Effiziente Algorithmen (SS2015) Kapitel 4 Approximation I Walter Unger
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(2) Einleitung 4. Vertex Cover. Inhaltsverzeichnis. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. Inhalt I 1. Einleitung Motivation Cliquenproblem. 2. Vertex Cover Definition Greedy. 3. TSP und Delta-TSP Einleitung 2-Approximation 1.5-Approximation. 4. Steiner-Bäume Einleitung Reduktion Approximationsalgorithmus. 5. Zentrumsproblem Einleitung Komplexität Approximation. 6. Färbung Greedy Approximation Aussagen. Z. Färbung SS2015.
(3) Einleitung 4:1. Vertex Cover. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Einleitung NP-schwere Probleme doch lösen Exakt: “Ô⇒” exponentiale Laufzeit Nicht Exakt: “Ô⇒” hoffentlich polynomiale Laufzeit Hier: Approximationsalgorithmen in polynomialer Laufzeit. D.h.: welche Approximationsfaktoren sind möglich? Kommt man beliebig nah an das Optimum?. Z. Färbung SS2015.
(4) Einleitung 4:2. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Motivation. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Einfaches Beispiel (Knotenfärbung). Z. Färbung SS2015. Nk = {1, . . . , k}. Definition (Knotenfärbung) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. Dann wird definiert: k-Färbungsfunktion c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w ). Färbungszahl χ(G) = mink∈N {k ∣ ∃c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )} Färbungsproblem:. COL: Gegeben: G = (V , E ), k, Frage: Gilt χ(G) ≤ k k-Färbungsproblem:. k-COL: Gegeben: G = (V , E ), Frage: Gilt χ(G) ≤ k praktisches Färbungsproblem: Gegeben: G = (V , E ) Bestimme: c ∶ V ↦ Nχ(G) ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )..
(5) Einleitung 4:3. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Motivation. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Einfaches Beispiel (Knotenfärbung). Z. Färbung SS2015. Nk = {1, . . . , k}. Definition (Planarer Graph) G = (V , E ) heißt planar, wenn er kreuzungsfrei in die Ebene eingebettet werden kann. Theorem (Färbung Planarer Graphen) Für planare Graphen G gilt: χ(G) ≤ 4. 3-COL(G) ∈ N PC. Folgerung für das Färben von planaren Graphen: kann mit additivem Fehler von 1 gelöst werden. kann mit multipikativem Fehler von 4/3 gelöst werden..
(6) Einleitung 4:4. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Motivation. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Einfaches Beispiel (Kantenfärbung). Nk = {1, . . . , k}. Definition (Kantenfärbung) Die Kantenfärbung auf G entspricht der Knotenfärbung auf L(G): χ′ (G) = χ(L(G)). Theorem (Kantenfärbung) Für Graphen G gilt: δ(G) ≤ χ′ (G) ≤ δ(G) + 1. (δ(G)) − EDGECOL(G) ∈ N PC. Folgerung für die Kantenfärbung: kann mit additivem Fehler von 1 gelöst werden. kann mit multipikativem Fehler von (δ(G) + 1)/δ(G) gelöst werden..
(7) Einleitung 4:5. Vertex Cover. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Definition (Konstante Approximation). Nk = {1, . . . , k}. Definition Ein Algorithmus A hat einen additiven Approximationfehler, falls für alle Eingabeinstanzen I gilt: opt(I) ≤ A(I) + k (Maximierungsproblem) oder opt(I) ≥ A(I) − k (Minimierungsproblem) Definition Ein Algorithmus A hat einen multiplikativen Approximationfehler, falls gilt: ∀I ∶. A(I) opt(I). ≤ α und α ≥ 1 bei einem Minimierungsproblem und. ∀I ∶. A(I) opt(I). ≥ α und α ≤ 1 bei einem Maximierungsproblem.. A(I) opt(I) Oft wird vereinfacht: max{ opt(I) , A(I) } ≤ α..
(8) Einleitung 4:6. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Motivation. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Definition (Approximation). Nk = {1, . . . , k}. Definition Sei L ∶ N ↦ R eine Funktion und seien weiter In die Eingaben für Algorithmus A. Dann hat A einen Approximationsfaktor, falls gilt: ∀n ∈ N ∶ ∀I ∈ In ∶. A(I) opt(I). ≤ L(n) bei einem Minimierungsproblem und. ∀n ∈ N ∶ ∀I ∈ In ∶. opt(I) A(I). ≤ L(n) bei einem Maximierungsproblem..
(9) Einleitung 4:7. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Cliquenproblem. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Zeigen hier nur additiven Fehler. Sei G ein Graph und sei G k = G × Ck . Damit: ω(G) ⋅ k = ω(G k ). Angenommen: es gibt einen Algorithmus A mit additiven Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Eingabe für A wird G k+1 . Damit gilt: opt(I) ≤ A(I) + k und weiter: ω(G k+1 ) − A(G k+1 ) ≤ k. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k..
(10) Einleitung 4:8. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Cliquenproblem. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k. Sei Gi (1 ≤ i ≤ k + 1) die Kopien von G in G k+1 . Seien Ci die Lösungsanteile in Gi . ∀i ∶ 1 ≤ i ≤ k + 1 ∶ Ci ≤ ω(G) k+1 (k + 1) ⋅ ω(G) − ∑i=1 ∣Ci ∣ ≤ k. k+1 ∑i=1 ω(G) − ∣Ci ∣ ≤ k.. ∃i ∶ Ci = ω(G). Damit ist das Cliquenproblem in P. Kann auf multiplikativen Fehler erweitert werden..
(11) Einleitung 4:9. Vertex Cover. Definition. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Einleitung. Z. Färbung SS2015. Definition Sei G = (V , E ). C ⊂ V heißt Vertex Cover von G, falls ∀e ∈ E ∶ C ∩ e =/ ∅. Das folgende Problem ist in N PC: Gegeben: G, k. Frage: Gibt es ein Vertex Cover C in G mit ∣C ∣ ≤ k. Reduktionsidee: V ∖ C ist eine stabile Menge. Versuche nun mittels Greedy das Vertex Cover Problem zu approximieren. Strategie: Wähle Knoten vom höchsten Grad. Betrachte dazu das folgende Beispiel:.
(12) Einleitung 4:10. Greedy. Ideen. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Beim Vertex Cover erscheint ein Greedy-Verfahren, welches Knoten vom großen Knotengrad bevorzugt, da dann viele Kanten überdeckt werden, sinnvoll. Aber das muss nicht immer sinnvoll sein. Dazu konstruieren wir einen tripatiten Graphen, bei dem es nur Kanten zwischen der Knotenmenge A und B gibt, sowie zwichen B und C . Das optimale Vertex Cover wird aus der Menge B bestehen. Es werden möglichst viele Knoten vom grossen Grad in C sein. Der Greedy Algorithmus wird dann o.E.d.A. die Mengen C und A auswählen und einen grossen Fehler machen. Dieses Beispiel wird auch zeigen, wie man eine bessere Approximation erreicht. Die beiden Mengen A und B können perfekt gematcht werden. Da ein Matching eine unabhängige Menge von Kanten ist, muss für jede Kante ein Knoten im Vertex Cover sein. Damit erhält man eine einfache 2-Approximation für das Vertex Cover Problem. Gleichzeitig erkennt man: Zum Beweis der Korrektheit benötigt man eine untere Schranke (hier das maximale Matching). Hier ist diese auch effizient zu berechnen und dient als Grundlage für die algorithmische Approximation..
(13) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 1∕10. Steiner-Bäume <. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Vertex Cover (Greedy) Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋ E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Zentrumsproblem. Σ=0. Z. Färbung SS2015.
(14) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 2∕10. Steiner-Bäume. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. Vertex Cover (Greedy) Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. a6 a6. a5 a5. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Zentrumsproblem. a4 a4. a3 a3. a2 a2 Σ=0 a1 a1. Z. Färbung SS2015.
