Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2018/19)

Vorlesung

Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2018/19)

Kapitel 3: Matchings

Volker Kaibel

Otto-von-Guericke Universit¨at Magdeburg

(Version vom 20. Dezember 2018)

Matchings

Definition 3.1

EinMatchingin einem Graphen G = (V,E) (mit Kantenmenge E ⊆ ^V₂

) ist eine Kantenteilmenge M ⊆E mit e∩e⁰=∅

f¨ur allee,e⁰ ∈M mite 6=e⁰. Ein MatchingM ⊆E heißt perfekt, wenn

M ∩δ(v)6=∅

f¨ur allev ∈V gilt (oder ¨aquivalent dazu:V = S

e∈M

e).

Bipartite Graphen

Definition 3.2

Ein GraphG = (V,E) heißt bipartit, wenn es eine Bipartition V =X ]Y (mit X ∩Y =∅) gibt mit

e 6⊆X und e 6⊆Y f¨ur allee ∈E.

Bemerkung 3.3

Ein Graph ist genau dann bipartit, wenn er keinen Kreis ungerader (kombinatorischer) L¨ange enth¨alt.

Satz von Hall

Satz 3.4

Ein bipartiter Graph G = (V,E) mit Bipartition V =X ]Y und

|X|=|Y|hat entweder ein perfektes Matching oder es gibt A⊆X mit|N(A)|<|A|(aber nicht beides).

Satz von K¨ onig

Definition 3.5

EineKnoten¨uberdeckung eines GraphenG = (V,E) ist eine KnotenteilmengeW ⊆V mit

e∩W 6=∅ f¨ur allee ∈E.

Satz 3.6

In einem bipartiten Graphen ist die maximale Kardinalit¨at eines Matchings gleich der minimalen Kardinalit¨at einer

Knoten¨uberdeckung.

(Kombinatorische starke Dualit¨at, Min-Max Resultat)

Matchingprobleme

Problem 3.7 (Kardinalit¨ats-Matchingproblem) Instanz: Graph G = (V,E)

Aufgabe: Bestimme ein Matching maximaler Kardinalit¨at in G . Problem 3.8 (Gewichtetes Matchingproblem)

Instanz: Graph G = (V,E), Kantengewichte w ∈Q^E

Aufgabe: Bestimme ein Matching M ⊆E maximalen Gewichts w(M).

Problem 3.9 (Gewichtetes perfektes Matchingproblem) Instanz: Graph G = (V,E), Kantenkosten c ∈Q^E

Aufgabe: Bestimme ein perfektes Matching M ⊆E minimaler Kosten c(M) oder stelle fest, dass G kein perfektes Matching hat.

Perfekte Matchings in bipartiten Graphen

Satz 3.10

Das gewichtete perfekte Matchingproblem kann in bipartiten Graphen G = (V,E)in Zeit O(|V||E|+|V|²log|V|))gel¨ost werden.

(Mittels Successive-Shortest-Path Algorithmus in einem Netzwerk, das zwei zus¨atzliche Knoten hat; siehe ¨Ubungen)

Das Lineare Assigment Problem

Definition 3.11

Ein bipartiter GraphK_n,m = (V,E) mit BipartitionV =X]Y, n=|X|,m=|Y|und

E ={{x,y} |x∈X,y ∈Y}

heißt einvollst¨andiger bipartiter Graphauf n+mKnoten.

Bemerkung 3.12

Das gewichtete perfekte Matchingproblem im Kn,m (Lineares Assignment-Problem) kann in

O(nm(n+m)) Zeit gel¨ost werden.

(”Ungarische Methode”, Spezialfall des Successive-Shortest-Path Algorithmus.)

Matchings in Bipartiten Graphen

Korollar 3.13

Das gewichtete Matchingproblem in bipartiten Graphen

G = (V,E) kann in O(|V||E|+|V|²log|V|))Zeit gel¨ost werden.

(Siehe ¨Ubungen.)

Alternierende Pfade

Definition 3.14

SeiM ⊆E ein Matching in G = (V,E). Ein Knotenv ∈V heißt M-exponiert, wennv ∈/ e f¨ur alle e ∈M gilt. Die Menge der M-exponierten Knoten istXM ⊆V.

Ein TupelP = (v₀,v₁, . . . ,v<sub>`</sub>) von Knoten in V mit` >0 ist ein M-alternierender Pfad, wenn

I e_i :={v_i−1,v_i} ∈E f¨ur alle i ∈[`] und

I |{e_i,e_i+1} ∩M|= 1 f¨ur alle i ∈[`−1].

gelten; wir bezeichnen seine Kantenmenge mit E(P) ={e₁, . . . ,e_`}.

