Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2014/15)

Vorlesung

Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2014/15)

Kapitel 1: K¨urzeste Wege und Kreise

Volker Kaibel

Otto-von-Guericke Universit¨at Magdeburg

(Version vom 23. Oktober 2014)

Graphen und Digraphen

Definition 1.1

EinGraph ist ein Paar G = (V,E) bestehend aus einer endlichen KnotenmengeV und einer TeilmengeE ⊆ ^V₂

der

zweielementigen Teilmengen vonV, der KantenmengevonG. Definition 1.2

EinDigraph (gerichteter Graph) ist ein Paar D= (V,A) bestehend aus einer endlichenKnotenmenge V und einer Teilmenge

A⊆V ×V \ {(v,v)|v ∈V},

derBogenmengevon D. Zwei B¨ogen (v,w),(w,v)∈Aheißen antiparallel.

Wege und Kreise in Graphen

Definition 1.3

SeiG = (V,E) ein Graph mit V ={v₀,v₁, . . . ,v_l}und E ={{v₀,v₁},{v₁,v₂}, . . . ,{v_l−1,v_l}}

1. Sind v0,v1, . . . ,vl paarweise verschieden, so heißt G ein v₀−v_l-Weg der(kombinatorischen) L¨ange l.

2. Istv0 =v_l und sindv0=v_l,v1, . . . ,vl−1 paarweise verschieden, so istG einKreisder (kombinatorischen) L¨angel.

Wege und Kreise in Digraphen

Definition 1.4

SeiD = (V,A) ein Digraph mit V ={v₀,v₁, . . . ,v_l} und A={(v₀,v1),(v1,v2), . . . ,(vl−1,v_l)}

1. Sind v₀,v₁, . . . ,v_l paarweise verschieden, so heißt D ein (gerichteter) v0−vl-Wegder (kombinatorischen) L¨ange l.

2. Istv0 =vl und sindv0=vl,v1, . . . ,vl−1 mit l ≥2 paarweise verschieden, so istG ein(gerichteter) Kreisder

(kombinatorischen) L¨ange l.

Teilgraphen

Definition 1.5

SindG = (V,E) und G⁰ = (V⁰,E⁰) (bzw. D = (V,A) und D⁰= (V⁰,A⁰)) zwei Graphen (bzw. Digraphen) mitV⁰ ⊆V und E⁰ ⊆E (bzw. A⁰ ⊆A), so ist G⁰ einTeilgraphvon G (bzw.D⁰ ein TeildigraphvonD). Falls sogar

E⁰ =E∩ V⁰

2

bzw. A⁰=A∩(V⁰×V⁰) gilt, so heißt der Teilgraphinduzierter Untergraph(bzw.

induzierter Unterdigraph). GiltV⁰ =V, so heißt der Teilgraph spannend.

Induzierte Knoten-, Kanten-, B¨ ogenmengen

Definition 1.6

SeiG = (V,E) ein Graph. F¨ur Teilmengen V⁰ ⊆V und E⁰ ⊆E definieren wirE(V⁰) :=E ∩ ^V₂⁰

und

V(E⁰) :={v ∈V| {v,w} ∈E⁰ f¨ur ein w ∈V}

Definition 1.7

SeiD = (V,A) ein Graph. F¨ur TeilmengenV⁰⊆V und A⁰ ⊆A definieren wirA(V⁰) :=A∩(V⁰×V⁰) und

V(A⁰) :={v ∈V |(v,w)∈A⁰ oder (w,v)∈A⁰ f¨ur ein w ∈V}

Wege und Kreise in Graphen

Definition 1.8

F¨ur eine endliche MengeM,c ∈R^M und N⊆M definieren wir c(N) := X

x∈N

c_x.

Definition 1.9

IstG = (V,E) ein Graph,c ∈R^E, und G⁰ = (V⁰,E⁰) ein Untergraph vonG, der eins-t-Weg (bzw. ein Kreis) ist, so heißt E⁰ ⊆E ein s-t-Weg (bzw. Kreis) inG. Seinec-L¨angeist c(E⁰).

Die Menge dervon E⁰ besuchten Knoten istV⁰ =V(E⁰).

Wege und Kreise in Digraphen

Definition 1.10

IstD= (V,A) ein Digraph,c ∈R^A, undD⁰ = (V⁰,A⁰) ein Unterdigraph vonD, der ein (gerichteter) s-t-Weg (bzw. ein (gerichteter) Kreis) ist, so heißtA⁰ ⊆A ein (gerichteter) s-t-Weg (bzw. (gerichteter) Kreis) inD. Seinec-L¨ange istc(A⁰). Die Menge dervon A⁰ besuchten Knotenist V⁰=V(A⁰).

Wege- und Kreisprobleme

Problem 1.11 (K¨urzeste-Wege Problem)

Instanz: Digraph D= (V,A), c ∈Q^A, s,t ∈V

Aufgabe: Finde einen s-t-Weg k¨urzester c-L¨ange oder stelle fest, dass es keinen s-t-Weg in D gibt.