(15) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 3∕10. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. Vertex Cover (Greedy) Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. a6 a6. b6 b6. a5 a5. b5 b5. a4 a4. b4 b4. a3 a3. b3 b3. a2 a2. b2 b2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung SS2015.
(16) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 4∕10. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(17) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 5∕10. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(18) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 6∕10. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(19) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 7∕10. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(20) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 8∕10. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(21) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 9∕10. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(22) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 10∕10. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(23) Einleitung 4:12. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 1∕7. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Wähle Knoten in folgender Reihenfolge: c8 (Grad 6) c7 (Grad 5) c6 (Grad 4) c4 , c5 (Grad 3) c1 , c2 , c3 (Grad 2) a1 , a2 , . . . , a6 (Grad 1). Z. Färbung. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1.
(24) Einleitung 4:12. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 2∕7. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Vertex Cover (Greedy) Wähle Knoten in folgender Reihenfolge: c8 (Grad 6) c7 (Grad 5) c6 (Grad 4) c4 , c5 (Grad 3) c1 , c2 , c3 (Grad 2) a1 , a2 , . . . , a6 (Grad 1). Z. Färbung. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1.
(25) Einleitung 4:12. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 3∕7. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Vertex Cover (Greedy) Wähle Knoten in folgender Reihenfolge: c8 (Grad 6) c7 (Grad 5) c6 (Grad 4) c4 , c5 (Grad 3) c1 , c2 , c3 (Grad 2) a1 , a2 , . . . , a6 (Grad 1). Z. Färbung. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1.
(26) Einleitung 4:12. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 4∕7. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Vertex Cover (Greedy) Wähle Knoten in folgender Reihenfolge: c8 (Grad 6) c7 (Grad 5) c6 (Grad 4) c4 , c5 (Grad 3) c1 , c2 , c3 (Grad 2) a1 , a2 , . . . , a6 (Grad 1). Z. Färbung. a6 a6. b6 b6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1.
(27) Einleitung 4:12. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 5∕7. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Vertex Cover (Greedy) Wähle Knoten in folgender Reihenfolge: c8 (Grad 6) c7 (Grad 5) c6 (Grad 4) c4 , c5 (Grad 3) c1 , c2 , c3 (Grad 2) a1 , a2 , . . . , a6 (Grad 1). Z. Färbung. a6 a6. b6 b6. a5 a5. b5 b5. a4 a4. b4 b4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1.
(28) Einleitung 4:12. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 6∕7. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. Vertex Cover (Greedy) Wähle Knoten in folgender Reihenfolge: c8 (Grad 6) c7 (Grad 5) c6 (Grad 4) c4 , c5 (Grad 3) c1 , c2 , c3 (Grad 2) a1 , a2 , . . . , a6 (Grad 1). a6 a6. b6 b6. a5 a5. b5 b5. a4 a4. b4 b4. a3 a3. b3 b3. a2 a2. b2 b2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. Z. Färbung SS2015.
(29) Einleitung 4:12. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 7∕7. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Wähle Knoten in folgender Reihenfolge: c8 (Grad 6) c7 (Grad 5) c6 (Grad 4) c4 , c5 (Grad 3) c1 , c2 , c3 (Grad 2) a1 , a2 , . . . , a6 (Grad 1). Z. Färbung. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1.
(30) Einleitung 4:13. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Greedy. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Vertex Cover (Greedy) Wir bestimmen nun den Approximationsfaktor F (n). F (n). ≥ = = ≥ ≥ ≥ ≥ ≥. ∣Cgreedy (Gk )∣ ∣Copt (Gk )∣ 1 ⋅ (k + ∑ki=2 ⌊ ki ⌋) k 1 ⋅ k ⌊k ⌋ k ∑i=1 i 1 ⋅ (∑ki=1 ki − (k − k k ∑i=1 1i − 1 k+1 dx ∫i=1 x − 1. 2)). ln k − 1 ln ∆(Gk ) − 1. Damit kann dieser Greedyalgorithmus keinen konstanten Approximationsfaktor haben.. Z. Färbung SS2015.
(31) Einleitung 4:14. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Aufbau der Idee Jede Kante muss überdeckt werden. Für die Abschätzung des Faktors brauchen wir eine untere Schranke.. Für zwei unabhängige Kanten braucht man zwei Knoten zur Überdeckung. Für k paarweise unabhängige Kanten braucht man k Knoten zur Überdeckung. Man weiß aber nicht, welcher Knoten von diesen k Kanten im Cover ist. Idee: Wähle beide für einen Approximationsfaktor von zwei..
(32) Einleitung 4:15. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Greedy. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Vertex Cover Theorem. Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert werden. 1. 2. Bestimme inklusions-maximales Matching M ⊂ E auf Eingabegraph G = (V , E ). Wähle Vertex Cover C = ∪e∈M e und gib C aus. Zeige Korrektheit: Angenommen C = ∪e∈M e ist kein Vertex Cover, d.h. ∃e ∶ e ∩ C = ∅. Damit ist M kein inklusions-maximales Matching, Widerspruch. Zeige Approximationsfaktor: Setze τ (G) = ∣V ∣ − α(G) und Mmax (G) Maximales Matching von G. Schätze Approximationsfaktor ab: 2⋅∣M∣ τ (G). ≤ ≤ =. 2⋅∣Mmax (G)∣ τ (G) 2⋅∣Mmax (G)∣ ∣Mmax (G)∣. 2. beachte: ∣Mmax (G)∣ ≥ ∣M∣ beachte: ∣Mmax (G)∣ ≤ τ (G).
(33) Einleitung 4:16. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Greedy. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. Beispiel c1 c1. c2 c2. c3 c3. c4 c4. c5 c5. c6 c6. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. c7 c7. c8 c8. Z. Färbung SS2015.
(34) Einleitung 4:17. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Greedy. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Vertex Cover Theorem (Monien) Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 − werden.. log log n 2⋅log n. approximiert. Zusammenfassung: Vertex Cover ist mit Faktor 2 approximierbar. Clique ist mit keinem konstanten Faktor approximierbar. Independent Set ist mit keinem konstanten Faktor approximierbar. N P-vollständige Probleme unterscheiden sich in ihrer Approximierbarkeit..
(35) Einleitung 4:18. Vertex Cover. Einleitung. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. TSP Definition (TSP) Gegeben G = (V , E ), L ∈ Q und c ∶ E ↦ Q. Bestimme spannenden einfachen Kreis C mit c(C ) ≤ L. D.h. ein Kreis, der jeden Knoten genau einmal besucht. Problem ist in N PC (Reduktion von Hamilton Kreis). G = (V , E ) Eingabe für Hamilton Kreis. Eingabe für TSP ist Clique C = (V , E ′ ) mit: c(e) = 1 falls e ∈ E und c(e) = 2 falls e ∈/ E . Falls G einen Hamiltonkreis hat, dann G ′ Tour mit Kosten n. Anderenfalls hat G ′ eine Tour mit Kosten ≥ n + 1..
(36) Einleitung 4:19. Vertex Cover. Einleitung. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. TSP Theorem Sei α(n) eine polynomialzeit-berechenbare Funktion, G = (V , E ) und n = ∣V ∣. Falls P =/ N P, gilt: TSP kann nicht in Polynomialzeit mit Faktor α(n) approximiert werden. Problem ist in N PC (Reduktion von Hamilton Kreis). Gleiche Reduktion zeigt obigen Satz: G = (V , E ) Eingabe für Hamilton Kreis. Eingabe für TSP ist Clique C = (V , E ′ ) mit: c(e) = 1 falls e ∈ E und c(e) = α(n) ⋅ n + 1 falls e ∈/ E . Falls G einen Hamiltonkreis hat, dann G ′ Tour mit Kosten n. Anderenfalls hat G ′ eine Tour mit Kosten ≥ n − 1 + α(n) ⋅ n..
