Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2018/19)

Vorlesung

Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2018/19)

Kapitel 1: K¨urzeste Wege und Kreise

Volker Kaibel

Otto-von-Guericke Universit¨at Magdeburg

(Version vom 11. Oktober 2018)

Graphen und Digraphen

Definition 1.1

EinGraph ist ein Paar G = (V,E) bestehend aus einer endlichen KnotenmengeV und einer TeilmengeE ⊆ ^V₂

der

zweielementigen Teilmengen vonV, der KantenmengevonG. Definition 1.2

EinDigraph (gerichteter Graph) ist ein Paar D= (V,A) bestehend aus einer endlichenKnotenmenge V und einer Teilmenge

A⊆V ×V \ {(v,v)|v ∈V},

derBogenmengevon D. Zwei B¨ogen (v,w),(w,v)∈Aheißen antiparallel.

Multigraphen und -digraphen

Bemerkung

I Verallgemeinerung von Digraphen: Multi-Digraphen

D = (V,A,Ψ) mitΨ :A−→V ×V und beliebiger endlicher Indexmenge A der B¨ogen. ( ¨Ahnlich: Multi-Graphen)

I Man kann Konzepte, Resultate, Algorithmen in der Regel in offensichtlicher Weise von (Di-)Graphen auf

Multi-(Di-)Graphen ¨ubertragen.

Wege und Kreise (ungerichtet)

Definition 1.3

SeiG = (V,E) ein Graph mit V ={v₀,v₁, . . . ,v_l}und E ={{v₀,v₁},{v₁,v₂}, . . . ,{v_l−1,v_l}}

1. Sind v0,v1, . . . ,vl paarweise verschieden, so heißt G ein v₀−v_l-Weg der(kombinatorischen) L¨ange l.

2. Istv0 =v_l und sindv0=v_l,v1, . . . ,vl−1 paarweise verschieden, so istG einKreisder (kombinatorischen) L¨angel.

Wege und Kreise (gerichtet)

Definition 1.4

SeiD = (V,A) ein Digraph mit V ={v₀,v₁, . . . ,v_l} und A={(v₀,v1),(v1,v2), . . . ,(vl−1,v_l)}

1. Sind v₀,v₁, . . . ,v_l paarweise verschieden, so heißt D ein (gerichteter) v0−vl-Wegder (kombinatorischen) L¨ange l.

2. Istv0 =vl und sindv0=vl,v1, . . . ,vl−1 mit l ≥2 paarweise verschieden, so istG ein(gerichteter) Kreisder

(kombinatorischen) L¨ange l.

Teilgraphen

Definition 1.5

SindG = (V,E) und G⁰ = (V⁰,E⁰) (bzw. D = (V,A) und D⁰= (V⁰,A⁰)) zwei Graphen (bzw. Digraphen) mitV⁰ ⊆V und E⁰ ⊆E (bzw. A⁰ ⊆A), so ist G⁰ einTeilgraphvon G (bzw.D⁰ ein TeildigraphvonD). Falls sogar

E⁰ =E∩ V⁰

2

bzw. A⁰=A∩(V⁰×V⁰) gilt, so heißt der Teilgraphinduzierter Untergraph(bzw.

induzierter Unterdigraph). GiltV⁰ =V, so heißt der Teilgraph spannend.

Induzierte Knoten-, Kanten-, B¨ ogenmengen

Definition 1.6

SeiG = (V,E) ein Graph. F¨ur Teilmengen V⁰ ⊆V und E⁰ ⊆E definieren wirE(V⁰) :=E ∩ ^V₂⁰

und

V(E⁰) :={v ∈V| {v,w} ∈E⁰ f¨ur ein w ∈V}

Definition 1.7

SeiD = (V,A) ein Graph. F¨ur TeilmengenV⁰⊆V und A⁰ ⊆A definieren wirA(V⁰) :=A∩(V⁰×V⁰) und

V(A⁰) :={v ∈V |(v,w)∈A⁰ oder (w,v)∈A⁰ f¨ur ein w ∈V}

Wege und Kreise in Graphen

Definition 1.8

F¨ur eine endliche MengeM,c ∈R^M und N⊆M definieren wir c(N) := X

x∈N

c_x.

Definition 1.9

IstG = (V,E) ein Graph,c ∈R^E, und G⁰ = (V⁰,E⁰) ein Untergraph vonG, der eins-t-Weg (bzw. ein Kreis) ist, so heißt E⁰ ⊆E ein s-t-Weg (bzw. Kreis) inG. Seinec-L¨angeist c(E⁰).

Die Menge dervon E⁰ besuchten Knoten istV⁰ =V(E⁰).

Wege und Kreise in Digraphen

Definition 1.10

IstD= (V,A) ein Digraph,c ∈R^A, undD⁰ = (V⁰,A⁰) ein Unterdigraph vonD, der ein (gerichteter) s-t-Weg (bzw. ein (gerichteter) Kreis) ist, so heißtA⁰ ⊆A ein (gerichteter) s-t-Weg (bzw. (gerichteter) Kreis) inD. Seinec-L¨ange istc(A⁰). Die Menge dervon A⁰ besuchten Knotenist V⁰=V(A⁰).

Wege- und Kreisprobleme

Problem 1.11 (K¨urzeste-Wege Problem)

Instanz: Digraph D= (V,A), c ∈Q^A, s,t ∈V

Aufgabe: Finde einen s-t-Weg k¨urzester c-L¨ange oder stelle fest, dass es keinen s-t-Weg in D gibt.

Problem 1.12 (K¨urzester-Kreis-Problem) Instanz: Digraph D= (V,A), c ∈Q^A

Aufgabe: Finde einen Kreis k¨urzester c-L¨ange oder stelle fest, dass es keinen Kreis in D gibt.

Ungerichtete Graphen

Bemerkung 1.13

Das Problem, in einem ungerichteten Graphen G = (V,E) k¨urzeste Wege oder Kreise zu finden, kann man durch Konstruktion des Digraphen D= (V,A)mit

A={(v,w)∈V ×V| {v,w} ∈E} auf die Probleme 1.11 bzw. 1.12 zur¨uck f¨uhren.

Weitere Bemerkungen

Bemerkung 1.14

I Analog zum K¨urzesten-Wege bzw. K¨urzesten-Kreis Problem ist das L¨angste-Wege Problem bzw. das L¨angster-Kreis Problemdefiniert.

I Durch Multiplikation des L¨angenvektors c mit(−1)kann man K¨urzeste- und L¨angste-Wege/Kreise-Probleme ineinander transformieren (solange es nicht auf Vorzeichen ankommt).

I K¨urzester/L¨angster-Kreis Probleme kann man mit Hilfe von

|A|K¨urzeste/L¨angste-Wege Problemen l¨osen.

I Das K¨urzeste/L¨angste-Wege/Kreise Probleme f¨ur beliebige D und c sind NP-schwer (z.B. Reduktion von Hamilton-Kreis oder Hamilton-Pfad).

Konservative L¨ angen

Definition 1.15

SeiD = (V,A) ein Digraph. Der L¨angenvektor c ∈R^A heißt konservativ, wenn es keinen Kreis negativerc-L¨ange inD gibt.

(d. h.c(C)≥0 f¨ur alle KreiseC ⊆A) Satz 1.16

Seien D = (V,A) ein Digraph mit konservativen Kantenl¨angen c ∈R^A und s,w ∈V . Hat W ⊆A unter den s-w -Wegen mit kombinatorischer L¨ange≤k k¨urzeste c-L¨ange und ist(v,w)∈W der letzte Bogen auf W , so hat W \ {(v,w)} k¨urzeste c-L¨ange unter allen s-v -Wegen der kombinatorischen L¨ange ≤k−1.

Korollar 1.17

Ist D= (V,A)ein Digraph mit konservativen Bogenl¨angen c ∈R^A, und ist W ⊆A ein c-k¨urzester s-t-Weg in D, so ist f¨ur jeden Knoten w∈V(W) der s-w -Weg W⁰ ⊆W ein c-k¨urzester s-w -Weg in D.

