Diskrete Mathematik f¨ ur Informatiker Wintersemester 2018/19
Dr. Tobias Moede t.moede@tu-bs.de
Universit¨atsplatz 2, Raum 515 0531 391-7516
Aufgabenblatt 3
Kurzfragen
• Was ist eineAbbildungvon einer MengeAin eine Menge B?
• Wann heißt eine Abbildunginjektiv/surjektiv/bijektiv?
Definition
Seienf :Df →Wf und g :Dg →Wg Abbildungen mit Wf ⊆Dg. Dann ist dieKomposition (oder Verkettung) der Abbildungenf undg, geschriebeng◦f, definiert als
g◦f :Df →Wg, x7→g(f(x)).
Aufgabe 3.1 (Bijektion zwischen ganzen und nat¨ urlichen Zahlen) (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass
f :Z→N0, x7→
( 2x, fallsx≥0
−2x−1, fallsx <0 eine bijektive Abbildung ist.
Aufgabe 3.2 (Anzahlen von Abbildungen) (1+1+1+1=4 Punkte)
Seien A und B endliche Mengen mit |A| = m und |B| = n. Weiter sei Abb(A, B) ={f : A → B} die Menge aller Abbildungen von A nach B. Bestimmen Sie begr¨undet die Kardinalit¨aten, d.h. die Anzahl der Elemente, der folgenden Mengen:
(a) Abb(A, B)
(b) {f ∈Abb(A, B) :f injektiv}f¨ur den Fallm≤n (c) {f ∈Abb(A, B) :f injektiv}f¨ur den Fallm > n (d) {f ∈Abb(A, B) :f surjektiv} f¨ur den Fallm=n
Bitte wenden.
Aufgabe 3.3 (Komposition von Abbildungen) (2+2=4 Punkte)
Seienf :R→Rundg:R→RAbbildungen definiert durch
f(x) =
( −2x+ 6, fallsx≥2 x2−3x+ 4, fallsx <2 undg(x) =−x2+ 6. Bestimmen Sie
(a) g◦f (b) f ◦g
Aufgabe 3.4 (Injektivit¨ at, Surjektivit¨ at und Komposition) (1+1+1+1=4 Punkte)
Seienf :A→B undg:B→C Abbildungen undg◦f :A→C ihre Komposition. Zeigen Sie:
(a) Sindf undgbeide injektiv, dann ist auch g◦f injektiv.
(b) Istg◦f injektiv, dann ist auch f injektiv.
(c) Es gibt nichtleere MengenA, B, C, sowie Abbildungenf :A→B und g:B →C, so dassg◦f injektiv ist, aberg nicht injektiv.
(d) Es gibt nichtleere MengenA, B, C, sowie Abbildungenf :A→B undg:B→C, so dassg◦f surjektiv ist, aberf nicht surjektiv.