(37) Einleitung 4:20. Vertex Cover. Einleitung. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. SS2015. ∆-TSP Definition (∆-TSP) Gegeben G = (V , E ), L ∈ Q und c ∶ E ↦ Q mit: ∀v , w ∈ V ∶ e = {v , w } ∈ E , c(e) ≥ 0 und mit: ∀v , w , z ∈ V ∶ c(v , z) ≤ c(v , w ) + c(w , z). Bestimme spannenden einfachen Kreis C mit c(C ) ≤ L. Obige Eigenschaft auf c wird Metrik genannt. Motivation: Die Abstände von Punkten in der Ebene bilden eine Metrik. Theorem ∆-TSP mit Gewichtsfunktion c ↦ {1, 2} ist in N PC. Beweis: Reduktion von Hamilton Kreis auf planare Graphen.. Z. Färbung.
(38) Einleitung 4:21. Vertex Cover. 2-Approximation. Idee zu ∆-TSP. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Analog wie beim Vertex Cover brauchen wir für das TSP eine effizient zu berechnende untere Schranke, die zur Approximation genutzt wird. Man beachte: im Folgenden ist wegen der Dreiecksungleichung der Graph eine Clique. Da eine TSP Tour auch ein zusammenhängender spannender Graph (Teilgraph, der alle Knoten beinhaltet) ist, können wir als untere Schrankte einen minimalen Spannbaum nutzen. Um aus diesem Spannbaum eine TSP Tour zu bestimmen, werden die Kanten verdoppelt. Dadurch entsteht ein Eulergraph, der wegen der Dreiecksungleichung zu einer TSP Tour umgeformt werden kann. Bei der Umformung werden einfach die Mehrfachbesuche eines Knotens übersprungen. Wegen der Verdopplung der Kanten erhalten wir einen Approximationsfaktor von 2. Dieser Faktor kann noch verbessert werden, denn es reicht aus, nur jedem Knoten von ungeradem Grad in dem Spannbaum eine neu Kante hinzuzufügen. Daher wird ein kostenminimales Matching zwischen den Knoten von ungeradem Grad des Spannbaums gesucht. Danach ist das Vorgehen wie oben. Nun erhalten wir eine Approximationsfaktor von 1.5. Bei den Beweisen wird von der optimalen Lösung ausgehend gezeigt, das der minimale Spannbaum weniger Kosten hat als eine optimale TSP Tour und das kostenminimale Matching nur die halben Kosten wie eine optimale TSP Tour..
(39) Einleitung 4:22. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. 2-Approximation. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Aufbau der Idee Suche untere Schranke:. TSP-Tour ist ein spannender Graph (enthält alle Knoten) Jeder kostenminimale zusammenhängende Graph bildet eine untere Schranke. Idee: Wähle minimalen Spannbaum! Nutze Dreiecksungleichung aus: D.h. jede Abkürzung verringert die Kosten. Damit kann ein beliebiger Kreis, der jeden Knoten mindestens einmal besucht, zu einer kostengünstigeren TSP-Tour umgeformt werden. Idee: Konstruiere daher einen Eulerkreis (besucht alle Kanten). G = (V , E ) ist Eulergraph (enthält Eulerkreis): G ist zusammenhängend. Alle Knoten haben geraden Grad. Kombination: Mit Hilfe des Spannbaums wird Eulerkreis konstruiert..
(40) Einleitung 4:23. Vertex Cover. 2-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Approximation Theorem ∆-TSP ist mit einem Faktor von 2 in Zeit O(n2 log n) approximierbar. 1. Bestimme minimalen Spannbaum T von G.. 2. Verdoppele die Kanten von T und erzeuge Graphen T ′ .. 3. Damit sind alle Knotengrade in T ′ gerade (da verdoppelt).. 4. Bestimme in T ′ einen Euler-Kreis C ′ .. 5. Verkürze C ′ durch Überspringen doppelter Knoten.. 6. Dadurch entsteht Kreis C , gebe C aus.. Z. Färbung SS2015.
(41) Einleitung 4:24. Vertex Cover. 2-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 1∕10. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel Bestimme Eulertour: Gehe einmal inorder um den Baum herum. Eulertour: o, m, i, a, i, b, i, c, i, m, j, d, j, e, j, m, o, n, k, f , k, g, k, n, l, h, l, n, o. o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(42) Einleitung 4:24. Vertex Cover. 2-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 2∕10. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel Bestimme Eulertour: Gehe einmal inorder um den Baum herum. Eulertour: o, m, i, a, i, b, i, c, i, m, j, d, j, e, j, m, o, n, k, f , k, g, k, n, l, h, l, n, o. o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(43) Einleitung 4:24. Vertex Cover. 2-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 3∕10. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel Bestimme Eulertour: Gehe einmal inorder um den Baum herum. Eulertour: o, m, i, a, i, b, i, c, i, m, j, d, j, e, j, m, o, n, k, f , k, g, k, n, l, h, l, n, o. o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(44) Einleitung 4:24. Vertex Cover. 2-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 4∕10. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel Bestimme Eulertour: Gehe einmal inorder um den Baum herum. Eulertour: o, m, i, a, i, b, i, c, i, m, j, d, j, e, j, m, o, n, k, f , k, g, k, n, l, h, l, n, o. o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(45) Einleitung 4:24. Vertex Cover. 2-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 5∕10. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel Bestimme Eulertour: Gehe einmal inorder um den Baum herum. Eulertour: o, m, i, a, i, b, i, c, i, m, j, d, j, e, j, m, o, n, k, f , k, g, k, n, l, h, l, n, o. o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(46) Einleitung 4:24. Vertex Cover. 2-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 6∕10. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel Bestimme Eulertour: Gehe einmal inorder um den Baum herum. Eulertour: o, m, i, a, i, b, i, c, i, m, j, d, j, e, j, m, o, n, k, f , k, g, k, n, l, h, l, n, o. o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(47) Einleitung 4:24. Vertex Cover. 2-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 7∕10. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel Bestimme Eulertour: Gehe einmal inorder um den Baum herum. Eulertour: o, m, i, a, i, b, i, c, i, m, j, d, j, e, j, m, o, n, k, f , k, g, k, n, l, h, l, n, o. o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(48) Einleitung 4:24. Vertex Cover. 2-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 8∕10. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel Bestimme Eulertour: Gehe einmal inorder um den Baum herum. Eulertour: o, m, i, a, i, b, i, c, i, m, j, d, j, e, j, m, o, n, k, f , k, g, k, n, l, h, l, n, o. o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(49) Einleitung 4:24. Vertex Cover. 2-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 9∕10. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel Bestimme Eulertour: Gehe einmal inorder um den Baum herum. Eulertour: o, m, i, a, i, b, i, c, i, m, j, d, j, e, j, m, o, n, k, f , k, g, k, n, l, h, l, n, o. o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(50) Einleitung 4:24. Vertex Cover. 2-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 10∕10. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel Bestimme Eulertour: Gehe einmal inorder um den Baum herum. Eulertour: o, m, i, a, i, b, i, c, i, m, j, d, j, e, j, m, o, n, k, f , k, g, k, n, l, h, l, n, o. o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(51) Einleitung 4:25. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. 2-Approximation. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Approximation (Beweis). Z. Färbung SS2015. G − e ist G ohne eine beliebige Kante. Seien T minimaler Spannbaum von G, T ′ mit verdoppelte Kanten, C ′ Eulerkreis in T ′ und C gefundene Lösung. Sei C ∗ eine minimale TSP Tour. c(T ) ≤ c(C ∗ − e) ≤ c(C ∗ ). Beachte: C ∗ − e ist ein Spannbaum. c(C ) ≤ c(C ′ ) = 2 ⋅ c(T ). Da die Kanten verdoppelt worden sind. c(C ) c(C ∗ ). ≤. 2⋅c(T ) c(C ∗ ). ≤. 2⋅c(C ∗ ) c(C ∗ ). Laufzeit O(n2 log n).. =2.
