Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2018/19)

Vorlesung

Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2018/19)

Kapitel 4: Matroide

Volker Kaibel

Otto-von-Guericke Universit¨at Magdeburg

(Version vom 20. Dezember 2018)

Unabh¨angigkeitssysteme / Matroide

Definition 4.1

EinUnabh¨angigkeitssystem mit einer endlichen GrundmengeE ist eine MengeI ⊆2^E vonunabh¨angigen Mengenmit:

I1: ∅∈I

I2: F¨ur alle X,Y ⊆E: X ⊆Y ∈I⇒X ∈I Definition 4.2

EinMatroidM ist ein Unabh¨angigkeitssystem mit Grundmenge E(M) und einer Menge I(M)⊆2^E(M) von unabh¨angigen Mengen, die folgende Eigenschaft hat:

I3: F¨ur alle X,Y ∈I(M) mit|X|<|Y|gilt:

Es gibt eine ∈Y \X mit X∪{e}∈I(M).

Graphische Matroide

Satz 4.3

F¨ur jeden Graphen G = (V,E)bilden die W¨alder F ⊆E die unabh¨angigen Mengen eines Matroids, desgraphischen Matroids von G .

Rang und Basen

Definition 4.4

DieRangfunktioneines Matroids M istrM : 2^E(M)→Nmit rM(X) = max{|I| |I ⊆X,I ∈I(M)}

f¨ur alleX ⊆E(M). Der Rangdes Matroids ist rM(E(M)). Die Menge derBasen vonM ist

B(M) :={B ∈I | |B|=rM(E(M))}.

Bemerkungen

Bemerkung 4.5

Seien M ein Matroid und X ⊆E(M).

1. F¨ur I ⊆E(M) mit I ∈I(M) gilt genau dann rM(X) =|I|, wenn I inklusionsmaximal unter den unabh¨angigen

Teilmengen von X ist.

2. Jede unabh¨angige Teilmenge J ⊆X kann zu einer

unabh¨angigen Menge I ⊆E(M) mit J ⊆I und rM(X) =|I| erg¨anzt werden.

Bemerkungen

◮ Die Basen eines Matroids sind die inklusionsmaximalen unter seinen unabh¨angigen Mengen.

◮ Die Basen des graphischen Matroids eines zusammenh¨angenden GraphenG sind genau die aufspannenden B¨aume von G.

Greedy-Algorithmus

Algorithmus 4.6 (Greedy-Algorithmus f¨ur Unabh¨angigkeitssysteme)

Eingabe: Unabh¨angigkeitssystem mit Grundmenge E,w ∈Q^E Ausgabe: S0,S1, . . .Sr ⊆E

1: S0 ← ∅,k ←1,U ←E

2: while U ∕=∅ do

3: W¨ahle sk ∈U mit wsk = max{ws|s ∈U}

4: U ←U\ {sk}

5: ifS_k−1∪{sk}unabh¨angig then

6: Sk ←Sk−1∪{sk},k←k+ 1

Korrektheit des Greedy-Algorithmus

Satz 4.7

F¨ur Matroide M gilt f¨ur die vom Greedy-Algorithmus berechneten Mengen S0,S1, . . . ,Sr:

w(Sk) = max{w(S)|S ∈I(M),|S|=k}

f¨ur alle k= 0,1, . . . ,Sr. Insbesondere ist Sr eine w -maximale Basis von M, falls r der Rang von M ist, und Sk^󰂏 mit

w(sk^󰂏) = max{w(Sk)|0≤k ≤r}ist eine w -maximale unabh¨angige Menge in M.

Bemerkung 4.8

IstI⊆2^E ein Unabh¨angigkeitssystem, f¨ur das der

Greedy-Algorithmus f¨ur jede Gewichtsfunktion w ∈N^E eine w -maximale unabh¨angige Menge berechnet, so istI ein Matroid.

Matroid-Polytope, Basen-Polytope

Definition 4.9

SeiM ein Matroid. Das Matroid-PolytopzuM ist P_I(M) := conv{X(I)|I ∈I(M)}. SeinBasen-Polytopist

P_B(M) := conv{X(B)|B ⊆I(M) Basis vonM}.

Rang-Ungleichungen

Bemerkung 4.10

PB ist die von der f¨urPI(M) g¨ultigen Ungleichung x(E(M))≤rM(E(M))

definierte Seite vonPI(M) (mit der Rang-Funktion rM des Matroids M).

Satz 4.11

F¨ur jedes Matroid M gilt

PI(M) ={x∈R^E(M)|x(T)≤rM(T) f¨ur alle T ⊆E,x ≥O}

Monotonie, Normiertheit, Submodularit¨at

Definition 4.12

Eine Funktionϕ: 2^E →Rist monoton, wenn ϕ(X)≤ϕ(Y) f¨ur alleX,Y ⊆E mitX ⊆Y gilt.

Definition 4.13

Eine Funktionϕ: 2^E →Rist normiert, wenn ϕ(∅) = 0

gilt.

Definition 4.14

Eine Funktionϕ: 2^E →R(f¨ur eine endliche Menge E) ist submodular, wenn

ϕ(X ∪Y) +ϕ(X ∩Y)≤ϕ(X) +ϕ(Y) f¨ur alleX,Y ⊆E gilt.

Polymatroide

Satz 4.15

Die Rang-Funktion eines Matroids ist normiert, monoton und submodular.

Definition 4.16

EinPolymatroid ist ein Polyeder

P(f) ={x ∈R^E|x(T)≤f(T) f¨ur alle T ⊆E,x≥O}

mit einer normierten, monotonen, submodularen Funktion f : 2^E →R(E endlich).