Problem 1.12 (K¨urzester-Kreis-Problem) Instanz: Digraph D= (V,A), c ∈Q^A

Aufgabe: Finde einen Kreis k¨urzester c-L¨ange oder stelle fest, dass es keinen Kreis in D gibt.

Ungerichtete Graphen

Bemerkung 1.13

Das Problem, in einem ungerichteten Graphen G = (V,E) k¨urzeste Wege oder Kreise zu finden, kann man durch Konstruktion des Digraphen D= (V,A)mit

A={(v,w)∈V ×V| {v,w} ∈E} auf die Probleme 1.11 bzw. 1.12 zur¨uck f¨uhren.

Weitere Bemerkungen

Bemerkung 1.14

I Analog zum K¨urzesten-Wege bzw. K¨urzesten-Kreis Problem ist das L¨angste-Wege Problem bzw. das L¨angster-Kreis Problemdefiniert.

I Durch Multiplikation des L¨angenvektors c mit(−1)kann man K¨urzeste- und L¨angste-Wege/Kreise-Probleme ineinander transformieren (solange es nicht auf Vorzeichen ankommt).

I K¨urzester/L¨angster-Kreis Probleme kann man mit Hilfe von

|A|K¨urzeste/L¨angste-Wege Problemen l¨osen.

I Das K¨urzeste/L¨angste-Wege/Kreise Probleme f¨ur beliebige D und c sind NP-schwer (z.B. Reduktion von Hamilton-Kreis oder Hamilton-Pfad, s. ¨Ubungen).

Nachbarn, Sterne, Knotengrade

Definition 1.19

F¨ur einen Digraphen D= (V,A) undv ∈V definieren wir:

I N^aus(v) :={w ∈V|(v,w)∈A}

I N^ein(v) :={w ∈V |(w,v)∈A}

I δ^aus(v) :={(v,w)|w ∈N^aus(v)}

I δ^ein(v) :={(w,v)|W ∈N^ein(v)}

|δ^aus(v)|und |δ^ein(v)|sind derAusgradbzw. der Eingradvon v.

F¨ur einen Graphen G = (V,E) und v ∈V definieren wir:

I N(v) :={w ∈V | {v,w} ∈E}

I δ(v) :={{v,w} |w ∈N(v)}

|δ(v)|ist derGrad vonv.

Zusammenhang

Definition 1.21

Ein GraphG = (V,E) heißt zusammenh¨angend, wenn es f¨ur jedes Paars,t∈V einen s-t-Weg inG gibt. Die

(inklusions-)maximalen zusammenh¨angenden Teilgraphen eines Graphen sind seineZusammenhangskomponenten.

Definition 1.22

F¨ur einen Digraphen D= (V,A) heißtG = (V,E) mit E ={{v,w} |(v,w)∈Aoder (w,v)∈A}

derD zugrunde liegende ungerichtete Graph.

Definition 1.23

Ein DigraphD= (V,A) heißtstark zusammenh¨angend, wenn es f¨ur jedes Paars,t ∈V einen (gerichteten) s-t-Weg inD gibt. Ist derD zugrunde liegende ungerichtete Graph zusammenh¨angend, so heißtD schwach zusammenh¨angend.

B¨ aume und W¨ alder

Definition 1.24

EinWald ist ein (ungerichteter) Graph, der keine Kreise enth¨alt.

Ein Wald ist einBaum, wenn er zusammenh¨angend ist.

Bemerkung 1.25

Ein Graph G = (V,E)mit|V| ≥1ist genau dann ein Baum, wenn er zusammenh¨angend ist und|E|=|V| −1gilt.

Branchings und Arboreszenzen

Definition 1.26

Ein DigraphD= (V,A) heißt ein Branching, wenn er keine antiparallelen B¨ogen hat, der D zugrunde liegende ungerichtete Graph ein Wald ist und|δ^ein(v)| ≤1 f¨ur alle v ∈V gilt. Ein schwach zusammenh¨angendes Branching ist eineArboreszenz.

Bemerkung 1.27

In einer Arboreszenz D= (V,A)gibt es genau einen Knoten r∈V mitN^ein(r) =∅. Er heißt die Wurzel von D. F¨ur jedes v∈V gibt es einen eindeutigen r -v -Weg in D.

Bemerkung 1.28

Eine Arboreszenz D = (V,A) mit Wurzel r ∈V ist eindeutig bestimmt durch die Abbildung p:V \ {r} −→V mit

(p(v),v)∈A.

K¨ urzeste-Wege B¨ aume

Definition 1.29

F¨ur einen Digraphen D= (V,A) unds ∈V bezeichnen wir mit RD(s)⊆V die Menge alle Knoten v∈V, f¨ur die ein s-w-Weg inD existiert.

