallen.

I Falls xS6∈Zn (und der Test in Schritt 14 positiv ausf¨allt):

W¨ahle f¨ur das Branchingi ∈[n] so, dassxiS 6∈Zund κ=bxiSc.

(32)

LP-basiertes B&B

I Die LP-Relaxierung kann auch dynamisch (mittels

Schnittebenenverfahrens) gel¨ost werden; es gen¨ugt also, wenn das System Ax ≤b ¨uber einen Separationsalgorithmus gegeben ist (vgl. die Modelle f¨ur das TSP und das Survivable Network Design Problem in Abschnitt 6.1).

I Man kann in einem solchen Schnittebenenverfahren die dualen Schranken mit beliebigen f¨ur{x∈Zn|Ax ≤b}(oder –

¨

aquivalent dazu – f¨ur conv{x∈Zn|Ax ≤b}) g¨ultigen linearen Ungleichungen zu verbessern versuchen ( Branch-and-Cut).

(33)

LP-basiertes B&B

I Deshalb sind m¨oglichst gute partielle

Ungleichungsbeschreibungen (mit zugeh¨origen

Separationsalgorithmen) des der Formulierung zu Grunde liegenden Polytops

conv{x ∈Zn|Ax ≤b}

sehr wichtig (vollst¨andige Beschreibungen k¨onnen wir bei komplexit¨atstheoretisch schwierigen Problemen ja nicht erwarten).

I Die LP-Relaxierung min{hc,xi |ASx ≤bS,x∈Qn} kann auch gel¨ost werden, indem man ihr duales LP mit Hilfe eines Separations-Algorithmus (Pricing-Algorithmus) l¨ost ( Column-Generation Verfahren); so kann man in der Praxis manchmal auch ganzzahlige lineare Optimierungsmodelle mit extrem vielen Variablen l¨osen.

(34)

1-B¨ aume

Definition 6.2

Ein1-Baum in einem GraphenG = ([n],E) ist eine KantenteilmengeF ⊆E) mit

I |F ∩δ(1)|= 2 und

I ([n]\ {1},F \δ(1)) ist ein Baum (insbeondere:|F|=n).

I Hamilton-Kreise inG sind 1-B¨aume in G.

I Istc ∈RE und F? ⊆E ein 1-Baum minimalenc-Gewichts im Graphen G = ([n],E), so gilt c(F?)≤c(H) f¨ur alle

Hamilton-Kreise H⊂E.

I Einen 1-Baum minimalen c-Gewichts kann man in O(|En|) = O(n2) Zeit berechnen (minimal aufspannender Baum in G[[n]\ {1}] und die beidenc-leichtesten Kanten aus δ(1)); das geht auch dann noch, wenn man sich auf 1-B¨aume beschr¨ankt, die eine vorgegebene Kantenteilmenge enthalten.

(35)

TSP: B&B mit 1-Baum-Schranke

I Branching: W¨ahle eine (geeignete) Kantee ∈En und erzeuge die Subprobleme

S1 ={H ∈ S |e ∈H} und S1={H∈ S |e 6∈H}.

I Bestimme in Schritt 13L als das Gewicht eines minimalen die Kantenmenge E+S enthaltenden 1-Baums im Graphen

([n],En\ES) (wobei E+S bzw. ES die Mengen der Kanten sind, die im Subproblem S in allen Hamilton-Kreisen enthalten bzw. nicht enthalten sind).

(36)

Approximationsalgorithmen: Ausgangsfragen

I Kann man f¨ur NP-schwere Optimierungsprobleme polynomiale Algorithmen finden, die L¨osungen mita priori bekannter G¨utegarantie bestimmen?

I Wie gut k¨onnen diese Garantien werden?

I Unterscheiden sich einzelne NP-schwere

Optimierungsprobleme hinsichtlich der prinzipiell m¨oglichen G¨utegarantien?

(37)

Approximationsalgorithmen

I Wir betrachten hier nur kombinatorische

Optimierungsprobleme, bei denen alle L¨osungen nicht-negative Zielfunktionswerte haben.

I Istk ≥1 und istAein Algorithmus, der f¨ur jede Instanz I von P in in der Kodierungsl¨ange von I polynomial

beschr¨ankter Laufzeit eine L¨osung vom Wert ω(I) berechnet mit

ω(I)≤k·OPT(I) bzw. ω(I)≥ 1k ·OPT(I) – je nachdem, ob P ein Minimierungs- oder ein

Maximierungsproblem ist – (wobei OPT(I) der Optimalwert der Instanz I sei), so heißt Aein

k-(Faktor-)Approximationsalgorithmusf¨ur P.

(38)

Beispiel: Vertex Cover Problem

Algorithmus 6.3 (2-Approximationsalgorithmus f¨ur Vertex Cover)

Eingabe: Graph G = (V,E)

Ausgabe: Vertex Cover S ⊆V von G .

1: Berechne ein inklusionsmaximales Matching M ⊆E in G .

