Prof. Dr. Volker Kaibel M.Sc. Benjamin Peters Wintersemester 2016/2017
Kombinatorische Optimierung – Blatt 11
www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise16/kombopt/
Pr¨asentation in der ¨Ubung am 19.01.2017
Aufgabe 1
Gegeben sei eine endliche Grundmenge E und eine Kollektion von Teilmengen S ⊆ 2E. Einepartielle Transversale T ⊆E ist eine Menge von Elementen, so dassT derart mittels f injektiv nach S abgebildet werden kann, dasst∈f(t)f¨ur alle t∈T gilt. (Kann T sogar bijektiv nachS abgebildet werden, so heißt T Transversale.)
Zeige, dass die Menge der partiellen Transversalen ein Matroid ¨uberE bildet.
Aufgabe 2
SindM1= (E,I1)undM2 = (E,I2)zwei Matroide, so ist der Schnitt der beiden Matroide definiert alsM1∩M2= (E,I1∩ I2). Analog definiert man Schnitte von mehr als zwei Ma- troiden. (Achtung: Schnitte von Matroiden sind im Allgemeinen nicht selbst Matroide!) Gegeben sei ein DigraphD= (V, A)unds, t∈V. Zeige, dass die Menge aller Mengen kno- tendisjunkter Wege und Kreise, die nicht ins hineinf¨uhren und nicht aust hinausf¨uhren, als Schnitt zweier Matroide aufgefasst werden kann.
Hinweis: Benutze jeweils ein Transversalmatroid f¨urs und eines f¨urt.
Wieso zeigt das, dass das Optimieren ¨uber den Schnitt dreier Matroide im Allgemeinen NP-schwer (d.h. so schwer wie das Hamiltonwegproblem) ist?
S. 1/1