Korollar 1.30 (aus Satz 1.16)

F¨ur einen Digraphen D= (V,A)mit konservativen Bogenl¨angen c ∈R^A und s ∈V gibt es eine Arboreszenz T = (R_D(s),A⁰), so dass f¨ur jedes v ∈R_D(s) der s-v -Weg in T ein c-k¨urzester s-v -Weg in D ist.

Definition 1.31

Eine Arboreszenz wie in Kor. 1.30 heißt ein K¨urzeste-Wege-Baum (f¨ur D,c,s).

K¨ urzeste Wege in azyklischen Digraphen

Algorithmus 1.36 (K¨urzeste Wege in azyklischen Digraphen) Eingabe: Azyklischer Digraph D = (V,A) mit topologischer

Sortierung V ={v₁, . . . ,v_n}, c ∈Q^A,σ∈[n]

Ausgabe: F¨ur jeden Knoten v ∈V \ {v_σ} den Wert

d(v) = dist_c(v_σ,v) und, falls d(v)6=∞, den letzten Bogen(p(v),v) auf einem vσ-v -Weg k¨urzester c-L¨ange (k¨urzeste-Wege Baum bzgl. v_σ)

1: for i = 1, . . . ,n do

2: d(v_i)← ∞

3: d(vσ)←0

4: for i =σ+ 1, . . . ,n do

5: d(v_i)←min{d(w) +c_(w,vi)|w ∈N^ein(v_i)}

6: p(vi)←ein w ∈N^ein(vi) mit d(vi) =d(w) +c_(w,vi)

(p(vi)bleibt undefiniert, falls d(vi) =∞ oderN^ein(vi) =∅)

Dijkstras Algorithmus

Algorithmus 1.38 (Dijkstra-Algorithmus) Eingabe: Digraph D= (V,A),c ∈Q^A+,s ∈V

Ausgabe: F¨ur alle v ∈V \ {s} den Wert d(v) = distc(s,v) und, falls d(v)6=∞, den letzten Bogen(p(v),v) auf einem s-v -Weg k¨urzester c-L¨ange

1: for all {v ∈V \ {s}} do

2: d(v)← ∞

3: d(s)←0;F ← ∅

4: Bestimme v ∈V \F mit d(v) = min{d(w)|w ∈V \F}

5: F ←F ∪ {v}

6: for all {w ∈N^aus(v)\F}do

7: if{d(w)>d(v) +c_vw} then

8: d(w)←d(v) +cvw

9: p(w)←v

10: if{F 6=V}then

11: Gehe zu Schritt 4.

Pfade

Definition 1.45

SeiD = (V,A) ein Digraph und c ∈R^A. Ein l-Tupel P = (v₀,v₁),(v₁,v₂),(v₂,v₃), . . . ,(vl−1,v_l)

∈A^l von B¨ogen inA heißt ein v₀-v_l-Pfad in D (dabei d¨urfen einzelne Knoten und einzelne B¨ogen beliebig oft auftreten) der c-L¨ange

c(P) :=

l

X

i=1

cvi−1,vi.

Seine(kombinatorische) L¨angeist l.

Bemerkung 1.46

In einem Digraphen D= (V,A) mit konservativen Bogenl¨angen c ∈R^A gilt c(P)≥dist_c(s,t) f¨ur jeden s-t-Pfad P.

Der Bellman-Ford Digraph

Definition 1.47

SeiD = (V,A) ein Digraph,c ∈R^A. Der Graph BF(D) = (V⁰,A⁰) hat die Knotenmenge

V⁰=V × {0,1, . . . ,|V|}

und die Bogenmenge A⁰ =

((v,i−1),(w,i))

(v,w)∈A,i ∈[|V|]

∪

((v,i−1),(v,i))

i ∈[|V|] . Die Mengen{(v,i) :i ∈ {0,1, . . . ,|V|}}(v ∈V) sind dieZeilen vonBF(D). Analog sind {(v,i) :v ∈V}(i ∈ {0,1, . . . ,|V|}) die Spaltenvon BF(D). Die B¨ogen, welche Knoten einer Zeile verbinden, heißenwaagerecht. Wir definierenc⁰ ∈R^A

0 via c(v,i),(w,i+1)⁰ =

cvw , falls (v,w)∈A 0 , falls v =w

.

BF (D )

1 2

3 5

4

6

1

2

3

4

5

6

1 2

3 5

4

6

1

2

3

4

5

6

1 2

3 5

4

6

1

2

3

4

5

6

1 2

3 5

4

6

1

2

3

4

5

6

0/1-Knapsack

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7

5

3

4 3

2

4 5

4 1 2

a= (2,1,3,1,2,2), c = (5,1,3,2,4,1),β = 7

K (D )

1 2

3 5

4

6

1

2

3

4

5

6 s

Beweis des Min Mean Cycle Satzes

w

v s

P1 (Q1) P

P2 (Q2)

P3