Augmentierende Wege

Definition 3.15

EinM-augmentierender Wegist ein M-alternierender Pfad P = (v0,v1, . . . ,v<sub>`</sub>) mit`≥1 und

I v0 und v` sind M-exponiert und

I v0,v1, . . . ,v` sind paarweise verschieden (E(P)⊆E ist also einv<sub>0</sub>-v<sub>`</sub>-Weg inG).

Finden Kardinalit¨ atsmaximaler Matchings

Satz 3.16

Ein Matching M⊆E in G = (V,E) ist genau dann ein Matching maximaler Kardinalit¨at in G , wenn es keinen M-augmentierenden Weg gibt.

(Beweis: ¨Ubungen) Algorithmischer Ansatz:

Starte mit leerem MatchingM und ersetze iteriert M durch M4E(P) mit einemM-augmentierenden WegP, solange ein solcher existiert (h¨ochstens ^|V₂^| Iterationen).

Finden augmentierender Wege

I Sei M ⊆E ein Matching inG = (V,E).

I Definiere den Digraphen D_M = (V,A_M) mit

A_M ={(v,w) : Es gibt u∈V mit {v,u} ∈E\M und {u,w} ∈M.}

I F¨urS ⊆V sei

N(S) = [

v∈S

N(v)⊆V.

I Jeder M-augmentierende Weg inG mit Endknoten s 6=t induziert einen s-t⁰-Weg inD_M (mit s ∈X_M und

s 6=t∈N(t⁰), alsot⁰ ∈N(X_M\ {s})).

Finden augmentierender Wege

I Ein s-t⁰-WegW in D_M mits ∈X_M und t⁰ ∈N(X_M \ {s}) induziert i. A. aber nur einen alternierenden Pfad in G (vgl.

n¨achste Folie).

I Falls G bipartit ist, kann das nicht passieren (keine ungeraden Kreise in G).

I Also kann man f¨ur bipartiteG durch Breitensuche (von exponierten Knoten aus) in O(|E|) Schritten einen M-augmentierenden Weg finden oder feststellen, dass M maximale Kardinalit¨at hat.

Blumen mit Bl¨ uten und Stielen

Kardinalit¨ atsmaximale Matchings in Bipartiten Graphen

Bemerkung 3.17

Ein kardinalit¨atsmaximales Matching kann in bipartiten Graphen G = (V,E) mittels iterierten Findens augmentierender Wege in ZeitO(|V||E|) bestimmt werden.

I Vergleiche augmentierende Fluss-Algorithmen.

I Die Laufzeitschranke kann sogar auf O(p

|V| · |E|) verbessert werden.

Bl¨ uten

Definition 3.18

IstM ⊆E ein Matching in G = (V,E), so heißt ein

M-alternierender Pfad P = (v0,v1, . . . ,v_`) eineM-Blume, wenn

I v0∈XM,

I v0, . . . ,v`−1 paarweise verschieden,

I v<sub>`</sub>=v<sub>i</sub> f¨ur ein geradesi ∈ {0, . . . , `−1}.

Das Tupel (v_i,v_i+1, . . . ,v`−1,v<sub>`</sub> =v_i) heißt dann eineM-Bl¨ute;

der alternierende Weg (v₀, . . . ,v_i) derM-Stiel der M-Blume.

Kontraktion / Schrumpfen

Definition 3.19

SeiG = (V,E) ein Graph undS ⊆V. Der durch Kontraktion (Schrumpfen) vonS entstehende Graph ist

G/S = (V \S ∪ {S},E/S) mit

E/S =E(V \S)∪ {{v,S} |δ(v)∩δ(S)6=∅}.

F¨urM ⊆E definieren wir analog

M/S :=M∩E(V \S)∪ {{v,S} |δ(v)∩δ(S)∩M 6=∅}.

Bl¨ uten-Schrumpf-Lemma

Lemma 3.20

Seien M⊆E ein Matching in G = (V,E) und(v₀,v₁, . . . ,v<sub>`</sub>=v<sub>0</sub>) eine M-Bl¨ute mit B ={v<sub>0</sub>,v1, . . . ,v`−1}. Dann ist M genau dann ein kardinalit¨atsmaximales Matching in G , wenn M/B ein

kardinalit¨atsmaximales Matching in G/B ist; aus einem

M/B-aufgnentierenden Weg in G/B kann man in Linearzeit einen M-augmengtiereden Weg in G bestimmen.

(Hier ohne Beweis.)

Vorsicht beim Schrumpfen!