(52) Einleitung 4:26. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Aufbau der Idee. Durch die Verdopplung aller Kanten des Spannbaums bekommen wir den Faktor von 2. D.h.: Falls v bereits gerade ist, wird trotzdem der Knotengrad verdoppelt. Daher: “verdoppele” den Knotengrad nur von den ungeraden Knoten. Oder noch besser: Erhöhe den Knotengrad der ungeraden Knoten um eins. D.h. jeder ungerade Knoten bekommt eine zusätzliche Kante. Das entspricht einem Matching zwischen den Knoten vom ungeraden Grad. Geht nur, wenn die Anzahl der ungeraden Knoten gerade ist: Zählen wir die Kombinationen X : Knoten v inzident zu Kante {v , w }: Aus der Sicht der Kanten: ∣X ∣ = 2 ⋅ ∣E ∣. Aus der Sicht der Knoten: ∣X ∣ = ∑v ∈V δ(v ). Sei U die Menge der Knoten mit ungeradem Grad. 2 ⋅ ∣E ∣ = ∑v ∈U δ(v ) + ∑v ∈/U δ(v )..
(53) Einleitung 4:27. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. 1.5-Approximation. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. SS2015. 1.5-Approximation Theorem ∆-TSP ist mit einem Faktor von 1.5 in Zeit O(n3 ) approximierbar. Bestimme minimalen Spannbaum T von G. Seien U die Knoten von ungeraden Grad in T . Beachte ∣U∣ ist gerade: ∑v ∈U δ(v ) + ∑v ∈/U δ(v ) = 2∣E ∣. Bestimme kostenminimales Matching M zwischen den Knoten aus U. Bestimme in T ∪ M einen Eulerkreis C ′ . Verkürze C ′ durch Überspringen doppelter Knoten. Dadurch entsteht Kreis C . Gebe C aus.. Z. Färbung.
(54) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 1∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(55) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 2∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(56) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 3∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(57) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 4∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(58) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 5∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(59) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 6∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(60) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 7∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(61) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 8∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(62) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 9∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(63) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 10∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(64) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 11∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(65) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 12∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(66) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 13∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(67) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 14∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(68) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 15∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(69) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 16∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(70) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 17∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(71) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 18∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(72) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 19∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(73) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 20∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(74) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 21∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(75) Einleitung 4:28. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 22∕22. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (Bestimmen der Eulertour) o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(76) Einleitung 4:29. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. 1.5-Approximation. Steiner-Bäume <. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Bestimmung des Eulerkreises 1. Gegeben G = (V , E ) Eulergraph.. 2. Setze i = 0. 3. Wähle Startknoten v0 .. 4. Bestimme Kreis C0 , der bei v0 startet.. 5. Solange es noch ungenutzte Kanten gibt: 1. 2 3 6. 2 3. Z. Färbung SS2015. Bestimme von vi aus auf Ci den ersten Knoten vi+1 mit ungenutzter Kante. Setze i = i + 1. Bestimme Kreis Ci , der bei vi startet.. Nun können die Kreise einfach kombiniert werden: 1. Zentrumsproblem. Gehe auf C0 von v0 bis v1 . Durchlaufe rekursiv alle Kreise C1 , C2 , . . .. Gehe auf C0 von v1 bis v0 .. Laufzeit: O(∣E ∣)..
(77) Einleitung 4:30. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 1∕6. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (1.5 Approximation). o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(78) Einleitung 4:30. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 2∕6. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (1.5 Approximation) Eulertour: o, m, i, a, b, i, c, m, j, d, e, j, n, k, f , k, g, h, l, n, o o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(79) Einleitung 4:30. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 3∕6. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (1.5 Approximation) Eulertour: o, m, i, a, b, i, c, m, j, d, e, j, n, k, f , k, g, h, l, n, o o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(80) Einleitung 4:30. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 4∕6. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (1.5 Approximation) Eulertour: o, m, i, a, b, i, c, m, j, d, e, j, n, k, f , k, g, h, l, n, o o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(81) Einleitung 4:30. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 5∕6. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (1.5 Approximation) Eulertour: o, m, i, a, b, i, c, m, j, d, e, j, n, k, f , k, g, h, l, n, o o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(82) Einleitung 4:30. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 6∕6. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel (1.5 Approximation) Eulertour: o, m, i, a, b, i, c, m, j, d, e, j, n, k, f , k, g, h, l, n, o o. m. n. j. i. a. Σ=0. b. c. d. k. e. f. l. g. h. Z. Färbung.
(83) Einleitung 4:31. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. 1.5-Approximation. Steiner-Bäume. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. 1.5-Approximation (Beweis) Seien T minimaler Spannbaum von G, M das Matching, C ′ Eulerkreis in T ′ und C gefundene Lösung. Sei C ∗ eine minimale TSP Tour. c(T ) ≤ c(C ∗ − e) ≤ c(C ∗ ). Beachte: C ∗ − e ist ein Spannbaum c(M) ≤ c(C ∗ )/2. Siehe dazu nächste Folie. c(C ) c(C ∗ ). ≤. c(T )+c(M) c(C ∗ ). ≤. c(C ∗ )+c(C ∗ )/2 c(C ∗ ). ≤. Zentrumsproblem. 1.5⋅c(C ∗ ) c(C ∗ ). = 1.5. Z. Färbung SS2015.
(84) Einleitung 4:32. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 1∕3. <. 1.5-Approximation (Zeige c(M) ≤. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. f. Seien U die ungeraden Knoten auf T . ′′. SS2015. c(C ∗ )/2). Sei C ∗ eine optimale Lösung.. Z. Färbung. e. g. d. h. c. ∗. Sei C der Kreis, der sich aus C ergibt durch Überspringen der Knoten V ∖ U. C ′′ hat gerade Länge. C ′′ hat zwei disjunkte perfekte Matchings M1 , M2 c(M) ≤ c(M1 ) und c(M) ≤ c(M2 ). 2 ⋅ c(M) ≤ c(M1 ) + c(M2 ) = c(C ′′ ) ≤ c(C ∗ ) c(M) ≤ c(C ∗ )/2. Σ=0. a. b.
(85) Einleitung 4:32. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 2∕3. <. 1.5-Approximation (Zeige c(M) ≤. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. f. Seien U die ungeraden Knoten auf T . ′′. SS2015. c(C ∗ )/2). Sei C ∗ eine optimale Lösung.. Z. Färbung. e. g. d. h. c. ∗. Sei C der Kreis, der sich aus C ergibt durch Überspringen der Knoten V ∖ U. C ′′ hat gerade Länge. C ′′ hat zwei disjunkte perfekte Matchings M1 , M2 c(M) ≤ c(M1 ) und c(M) ≤ c(M2 ). 2 ⋅ c(M) ≤ c(M1 ) + c(M2 ) = c(C ′′ ) ≤ c(C ∗ ) c(M) ≤ c(C ∗ )/2. Σ=0. a. b.
(86) Einleitung 4:32. Vertex Cover. 1.5-Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 3∕3. <. 1.5-Approximation (Zeige c(M) ≤. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. SS2015. c(C ∗ )/2) f. Sei C ∗ eine optimale Lösung.. e. Seien U die ungeraden Knoten auf T . ′′. d. ∗. Sei C der Kreis, der sich aus C ergibt durch Überspringen der Knoten V ∖ U. C ′′ hat gerade Länge. C ′′ hat zwei disjunkte perfekte Matchings M1 , M2 c(M) ≤ c(M1 ) und c(M) ≤ c(M2 ). 2 ⋅ c(M) ≤ c(M1 ) + c(M2 ) = c(C ′′ ) ≤ c(C ∗ ) c(M) ≤ c(C ∗ )/2. Z. Färbung. h Σ=0. a. b.
(87) Einleitung 4:33. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Einleitung. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Steinerbaum Definition (Steinerbaum Problem) Gegeben G = (V , E ), T ⊂ V und c ∶ E ↦ Q+ . Bestimme Spannbaum S = (T ∪ P, F ), der die Knoten von T minimal ∑e∈F c(e) verbindet. Die Blätter von S sind alle aus T . Die Menge P heißt Steinerpunkte. Falls T = V gilt, ist ein minimaler Spannbaum zu finden. Falls ∣T ∣ = 2 gilt, ist ein minimaler Weg zu finden. Anwendung: VLSI-Chip-Design Entscheidungsvariante: Gibt es Menge P ⊂ V ∖ T der Größe k, so daß G[S ∪ P] zusammenhängend ist..
(88) Einleitung 4:34. Vertex Cover. Einleitung. TSP und Delta-TSP. 1∕4. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel j. 1. 1 1. e. d. 2. i. 2. 2. 1. f. k. 1. g. 1. 2. 3. 1. Die Kosten sind: 9.. Σ=0. a. 2. b. 3. 2. 1. Die Steinerpunkte sind grün.. 1. h. Die Terminals T sind rot.. 2. c. Z. Färbung.
(89) Einleitung 4:34. Vertex Cover. Einleitung. TSP und Delta-TSP. 2∕4. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel j. 1. 1 1. e. d. 2. i. 2. 2. 1. f. k. 1. g. 1. 2. 3. 1. Die Kosten sind: 9.. Σ=0. a. 2. b. 3. 2. 1. Die Steinerpunkte sind grün.. 1. h. Die Terminals T sind rot.. 2. c. Z. Färbung.
(90) Einleitung 4:34. Vertex Cover. Einleitung. TSP und Delta-TSP. 3∕4. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel j. 1. 1 1. e. d. 2. i. 2. 2. 1. f. k. 1. g. 1. 2. 3. 1. Die Kosten sind: 9.. Σ=0. a. 2. b. 3. 2. 1. Die Steinerpunkte sind grün.. 1. h. Die Terminals T sind rot.. 2. c. Z. Färbung.
(91) Einleitung 4:34. Vertex Cover. Einleitung. TSP und Delta-TSP. 4∕4. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel j. 1. 1 1. e. d. 2. i. 2. 2. 1. f. k. 1. g. 1. 2. 3. 1. Die Kosten sind: 9.. Σ=0. a. 2. b. 3. 2. 1. Die Steinerpunkte sind grün.. 1. h. Die Terminals T sind rot.. 2. c. Z. Färbung.
(92) Einleitung 4:35. Vertex Cover. Reduktion. 1∕9. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. SS2015. Steinerbaum (Idee der Reduktion) Zeige: Das Steinerbaumproblem ist in N PC (Reduktion von Vertex Cover).. a. c. b. d. Σ=0. e. Z. Färbung.
(93) Einleitung 4:35. Vertex Cover. Reduktion. 2∕9. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. SS2015. Steinerbaum (Idee der Reduktion) Zeige: Das Steinerbaumproblem ist in N PC (Reduktion von Vertex Cover).. a. c. b. d. Σ=0. e. Z. Färbung.
(94) Einleitung 4:35. Vertex Cover. Reduktion. TSP und Delta-TSP. 3∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. SS2015. Steinerbaum (Idee der Reduktion) Zeige: Das Steinerbaumproblem ist in N PC (Reduktion von Vertex Cover).. a. b. ab. ac. ad. ae. ec. bd. d. Σ=0. c. de. e. Z. Färbung.
(95) Einleitung 4:35. Vertex Cover. Reduktion. TSP und Delta-TSP. 4∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. SS2015. Steinerbaum (Idee der Reduktion) Zeige: Das Steinerbaumproblem ist in N PC (Reduktion von Vertex Cover).. a. b. ab. ac. ad. ae. ec. bd. d. Σ=0. c. de. e. Z. Färbung.
(96) Einleitung 4:35. Vertex Cover. Reduktion. TSP und Delta-TSP. 5∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. SS2015. Steinerbaum (Idee der Reduktion) Zeige: Das Steinerbaumproblem ist in N PC (Reduktion von Vertex Cover).. a. b. ab. ac. ad. ae. c. z ec. bd. d. Σ=0. de. e. Z. Färbung.
(97) Einleitung 4:35. Vertex Cover. Reduktion. TSP und Delta-TSP. 6∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. SS2015. Steinerbaum (Idee der Reduktion) Zeige: Das Steinerbaumproblem ist in N PC (Reduktion von Vertex Cover).. a. b. ab. ac. ad. ae. c. z ec. bd. d. Σ=0. de. e. Z. Färbung.
(98) Einleitung 4:35. Vertex Cover. Reduktion. TSP und Delta-TSP. 7∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. SS2015. Steinerbaum (Idee der Reduktion) Zeige: Das Steinerbaumproblem ist in N PC (Reduktion von Vertex Cover).. a. b. ab. ac. ad. ae. c. z ec. bd. d. Σ=0. de. e. Z. Färbung.
(99) Einleitung 4:35. Vertex Cover. Reduktion. TSP und Delta-TSP. 8∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. SS2015. Steinerbaum (Idee der Reduktion) Zeige: Das Steinerbaumproblem ist in N PC (Reduktion von Vertex Cover).. a. b. ab. ac. ad. ae. c. z ec. bd. d. Σ=0. de. e. Z. Färbung.
(100) Einleitung 4:35. Vertex Cover. Reduktion. TSP und Delta-TSP. 9∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. SS2015. Steinerbaum (Idee der Reduktion) Zeige: Das Steinerbaumproblem ist in N PC (Reduktion von Vertex Cover).. a. b. ab. ac. ad. ae. c. z ec. bd. d. Σ=0. de. e. Z. Färbung.
(101) Einleitung 4:36. Vertex Cover. Reduktion. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Steinerbaum Theorem Das Steiner Baum Problem ist N P-vollständig. a. Sei G = (V , E ), k Eingabe des Vertex Cover Problems Konstruiere Graphen G ′ aus G wie folgt: ˙ e ∪{z}, ˙ G = (V ∪V F ∪ Ez ) Ve = {ve ∣ e ∈ E } F = {{a, ve }, {ve , b} ∣ e = {a, b} ∈ E } Ez = {{v , z} ∣ v ∈ V } Setze T = Ve ∪ {z}.. ac. ab. ′. ae. ad. c. b z ec. bd. Σ=0 d. de. e.
(102) Einleitung 4:37. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Reduktion. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Steinerbaum Theorem Das Steiner Baum Problem ist N P-vollständig. a. Erinnerung: G hat Vertex Cover der Größe τ (G) G ′ hat n + m + 1 Knoten. G ′ ist bipartit.. ac. ab. Beachte: T = Ve ∪ {z}. G ′ wird τ (G) Steinerpunkte haben. Der Steinerbaum wird γ(G ′ ) = τ (G) + m Kanten haben.. ae. ad. c. b z ec. bd. Zeige im Weiteren: γ(G ′ ) ≤ τ (G) + m γ(G ′ ) ≥ τ (G) + m. Σ=0 d. de. e.
(103) Einleitung 4:38. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Reduktion. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Steinerbaum (Beweis) a. Zeige: γ(G ′ ) ≤ τ (G) + m Sei C Vertex Cover der Größe τ (G). Wähle C als Steinerpunkte von G ′ .. Da C ein Vertex Cover ist, ist jeder Knoten aus Ve mit einen Knoten aus C verbunden. Damit sind alle Knoten aus Ve mit jeweils einem Knoten aus C verbunden. Das sind dann nochmals m Kanten. ac. ab. Mit τ (G) Kanten werden die Knoten aus C mit z verbunden.. ae. ad. c. b z ec. bd. Σ=0 d. de. e.
