Effiziente Algorithmen (SS2015) Kapitel 4 Approximation I Walter Unger
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(2) Einleitung 4. Vertex Cover. Inhaltsverzeichnis. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Inhalt I 1. Einleitung Motivation Cliquenproblem. 2. Vertex Cover Definition Greedy. 3. TSP und Delta-TSP Einleitung 2-Approximation 1.5-Approximation. 4. Steiner-Bäume Einleitung Reduktion Approximationsalgorithmus. 5. Zentrumsproblem Einleitung Komplexität Approximation. 6. Färbung Greedy Approximation Aussagen. Z. Färbung SS2015.
(3) Einleitung. Vertex Cover. 4:1. 1∕6. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einleitung NP-schwere Probleme doch lösen Exakt: “Ô⇒” exponentiale Laufzeit Nicht Exakt: “Ô⇒” hoffentlich polynomiale Laufzeit Hier: Approximationsalgorithmen in polynomialer Laufzeit. D.h.: welche Approximationsfaktoren sind möglich? Kommt man beliebig nah an das Optimum?. Z. Färbung SS2015.
(4) Einleitung. Vertex Cover. 4:1. 2∕6. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einleitung NP-schwere Probleme doch lösen Exakt: “Ô⇒” exponentiale Laufzeit Nicht Exakt: “Ô⇒” hoffentlich polynomiale Laufzeit Hier: Approximationsalgorithmen in polynomialer Laufzeit. D.h.: welche Approximationsfaktoren sind möglich? Kommt man beliebig nah an das Optimum?. Z. Färbung SS2015.
(5) Einleitung. Vertex Cover. 4:1. 3∕6. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einleitung NP-schwere Probleme doch lösen Exakt: “Ô⇒” exponentiale Laufzeit Nicht Exakt: “Ô⇒” hoffentlich polynomiale Laufzeit Hier: Approximationsalgorithmen in polynomialer Laufzeit. D.h.: welche Approximationsfaktoren sind möglich? Kommt man beliebig nah an das Optimum?. Z. Färbung SS2015.
(6) Einleitung. Vertex Cover. 4:1. 4∕6. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einleitung NP-schwere Probleme doch lösen Exakt: “Ô⇒” exponentiale Laufzeit Nicht Exakt: “Ô⇒” hoffentlich polynomiale Laufzeit Hier: Approximationsalgorithmen in polynomialer Laufzeit. D.h.: welche Approximationsfaktoren sind möglich? Kommt man beliebig nah an das Optimum?. Z. Färbung SS2015.
(7) Einleitung. Vertex Cover. 4:1. 5∕6. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einleitung NP-schwere Probleme doch lösen Exakt: “Ô⇒” exponentiale Laufzeit Nicht Exakt: “Ô⇒” hoffentlich polynomiale Laufzeit Hier: Approximationsalgorithmen in polynomialer Laufzeit. D.h.: welche Approximationsfaktoren sind möglich? Kommt man beliebig nah an das Optimum?. Z. Färbung SS2015.
(8) Einleitung. Vertex Cover. 4:1. 6∕6. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einleitung NP-schwere Probleme doch lösen Exakt: “Ô⇒” exponentiale Laufzeit Nicht Exakt: “Ô⇒” hoffentlich polynomiale Laufzeit Hier: Approximationsalgorithmen in polynomialer Laufzeit. D.h.: welche Approximationsfaktoren sind möglich? Kommt man beliebig nah an das Optimum?. Z. Färbung SS2015.
(9) Einleitung. Vertex Cover. 4:2. 1∕9. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einfaches Beispiel (Knotenfärbung). Z. Färbung SS2015. Nk = {1, . . . , k}. Definition (Knotenfärbung) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. Dann wird definiert: k-Färbungsfunktion c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w ). Färbungszahl χ(G) = mink∈N {k ∣ ∃c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )} Färbungsproblem:. COL: Gegeben: G = (V , E ), k, Frage: Gilt χ(G) ≤ k k-Färbungsproblem:. k-COL: Gegeben: G = (V , E ), Frage: Gilt χ(G) ≤ k praktisches Färbungsproblem: Gegeben: G = (V , E ) Bestimme: c ∶ V ↦ Nχ(G) ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )..
(10) Einleitung. Vertex Cover. 4:2. 2∕9. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einfaches Beispiel (Knotenfärbung). Z. Färbung SS2015. Nk = {1, . . . , k}. Definition (Knotenfärbung) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. Dann wird definiert: k-Färbungsfunktion c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w ). Färbungszahl χ(G) = mink∈N {k ∣ ∃c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )} Färbungsproblem:. COL: Gegeben: G = (V , E ), k, Frage: Gilt χ(G) ≤ k k-Färbungsproblem:. k-COL: Gegeben: G = (V , E ), Frage: Gilt χ(G) ≤ k praktisches Färbungsproblem: Gegeben: G = (V , E ) Bestimme: c ∶ V ↦ Nχ(G) ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )..
(11) Einleitung. Vertex Cover. 4:2. 3∕9. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einfaches Beispiel (Knotenfärbung). Z. Färbung SS2015. Nk = {1, . . . , k}. Definition (Knotenfärbung) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. Dann wird definiert: k-Färbungsfunktion c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w ). Färbungszahl χ(G) = mink∈N {k ∣ ∃c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )} Färbungsproblem:. COL: Gegeben: G = (V , E ), k, Frage: Gilt χ(G) ≤ k k-Färbungsproblem:. k-COL: Gegeben: G = (V , E ), Frage: Gilt χ(G) ≤ k praktisches Färbungsproblem: Gegeben: G = (V , E ) Bestimme: c ∶ V ↦ Nχ(G) ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )..
(12) Einleitung. Vertex Cover. 4:2. 4∕9. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einfaches Beispiel (Knotenfärbung). Z. Färbung SS2015. Nk = {1, . . . , k}. Definition (Knotenfärbung) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. Dann wird definiert: k-Färbungsfunktion c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w ). Färbungszahl χ(G) = mink∈N {k ∣ ∃c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )} Färbungsproblem:. COL: Gegeben: G = (V , E ), k, Frage: Gilt χ(G) ≤ k k-Färbungsproblem:. k-COL: Gegeben: G = (V , E ), Frage: Gilt χ(G) ≤ k praktisches Färbungsproblem: Gegeben: G = (V , E ) Bestimme: c ∶ V ↦ Nχ(G) ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )..
(13) Einleitung. Vertex Cover. 4:2. 5∕9. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einfaches Beispiel (Knotenfärbung). Z. Färbung SS2015. Nk = {1, . . . , k}. Definition (Knotenfärbung) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. Dann wird definiert: k-Färbungsfunktion c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w ). Färbungszahl χ(G) = mink∈N {k ∣ ∃c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )} Färbungsproblem:. COL: Gegeben: G = (V , E ), k, Frage: Gilt χ(G) ≤ k k-Färbungsproblem:. k-COL: Gegeben: G = (V , E ), Frage: Gilt χ(G) ≤ k praktisches Färbungsproblem: Gegeben: G = (V , E ) Bestimme: c ∶ V ↦ Nχ(G) ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )..