Finden augmentierender Wege

Algorithmus 3.21 (Augment-M)

Eingabe: Matching M ⊆E in G = (V,E)

Ausgabe: M-augmentierender Weg (falls einer existiert)

1: Konstruiere DM

2: Suche einen s-t-Weg W in D_M, s ∈X_M, t∈N(X_M \ {s}).

3: ifkein solcher Weg existiert then

4: Stop (”M kardinalit¨atsmaximal”)

5: ifW induziert WegW in G˜ then

6: Stop (”W M-augmentierend”)˜

7: Sei B ⊆V die Knotenmenge der M-Bl¨ute der M-Blume in W .˜

8: Rufe den Algorithmus rekursiv mit G/B und M/B auf.

9: ifM/B kardinalit¨atsmaximal in G/B then

10: Stop (”M kardinalit¨atsmaximal in G ”)

11: Expandiere den gefundenen M/B-augmentierenden Weg Q in

G/B zu einem M-augmentierenden Weg Q in G .˜

12: STOP (”Q M-augmentierend”)˜

Expandieren augmentierender Wege

I Liegt {B} nicht aufQ, so w¨ahle ˜Q =Q.

I Andernfalls sei (v₀,v₁, . . . ,v<sub>`</sub>) die M-Bl¨ute in ˜W (B={v<sub>0</sub>,v1, . . . ,v`−1}), so dass

{v₀,v₁},{v_`−1,v₀} 6∈M sind.

I Sei w ∈V der Knoten, f¨ur den{{B},w} die Nicht-Matching Kante inQ ist; seij so, dass {v_j,w} ∈E.

I Falls j gerade: Ersetze{B}durch v₀, . . . ,v_j

I Falls j ungerade: Ersetze{B} durch vj,vj+1, . . . ,v_`

Expandieren augmentierender Wege

v0

v3 v2

v4

v6 v5 v7

v8 v1

w

Analyse des Augmentierungs-Algorithmus

Lemma 3.22

Algorithmus 3.21 kann so implementiert werden, dass seine Laufzeit durch

O(|V||E|) beschr¨ankt ist.

Bestimmung eines kardinalit¨ atsmaximalen Matchings

Algorithmus 3.23 (Edmonds Blossom-Shrink Algorithmus) Eingabe: Graph G = (V,E)

Ausgabe: Matching M ⊆E maximaler Kardinalit¨at in G

1: M ← ∅

2: Rufe Algorithmus 3.21 auf.

3: ifM kardinalit¨atsmaximal then

4: Stop (Ausgabe: M)

5: Sei W ⊆E die Kantenmenge des gefundenen M-augmentierenden Weges

6: M ←M4W

7: Gehe zu Schritt 2.

Analyse des Blossom-Skrink-Algorithmus

Satz 3.24

Edmonds Blossom-Shrink Algorithmus findet in O(|V|²|E|) Schritten ein kardinalit¨atsmaximales Matching in G = (V,E).

Korollar 3.25

Man kann in O(|V|²|E|) Zeit ein perfektes Matching in G = (V,E) finden oder feststellen, dass G kein perfektes Matching hat.

Bemerkungen zu Matching-Algorithmen

I Eine Variante des Blossom-Shrink Algorithmus (”alternierende W¨alder”) braucht nurO(|V|³) Schritte.

I Algorithmus von Micali und Vazirani sogar (ohne explizites Schrumpfen von Bl¨uten): O(p

|V| · |E|)

I Edmonds 1965: Erweiterung des Algorithmus f¨ur

gewichts-maximale Matchings (mit beliebigen Gewichten w ∈Q^E) mit Laufzeitschranke O(|V|⁴).

I Laufzeit-Verbesserung (Gabow 1990):

O(|V|(|E|+|V|log|V|))

Matching-Polytope

Definition 3.25

F¨ur einen Graphen G = (V,E) sind

P_match(G) := conv{χ(M)∈ {0,1}^E|M ⊆E Matching}

dasMatching-Polytopund

P^perf_match(G) := conv{χ(M)∈ {0,1}^E|M ⊆E perfektes Matching}

dasperfekte Matching-PolytopvonG.

Bemerkungen

I Die Ecken von Pmatch(G) bzw. P^perf_match(G) sind die

charakteristischen Vektoren der Matchings bzw. perfekten Matchings in G.

I Gewichtete (perfekte) Matchingprobleme kann man also l¨osen, indem man optimale Eckenl¨osungen von linearen Optimierungsproblemen ¨uber (perfekten )

Matching-Polytopen bestimmt.

