Diskrete Mathematik f¨ ur Informatiker Wintersemester 2018/19
Dr. Tobias Moede t.moede@tu-bs.de
Universit¨atsplatz 2, Raum 515 0531 391-7516
Aufgabenblatt 5
Kurzfragen
• Seig:N→R. Wie sindO(g(n)),Ω(g(n)),Θ(g(n)),o(g(n))und ω(g(n))definiert?
Definition
Seienf, g:N→R. Dann definieren wir diepunktweise Additionder Funktionen als die Funktion f +g:N→R, x7→f(x) +g(x).
Aufgabe 5.1 (Vollst¨ andige Induktion II) (2+2+2=6 Punkte)
Beweisen Sie folgende Aussagen durch vollst¨andige Induktion:
(a) F¨ur allen∈Ngilt:
n
P
k=1
(−1)k−1k2= (−1)n−1· n(n+1)2
(b) Seiq∈R\ {1}. F¨ur allen∈Ngilt:
n
P
k=0
qk= 1−q1−qn+1
(c) F¨ur allen∈Ngilt:
n
P
k=1
k2= n(n+1)(2n+1) 6
Aufgabe 5.2 (Landau-Symbole I) (1+1+2=4 Punkte)
Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen. F¨ur die Aufgabenteile a) & b) betrachten wir Logarithmen als Funktionen vonNnachR. Sie d¨urfen, falls n¨otig, die ¨ublichen Rechenregeln f¨ur Logarithmen verwenden.
(a) Seiena, b∈R+\ {1} unda > b. Dann giltloga(n) =O(logb(n)).
(b) Seiena, b∈R+\ {1} unda > b. Dann giltlogb(n) =O(loga(n)).
(c) Seif :N→R, n→
n
P
k=1
k2. Dann giltf(n) = Θ(n3). (Hinweis:Benutzen Sie Teil (c) aus Aufgabe 5.1).
Aufgabe 5.3 (Landau-Symbole II) (1+1+1=3 Punkte)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Seig:N→R, dann gilto(g(n))⊆O(g(n)).
(b) Es gibt eine Funktiong:N→R, so dasso(g(n))6=O(g(n))gilt.
(c) Seienf, g:N→R+. Dann folgt ausf(n) =O(g(n)), dass(f+g)(n) = Θ(g(n))ist.
(Hinweis:Dies ist eine Bemerkung aus der Vorlesung, die wir dort abernichtbewiesen haben.)
Bitte wenden.
Aufgabe 5.4 (Landau-Symbole III) (3 Punkte)
SeiAbb(N,R)die Menge aller Funktionen vonNnachR. Zeigen Sie, dass R=
(f, g)∈Abb(N,R)2:f(n) = Θ(g(n)) eine ¨Aquivalenzrelation aufAbb(N,R)ist.
(Hinweis:Dies ist ein Teil von Satz 1.9 aus der Vorlesung. Diesen Satz haben wir dortnichtbewiesen. Arbeiten Sie daher direkt mit der Definition vonΘ(g(n))und verwenden Siekeineder unbewiesenen Bemerkungen.)