(14) Einleitung. Vertex Cover. 4:2. 6∕9. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einfaches Beispiel (Knotenfärbung). Z. Färbung SS2015. Nk = {1, . . . , k}. Definition (Knotenfärbung) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. Dann wird definiert: k-Färbungsfunktion c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w ). Färbungszahl χ(G) = mink∈N {k ∣ ∃c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )} Färbungsproblem:. COL: Gegeben: G = (V , E ), k, Frage: Gilt χ(G) ≤ k k-Färbungsproblem:. k-COL: Gegeben: G = (V , E ), Frage: Gilt χ(G) ≤ k praktisches Färbungsproblem: Gegeben: G = (V , E ) Bestimme: c ∶ V ↦ Nχ(G) ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )..
(15) Einleitung. Vertex Cover. 4:2. 7∕9. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einfaches Beispiel (Knotenfärbung). Z. Färbung SS2015. Nk = {1, . . . , k}. Definition (Knotenfärbung) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. Dann wird definiert: k-Färbungsfunktion c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w ). Färbungszahl χ(G) = mink∈N {k ∣ ∃c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )} Färbungsproblem:. COL: Gegeben: G = (V , E ), k, Frage: Gilt χ(G) ≤ k k-Färbungsproblem:. k-COL: Gegeben: G = (V , E ), Frage: Gilt χ(G) ≤ k praktisches Färbungsproblem: Gegeben: G = (V , E ) Bestimme: c ∶ V ↦ Nχ(G) ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )..
(16) Einleitung. Vertex Cover. 4:2. 8∕9. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einfaches Beispiel (Knotenfärbung). Z. Färbung SS2015. Nk = {1, . . . , k}. Definition (Knotenfärbung) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. Dann wird definiert: k-Färbungsfunktion c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w ). Färbungszahl χ(G) = mink∈N {k ∣ ∃c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )} Färbungsproblem:. COL: Gegeben: G = (V , E ), k, Frage: Gilt χ(G) ≤ k k-Färbungsproblem:. k-COL: Gegeben: G = (V , E ), Frage: Gilt χ(G) ≤ k praktisches Färbungsproblem: Gegeben: G = (V , E ) Bestimme: c ∶ V ↦ Nχ(G) ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )..
(17) Einleitung. Vertex Cover. 4:2. 9∕9. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einfaches Beispiel (Knotenfärbung). Z. Färbung SS2015. Nk = {1, . . . , k}. Definition (Knotenfärbung) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. Dann wird definiert: k-Färbungsfunktion c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w ). Färbungszahl χ(G) = mink∈N {k ∣ ∃c ∶ V ↦ Nk ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )} Färbungsproblem:. COL: Gegeben: G = (V , E ), k, Frage: Gilt χ(G) ≤ k k-Färbungsproblem:. k-COL: Gegeben: G = (V , E ), Frage: Gilt χ(G) ≤ k praktisches Färbungsproblem: Gegeben: G = (V , E ) Bestimme: c ∶ V ↦ Nχ(G) ∶ ∀{v , w } ∈ E ∶ c(v ) =/ c(w )..
(18) Einleitung. Vertex Cover. 4:3. 1∕4. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einfaches Beispiel (Knotenfärbung). Z. Färbung SS2015. Nk = {1, . . . , k}. Definition (Planarer Graph) G = (V , E ) heißt planar, wenn er kreuzungsfrei in die Ebene eingebettet werden kann. Theorem (Färbung Planarer Graphen) Für planare Graphen G gilt: χ(G) ≤ 4. 3-COL(G) ∈ N PC. Folgerung für das Färben von planaren Graphen: kann mit additivem Fehler von 1 gelöst werden. kann mit multipikativem Fehler von 4/3 gelöst werden..
(19) Einleitung. Vertex Cover. 4:3. 2∕4. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einfaches Beispiel (Knotenfärbung). Z. Färbung SS2015. Nk = {1, . . . , k}. Definition (Planarer Graph) G = (V , E ) heißt planar, wenn er kreuzungsfrei in die Ebene eingebettet werden kann. Theorem (Färbung Planarer Graphen) Für planare Graphen G gilt: χ(G) ≤ 4. 3-COL(G) ∈ N PC. Folgerung für das Färben von planaren Graphen: kann mit additivem Fehler von 1 gelöst werden. kann mit multipikativem Fehler von 4/3 gelöst werden..
(20) Einleitung. Vertex Cover. 4:3. 3∕4. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einfaches Beispiel (Knotenfärbung). Z. Färbung SS2015. Nk = {1, . . . , k}. Definition (Planarer Graph) G = (V , E ) heißt planar, wenn er kreuzungsfrei in die Ebene eingebettet werden kann. Theorem (Färbung Planarer Graphen) Für planare Graphen G gilt: χ(G) ≤ 4. 3-COL(G) ∈ N PC. Folgerung für das Färben von planaren Graphen: kann mit additivem Fehler von 1 gelöst werden. kann mit multipikativem Fehler von 4/3 gelöst werden..
(21) Einleitung. Vertex Cover. 4:3. 4∕4. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einfaches Beispiel (Knotenfärbung). Z. Färbung SS2015. Nk = {1, . . . , k}. Definition (Planarer Graph) G = (V , E ) heißt planar, wenn er kreuzungsfrei in die Ebene eingebettet werden kann. Theorem (Färbung Planarer Graphen) Für planare Graphen G gilt: χ(G) ≤ 4. 3-COL(G) ∈ N PC. Folgerung für das Färben von planaren Graphen: kann mit additivem Fehler von 1 gelöst werden. kann mit multipikativem Fehler von 4/3 gelöst werden..
(22) Einleitung. Vertex Cover. 4:4. 1∕4. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Einfaches Beispiel (Kantenfärbung). Nk = {1, . . . , k}. Definition (Kantenfärbung) Die Kantenfärbung auf G entspricht der Knotenfärbung auf L(G): χ′ (G) = χ(L(G)). Theorem (Kantenfärbung) Für Graphen G gilt: δ(G) ≤ χ′ (G) ≤ δ(G) + 1. (δ(G)) − EDGECOL(G) ∈ N PC. Folgerung für die Kantenfärbung: kann mit additivem Fehler von 1 gelöst werden. kann mit multipikativem Fehler von (δ(G) + 1)/δ(G) gelöst werden..
(23) Einleitung. Vertex Cover. 4:4. 2∕4. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Einfaches Beispiel (Kantenfärbung). Nk = {1, . . . , k}. Definition (Kantenfärbung) Die Kantenfärbung auf G entspricht der Knotenfärbung auf L(G): χ′ (G) = χ(L(G)). Theorem (Kantenfärbung) Für Graphen G gilt: δ(G) ≤ χ′ (G) ≤ δ(G) + 1. (δ(G)) − EDGECOL(G) ∈ N PC. Folgerung für die Kantenfärbung: kann mit additivem Fehler von 1 gelöst werden. kann mit multipikativem Fehler von (δ(G) + 1)/δ(G) gelöst werden..
(24) Einleitung. Vertex Cover. 4:4. 3∕4. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Einfaches Beispiel (Kantenfärbung). Nk = {1, . . . , k}. Definition (Kantenfärbung) Die Kantenfärbung auf G entspricht der Knotenfärbung auf L(G): χ′ (G) = χ(L(G)). Theorem (Kantenfärbung) Für Graphen G gilt: δ(G) ≤ χ′ (G) ≤ δ(G) + 1. (δ(G)) − EDGECOL(G) ∈ N PC. Folgerung für die Kantenfärbung: kann mit additivem Fehler von 1 gelöst werden. kann mit multipikativem Fehler von (δ(G) + 1)/δ(G) gelöst werden..