I Um Algorithmen und Strukturtheorie (Dualit¨atssa¨atze) der Linearen Optimierung einsetzen zu k¨onnen, ben¨otigt man Beschreibungen der Polytope Pmatch(G) und P^perf_match(G) als Schnitte von (endlich vielen) affinen Halbr¨aumen.

I Polyedrische Kombinatorik

Lineare 0/1-Beschreibungen

Bemerkung 3.27

F¨ur G = (V,E) ist x ∈ {0,1}^E genau dann enthalten in (und damit Ecke von)Pmatch(G) bzw.P^perf_match(G), wenn

x(δ(v))≤1 f¨ur alle v ∈V bzw.

x(δ(v)) = 1 f¨ur alle v ∈V gelten.

Lineare Beschreibungen f¨ ur Bipartite Graphen

Satz 3.30

F¨ur bipartite Graphen G = (V,E)gilt:

I P_match(G) ={x ∈[0,1]^E|x(δ(v))≤1 f¨ur alle v ∈V}

I P^perf_match(G) ={x ∈[0,1]^E|x(δ(v)) = 1f¨ur alle v ∈V} (Beweis: VL Ganzzahlige Lkineare Optimierung, SoSem 19)

Perfekte Matching-Polytope Beliebiger Graphen

Satz 3.31

F¨ur jeden Graphen G = (V,E)ist P^perf_match(G) das Polyeder, das von den folgenden linearen Bedingungen beschrieben wird:

xe ≥ 0 f¨ur alle e ∈E x(δ(v)) = 1 f¨ur alle v ∈V

x(δ(U)) ≥ 1 f¨ur alle U ⊆V,|U|ungerade

(1)

Beweis Satz 3.31: Kontraktionen

0.3

0.1 0.2

0.1 0.2

0.1

w1 0.3

0.4

0.3

w2

0.4 0.4

0.2

Beweis Satz 3.31: Kontraktionen (K · x )

3

1 2

1 2

1

w1 3

4

3

w2

4 4

2

Eine Umformulierung des Systems

Korollar 3.32

F¨ur G = (V,E) istP^perf_match(G) genau die L¨osungsmenge des folgenden Systems:

xe ≥ 0 f¨ur alle e ∈E x(δ(v)) = 1 f¨ur alle v ∈V

x(E(U)) ≤ ^|U|−1₂ f¨ur alle U ⊆V,|U|ungerade

(2)

Satz 3.33 (Edmonds Matching-Polytop Theorem)

F¨ur G = (V,E) istPmatch(G) die L¨osungsmenge des folgenden Ungleichungssystems:

x_e ≥ 0 f¨ur alle e ∈E x(δ(v)) ≤ 1 f¨ur alle v ∈V

x(E(U)) ≤ ^|U|−1₂ f¨ur alle U ⊆V,|U|ungerade

(3)

Konvexe K¨ orper

Problem 3.34 (Separationsproblem f¨ur K ⊆Rⁿ abgeschlossen und konvex)

Instanz: x^?∈Qⁿ

Aufgabe: Entscheide, ob x^? ∈K ist; wenn x^? ∈/K , bestimme einen Vektor a∈Qⁿ und ein β∈Qmit

ha,xi ≤β f¨ur alle x ∈K und

ha,x^?i> β

(die Hyperebene{x ∈Rⁿ:ha,xi=β+ε}trennt f¨ur gen¨ugend kleinesε >0 dann x^? von K ).

Ungleichungssysteme

Problem 3.35 (Separationsproblem f¨ur ein System S von linearen Ungleichungen und Gleichungen inRⁿ)

Instanz: x^?∈Qⁿ

Aufgabe: Entscheide, ob x^? das System S erf¨ullt; wenn nicht, bestimme eine Gleichung oder eine Ungleichung ausS, die von x^? verletzt wird.

Ellipsoid-Methode

I Kann man das Separationsproblem f¨ur eine Menge von endlichen Systemen von linearen Ungleichungen und

Gleichungen in polynomialer Zeit l¨osen, so kann man auch die linearen Optimierungsprobleme ¨uber den durch diese Systeme definierten Polyedern in polynomialer Zeit l¨osen.

I “Polynomial”: Polynomial in der Dimension und der gr¨oßten Kodierungsl¨ange einer Zahl im jeweiligen System

I Die Umkehrung gilt auch.

I “¨Aquivalenz von Separieren und Optimieren” (Gr¨otschel, Lovasz, Schrijver)

Praxis: Schnittebenen-Verfahren

I Sei S ein System von linearen Gleichungen und Ungleichungen in Rⁿ und P ={x ∈Rⁿ|x erf¨ullt alle Bedingungen in S}.

I Sei c ∈Qⁿ ein Zielfunktionsvektor.