(104) Einleitung 4:39. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Reduktion. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. Z. Färbung SS2015. Steinerbaum (Beweis) a. Zeige: γ(G ′ ) ≥ τ (G) + m Sei S Steinerbaum mit γ(G ′ ) Kanten. Die Knoten C = V (S) ∖ T sind dann die Steinerknoten. Jeder Knoten aus Ve ist mit einem Knoten aus C über S verbunden.. c z. Weiter hat S γ(G ) + 1 Knoten. ′. ec. bd. τ (G) ≤ ∣C ∣ = γ(G ) + 1 − (m + 1) = γ(G ) − m. τ (G) + m ≤ γ(G ′ ).. ae. ad b. Damit ist C ein Vertex Cover für G. ′. ac. ab. ′. Σ=0 d. de. e.
(105) Einleitung 4:40. Vertex Cover. Approximationsalgorithmus. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Idee zur Approximation eines Steinerbaums. Z. Färbung SS2015. Wieder brauchen wir eine gute und effizent zu berechnende untere Schranke. Eine einfache Schranke ist der kürzeste Weg zwischen zwei beliebigen Terminals. Nur ein kürzester Weg zwischen zwei Terminals ist aber als gute Schranke unzureichend, denn es müssen ja alle Terminals miteinander verbunden werden. Daher bestimmen wir zwischen jedem Terminalpaar a, b einen kürzesten Weg Pa,b . Danach wählen wir eine kostenoptimale Menge aus diese Wegen, so das alle Terminals miteinander verbunden sind. Dies ist dann eine 2 Approximation des Steinerbaums. Beim Beweis dieses Faktors, starten wir wieder mit einer optimalen Lösung. Von dieser Lösung verdoppeln wir die Kanten. Danach ist es möglich, eine Zuordnung von den Kanten auf die gewählten Wege zu machen. Nach der Verdopplung kann jede Kante genau einem gewählten Weg zugeordnet werden. Damit ist dann der Faktor von 2 bewiesen..
(106) Einleitung 4:41. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Approximationsalgorithmus. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Steinerbaum (Approximation) Aufbau der Idee Alle Knoten aus T sind zu verbinden. Der kürzeste Weg zwischen zwei Terminals ist eine einfache untere Schranke.. Eine kostenminimale Menge von diesen kürzesten Wegen, die alle Knoten aus T verbinden, sind kein untere Schranke. Aber wir werden sehen, das liefert eine 2-Approximation. Damit ergibt sich das folgende Vorgehen: Bestimme paarweise kürzeste Wege. Bestimme kostenminimale Menge kürzester Wege, die T verbinden. Bestimme daraus den Steinerbaum..
(107) Einleitung 4:42. Vertex Cover. Approximationsalgorithmus. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Steinerbaum (Approximation). Z. Färbung SS2015. Verfahren von Kou, Markowsky und Berman: 1 2. 3 4. 5 6 7 8. Gegeben G = (V , E ), T ⊂ V und c ∶ E ↦ Q. Bestimme Clique GD = (T , F ) und c ∶ F ↦ Q mit: cD ({a, b}) = distG (a, b). Bestimme minimalen Spannbaum SD = (T , F ′ ) auf GD . Für jede Kante e ∈ F ′ sei We = (Ve , Fe ) ein Weg der Länge cD (e) in G. Bestimme H = (∪e∈F ′ Ve , ∪e∈F ′ Fe ) als Teilgraph von G. Bestimme minimalen Spannbaum SH auf H. Lösche sukzessive Blätter aus SH , die nicht in T sind. Ergebnis davon ist dann der Baum SKMB .. Damit gilt: c(SKMB ) ≤ c(H) ≤ c(SD )..
(108) Einleitung 4:43. Vertex Cover. Approximationsalgorithmus. TSP und Delta-TSP 1∕11. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel. f. 1. a. 2. b. 3. Σ=0. 1. g. 2. 3. ∈ SD. 1. c(x , y ) 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5. 2. y g j j j h c g h h j. k. 1. Kosten: 11. x c g c h g a a a c a. j. 1. 2. 2. 1. 1. e. d. 2. i. 1. Bestimme SD auf GD Bestimme passende Wege in G.. 1. h. Erzeuge GD und cD :. 2. c. Z. Färbung.
(109) Einleitung 4:43. Vertex Cover. Approximationsalgorithmus. TSP und Delta-TSP 2∕11. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel. f. 1. a. 2. b. 3. Σ=0. 1. g. 2. 3. ∈ SD 1. 1. c(x , y ) 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5. 2. y g j j j h c g h h j. k. 1. Kosten: 11. x c g c h g a a a c a. j. 1. 2. 2. 1. 1. e. d. 2. i. 1. Bestimme SD auf GD Bestimme passende Wege in G.. 1. h. Erzeuge GD und cD :. 2. c. Z. Färbung.
(110) Einleitung 4:43. Vertex Cover. Approximationsalgorithmus. TSP und Delta-TSP 3∕11. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel. f. 1. 3. 2 Σ=0. a. 2. b. 1. g. 3. ∈ SD 1 2. 1. c(x , y ) 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5. 2. y g j j j h c g h h j. k. 1. Kosten: 11. x c g c h g a a a c a. j. 1. 2. 2. 1. 1. e. d. 2. i. 1. Bestimme SD auf GD Bestimme passende Wege in G.. 1. h. Erzeuge GD und cD :. 2. c. Z. Färbung.
(111) Einleitung 4:43. Vertex Cover. Approximationsalgorithmus. TSP und Delta-TSP 4∕11. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel. f. 1. a. 2. b. 1. 3. 2 Σ=0. 3. g. 3. ∈ SD 1 2. 1. c(x , y ) 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5. 2. y g j j j h c g h h j. k. 1. Kosten: 11. x c g c h g a a a c a. j. 1. 2. 2. 1. 1. e. d. 2. i. 1. Bestimme SD auf GD Bestimme passende Wege in G.. 1. h. Erzeuge GD und cD :. 2. c. Z. Färbung.
(112) Einleitung 4:43. Vertex Cover. Approximationsalgorithmus. TSP und Delta-TSP 5∕11. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel. f. 1. 4. a. 2. b. 1. 3. 2 Σ=0. 3. g. 3. ∈ SD 1 2. 1. c(x , y ) 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5. 2. y g j j j h c g h h j. k. 1. Kosten: 11. x c g c h g a a a c a. j. 1. 2. 2. 1. 1. e. d. 2. i. 1. Bestimme SD auf GD Bestimme passende Wege in G.. 1. h. Erzeuge GD und cD :. 2. c. Z. Färbung.
(113) Einleitung 4:43. Vertex Cover. Approximationsalgorithmus. TSP und Delta-TSP 6∕11. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel. f. 1. 4. a. 2. b. 1. 3. 2 Σ=0. 3. g. 3. ∈ SD 1 2. 1. c(x , y ) 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5. 2. y g j j j h c g h h j. k. 1. Kosten: 11. x c g c h g a a a c a. j. 1. 2. 2. 1. 1. e. d. 2. i. 1. Bestimme SD auf GD Bestimme passende Wege in G.. 1. h. Erzeuge GD und cD :. 2. c. Z. Färbung.
(114) Einleitung 4:43. Vertex Cover. Approximationsalgorithmus. TSP und Delta-TSP 7∕11. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel. f. 1. 4. a. 2. b. 1. 3. 2 Σ=0. 3. g. 3. ∈ SD 1 2. 1. c(x , y ) 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5. 2. y g j j j h c g h h j. k. 1. Kosten: 11. x c g c h g a a a c a. j. 1. 2. 2. 1. 1. e. d. 2. i. 1. Bestimme SD auf GD Bestimme passende Wege in G.. 1. h. Erzeuge GD und cD :. 2. c. Z. Färbung.
(115) Einleitung 4:43. Vertex Cover. Approximationsalgorithmus. TSP und Delta-TSP 8∕11. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel. f. 1. 4. a. 2. b. 1. 3. 2 Σ=0. 3. g. 3. ∈ SD 1 2. 1. c(x , y ) 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5. 2. y g j j j h c g h h j. k. 1. Kosten: 11. x c g c h g a a a c a. j. 1. 2. 2. 1. 1. e. d. 2. i. 1. Bestimme SD auf GD Bestimme passende Wege in G.. 1. h. Erzeuge GD und cD :. 2. c. Z. Färbung.
(116) Einleitung 4:43. Vertex Cover. Approximationsalgorithmus. TSP und Delta-TSP 9∕11. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel. f. 1. 4. a. 2. b. 1. 3. 2 Σ=0. 3. g. 3. ∈ SD 1 2. 1. c(x , y ) 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5. 2. y g j j j h c g h h j. k. 1. Kosten: 11. x c g c h g a a a c a. j. 1. 2. 2. 1. 1. e. d. 2. i. 1. Bestimme SD auf GD Bestimme passende Wege in G.. 1. h. Erzeuge GD und cD :. 2. c. Z. Färbung.
(117) Einleitung 4:43. Vertex Cover. Approximationsalgorithmus. TSP und Delta-TSP 10∕11. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel. f. 1. 4. a. 2. b. 1. 3. 2 Σ=0. 3. g. 3. ∈ SD 1 2. 1. c(x , y ) 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5. 2. y g j j j h c g h h j. k. 1. Kosten: 11. x c g c h g a a a c a. j. 1. 2. 2. 1. 1. e. d. 2. i. 1. Bestimme SD auf GD Bestimme passende Wege in G.. 1. h. Erzeuge GD und cD :. 2. c. Z. Färbung.
(118) Einleitung 4:43. Vertex Cover. Approximationsalgorithmus. TSP und Delta-TSP 11∕11. Steiner-Bäume. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. SS2015. Beispiel. f. 1. 4. a. 2. b. 1. 3. 2 Σ=0. 3. g. 3. ∈ SD 1 2. 1. c(x , y ) 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5. 2. y g j j j h c g h h j. k. 1. Kosten: 11. x c g c h g a a a c a. j. 1. 2. 2. 1. 1. e. d. 2. i. 1. Bestimme SD auf GD Bestimme passende Wege in G.. 1. h. Erzeuge GD und cD :. 2. c. Z. Färbung.
(119) Einleitung 4:44. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Approximationsalgorithmus. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Steinerbaum (Approximation) Theorem Das Verfahren von Kou, Markowsky und Berman berechnet eine 2-Approximation für das Steinerbaumproblem. Beachte: c(SKMB ) ≤ c(H) ≤ c(SD ). Sei S ∗ ein minimaler Steinerbaum. Schätze nun c(S ∗ ) und c(SD ) zueinander ab. Ziel: c(SD ) ≤ 2 ⋅ c(S ∗ ). Verdopple die Kanten von S ∗ . Damit ergibt sich Zyklus Z , der alle Knoten aus T trifft. Z definiert spannenden Baum auf GD : Start bei s1 ∈ T auf Z . Sei s2 , s3 , . . . , s∣T ∣ die Folge der Erstbesuche der Knoten aus T . Die Kanten {si , si+1 } bilden einen Spannbaum TZ auf GD . Also: c(TZ ) ≤ c(Z ) und damit c(TZ ) ≤ c(Z ) = 2 ⋅ c(S ∗ ). Insgesamt: c(SKMB ) ≤ c(H) ≤ c(SD ) ≤ c(TZ ) ≤ c(Z ) = 2 ⋅ c(S ∗ )..
(120) Einleitung 4:45. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Approximationsalgorithmus. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Steinerbaum (Zusammenfassung) Theorem Das Steinerbaum Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert werden. Theorem Das Steinerbaum Problem kann mit einem Faktor von Wird hier nicht bewiesen.. 11 6. approximiert werden..
(121) Einleitung 4:46. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Einleitung. Steiner-Bäume <. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Zentrumsproblem Gegeben G = (V , E ) und c ∶ E ↦ Q+ . Sei Z ⊂ V dist(v , Z ) ∶= minz∈Z dist(z, v ) rad(Z ) ∶= maxv ∈V dist(v , Z ) Definition (Zentrumsproblem (Entscheidungsvariante)) Gegeben G = (V , E ), k ∈ N, L ∈ Q+ und c ∶ E ↦ Q+ . Bestimme ∃Z ∶ ∣Z ∣ = k und rad(Z ) ≤ L. Definition (Zentrumsproblem) Gegeben G = (V , E ), k ∈ N und c ∶ E ↦ Q+ . Bestimme Z mit ∣Z ∣ = k und rad(Z ) minimal.. Zentrumsproblem. Z. Färbung SS2015.
(122) Einleitung 4:47. Vertex Cover. Komplexität. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. SS2015. Komplexität Theorem Falls P =/ N P gilt, gibt es für beliebiges r < 2 keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfaktor r für das Zentrumsproblem. Beweis: Reduktion vom Dominating Set Problem. Definition (Dominating Set (Entscheidungsvariante)) Gegeben G = (V , E ), k ∈ N. Bestimme ∃D ∶ ∣D∣ = k und V = D ∪ {v ∣ ∃w ∈ D ∶ {v , w } ∈ E }. Alternativ: V = D ∪ {v ∣ ∃w ∈ D ∶ {v , w } ∈ E } genau dann, wenn rad(D) = 1.. Z. Färbung.
(123) Einleitung 4:48. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Komplexität. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Komplexität (Beweis) Reduktion vom Dominating Set Problem. Sei (G, k) Eingabe für das Dominating Set Problem. Setze c(e) = 1 für e ∈ E (G).. Dann hat G Dominating Set der Größe k, falls G Zentrum mit k Knoten und Radius 1 hat. Falls es einen Algorithmus A mit Approximationsfaktor r < 2 gibt, So liefert A bei Eingabe (G, 1, k, c) ein Dominating Set Problem der Größe k..
(124) Einleitung 4:49. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Approximation. Idee zur Approximation. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Es könnten zwei Parameter Approximiert werden: Die Größe des Zentrums oder der Radius. Hier werden wir den Radius mit einem Faktor von zwei approximieren. Dazu wird einfach ein Greedy-Algorithmus mit allen sinnvoll möglichen Radien gestartet. Das Greedy-Verfahren wählt einen “beliebigen” Knoten, der noch nicht überdeckt ist. Im Algorithmus wird aber der Faktor von zwei beim Radius genutzt und dann das Zentrum der kleinsten Kardinalität gewählt. Daher muss der Faktor, er ist ja schon Teil des Algorithmuses, nicht mehr bewiesen werden. Es muss aber gezeigt werden, das die berechnete Lösung nicht größer ist als eine optimal Lösung mit einfachem Radius. Sei A die berechnete Lösung mit doppelten Radius und O eine optimale Lösung mit einfachem Radius R. Nun wird jedem Knoten v aus A genau ein Knoten aus O zugeordnet. Dem Knoten v wird der Knoten r (v ) aus O zugeordnet, der in der optimalen Lösung den Knoten v überdeckt (der Abstand ist höchstens R). Alle Knoten im Radius R um r (v ) haben auch einen Abstand von höchstens 2R von v . Anschaulich: Die Scheibe mit Radius R um r (v ) ist vollständig in der Scheibe mit Radius 2R um v enthalten. Daher wird der Greedy-Algorithmus keinen weiteren Knoten v ′ wählen, so das die Scheibe mit Radius R um r (v ) ist vollständig in der Scheibe mit Radius 2R um v ′ enthalten ist. Die Zuordnung ist also eindeutig..
(125) Einleitung 4:50. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Approximation. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Zentrumsproblem (mit Knotenkosten) Gegeben G = (V , E ), w ∶ V ↦ Q+ und c ∶ E ↦ Q+ . Sei Z ⊂ V dist(v , Z ) ∶= minz∈Z dist(z, v ) rad(Z ) ∶= maxv ∈V w (v ) ⋅ dist(v , Z ) von nun an. Definition (Zentrumsproblem) Gegeben G = (V , E ), k ∈ N, w ∶ V ↦ Q+ und c ∶ E ↦ Q+ . Bestimme Z mit ∣Z ∣ = k und rad(Z ) minimal.. Z. Färbung SS2015.