(25) Einleitung. Vertex Cover. 4:4. 4∕4. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Einfaches Beispiel (Kantenfärbung). Nk = {1, . . . , k}. Definition (Kantenfärbung) Die Kantenfärbung auf G entspricht der Knotenfärbung auf L(G): χ′ (G) = χ(L(G)). Theorem (Kantenfärbung) Für Graphen G gilt: δ(G) ≤ χ′ (G) ≤ δ(G) + 1. (δ(G)) − EDGECOL(G) ∈ N PC. Folgerung für die Kantenfärbung: kann mit additivem Fehler von 1 gelöst werden. kann mit multipikativem Fehler von (δ(G) + 1)/δ(G) gelöst werden..
(26) Einleitung. Vertex Cover. 4:5. 1∕2. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Definition (Konstante Approximation). Nk = {1, . . . , k}. Definition Ein Algorithmus A hat einen additiven Approximationfehler, falls für alle Eingabeinstanzen I gilt: opt(I) ≤ A(I) + k (Maximierungsproblem) oder opt(I) ≥ A(I) − k (Minimierungsproblem) Definition Ein Algorithmus A hat einen multiplikativen Approximationfehler, falls gilt: ∀I ∶. A(I) opt(I). ≤ α und α ≥ 1 bei einem Minimierungsproblem und. ∀I ∶. A(I) opt(I). ≥ α und α ≤ 1 bei einem Maximierungsproblem.. A(I) opt(I) Oft wird vereinfacht: max{ opt(I) , A(I) } ≤ α..
(27) Einleitung. Vertex Cover. 4:5. 2∕2. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Definition (Konstante Approximation). Nk = {1, . . . , k}. Definition Ein Algorithmus A hat einen additiven Approximationfehler, falls für alle Eingabeinstanzen I gilt: opt(I) ≤ A(I) + k (Maximierungsproblem) oder opt(I) ≥ A(I) − k (Minimierungsproblem) Definition Ein Algorithmus A hat einen multiplikativen Approximationfehler, falls gilt: ∀I ∶. A(I) opt(I). ≤ α und α ≥ 1 bei einem Minimierungsproblem und. ∀I ∶. A(I) opt(I). ≥ α und α ≤ 1 bei einem Maximierungsproblem.. A(I) opt(I) Oft wird vereinfacht: max{ opt(I) , A(I) } ≤ α..
(28) Einleitung. Vertex Cover. 4:6. 1∕2. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Definition (Approximation). Nk = {1, . . . , k}. Definition Sei L ∶ N ↦ R eine Funktion und seien weiter In die Eingaben für Algorithmus A. Dann hat A einen Approximationsfaktor, falls gilt: ∀n ∈ N ∶ ∀I ∈ In ∶. A(I) opt(I). ≤ L(n) bei einem Minimierungsproblem und. ∀n ∈ N ∶ ∀I ∈ In ∶. opt(I) A(I). ≤ L(n) bei einem Maximierungsproblem..
(29) Einleitung. Vertex Cover. 4:6. 2∕2. Motivation. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Definition (Approximation). Nk = {1, . . . , k}. Definition Sei L ∶ N ↦ R eine Funktion und seien weiter In die Eingaben für Algorithmus A. Dann hat A einen Approximationsfaktor, falls gilt: ∀n ∈ N ∶ ∀I ∈ In ∶. A(I) opt(I). ≤ L(n) bei einem Minimierungsproblem und. ∀n ∈ N ∶ ∀I ∈ In ∶. opt(I) A(I). ≤ L(n) bei einem Maximierungsproblem..
(30) Einleitung 4:7. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 1∕8. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Zeigen hier nur additiven Fehler. Sei G ein Graph und sei G k = G × Ck . Damit: ω(G) ⋅ k = ω(G k ). Angenommen: es gibt einen Algorithmus A mit additiven Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Eingabe für A wird G k+1 . Damit gilt: opt(I) ≤ A(I) + k und weiter: ω(G k+1 ) − A(G k+1 ) ≤ k. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k..
(31) Einleitung 4:7. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 2∕8. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Zeigen hier nur additiven Fehler. Sei G ein Graph und sei G k = G × Ck . Damit: ω(G) ⋅ k = ω(G k ). Angenommen: es gibt einen Algorithmus A mit additiven Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Eingabe für A wird G k+1 . Damit gilt: opt(I) ≤ A(I) + k und weiter: ω(G k+1 ) − A(G k+1 ) ≤ k. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k..
(32) Einleitung 4:7. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 3∕8. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Zeigen hier nur additiven Fehler. Sei G ein Graph und sei G k = G × Ck . Damit: ω(G) ⋅ k = ω(G k ). Angenommen: es gibt einen Algorithmus A mit additiven Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Eingabe für A wird G k+1 . Damit gilt: opt(I) ≤ A(I) + k und weiter: ω(G k+1 ) − A(G k+1 ) ≤ k. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k..
(33) Einleitung 4:7. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 4∕8. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Zeigen hier nur additiven Fehler. Sei G ein Graph und sei G k = G × Ck . Damit: ω(G) ⋅ k = ω(G k ). Angenommen: es gibt einen Algorithmus A mit additiven Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Eingabe für A wird G k+1 . Damit gilt: opt(I) ≤ A(I) + k und weiter: ω(G k+1 ) − A(G k+1 ) ≤ k. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k..
(34) Einleitung 4:7. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 5∕8. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Zeigen hier nur additiven Fehler. Sei G ein Graph und sei G k = G × Ck . Damit: ω(G) ⋅ k = ω(G k ). Angenommen: es gibt einen Algorithmus A mit additiven Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Eingabe für A wird G k+1 . Damit gilt: opt(I) ≤ A(I) + k und weiter: ω(G k+1 ) − A(G k+1 ) ≤ k. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k..
(35) Einleitung 4:7. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 6∕8. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Zeigen hier nur additiven Fehler. Sei G ein Graph und sei G k = G × Ck . Damit: ω(G) ⋅ k = ω(G k ). Angenommen: es gibt einen Algorithmus A mit additiven Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Eingabe für A wird G k+1 . Damit gilt: opt(I) ≤ A(I) + k und weiter: ω(G k+1 ) − A(G k+1 ) ≤ k. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k..
(36) Einleitung 4:7. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 7∕8. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Zeigen hier nur additiven Fehler. Sei G ein Graph und sei G k = G × Ck . Damit: ω(G) ⋅ k = ω(G k ). Angenommen: es gibt einen Algorithmus A mit additiven Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Eingabe für A wird G k+1 . Damit gilt: opt(I) ≤ A(I) + k und weiter: ω(G k+1 ) − A(G k+1 ) ≤ k. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k..
(37) Einleitung 4:7. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 8∕8. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Zeigen hier nur additiven Fehler. Sei G ein Graph und sei G k = G × Ck . Damit: ω(G) ⋅ k = ω(G k ). Angenommen: es gibt einen Algorithmus A mit additiven Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. Eingabe für A wird G k+1 . Damit gilt: opt(I) ≤ A(I) + k und weiter: ω(G k+1 ) − A(G k+1 ) ≤ k. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k..