Nachbarn, Sterne, Knotengrade

Definition 1.18

F¨ur einen Digraphen D= (V,A) undv ∈V definieren wir:

I N^aus(v) :={w ∈V|(v,w)∈A}

I N^ein(v) :={w ∈V |(w,v)∈A}

I δ^aus(v) :={(v,w)|w ∈N^aus(v)}

I δ^ein(v) :={(w,v)|w ∈N^ein(v)}

|δ^aus(v)|und |δ^ein(v)|sind derAusgradbzw. der Eingradvon v.

F¨ur einen Graphen G = (V,E) und v ∈V definieren wir:

I N(v) :={w ∈V | {v,w} ∈E}

I δ(v) :={{v,w} |w ∈N(v)}

|δ(v)|ist derGrad vonv.

Distanzen

Definition 1.19

F¨ur einen Digraphen D= (V,A),c ∈R^A und s,v ∈V ist die c-Distanz zwischens und v

dist_c(s,v)∈R∪ {∞}

die L¨ange eines s-v-Weges minimalerc-L¨ange bzw.∞, wenn kein s-v-Weg inD existiert.

Korollar 1.20

F¨ur einen Digraphen D= (V,A)mit konservativen Bogenl¨angen c ∈R^A gilt f¨ur alle s,v ∈V mit s6=v :

I distc(s,s) = 0

I distc(s,v) = min

distc(s,u) +c_(u,v):u ∈N^ein(v)

Zusammenhang

Definition 1.21

Ein GraphG = (V,E) heißt zusammenh¨angend, wenn es f¨ur jedes Paars,t∈V einen s-t-Weg inG gibt. Die

(inklusions-)maximalen zusammenh¨angenden Teilgraphen eines Graphen sind seineZusammenhangskomponenten.

Definition 1.22

F¨ur einen Digraphen D= (V,A) heißtG = (V,E) mit E ={{v,w} |(v,w)∈Aoder (w,v)∈A}

derD zugrunde liegende ungerichtete Graph.

Definition 1.23

Ein DigraphD= (V,A) heißtstark zusammenh¨angend, wenn es f¨ur jedes Paars,t ∈V einen (gerichteten) s-t-Weg inD gibt. Ist derD zugrunde liegende ungerichtete Graph zusammenh¨angend, so heißtD schwach zusammenh¨angend.

B¨ aume und W¨ alder

Definition 1.24

EinWald ist ein (ungerichteter) Graph, der keine Kreise enth¨alt.

Ein Wald ist einBaum, wenn er zusammenh¨angend ist.

Bemerkung 1.25

Ein Graph G = (V,E)mit|V| ≥1ist genau dann ein Baum, wenn er zusammenh¨angend ist und|E|=|V| −1gilt.

Branchings und Arboreszenzen

Definition 1.26

Ein DigraphD= (V,A) heißt ein Branching, wenn er keine antiparallelen B¨ogen hat, der D zugrunde liegende ungerichtete Graph ein Wald ist und|δ^ein(v)| ≤1 f¨ur alle v ∈V gilt. Ein schwach zusammenh¨angendes Branching ist eineArboreszenz.

Bemerkung 1.27

In einer Arboreszenz D= (V,A)gibt es genau einen Knoten r∈V mitN^ein(r) =∅. Er heißt die Wurzel von D. F¨ur jedes v∈V gibt es einen eindeutigen r -v -Weg in D.

Bemerkung 1.28

Eine Arboreszenz D = (V,A) mit Wurzel r ∈V ist eindeutig bestimmt durch die Abbildung p:V \ {r} −→V mit

(p(v),v)∈A.

K¨ urzeste-Wege B¨ aume

Definition 1.29

F¨ur einen Digraphen D= (V,A) unds ∈V bezeichnen wir mit RD(s)⊆V die Menge alle Knoten v∈V, f¨ur die ein s-v-Weg inD existiert.

Korollar 1.30 (aus Satz 1.16)

F¨ur einen Digraphen D= (V,A)mit konservativen Bogenl¨angen c ∈R^A und s ∈V gibt es eine Arboreszenz T = (R_D(s),A⁰), so dass f¨ur jedes v ∈R_D(s) der s-v -Weg in T ein c-k¨urzester s-v -Weg in D ist.

Definition 1.31

Eine Arboreszenz wie in Kor. 1.30 heißt ein K¨urzeste-Wege-Baum (f¨ur D,c,s).

Azyklische Digraphen

Definition 1.32

Ein Digraph heißtazyklisch, wenn er keinen (gerichteten) Kreis hat.

Definition 1.33

F¨urn ∈Ndefinieren wir [n] :={1,2, . . . ,n}.

Topologische Sortierung

Definition 1.34

Einetopologische Sortierung eines DigraphenD = (V,A) ist eine NummerierungV ={v₁,v2, . . . ,vn}der Knoten mit

(v_i,v_j)∈A⇒i <j f¨ur alle i,j ∈[n].

Satz 1.35

Sei D= (V,A) ein Digraph.

1. D hat genau dann eine topologische Sortierung, wenn D azyklisch ist.

2. Es gibt einen Algorithmus, der f¨ur mittels Adjazenzliste gegebenes D in O(|V|+|A|) Zeit eine topologische Sortierung von D berechnet oder feststellt, dass D einen Kreis hat.

K¨ urzeste Wege in azyklischen Digraphen

Algorithmus 1.36 (K¨urzeste Wege in azyklischen Digraphen) Eingabe: Azyklischer Digraph D = (V,A) mit topologischer

Sortierung V ={v₁, . . . ,v_n}, c ∈Q^A,σ∈[n]

Ausgabe: F¨ur jeden Knoten v ∈V \ {v_σ} den Wert

d(v) = dist_c(v_σ,v) und, falls d(v)6=∞, den letzten Bogen(p(v),v) auf einem vσ-v -Weg k¨urzester c-L¨ange (k¨urzeste-Wege Baum bzgl. v_σ)

1: for i = 1, . . . ,n do

2: d(v_i)← ∞

3: d(vσ)←0

4: for i =σ+ 1, . . . ,n do

5: d(v_i)←min{d(w) +c_(w,vi)|w ∈N^ein(v_i)}

6: p(vi)←ein w ∈N^ein(vi) mit d(vi) =d(w) +c_(w,vi)

(p(vi)bleibt undefiniert, falls d(vi) =∞ oderN^ein(vi) =∅)

Analyse von Algorithmus 1.36

Satz 1.37

Mit Algorithmus 1.36 kann man f¨ur mittels Adjazenzlisten gegebene azyklische gerichtete Graphen D= (V,A) das

K¨urzeste-Wege Problem (und genauso das L¨angste-Wege Problem) inO(|V|+|A|) Zeit l¨osen (f¨ur beliebige c ∈Q^A), sogar simultan f¨ur alle t∈V (bei festem s ∈V ).

Dijkstras Algorithmus

Algorithmus 1.38 (Dijkstra-Algorithmus) Eingabe: Digraph D= (V,A),c ∈Q^A+,s ∈V

Ausgabe: F¨ur alle v ∈V \ {s} den Wert d(v) = distc(s,v) und, falls d(v)6=∞, den letzten Bogen(p(v),v) auf einem s-v -Weg k¨urzester c-L¨ange

1: for all {v ∈V \ {s}} do

2: d(v)← ∞

3: d(s)←0;F ← ∅

4: Bestimme v ∈V \F mit d(v) = min{d(w)|w ∈V \F}

5: F ←F ∪ {v}

6: for all {w ∈N^aus(v)\F}do

7: if{d(w)>d(v) +c_vw} then

8: d(w)←d(v) +cvw

9: p(w)←v

10: if{F 6=V}then

11: Gehe zu Schritt 4.

Analyse von Algorithmus 1.38

Satz 1.39

Dijkstras Algorithmus f¨ur nicht-negative Bogenl¨angen arbeitet korrekt und kann so implementiert werden, dass die Laufzeit O(|A|+|V|log|V|) ist.

Bemerkung 1.40

Das K¨urzeste-Wege Problem in einem ungerichteten Graphen G = (V,E) mit nicht-negativen Kantenl¨angen kann man mit Hilfe des Dijkstra-Algorithmus im Digraphen D= (V,A) mit

A={(v,w)∈V ×V| {v,w} ∈E} l¨osen (jede Kante wird zu zwei B¨ogen).

Potenziale

Definition 1.41

SeienD = (V,A) ein Digraph undc ∈R^A. Ein Vektorπ ∈R^v heißt einc-Potenzialf¨ur D, wenn f¨ur alle (v,w)∈A

πw ≤πv +cvw (d.h. cvw ≥πw−πv) gilt.

Bemerkung 1.42

Ist D= (V,A)ein Digraph, c ∈R^A, undπ ∈R^v ein c-Potenzial, so gilt f¨ur alle s,v∈V

dist_c(s,v)≥π_v−π_s.

Potenziale und konservative L¨ angen

Bemerkung 1.43

Ist D= (V,A)ein Digraph, c ∈R^A konservativ und gilt R_D(s) =V f¨ur ein s ∈V , so ist wegen Korollar 1.20 durch

πv := distc(s,v) f¨ur alle v ∈V ein c-Potenzial auf D definiert. F¨ur alle v ∈V ist dann insbesondere (wegen Bem. 1.42)distc(s,v)die maximale

Potenzialdifferenzσ_v−σ_s ¨uber alle c-Potenzialeσ ∈R^V von D.

Satz 1.44

Sei D= (V,A) ein Digraph. Dann ist c ∈R^A genau dann konservativ, wenn es ein c-Potenzial f¨ur D gibt.

Pfade

Definition 1.45

SeiD = (V,A) ein Digraph und c ∈R^A. Ein l-Tupel P = (v₀,v₁),(v₁,v₂),(v₂,v₃), . . . ,(vl−1,v_l)

∈A^l von B¨ogen inA heißt ein v₀-v_l-Pfad in D (dabei d¨urfen einzelne Knoten und einzelne B¨ogen beliebig oft auftreten) der c-L¨ange

c(P) :=

l

X

i=1

cvi−1,vi.

Seine(kombinatorische) L¨angeist l.

Bemerkung 1.46

In einem Digraphen D= (V,A) mit konservativen Bogenl¨angen c ∈R^A gilt c(P)≥dist_c(s,t) f¨ur jeden s-t-Pfad P.

Der Bellman-Ford Digraph

Definition 1.47

SeiD = (V,A) ein Digraph,c ∈R^A. Der Graph BF(D) = (V⁰,A⁰) hat die KnotenmengeV⁰ =V × {0,1, . . . ,|V|}und die

Bogenmenge A⁰ =

((v,i−1),(w,i))

(v,w)∈A,i ∈[|V|]

∪

((v,i−1),(v,i))

i ∈[|V|] . Die Mengen{(v,i) :i ∈ {0,1, . . . ,|V|}}(v ∈V) sind dieZeilen vonBF(D). Analog sind {(v,i) :v ∈V}(i ∈ {0,1, . . . ,|V|}) die Spaltenvon BF(D). Die B¨ogen, welche Knoten einer Zeile verbinden, heißenwaagerecht. Wir definierenc⁰ ∈R^A

0 via c(v,i),(w,i+1)⁰ =

c_vw , falls (v,w)∈A 0 , falls v =w

.

BF (D )

1 2

3 5

4

6

1

2

3

4

5

6

BF (D ): Repr¨ asentation von Wegen

1 2

3 5

4

6

1

2

3

4

5

6

BF (D ): Repr¨ asentation von Pfaden

1 2

3 5

4

6

1

2

3

4

5

6

BF (D ): Repr¨ asentation von Kreisen

1 2

3 5

4

6

1

2

3

4

5

6

K¨ urzeste Wege in BF (D ) (I)

Definition 1.48

I F¨urs ∈V undv ∈RD(s) sei Ps(v)⊆A⁰ der c⁰-k¨urzeste (s,0)-(v,|V|)-Weg in BF(D), der von Algorithmus 1.36 (BF(D) ist azyklisch) berechnet wird, wenn man in Schritt 6 wenn m¨oglich den waagerechten Nachbarn nimmt.

I F¨urT ⊆A⁰ sei

A(T) :={(v,w)∈A|((v,i−1),(w,i))∈T f¨ur ein i ∈[|V|]}

I Ein Weg P ⊆A⁰ betritt Zeilew, wenn es einen Bogen ((v,i−1),(w,i))∈P mitv 6=w gibt.

K¨ urzeste Wege in BF (D ) (II)

Bemerkung 1.49

Betritt P_s(v) keine Zeile mehrmals (und Zeile s gar nicht), so ist A(P_s(v)) ein c-k¨urzester (s,v)-Weg in D.

Lemma 1.50

Besucht P_s(v) die Knoten(w,i) und (w,j) (i <j) und verl¨auft der Teilweg Q ⊆A⁰ von Ps(v), der von (w,i)nach (w,j) f¨uhrt, nicht vollst¨andig in Zeile w , so ist c⁰(Q)<0.

K¨ urzeste Wege in BF (D ) (III)

Bemerkung 1.51

W¨ahlt man in Lem. 1.50 (w,i) und (w,j) so, dass Ps(v) zwischen diesen beiden Knoten keinen waagerechten Bogen hat und keine Zeile mehrmals und die zu w geh¨orende Zeile gar nicht betritt, so ist A(Q)ein Kreis negativer c-L¨ange in D.

Satz 1.52

F¨ur einen Digraphen D= (V,A)und konservative Bogenl¨angen c ∈Q^A kann man das K¨urzeste-Wege Problem inO(|V||A|) Zeit mit Algorithmus 1.36 auf BF(D) l¨osen.

Entscheiden von Konservativit¨ at

Satz 1.53

F¨ur einen Digraphen D= (V,A)und c ∈Q^A kann man in O(|V||A|)Zeit ein c-Potenzial oder einen Kreis negativer c-L¨ange finden, indem man Algorithmus 1.36 auf BF( ˜D) laufen l¨asst, wobei D aus D durch Hinzuf¨˜ ugen eines Knotens s und der B¨ogen (s,v) mit L¨ange0 f¨ur alle v ∈V entsteht.

Das 0/1-Knapsack Problem

Problem 1.54 (0/1-Knapsack Problem) Instanz: a∈Nⁿ, β ∈N,c ∈Nⁿ

Aufgabe: L¨osemax{hc,xi:ha,xi ≤β,x ∈ {0,1}ⁿ} Definition 1.55

F¨ur eine endliche MengeM und N⊆M heißt χ(N)∈ {0,1}^M mit χ(M)_N =1N undχ(M)_M\N =OM\N der charakteristische Vektoroder derInzidenzvektorvon N.

Dynamische Programmierung f¨ ur 0/1-Knapsack (I)

I (Das 0/1-Knapsack Problem ist NP schwer.)

I Definiere einen azyklischen Digraphen D= (V,A) mit V = ([n]× {0,1, . . . , β})∪ {(0,0)}

und

((i,g),(j,h))∈A

⇐⇒

i <j undg +a_j =h

F¨ur (v,w)∈A mitv = (i,g),w = (j,h) setzec_vw :=c_j.

DP-Graph f¨ ur 0/1-Knapsack

a= (2,1,3,1,2,2), c = (5,1,3,2,4,1),β = 7

Dynamische Programmierung f¨ ur 0/1-Knapsack (II)

I F¨urs = (0,0) und v = (i,g) ist dann diec-L¨ange eines c-l¨angsten s-v-Weges P ⊆Ain D gleich

max n

hc_[i],x˜i:ha_[i],xi˜ =g,˜x∈ {0,1}^[i]o

(1) und mit

J:={j ∈[n] :P besucht einen Knoten (j,h)}

ist χ(J)∈ {0,1}ⁿ eine Optimall¨osung von (1).

I Ein c-l¨angsters-v-Weg inD (¨uber alle v ∈V) liefert also eine Optimall¨osung des 0/1-Knapsackproblems.

Satz 1.56

Das0/1-Knapsackproblem kann man in O(n²β) Zeit mit dynamischer Programmierung l¨osen.

Minimum Mean Cycle Problem

Definition 1.57

F¨ur einen Digraphen D= (V,A) undc ∈R^A sei µ_c(D) := min

c(C)

|C| :C ⊆AKreis in D

(µ_c(D) =∞, fallsD azyklisch).

Problem 1.58 (Minimum Mean Cycle Problem) Instanz: Digraph D= (V,A),c ∈Q^A

Aufgabe: Finde einen Kreis C ⊆A mit ^c(C)_|C| =µ_c(D) oder stelle fest, dass D azyklisch ist.

Der Digraph K (D )

I Seien D= (V,A) ein Digraph undc ∈R^A,n:=|V|.

I Definiere ˜D := ( ˜V,A) mit ˜˜ V :=V ] {s}, ˜n :=n+ 1, und A˜ :=A∪ {(s,v)|v ∈V}

und ˜c ∈R^A˜ mit ˜c_A:=c,˜c_A\A˜ :=OA\A˜ .

I Definiere K(D) := (V⁰,A⁰) mitV⁰:= ˜V × {0,1, . . . ,˜n}, A⁰ :={((v,i−1)(w,i))|(v,w)∈A,˜ i ∈[˜n]}

und c⁰∈R^A

0 mit c((v,i−1),(w,i))⁰ := ˜c_vw f¨ur alle (v,w)∈A,˜ i ∈[˜n].

I Wege der kombinatorischen L¨angel in K(D) entsprechen Pfaden der kombinatorischen L¨angel in ˜D.

I F¨urk ∈[˜n] undv ∈V˜ sei Fk(v) := distc⁰((s,0),(v,k)).

K (D )

1 2

3 5

4

6

1

2

3

4

5

6 s

Der Min Mean Cycle Satz

Satz 1.59

Sei D= (V,A) ein nicht azyklischer Digraph, c ∈R^A. Dann gilt µ_c(D) =µ_˜c( ˜D) =

min

max{F_n˜(v)−F_k(v)

˜

n−k |0≤k ≤˜n−1}

v ∈V˜ . (2)

Finden eines Minimum Mean Cycle (I)

I Stelle fest, ob D azyklisch ist.

I Falls D nicht azyklisch ist, seiv ∈V˜ ein Knoten, f¨ur den das Minimum in Gleichung (2) angenommen wird.

I Sei ˜Q ⊆A⁰ ein (s,0)−(v,n)-Weg mit˜ c⁰( ˜Q) =F˜n(v).

I Q˜ muss wenigstens eine Zeile mehrmals besuchen, er besteht also aus einem Anfangsst¨uckQ1 ⊆A⁰, einem Endst¨uck Q₂ ⊆A⁰, und einem Mittelst¨uckQ ⊆A⁰, das von (w,i) zu (w,j) (i <j) f¨uhrt und keine Zeile mehrmals betritt.

Finden eines Minimum Mean Cycle (II)

I Dann ist C := ˜A(Q)⊆A˜ ein Kreis und mitk^? := ˜n− |Q|gilt c⁰(Q1) +c⁰(Q2)≥F_k^∗(v)

(weil man durch Anh¨angen einer um |Q|Spalten nach links verschobenen Kopie von Q₂ anQ₁ einen (s,0)-(v,k^?)-Weg der c⁰-L¨angec⁰(Q1) +c⁰(Q2) erzeugen kann), also

˜ c(C)

|C| = ^c0_|Q^(Q)_| = ^{F˜n(v)−(c0(Q}_|Q|^1)+c0(Q2))

≤ ^Fn˜(v)−F_˜n−k^k∗^∗(v) ≤µ_˜c( ˜D)

(wobei die letzte Ungleichung wegen Satz 1.59 und der Wahl von v gilt)

I Wegen δ^ein(s) =∅ist C ⊆A sogar ein Kreis inD mit c(C)

|C| =µ_c(D) =µ_˜c( ˜D).

Laufzeit des Min Mean Cycle Algorithmus

Satz 1.60

Das Minimum Mean Cycle Problem kann inO(|V||A|)Zeit gel¨ost werden.