I W¨ahle ein (einfaches) TeilsystemT vonS.

I Bestimme eine Optimall¨osungx^? von max{hc,xi |x erf¨ullt T } (mit irgendeinem LP-Algorithmus). Es gilt

hc,x^?i ≥max{hc,xi |x ∈P} (obere Schranke).

I L¨ose das Separationsproblem f¨urx^? bzgl.S.

I Fallsx^? ganzS erf¨ullt:x^? Optimall¨osung von max{hc,xi |x∈P}

I Sonst f¨uge (mindestens) eine vonx^? verletzte Gleichung oder Ungleichung (Schnittebene) zuT hinzu und iteriere.

Separationsproblem f¨ ur (3.6)

I Sei x^? ∈Q^E gegeben.

I x^?(δ(v)) = 1 (f¨ur alle v ∈V) undx^? ≥O kann man leicht

¨

uberpr¨ufen.

I x^?(δ(U))≥1 gilt genau dann f¨ur alle U ⊆V,|U|ungerade, wenn das x^?-Gewicht jeden ”ungeraden Schnitts” inG mindestens Eins ist.

Definition 3.36

Einungerader Schnittin G = (V,E) ist ein Schnitt δ(U)⊆E mitU ⊆V und |U|ungerade.

I Also: Bestimme ungeraden Schnitt minimalen x^?-Gewichts.

Gomory-Hu B¨ aume

Definition 3.37

F¨ur einen Graphen G = (V,E) und c ∈R^E+ ist ein

Gomory-Hu-Baumein Baum mit KnotenmengeV, so dass f¨ur jede Baumkante{s,t} gilt: SindS ⊆V und T ⊆V mit

V =S]T die Knotenmengen der beiden Komponenten, in die der Baum durch Wegnehmen von{s,t} zerf¨allt, so istδ(S) =δ(T) ein c-minimaler s-t-Schnitt in G.

Satz 3.38

Ein Gomory-Hu-Baum kann via Berechnung von|V| −1minimalen s-t-Schnitten (maximalen s-t-Fl¨ussen) berechnet werden.

Satz 3.39

Ist B = (V,F) Gomory-Hu-Baum f¨ur G = (V,E) (mit|V| ∈2Z) und c ∈R^E+, so ist einer der von den Kanten von B induzierten Schnitte in G ein ungerader Schnitt minimalen c-Gewichts.

Gomory-Hu Baum und ungerade Schnitte

Wf

f

Dualisieren

max hw,xi

x(δ(v)) ≤ 1 (v ∈V) [yv] x(E(U)) ≤ b^|U|₂ c (U ∈(2^V)_odd) [zu]

x ≥ OE

(4)

(mit (2^V)odd={U ⊆V| |U|ungerade}) ergibt minX

v∈V

y_v + X

U∈(2^V)odd

b^|U|₂ c ·z_u

y_v +y_w+ P

U∈(2V)odd v,w∈U

z_u ≥ w_e (e ={v,w} ∈E) y ≥ OV

z ≥ O₍₂^V_)odd

(5)

“Total Duale Ganzzahligkeit”

Satz 3.40

F¨ur ganzzahlige w ∈Z^E hat (5)stets eine ganzzahlige Optimall¨osung(y^?,z^?)∈Z^v ×Z^(2V)odd.

I Hier ohne Beweis

I Das Ungleichungssystem in (4) ist TDI (totally dual

integral); wichtiges Konzept in der Theorie der ganzzahligen linearen Optimierung (siehe VL n¨achstes Semester).

Matchings und Odd-Set Covers

Definition 3.41

Einodd-set cover eines GraphenG = (V,E) besteht aus KnotenteilmengenW₀⊆V undW₁, . . . ,W_k ∈(2^V)_odd, so dass f¨ur jede Kantee ∈E gilt:

e∩W0 6=∅ oder es gibti ∈[k] mite ⊆Wi

DieKapazit¨at von W₀,W₁, . . . ,W_k ist

|W₀|+

k

X

i=1

b^|W₂^i|c

Satz 3.42

In jedem Graphen ist die maximale Kardinalit¨at eines Matchings gleich der minimalen Kapazit¨at eines odd-set covers.

Matchings und Odd-Set Covers

W0

W1 W2

Tutte-Berge Formel

Korollar 3.43

F¨ur jeden Graphen G = (V,E)ist die maximale Kardinalit¨at eines Matchings

min{¹₂(|V|+|U| −odd(G\U))|U ⊆V},

wobeiodd(G\U) die Anzahl der Zusammenhangskomponenten ungerader Kardinalit¨at von G\U ist.