(38) Einleitung 4:8. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 1∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k. Sei Gi (1 ≤ i ≤ k + 1) die Kopien von G in G k+1 . Seien Ci die Lösungsanteile in Gi . ∀i ∶ 1 ≤ i ≤ k + 1 ∶ Ci ≤ ω(G) k+1 (k + 1) ⋅ ω(G) − ∑i=1 ∣Ci ∣ ≤ k. k+1 ∑i=1 ω(G) − ∣Ci ∣ ≤ k.. ∃i ∶ Ci = ω(G). Damit ist das Cliquenproblem in P. Kann auf multiplikativen Fehler erweitert werden..
(39) Einleitung 4:8. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 2∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k. Sei Gi (1 ≤ i ≤ k + 1) die Kopien von G in G k+1 . Seien Ci die Lösungsanteile in Gi . ∀i ∶ 1 ≤ i ≤ k + 1 ∶ Ci ≤ ω(G) k+1 (k + 1) ⋅ ω(G) − ∑i=1 ∣Ci ∣ ≤ k. k+1 ∑i=1 ω(G) − ∣Ci ∣ ≤ k.. ∃i ∶ Ci = ω(G). Damit ist das Cliquenproblem in P. Kann auf multiplikativen Fehler erweitert werden..
(40) Einleitung 4:8. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 3∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k. Sei Gi (1 ≤ i ≤ k + 1) die Kopien von G in G k+1 . Seien Ci die Lösungsanteile in Gi . ∀i ∶ 1 ≤ i ≤ k + 1 ∶ Ci ≤ ω(G) k+1 (k + 1) ⋅ ω(G) − ∑i=1 ∣Ci ∣ ≤ k. k+1 ∑i=1 ω(G) − ∣Ci ∣ ≤ k.. ∃i ∶ Ci = ω(G). Damit ist das Cliquenproblem in P. Kann auf multiplikativen Fehler erweitert werden..
(41) Einleitung 4:8. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 4∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k. Sei Gi (1 ≤ i ≤ k + 1) die Kopien von G in G k+1 . Seien Ci die Lösungsanteile in Gi . ∀i ∶ 1 ≤ i ≤ k + 1 ∶ Ci ≤ ω(G) k+1 (k + 1) ⋅ ω(G) − ∑i=1 ∣Ci ∣ ≤ k. k+1 ∑i=1 ω(G) − ∣Ci ∣ ≤ k.. ∃i ∶ Ci = ω(G). Damit ist das Cliquenproblem in P. Kann auf multiplikativen Fehler erweitert werden..
(42) Einleitung 4:8. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 5∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k. Sei Gi (1 ≤ i ≤ k + 1) die Kopien von G in G k+1 . Seien Ci die Lösungsanteile in Gi . ∀i ∶ 1 ≤ i ≤ k + 1 ∶ Ci ≤ ω(G) k+1 (k + 1) ⋅ ω(G) − ∑i=1 ∣Ci ∣ ≤ k. k+1 ∑i=1 ω(G) − ∣Ci ∣ ≤ k.. ∃i ∶ Ci = ω(G). Damit ist das Cliquenproblem in P. Kann auf multiplikativen Fehler erweitert werden..
(43) Einleitung 4:8. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 6∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k. Sei Gi (1 ≤ i ≤ k + 1) die Kopien von G in G k+1 . Seien Ci die Lösungsanteile in Gi . ∀i ∶ 1 ≤ i ≤ k + 1 ∶ Ci ≤ ω(G) k+1 (k + 1) ⋅ ω(G) − ∑i=1 ∣Ci ∣ ≤ k. k+1 ∑i=1 ω(G) − ∣Ci ∣ ≤ k.. ∃i ∶ Ci = ω(G). Damit ist das Cliquenproblem in P. Kann auf multiplikativen Fehler erweitert werden..
(44) Einleitung 4:8. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 7∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k. Sei Gi (1 ≤ i ≤ k + 1) die Kopien von G in G k+1 . Seien Ci die Lösungsanteile in Gi . ∀i ∶ 1 ≤ i ≤ k + 1 ∶ Ci ≤ ω(G) k+1 (k + 1) ⋅ ω(G) − ∑i=1 ∣Ci ∣ ≤ k. k+1 ∑i=1 ω(G) − ∣Ci ∣ ≤ k.. ∃i ∶ Ci = ω(G). Damit ist das Cliquenproblem in P. Kann auf multiplikativen Fehler erweitert werden..
(45) Einleitung 4:8. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 8∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k. Sei Gi (1 ≤ i ≤ k + 1) die Kopien von G in G k+1 . Seien Ci die Lösungsanteile in Gi . ∀i ∶ 1 ≤ i ≤ k + 1 ∶ Ci ≤ ω(G) k+1 (k + 1) ⋅ ω(G) − ∑i=1 ∣Ci ∣ ≤ k. k+1 ∑i=1 ω(G) − ∣Ci ∣ ≤ k.. ∃i ∶ Ci = ω(G). Damit ist das Cliquenproblem in P. Kann auf multiplikativen Fehler erweitert werden..
(46) Einleitung 4:8. Vertex Cover. Cliquenproblem. TSP und Delta-TSP. 9∕9. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Cliquenproblem. Z. Färbung SS2015. ω(G) = max{∣C ∣ ∣ C ⊂ V ∧ ∀v , w ∈ C ∶ {v , w } ∈ E }. Theorem Falls P =/ N P, gibt es für beliebiges k ∈ N keinen Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das Cliquenproblem. (k + 1) ⋅ ω(G) − A(G k+1 ) ≤ k. Sei Gi (1 ≤ i ≤ k + 1) die Kopien von G in G k+1 . Seien Ci die Lösungsanteile in Gi . ∀i ∶ 1 ≤ i ≤ k + 1 ∶ Ci ≤ ω(G) k+1 (k + 1) ⋅ ω(G) − ∑i=1 ∣Ci ∣ ≤ k. k+1 ∑i=1 ω(G) − ∣Ci ∣ ≤ k.. ∃i ∶ Ci = ω(G). Damit ist das Cliquenproblem in P. Kann auf multiplikativen Fehler erweitert werden..
(47) Einleitung 4:9. Definition. Vertex Cover 1∕8. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einleitung. Z. Färbung SS2015. Definition Sei G = (V , E ). C ⊂ V heißt Vertex Cover von G, falls ∀e ∈ E ∶ C ∩ e =/ ∅. Das folgende Problem ist in N PC: Gegeben: G, k. Frage: Gibt es ein Vertex Cover C in G mit ∣C ∣ ≤ k. Reduktionsidee: V ∖ C ist eine stabile Menge. Versuche nun mittels Greedy das Vertex Cover Problem zu approximieren. Strategie: Wähle Knoten vom höchsten Grad. Betrachte dazu das folgende Beispiel:.
(48) Einleitung 4:9. Definition. Vertex Cover 2∕8. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einleitung. Z. Färbung SS2015. Definition Sei G = (V , E ). C ⊂ V heißt Vertex Cover von G, falls ∀e ∈ E ∶ C ∩ e =/ ∅. Das folgende Problem ist in N PC: Gegeben: G, k. Frage: Gibt es ein Vertex Cover C in G mit ∣C ∣ ≤ k. Reduktionsidee: V ∖ C ist eine stabile Menge. Versuche nun mittels Greedy das Vertex Cover Problem zu approximieren. Strategie: Wähle Knoten vom höchsten Grad. Betrachte dazu das folgende Beispiel:.