(126) Einleitung 4:51. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Approximation. Aufbau des Algorithmus. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Bei dem Zentrumsproblem gibt es zwei Werte, die approximiert werden können. Zum einen der Radius und zum anderen die Anzahl der Knoten, die das Zentrum bilden. Wir werden hier eine Lösung entwickeln, die nur beim Radius einen Fehler von zwei macht. Die Anzahl der Knoten, die dabei verwendet werden, wird nicht größer sein als bei der optimalen Lösung. Wir werden den Algorithmus in zwei Schritten entwickeln. Zuerst wird ein Greedy Verfahren entwickelt. In diesem Verfahren werden wir den doppelten Radius nutzen. Wenn dieses Greedyverfahren mit dem optimalen Radius aufgerufen wird, dann wird auch einen Zentrum bestimmt, welches nicht mehr Knoten hat als das Optimum. Im zweiten Schritt wird dieses Greedy-Verfahren für jeden sinnvollen Radius aufgerufen. Da unser Ziel ist, ein Zentrum mit k Knoten zu finden, wählen wir als Resultat das Ergebnis, welches bei Verwendung von k Knoten den kleinsten Radius hat. Dieser Radius ist dann eine Approximation von zwei..
(127) Einleitung 4:52. Vertex Cover. Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Idee Wir kennen die Knoten aus Z nicht. Wir kennen das Optimum R = rad(Z ) nicht. Idee: suche Z mit Greedy Verfahren für ein festes R.. Solange noch Knoten nicht durch Z überdeckt sind. Wähle mit Greedy einen weiteren Knoten z zu Z hinzu. Alle Knoten im Abstand 2 ⋅ R werden nun als überdeckt betrachtet. Achtung: der Algorithmus beinhaltet den Approximationsfaktor! Teste nun verschiedene Werte R mit Hilfe dieses Greedyverfahrens..
(128) Einleitung 4:53. Vertex Cover. Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. Z. Färbung SS2015. Approximation. argmax{X } = x mit c(x ) = max{c(x ′ ) ∣ x ′ ∈ X }. Algorithmus GreedyZentrum(G, c, w , R): 1 Z ∶= ∅ und U ∶= V 2 Solange U = / ∅ mache 1 z ∶= argmax{w (u) ∣ u ∈ U} 2 Z ∶= Z ∪ {z} 3 U ∶= U ∖ {v ∈ U ∣ w (v ) ⋅ dist(v , z) ≤ 2 ⋅ R} 3 Ausgabe: Z Sei R ∗ optimale Lösung mit Z ∗ . Falls R ≥ R ∗ , dann liefert GreedyZentrum ein Z mit ∣Z ∣ ≤ ∣Z ∗ ∣ (Siehe Folie: ??). Im Hauptalgorithmus wird GreedyZentrum daher für alle interessanten Werte für R aufgerufen (Siehe Folie: ??). Definiere: f (R) ∶= ∣GreedyZentrum(G, c, w , R)∣ Beachte f (R) ist aber nicht monoton (Siehe Folie: ??). Definiere: R ′ = maxv ∈V w (v ) ⋅ ∑e∈E c(e) Mit so einem großen Radius kann ein Knoten alles überdecken. f (R ′ ) = 1 und f (0) = n.
(129) Einleitung 4:54. Vertex Cover. Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 1∕21. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. Bildhaftes Beispiel (R = 2) w (00) = w (06) = w (23) = w (90) = w (96) = w (51) = w (55) = 2 06 06. 16 16. 26 26. 36 36. 46 46. 56 56. 66 66. 76 76. 86 86. 96 96. 05 05. 15 15. 25 25. 35 35. 45 45. 55 55. 65 65. 75 75. 85 85. 95 95. 04 04. 14 14. 24 24. 34 34. 44 44. 54 54. 64 64. 74 74. 84 84. 94 94. 03 03. 13 13. 23 23. 33 33. 43 43. 53 53. 63 63. 73 73. 83 83. 93 93. 02 02. 12 12. 22 22. 32 32. 42 42. 52 52. 62 62. 72 72. 82 82. 92 92. 01 01. 11 11. 21 21. 31 31. 41 41. 51 51. 61 61. 71 71. 81 81. 91 91. Σ=0 00 10 00 10. 20 20. 30 30. 40 40. 50 50. 60 60. 70 70. 80 80. 90 90. Z. Färbung SS2015.
(130) Einleitung 4:54. Vertex Cover. Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 2∕21. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. Bildhaftes Beispiel (R = 2) w (00) = w (06) = w (23) = w (90) = w (96) = w (51) = w (55) = 2 06 06. 16 16. 26 26. 36 36. 46 46. 56 56. 66 66. 76 76. 86 86. 96 96. 05 05. 15 15. 25 25. 35 35. 45 45. 55 55. 65 65. 75 75. 85 85. 95 95. 04 04. 14 14. 24 24. 34 34. 44 44. 54 54. 64 64. 74 74. 84 84. 94 94. 03 03. 13 13. 23 23. 33 33. 43 43. 53 53. 63 63. 73 73. 83 83. 93 93. 02 02. 12 12. 22 22. 32 32. 42 42. 52 52. 62 62. 72 72. 82 82. 92 92. 01 01. 11 11. 21 21. 31 31. 41 41. 51 51. 61 61. 71 71. 81 81. 91 91. Σ=0 00 10 00 10. 20 20. 30 30. 40 40. 50 50. 60 60. 70 70. 80 80. 90 90. Z. Färbung SS2015.
(131) Einleitung 4:54. Vertex Cover. Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 3∕21. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. Bildhaftes Beispiel (R = 2) w (00) = w (06) = w (23) = w (90) = w (96) = w (51) = w (55) = 2 06 06. 16 16. 26 26. 36 36. 46 46. 56 56. 66 66. 76 76. 86 86. 96 96. 05 05. 15 15. 25 25. 35 35. 45 45. 55 55. 65 65. 75 75. 85 85. 95 95. 04 04. 14 14. 24 24. 34 34. 44 44. 54 54. 64 64. 74 74. 84 84. 94 94. 03 03. 13 13. 23 23. 33 33. 43 43. 53 53. 63 63. 73 73. 83 83. 93 93. 02 02. 12 12. 22 22. 32 32. 42 42. 52 52. 62 62. 72 72. 82 82. 92 92. 01 01. 11 11. 21 21. 31 31. 41 41. 51 51. 61 61. 71 71. 81 81. 91 91. Σ=0 00 10 00 10. 20 20. 30 30. 40 40. 50 50. 60 60. 70 70. 80 80. 90 90. Z. Färbung SS2015.
(132) Einleitung 4:54. Vertex Cover. Approximation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume. 4∕21. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:22. <. Bildhaftes Beispiel (R = 2) w (00) = w (06) = w (23) = w (90) = w (96) = w (51) = w (55) = 2 06 06. 16 16. 26 26. 36 36. 46 46. 56 56. 66 66. 76 76. 86 86. 96 96. 05 05. 15 15. 25 25. 35 35. 45 45. 55 55. 65 65. 75 75. 85 85. 95 95. 04 04. 14 14. 24 24. 34 34. 44 44. 54 54. 64 64. 74 74. 84 84. 94 94. 03 03. 13 13. 23 23. 33 33. 43 43. 53 53. 63 63. 73 73. 83 83. 93 93. 02 02. 12 12. 22 22. 32 32. 42 42. 52 52. 62 62. 72 72. 82 82. 92 92. 01 01. 11 11. 21 21. 31 31. 41 41. 51 51. 61 61. 71 71. 81 81. 91 91. Σ=0 00 10 00 10. 20 20. 30 30. 40 40. 50 50. 60 60. 70 70. 80 80. 90 90. Z. Färbung SS2015.
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