2: S ←S

e∈Me Bemerkung 6.4

Algorithmus 6.3 ist ein2-Approximationsalgorithmus f¨ur das Vertex-Cover Problem.

(39)

Nicht-Approximierbarkeits-Resultate: Beispiel

Bemerkung 6.5

Wenn es f¨ur irgendein k ∈Neinen k-Approximationsalgorithmus f¨ur das TSP gibt, dann istP = NP.

I Es gibt auch gewichtete Optimierungsprobleme, f¨ur die Approximationsalgorithmen existieren (s.u.).

I Es gibt auch ungewichtete Probleme, f¨ur die f¨ur keink ∈N eink-Approximationsalgorithmus existiert, es sei denn P = NP (z.B. das stabile Mengen Problem oder das Graphenf¨arbungsproblem).

(40)

Euler-Touren

Definition 6.6

EineEuler-Tour in einem Graphen G = (V,E) ist ein

geschlossener PfadP, der jede Kante aus E genau einmal benutzt.

Lemma 6.7

Ein Graph G = (V,E) hat genau dann eine Euler-Tour, wenn er zusammenh¨angend ist und alle Knotengrade |δ(v)| ∈2Z(v ∈V ) gerade sind. Man kann inO(|E|)Zeit eine Euler-Tour in G bestimmen oder entscheiden, dass G keine Euler-Tour besitzt.

(41)

Metrische Kantenl¨ angen

Definition 6.8

Kantenl¨angend ∈REn des vollst¨andigen Graphen Kn= (Vn,En) heißenmetrisch, wennd ≥OEn ist und die Dreiecksungleichung

d{u,w} ≤d{u,v}+d{v,w}

f¨ur alle paarweise verschiedenenu,w,w ∈Vn gilt. Eine

TSP-Instanz heißtmetrisch, wenn ihre Kantenl¨angen metrisch sind.

Bemerkung 6.9

Ist P ein geschlossener Pfad in einem vollst¨andigen

Graphen Kn= (Vn,En) mit metrischen Kantenl¨angen d ∈RE+n, der alle Knoten wenigstens einmal besucht, so kann man aus P in O(|P|) Schritten einen Hamilton-Kreis H⊆En mit d(H)≤d(P) gewinnen.

(42)

Untere Schranken f¨ ur metrische TSPs

Bemerkung 6.10

Jeder Hamilton-Kreis enth¨alt einen aufspannenden Baum. Also gilt f¨ur f¨ur jeden Graphen G = (V,E) mit nichtnegativen

Kantenl¨angen d ∈RE, dass die d -L¨ange eines jeden

Hamilton-Kreises in G wenigstens so groß ist wie das d -Gewicht eines d -minimalen aufspannenden Baums von G

Lemma 6.11

Seien Kn= (Vn,En) ein vollst¨andiger Graph mit metrischen Kantenl¨angen d ∈REn und W ⊆Vnmit |Vn| ∈2Z. Dann gilt f¨ur jedes d -minimale perfekte Matching M ⊆ W2

in Kn[W]und f¨ur jeden Hamilton-Kreis H⊆En:

d(M)≤ d(H) 2

(43)

Christofides Algorithmus f¨ ur metrisches TSP

Algorithmus 6.12 (Christofides Algorithmus)

Eingabe: Metrische Kantenl¨angen d ∈QEn des vollst¨andigen Graphen Kn= (Vn,En)

Ausgabe: Hamilton-Kreis H⊆En

1: Bestimme d -minmal aufspannenden Baum T ⊆En von Kn.

2: W ← {v ∈Vn| |δ(v)∩T| ∈2Z+ 1}

3: Bestimme d -minimales perfektes Matching M ⊆En in Kn[W].

4: Bestimme eine Euler-Tour P im (m¨oglicherweise nicht einfachen) Graphen (Vn,T ]M) (Lem. 6.7).

5: Bestimme aus P einen Hamilton-Kreis H ⊆En mit d(H)≤d(P) (Bem. 6.9).

Satz 6.13

Christofides Algorithmus ist ein 32-Approximationsalgorithmus f¨ur das metrische TSP.

(44)

Bemerkungen zur Approximierbarkeit des TSP

I Wenn P6= NP ist, dann gibt es nicht f¨ur jedesε >0 einen (1 +ε)-Approximationsalgorithmus f¨ur das metrische TSP.

I F¨ur dasEuklidische TSP (d.h., die Knoten des Graphen entsprechen Punkten in der Euklidischen Ebene und die Kantenl¨angen sind die respektiven Euklidischen Distanzen) gibt es aber f¨ur jedes ε >0 einen

(1 +ε)-Approximationsalgorithmus (bei dem 1ε allerdings als Exponent in die Laufzeitabsch¨atzung eingeht): Das

Eukilidische TSP hat einPolynomiales Approximationsschema(PTAS).

I Trotzdem ist das Euklidische TSP noch NP-schwer.

I Das PTAS f¨ur Euklidisches TSP ist aber in der Praxis ausgefeilten Branch-and-Bound Algorithmen weit unterlegen.

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