(49) Einleitung 4:9. Definition. Vertex Cover 3∕8. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einleitung. Z. Färbung SS2015. Definition Sei G = (V , E ). C ⊂ V heißt Vertex Cover von G, falls ∀e ∈ E ∶ C ∩ e =/ ∅. Das folgende Problem ist in N PC: Gegeben: G, k. Frage: Gibt es ein Vertex Cover C in G mit ∣C ∣ ≤ k. Reduktionsidee: V ∖ C ist eine stabile Menge. Versuche nun mittels Greedy das Vertex Cover Problem zu approximieren. Strategie: Wähle Knoten vom höchsten Grad. Betrachte dazu das folgende Beispiel:.
(50) Einleitung 4:9. Definition. Vertex Cover 4∕8. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einleitung. Z. Färbung SS2015. Definition Sei G = (V , E ). C ⊂ V heißt Vertex Cover von G, falls ∀e ∈ E ∶ C ∩ e =/ ∅. Das folgende Problem ist in N PC: Gegeben: G, k. Frage: Gibt es ein Vertex Cover C in G mit ∣C ∣ ≤ k. Reduktionsidee: V ∖ C ist eine stabile Menge. Versuche nun mittels Greedy das Vertex Cover Problem zu approximieren. Strategie: Wähle Knoten vom höchsten Grad. Betrachte dazu das folgende Beispiel:.
(51) Einleitung 4:9. Definition. Vertex Cover 5∕8. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einleitung. Z. Färbung SS2015. Definition Sei G = (V , E ). C ⊂ V heißt Vertex Cover von G, falls ∀e ∈ E ∶ C ∩ e =/ ∅. Das folgende Problem ist in N PC: Gegeben: G, k. Frage: Gibt es ein Vertex Cover C in G mit ∣C ∣ ≤ k. Reduktionsidee: V ∖ C ist eine stabile Menge. Versuche nun mittels Greedy das Vertex Cover Problem zu approximieren. Strategie: Wähle Knoten vom höchsten Grad. Betrachte dazu das folgende Beispiel:.
(52) Einleitung 4:9. Definition. Vertex Cover 6∕8. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einleitung. Z. Färbung SS2015. Definition Sei G = (V , E ). C ⊂ V heißt Vertex Cover von G, falls ∀e ∈ E ∶ C ∩ e =/ ∅. Das folgende Problem ist in N PC: Gegeben: G, k. Frage: Gibt es ein Vertex Cover C in G mit ∣C ∣ ≤ k. Reduktionsidee: V ∖ C ist eine stabile Menge. Versuche nun mittels Greedy das Vertex Cover Problem zu approximieren. Strategie: Wähle Knoten vom höchsten Grad. Betrachte dazu das folgende Beispiel:.
(53) Einleitung 4:9. Definition. Vertex Cover 7∕8. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einleitung. Z. Färbung SS2015. Definition Sei G = (V , E ). C ⊂ V heißt Vertex Cover von G, falls ∀e ∈ E ∶ C ∩ e =/ ∅. Das folgende Problem ist in N PC: Gegeben: G, k. Frage: Gibt es ein Vertex Cover C in G mit ∣C ∣ ≤ k. Reduktionsidee: V ∖ C ist eine stabile Menge. Versuche nun mittels Greedy das Vertex Cover Problem zu approximieren. Strategie: Wähle Knoten vom höchsten Grad. Betrachte dazu das folgende Beispiel:.
(54) Einleitung 4:9. Definition. Vertex Cover 8∕8. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Einleitung. Z. Färbung SS2015. Definition Sei G = (V , E ). C ⊂ V heißt Vertex Cover von G, falls ∀e ∈ E ∶ C ∩ e =/ ∅. Das folgende Problem ist in N PC: Gegeben: G, k. Frage: Gibt es ein Vertex Cover C in G mit ∣C ∣ ≤ k. Reduktionsidee: V ∖ C ist eine stabile Menge. Versuche nun mittels Greedy das Vertex Cover Problem zu approximieren. Strategie: Wähle Knoten vom höchsten Grad. Betrachte dazu das folgende Beispiel:.
(55) Einleitung 4:10. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 1∕12. Steiner-Bäume <. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋ E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Zentrumsproblem. Σ=0. Z. Färbung SS2015.
(56) Einleitung 4:10. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 2∕12. Steiner-Bäume <. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. a6 a6. a5 a5. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Zentrumsproblem. a4 a4. a3 a3. a2 a2 Σ=0 a1 a1. Z. Färbung SS2015.
(57) Einleitung 4:10. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 3∕12. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. a6 a6. b6 b6. a5 a5. b5 b5. a4 a4. b4 b4. a3 a3. b3 b3. a2 a2. b2 b2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung SS2015.
(58) Einleitung 4:10. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 4∕12. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(59) Einleitung 4:10. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 5∕12. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(60) Einleitung 4:10. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 6∕12. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(61) Einleitung 4:10. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 7∕12. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(62) Einleitung 4:10. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 8∕12. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(63) Einleitung 4:10. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 9∕12. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(64) Einleitung 4:10. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 10∕12. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(65) Einleitung 4:10. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 11∕12. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(66) Einleitung 4:10. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. 12∕12. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck ′ , ∪ki=1 Ei ) Ak = {a1 , a2 , . . . , ak } Bk = {b1 , b2 , . . . , bk } Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k ′ = ∑kj=2 ⌊k/j⌋. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1. E1 = {{ai , bi } ∣ 1 ≤ i ≤ k} ki = ∑ij=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k k1 = 0 Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } ∣ 1 ≤ j ≤ ⌊k/i⌋ ∧ 1 ≤ x ≤ i} für i = 2, 3, . . . , k In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.. Z. Färbung.
(67) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 1∕8. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Wähle Knoten in folgender Reihenfolge: c8 (Grad 6) c7 (Grad 5) c6 (Grad 4) c4 , c5 (Grad 3) c1 , c2 , c3 (Grad 2) a1 , a2 , . . . , a6 (Grad 1). Z. Färbung. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1.
(68) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 2∕8. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. SS2015. Vertex Cover (Greedy) Wähle Knoten in folgender Reihenfolge: c8 (Grad 6) c7 (Grad 5) c6 (Grad 4) c4 , c5 (Grad 3) c1 , c2 , c3 (Grad 2) a1 , a2 , . . . , a6 (Grad 1). Z. Färbung. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1.
(69) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 3∕8. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. SS2015. Vertex Cover (Greedy) Wähle Knoten in folgender Reihenfolge: c8 (Grad 6) c7 (Grad 5) c6 (Grad 4) c4 , c5 (Grad 3) c1 , c2 , c3 (Grad 2) a1 , a2 , . . . , a6 (Grad 1). Z. Färbung. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1.
(70) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 4∕8. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. SS2015. Vertex Cover (Greedy) Wähle Knoten in folgender Reihenfolge: c8 (Grad 6) c7 (Grad 5) c6 (Grad 4) c4 , c5 (Grad 3) c1 , c2 , c3 (Grad 2) a1 , a2 , . . . , a6 (Grad 1). Z. Färbung. a6 a6. b6 b6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1.
(71) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 5∕8. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. SS2015. Vertex Cover (Greedy) Wähle Knoten in folgender Reihenfolge: c8 (Grad 6) c7 (Grad 5) c6 (Grad 4) c4 , c5 (Grad 3) c1 , c2 , c3 (Grad 2) a1 , a2 , . . . , a6 (Grad 1). Z. Färbung. a6 a6. b6 b6. a5 a5. b5 b5. a4 a4. b4 b4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1.
(72) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 6∕8. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Wähle Knoten in folgender Reihenfolge: c8 (Grad 6) c7 (Grad 5) c6 (Grad 4) c4 , c5 (Grad 3) c1 , c2 , c3 (Grad 2) a1 , a2 , . . . , a6 (Grad 1). a6 a6. b6 b6. a5 a5. b5 b5. a4 a4. b4 b4. a3 a3. b3 b3. a2 a2. b2 b2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. Z. Färbung SS2015.
(73) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 7∕8. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Wähle Knoten in folgender Reihenfolge: c8 (Grad 6) c7 (Grad 5) c6 (Grad 4) c4 , c5 (Grad 3) c1 , c2 , c3 (Grad 2) a1 , a2 , . . . , a6 (Grad 1). a6 a6. b6 b6. a5 a5. b5 b5. a4 a4. b4 b4. a3 a3. b3 b3. a2 a2. b2 b2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. Z. Färbung SS2015.
(74) Einleitung 4:11. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 8∕8. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. SS2015. Vertex Cover (Greedy) c8 c8. Wähle Knoten in folgender Reihenfolge: c8 (Grad 6) c7 (Grad 5) c6 (Grad 4) c4 , c5 (Grad 3) c1 , c2 , c3 (Grad 2) a1 , a2 , . . . , a6 (Grad 1). Z. Färbung. c7 c7. a6 a6. b6 b6. c6 c6. a5 a5. b5 b5. c5 c5. a4 a4. b4 b4. c4 c4. a3 a3. b3 b3. c3 c3. a2 a2. b2 b2. c2 c2. Σ=0 a1 a1. b1 b1. c1 c1.
(75) Einleitung 4:12. Greedy. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 1∕11. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Wir bestimmen nun den Approximationsfaktor F (n). F (n). ≥ = = ≥ ≥ ≥ ≥ ≥. ∣Cgreedy (Gk )∣ ∣Copt (Gk )∣ 1 ⋅ (k + ∑ki=2 ⌊ ki ⌋) k 1 ⋅ k ⌊k ⌋ k ∑i=1 i 1 ⋅ (∑ki=1 ki − (k − k k ∑i=1 1i − 1 k+1 dx ∫i=1 x − 1. 2)). ln k − 1 ln ∆(Gk ) − 1. Damit kann dieser Greedyalgorithmus keinen konstanten Approximationsfaktor haben.. Z. Färbung SS2015.
(76) Einleitung 4:12. Greedy. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 2∕11. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Wir bestimmen nun den Approximationsfaktor F (n). F (n). ≥ = = ≥ ≥ ≥ ≥ ≥. ∣Cgreedy (Gk )∣ ∣Copt (Gk )∣ 1 ⋅ (k + ∑ki=2 ⌊ ki ⌋) k 1 ⋅ k ⌊k ⌋ k ∑i=1 i 1 ⋅ (∑ki=1 ki − (k − k k ∑i=1 1i − 1 k+1 dx ∫i=1 x − 1. 2)). ln k − 1 ln ∆(Gk ) − 1. Damit kann dieser Greedyalgorithmus keinen konstanten Approximationsfaktor haben.. Z. Färbung SS2015.
(77) Einleitung 4:12. Greedy. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 3∕11. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Wir bestimmen nun den Approximationsfaktor F (n). F (n). ≥ = = ≥ ≥ ≥ ≥ ≥. ∣Cgreedy (Gk )∣ ∣Copt (Gk )∣ 1 ⋅ (k + ∑ki=2 ⌊ ki ⌋) k 1 ⋅ k ⌊k ⌋ k ∑i=1 i 1 ⋅ (∑ki=1 ki − (k − k k ∑i=1 1i − 1 k+1 dx ∫i=1 x − 1. 2)). ln k − 1 ln ∆(Gk ) − 1. Damit kann dieser Greedyalgorithmus keinen konstanten Approximationsfaktor haben.. Z. Färbung SS2015.
(78) Einleitung 4:12. Greedy. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 4∕11. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Wir bestimmen nun den Approximationsfaktor F (n). F (n). ≥ = = ≥ ≥ ≥ ≥ ≥. ∣Cgreedy (Gk )∣ ∣Copt (Gk )∣ 1 ⋅ (k + ∑ki=2 ⌊ ki ⌋) k 1 ⋅ k ⌊k ⌋ k ∑i=1 i 1 ⋅ (∑ki=1 ki − (k − k k ∑i=1 1i − 1 k+1 dx ∫i=1 x − 1. 2)). ln k − 1 ln ∆(Gk ) − 1. Damit kann dieser Greedyalgorithmus keinen konstanten Approximationsfaktor haben.. Z. Färbung SS2015.
(79) Einleitung 4:12. Greedy. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 5∕11. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Wir bestimmen nun den Approximationsfaktor F (n). F (n). ≥ = = ≥ ≥ ≥ ≥ ≥. ∣Cgreedy (Gk )∣ ∣Copt (Gk )∣ 1 ⋅ (k + ∑ki=2 ⌊ ki ⌋) k 1 ⋅ k ⌊k ⌋ k ∑i=1 i 1 ⋅ (∑ki=1 ki − (k − k k ∑i=1 1i − 1 k+1 dx ∫i=1 x − 1. 2)). ln k − 1 ln ∆(Gk ) − 1. Damit kann dieser Greedyalgorithmus keinen konstanten Approximationsfaktor haben.. Z. Färbung SS2015.
(80) Einleitung 4:12. Greedy. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 6∕11. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Wir bestimmen nun den Approximationsfaktor F (n). F (n). ≥ = = ≥ ≥ ≥ ≥ ≥. ∣Cgreedy (Gk )∣ ∣Copt (Gk )∣ 1 ⋅ (k + ∑ki=2 ⌊ ki ⌋) k 1 ⋅ k ⌊k ⌋ k ∑i=1 i 1 ⋅ (∑ki=1 ki − (k − k k ∑i=1 1i − 1 k+1 dx ∫i=1 x − 1. 2)). ln k − 1 ln ∆(Gk ) − 1. Damit kann dieser Greedyalgorithmus keinen konstanten Approximationsfaktor haben.. Z. Färbung SS2015.
(81) Einleitung 4:12. Greedy. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 7∕11. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Wir bestimmen nun den Approximationsfaktor F (n). F (n). ≥ = = ≥ ≥ ≥ ≥ ≥. ∣Cgreedy (Gk )∣ ∣Copt (Gk )∣ 1 ⋅ (k + ∑ki=2 ⌊ ki ⌋) k 1 ⋅ k ⌊k ⌋ k ∑i=1 i 1 ⋅ (∑ki=1 ki − (k − k k ∑i=1 1i − 1 k+1 dx ∫i=1 x − 1. 2)). ln k − 1 ln ∆(Gk ) − 1. Damit kann dieser Greedyalgorithmus keinen konstanten Approximationsfaktor haben.. Z. Färbung SS2015.
(82) Einleitung 4:12. Greedy. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 8∕11. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Wir bestimmen nun den Approximationsfaktor F (n). F (n). ≥ = = ≥ ≥ ≥ ≥ ≥. ∣Cgreedy (Gk )∣ ∣Copt (Gk )∣ 1 ⋅ (k + ∑ki=2 ⌊ ki ⌋) k 1 ⋅ k ⌊k ⌋ k ∑i=1 i 1 ⋅ (∑ki=1 ki − (k − k k ∑i=1 1i − 1 k+1 dx ∫i=1 x − 1. 2)). ln k − 1 ln ∆(Gk ) − 1. Damit kann dieser Greedyalgorithmus keinen konstanten Approximationsfaktor haben.. Z. Färbung SS2015.
(83) Einleitung 4:12. Greedy. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 9∕11. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Wir bestimmen nun den Approximationsfaktor F (n). F (n). ≥ = = ≥ ≥ ≥ ≥ ≥. ∣Cgreedy (Gk )∣ ∣Copt (Gk )∣ 1 ⋅ (k + ∑ki=2 ⌊ ki ⌋) k 1 ⋅ k ⌊k ⌋ k ∑i=1 i 1 ⋅ (∑ki=1 ki − (k − k k ∑i=1 1i − 1 k+1 dx ∫i=1 x − 1. 2)). ln k − 1 ln ∆(Gk ) − 1. Damit kann dieser Greedyalgorithmus keinen konstanten Approximationsfaktor haben.. Z. Färbung SS2015.
(84) Einleitung 4:12. Greedy. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 10∕11. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Wir bestimmen nun den Approximationsfaktor F (n). F (n). ≥ = = ≥ ≥ ≥ ≥ ≥. ∣Cgreedy (Gk )∣ ∣Copt (Gk )∣ 1 ⋅ (k + ∑ki=2 ⌊ ki ⌋) k 1 ⋅ k ⌊k ⌋ k ∑i=1 i 1 ⋅ (∑ki=1 ki − (k − k k ∑i=1 1i − 1 k+1 dx ∫i=1 x − 1. 2)). ln k − 1 ln ∆(Gk ) − 1. Damit kann dieser Greedyalgorithmus keinen konstanten Approximationsfaktor haben.. Z. Färbung SS2015.
(85) Einleitung 4:12. Greedy. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 11∕11. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Vertex Cover (Greedy) Wir bestimmen nun den Approximationsfaktor F (n). F (n). ≥ = = ≥ ≥ ≥ ≥ ≥. ∣Cgreedy (Gk )∣ ∣Copt (Gk )∣ 1 ⋅ (k + ∑ki=2 ⌊ ki ⌋) k 1 ⋅ k ⌊k ⌋ k ∑i=1 i 1 ⋅ (∑ki=1 ki − (k − k k ∑i=1 1i − 1 k+1 dx ∫i=1 x − 1. 2)). ln k − 1 ln ∆(Gk ) − 1. Damit kann dieser Greedyalgorithmus keinen konstanten Approximationsfaktor haben.. Z. Färbung SS2015.
(86) Einleitung 4:13. Greedy. Vertex Cover 1∕6. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Aufbau der Idee Jede Kante muss überdeckt werden. Für die Abschätzung des Faktors brauchen wir eine untere Schranke.. Für zwei unabhängige Kanten braucht man zwei Knoten zur Überdeckung. Für k paarweise unabhängige Kanten braucht man k Knoten zur Überdeckung. Man weiß aber nicht, welcher Knoten von diesen k Kanten im Cover ist. Idee: Wähle beide für einen Approximationsfaktor von zwei..
(87) Einleitung 4:13. Greedy. Vertex Cover 2∕6. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Aufbau der Idee Jede Kante muss überdeckt werden. Für die Abschätzung des Faktors brauchen wir eine untere Schranke.. Für zwei unabhängige Kanten braucht man zwei Knoten zur Überdeckung. Für k paarweise unabhängige Kanten braucht man k Knoten zur Überdeckung. Man weiß aber nicht, welcher Knoten von diesen k Kanten im Cover ist. Idee: Wähle beide für einen Approximationsfaktor von zwei..
(88) Einleitung 4:13. Greedy. Vertex Cover 3∕6. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Aufbau der Idee Jede Kante muss überdeckt werden. Für die Abschätzung des Faktors brauchen wir eine untere Schranke.. Für zwei unabhängige Kanten braucht man zwei Knoten zur Überdeckung. Für k paarweise unabhängige Kanten braucht man k Knoten zur Überdeckung. Man weiß aber nicht, welcher Knoten von diesen k Kanten im Cover ist. Idee: Wähle beide für einen Approximationsfaktor von zwei..
(89) Einleitung 4:13. Greedy. Vertex Cover 4∕6. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Aufbau der Idee Jede Kante muss überdeckt werden. Für die Abschätzung des Faktors brauchen wir eine untere Schranke.. Für zwei unabhängige Kanten braucht man zwei Knoten zur Überdeckung. Für k paarweise unabhängige Kanten braucht man k Knoten zur Überdeckung. Man weiß aber nicht, welcher Knoten von diesen k Kanten im Cover ist. Idee: Wähle beide für einen Approximationsfaktor von zwei..
(90) Einleitung 4:13. Greedy. Vertex Cover 5∕6. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Aufbau der Idee Jede Kante muss überdeckt werden. Für die Abschätzung des Faktors brauchen wir eine untere Schranke.. Für zwei unabhängige Kanten braucht man zwei Knoten zur Überdeckung. Für k paarweise unabhängige Kanten braucht man k Knoten zur Überdeckung. Man weiß aber nicht, welcher Knoten von diesen k Kanten im Cover ist. Idee: Wähle beide für einen Approximationsfaktor von zwei..
(91) Einleitung 4:13. Greedy. Vertex Cover 6∕6. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Aufbau der Idee Jede Kante muss überdeckt werden. Für die Abschätzung des Faktors brauchen wir eine untere Schranke.. Für zwei unabhängige Kanten braucht man zwei Knoten zur Überdeckung. Für k paarweise unabhängige Kanten braucht man k Knoten zur Überdeckung. Man weiß aber nicht, welcher Knoten von diesen k Kanten im Cover ist. Idee: Wähle beide für einen Approximationsfaktor von zwei..
(92) Einleitung 4:14. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 1∕12. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Vertex Cover Theorem. Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert werden. 1. 2. Bestimme inklusions-maximales Matching M ⊂ E auf Eingabegraph G = (V , E ). Wähle Vertex Cover C = ∪e∈M e und gib C aus. Zeige Korrektheit: Angenommen C = ∪e∈M e ist kein Vertex Cover, d.h. ∃e ∶ e ∩ C = ∅. Damit ist M kein inklusions-maximales Matching, Widerspruch. Zeige Approximationsfaktor: Setze τ (G) = ∣V ∣ − α(G) und Mmax (G) Maximales Matching von G. Schätze Approximationsfaktor ab: 2⋅∣M∣ τ (G). ≤ ≤ =. 2⋅∣Mmax (G)∣ τ (G) 2⋅∣Mmax (G)∣ ∣Mmax (G)∣. 2. beachte: ∣Mmax (G)∣ ≥ ∣M∣ beachte: ∣Mmax (G)∣ ≤ τ (G).
(93) Einleitung 4:14. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 2∕12. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Vertex Cover Theorem. Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert werden. 1. 2. Bestimme inklusions-maximales Matching M ⊂ E auf Eingabegraph G = (V , E ). Wähle Vertex Cover C = ∪e∈M e und gib C aus. Zeige Korrektheit: Angenommen C = ∪e∈M e ist kein Vertex Cover, d.h. ∃e ∶ e ∩ C = ∅. Damit ist M kein inklusions-maximales Matching, Widerspruch. Zeige Approximationsfaktor: Setze τ (G) = ∣V ∣ − α(G) und Mmax (G) Maximales Matching von G. Schätze Approximationsfaktor ab: 2⋅∣M∣ τ (G). ≤ ≤ =. 2⋅∣Mmax (G)∣ τ (G) 2⋅∣Mmax (G)∣ ∣Mmax (G)∣. 2. beachte: ∣Mmax (G)∣ ≥ ∣M∣ beachte: ∣Mmax (G)∣ ≤ τ (G).
(94) Einleitung 4:14. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 3∕12. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Vertex Cover Theorem. Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert werden. 1. 2. Bestimme inklusions-maximales Matching M ⊂ E auf Eingabegraph G = (V , E ). Wähle Vertex Cover C = ∪e∈M e und gib C aus. Zeige Korrektheit: Angenommen C = ∪e∈M e ist kein Vertex Cover, d.h. ∃e ∶ e ∩ C = ∅. Damit ist M kein inklusions-maximales Matching, Widerspruch. Zeige Approximationsfaktor: Setze τ (G) = ∣V ∣ − α(G) und Mmax (G) Maximales Matching von G. Schätze Approximationsfaktor ab: 2⋅∣M∣ τ (G). ≤ ≤ =. 2⋅∣Mmax (G)∣ τ (G) 2⋅∣Mmax (G)∣ ∣Mmax (G)∣. 2. beachte: ∣Mmax (G)∣ ≥ ∣M∣ beachte: ∣Mmax (G)∣ ≤ τ (G).
(95) Einleitung 4:14. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 4∕12. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Vertex Cover Theorem. Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert werden. 1. 2. Bestimme inklusions-maximales Matching M ⊂ E auf Eingabegraph G = (V , E ). Wähle Vertex Cover C = ∪e∈M e und gib C aus. Zeige Korrektheit: Angenommen C = ∪e∈M e ist kein Vertex Cover, d.h. ∃e ∶ e ∩ C = ∅. Damit ist M kein inklusions-maximales Matching, Widerspruch. Zeige Approximationsfaktor: Setze τ (G) = ∣V ∣ − α(G) und Mmax (G) Maximales Matching von G. Schätze Approximationsfaktor ab: 2⋅∣M∣ τ (G). ≤ ≤ =. 2⋅∣Mmax (G)∣ τ (G) 2⋅∣Mmax (G)∣ ∣Mmax (G)∣. 2. beachte: ∣Mmax (G)∣ ≥ ∣M∣ beachte: ∣Mmax (G)∣ ≤ τ (G).
(96) Einleitung 4:14. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 5∕12. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Vertex Cover Theorem. Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert werden. 1. 2. Bestimme inklusions-maximales Matching M ⊂ E auf Eingabegraph G = (V , E ). Wähle Vertex Cover C = ∪e∈M e und gib C aus. Zeige Korrektheit: Angenommen C = ∪e∈M e ist kein Vertex Cover, d.h. ∃e ∶ e ∩ C = ∅. Damit ist M kein inklusions-maximales Matching, Widerspruch. Zeige Approximationsfaktor: Setze τ (G) = ∣V ∣ − α(G) und Mmax (G) Maximales Matching von G. Schätze Approximationsfaktor ab: 2⋅∣M∣ τ (G). ≤ ≤ =. 2⋅∣Mmax (G)∣ τ (G) 2⋅∣Mmax (G)∣ ∣Mmax (G)∣. 2. beachte: ∣Mmax (G)∣ ≥ ∣M∣ beachte: ∣Mmax (G)∣ ≤ τ (G).
(97) Einleitung 4:14. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 6∕12. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Vertex Cover Theorem. Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert werden. 1. 2. Bestimme inklusions-maximales Matching M ⊂ E auf Eingabegraph G = (V , E ). Wähle Vertex Cover C = ∪e∈M e und gib C aus. Zeige Korrektheit: Angenommen C = ∪e∈M e ist kein Vertex Cover, d.h. ∃e ∶ e ∩ C = ∅. Damit ist M kein inklusions-maximales Matching, Widerspruch. Zeige Approximationsfaktor: Setze τ (G) = ∣V ∣ − α(G) und Mmax (G) Maximales Matching von G. Schätze Approximationsfaktor ab: 2⋅∣M∣ τ (G). ≤ ≤ =. 2⋅∣Mmax (G)∣ τ (G) 2⋅∣Mmax (G)∣ ∣Mmax (G)∣. 2. beachte: ∣Mmax (G)∣ ≥ ∣M∣ beachte: ∣Mmax (G)∣ ≤ τ (G).
(98) Einleitung 4:14. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 7∕12. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Vertex Cover Theorem. Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert werden. 1. 2. Bestimme inklusions-maximales Matching M ⊂ E auf Eingabegraph G = (V , E ). Wähle Vertex Cover C = ∪e∈M e und gib C aus. Zeige Korrektheit: Angenommen C = ∪e∈M e ist kein Vertex Cover, d.h. ∃e ∶ e ∩ C = ∅. Damit ist M kein inklusions-maximales Matching, Widerspruch. Zeige Approximationsfaktor: Setze τ (G) = ∣V ∣ − α(G) und Mmax (G) Maximales Matching von G. Schätze Approximationsfaktor ab: 2⋅∣M∣ τ (G). ≤ ≤ =. 2⋅∣Mmax (G)∣ τ (G) 2⋅∣Mmax (G)∣ ∣Mmax (G)∣. 2. beachte: ∣Mmax (G)∣ ≥ ∣M∣ beachte: ∣Mmax (G)∣ ≤ τ (G).
(99) Einleitung 4:14. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 8∕12. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Vertex Cover Theorem. Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert werden. 1. 2. Bestimme inklusions-maximales Matching M ⊂ E auf Eingabegraph G = (V , E ). Wähle Vertex Cover C = ∪e∈M e und gib C aus. Zeige Korrektheit: Angenommen C = ∪e∈M e ist kein Vertex Cover, d.h. ∃e ∶ e ∩ C = ∅. Damit ist M kein inklusions-maximales Matching, Widerspruch. Zeige Approximationsfaktor: Setze τ (G) = ∣V ∣ − α(G) und Mmax (G) Maximales Matching von G. Schätze Approximationsfaktor ab: 2⋅∣M∣ τ (G). ≤ ≤ =. 2⋅∣Mmax (G)∣ τ (G) 2⋅∣Mmax (G)∣ ∣Mmax (G)∣. 2. beachte: ∣Mmax (G)∣ ