Prof. Dr. Volker Kaibel
Dipl.-Comp.-Math. Matthias Walter Wintersemester 2014/2015
Kombinatorische Optimierung – Blatt 9
www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise14/kombopt/
Pr¨asentation in der ¨Ubung am 13.01.2015
Aufgabe 1
Ein Assistent hat f¨ur eine ¨Ubungsstunde mit n Studierenden eine Liste mit n Aufga- ben vorbereitet. Jeder Studierende soll genau eine Aufgabe vorrechnen. Daf¨ur hat jeder Studierende sich eine Pr¨aferenzliste, welche Aufgabe er am liebsten rechnen m¨ochte, am zweitliebsten usw. Andererseits hat der ¨Ubungsleiter f¨ur jede Aufgabe eine Liste angelegt, die voraussagt, wieviel Zeit ein Studierender f¨ur diese Aufgabe voraussichtlich ben¨otigen wird. Die Zeitangaben auf einer solchen Liste sind paarweise verschieden. Eine Zuordnung der Aufgaben zu den Studierenden heißt nunideal, wenn kein Student eine Aufgabe, die er lieber gerechnet h¨atte und auch noch schneller als derjenige, der sie schließlich rechnet, nicht bekommt.
Betrachte nun folgenden Algorithmus zur Bestimmung einer Zuordnung der Aufgaben:
Es gebe zum einen eine Liste von Studierenden L, die noch keine Aufgabe bekommen haben. Diese enth¨alt am Anfang alle Studierenden. Damit wird nun folgender Schritt iteriert:
Ein beliebiger Studierender inLwird gew¨ahlt und vonL gestrichen. Er w¨ahlt von seiner Liste die Aufgabe, die er am liebsten m¨ochte. Ist die Aufgabe noch frei, bekommt er sie zugewiesen, ist sie jedoch schon an jemand anderen vergeben, so wird die Aufgabe an denjenigen der beiden vergeben, der sie schneller rechnen kann. In diesem Fall wird der Studierende, der leer ausgegangen ist, wieder auf Lgesetzt, und er streicht die Aufgabe, die ihm entgangen ist, von seiner Pr¨aferenzliste.
(a) ¨Ubersetze die Aufgabe in ein perfektes Matching Problem mit besonderen Neben- bedingungen.
(b) Zeige, dass das vorgeschlagene Verfahren mit einer idealen Zuordnung terminiert.
(c) Sch¨atze die Laufzeit des Verfahrens ab.
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Aufgabe 2
Sei A ein Algorithmus, der f¨ur beliebige Graphen, beliebige Teilmengen T der Knoten und beliebige Kantengewichte ein gewichtsminimales T-Join finden kann (oder feststellt, dass keines existiert). Zur Erinnerung: Eine KantenteilmengeJ ⊆E heißt T-Join, falls T genau die Menge der Knoten des Untergraphen (V, J) mit ungeradem Grad ist.
SeienG= (V, E)ein Graph undc∈QE Kantengewichte. Beweise mit folgender Strategie, dass man mit Hilfe von Algorithmus A ein c-minimales perfektes Matching in G finden kann (oder feststellt, dass keines existiert):
(i) W¨ahle ein geeignetesT, sodass perfekte Matchings inG spezielle T-Joins sind.
(ii) ¨Uberlege Dir, warum f¨ur dieses T die T-Joins bestimmter Kardinalit¨at immer per- fekte Matchings sind.
(iii) Zeige damit, dass es gen¨ugt, mittels A in G ein c′-minimales T-Join zu finden, wobei c′∈QE als c′e∶= ce+K f¨ur alle e∈E gew¨ahlt wird. Hierbei ist K eine große Konstante, z.B. K ∶= ∑e∈E∣ce∣.
Aufgabe 3
Seien der vollst¨andige Graph Kn = (Vn, En) auf n Knoten sowie metrische Gewichte c∈ QE+n gegeben, d.h. f¨ur alle Knoten u, v, w ∈ V (paarweise verschieden) gilt die Drei- ecksungleichung c{u,v} ≤c{v,w}+c{w,v}.
Wir betrachten das Problem, einen Hamiltonkreis (d.h. einen Kreis der L¨ange n) mit minimalem c-Gewicht zu finden.
DerChristofides-Algorithmus findet einen HamiltonkreisH mitc(H) ≤ 32c(H∗), wobei H∗ der Hamiltonkreis mit minimalemc-Gewicht ist. Zeige daf¨ur folgendes:
(a) Sei B ⊆ En ein aufspannender Baum (d.h. ein Baum mit ∣B∣ = n−1) minimalen c-Gewichts in Kn. Zeige, dass c(B) ≤ c(H∗) gilt, indem Du in H∗ einen Baum findest.
(b) Sei T ⊆V beliebig mit ∣T∣ gerade. Zeige, dass f¨ur ein c-minimales T-Join J immer c(J) ≤12c(H∗)gilt, indem Du in H∗ zwei disjunkte T-Joins findest.
(c) Seien T ∶= {v∈V ∶degB(v) ungerade} die Menge der Knoten mit ungeradem Grad im Baum B und J ein T-Join in Kn. ¨Uberlege Dir, wie man aus B ⊍J einen Hamiltonkreis H konstruieren kann, so dass c(H) ≤ c(B) +c(J) gilt. Nutze daf¨ur die Dreiecksungleichung!