Korollar 4.17

Matroid-Polytope sind Polymatroide.

Optimieren ¨uber Polymatroiden

Satz 4.18

Seien f : 2^E →R(E endlich) normiert, monoton und submodular, w ∈R^E,E ={e1, . . . ,en} und we1≥we2≥· · ·≥wen. Sei k maximal mit we_k >0. Dann ist x^󰂏∈R^E mit

x_e^󰂏_i =

󰀝 f(Ti)−f(Ti−1) falls i ≤k

0 falls i >k

eine Optimall¨osung von

max{〈w,x〉|x∈P(f)},

wobei Ti :={e1,e2, . . . ,ei} f¨ur alle i ∈{0,1, . . . ,n} ist.

Korollar 4.19

Ist f : 2^E →N eine normierte, monotone, submodulare Funktion mit ganzzahligen Werten, so ist das Polymatroid P(f) ganzzahlig;

insbesondere gilt dies, wenn f die Rangfunktion eines Matroids ist.

Monotonie, Normiertheit, Submodularit¨at

Definition 4.12

Eine Funktionϕ: 2^E →Rist monoton, wenn ϕ(X)≤ϕ(Y) f¨ur alleX,Y ⊆E mitX ⊆Y gilt.

Definition 4.13

Eine Funktionϕ: 2^E →Rist normiert, wenn ϕ(∅) = 0

gilt.

Eine Funktionϕ: 2^E →R(f¨ur eine endliche Menge E) ist submodular, wenn

ϕ(X ∪Y) +ϕ(X ∩Y)≤ϕ(X) +ϕ(Y) f¨ur alleX,Y ⊆E gilt.

Monotonie, Normiertheit, Submodularit¨at

Definition 4.12

Eine Funktionϕ: 2^E →Rist monoton, wenn ϕ(X)≤ϕ(Y) f¨ur alleX,Y ⊆E mitX ⊆Y gilt.

Definition 4.13

Eine Funktionϕ: 2^E →Rist normiert, wenn ϕ(∅) = 0

gilt.

Definition 4.14

Eine Funktionϕ: 2^E →R(f¨ur eine endliche Menge E) ist submodular, wenn

ϕ(X ∪Y) +ϕ(X ∩Y)≤ϕ(X) +ϕ(Y) f¨ur alleX,Y ⊆E gilt.

Polymatroide

Satz 4.15

Die Rang-Funktion eines Matroids ist normiert, monoton und submodular.

EinPolymatroid ist ein Polyeder

P(f) ={x ∈R^E|x(T)≤f(T) f¨ur alle T ⊆E,x≥O} mit einer normierten, monotonen, submodularen Funktion f : 2^E →R(E endlich).

Korollar 4.17

Matroid-Polytope sind Polymatroide.

Polymatroide

Satz 4.15

Die Rang-Funktion eines Matroids ist normiert, monoton und submodular.

Definition 4.16

EinPolymatroid ist ein Polyeder

P(f) ={x ∈R^E|x(T)≤f(T) f¨ur alle T ⊆E,x≥O}

mit einer normierten, monotonen, submodularen Funktion f : 2^E →R(E endlich).

Matroid-Polytope sind Polymatroide.

Polymatroide

Satz 4.15

Die Rang-Funktion eines Matroids ist normiert, monoton und submodular.

Definition 4.16

EinPolymatroid ist ein Polyeder

P(f) ={x ∈R^E|x(T)≤f(T) f¨ur alle T ⊆E,x≥O}

mit einer normierten, monotonen, submodularen Funktion f : 2^E →R(E endlich).

Korollar 4.17

Matroid-Polytope sind Polymatroide.

Optimieren ¨uber Polymatroiden

Satz 4.18

Seienf : 2^E →R(E endlich) normiert, monoton und submodular, w ∈R^E,E ={e1, . . . ,en} und we1≥we2≥· · ·≥wen. Sei k maximal mitwe_k >0. Dann ist x^󰂏∈R^E mit

x_e^󰂏_i =

󰀝 f(Ti)−f(Ti−1) falls i ≤k 0 falls i >k eine Optimall¨osung von

max{〈w,x〉|x∈P(f)},

wobeiTi :={e1,e2, . . . ,ei} f¨ur alle i ∈{0,1, . . . ,n} ist.

Istf : 2^E →N eine normierte, monotone, submodulare Funktion mit ganzzahligen Werten, so ist das PolymatroidP(f) ganzzahlig; insbesondere gilt dies, wennf die Rangfunktion eines Matroids ist.

Optimieren ¨uber Polymatroiden

Satz 4.18

Seienf : 2^E →R(E endlich) normiert, monoton und submodular, w ∈R^E,E ={e1, . . . ,en} und we1≥we2≥· · ·≥wen. Sei k maximal mitwe_k >0. Dann ist x^󰂏∈R^E mit

x_e^󰂏_i =

󰀝 f(Ti)−f(Ti−1) falls i ≤k 0 falls i >k eine Optimall¨osung von

max{〈w,x〉|x∈P(f)},

wobeiTi :={e1,e2, . . . ,ei} f¨ur alle i ∈{0,1, . . . ,n} ist.

Korollar 4.19

Istf : 2^E →N eine normierte, monotone, submodulare Funktion mit ganzzahligen Werten, so ist das PolymatroidP(f) ganzzahlig;

insbesondere gilt dies, wennf die Rangfunktion eines Matroids ist.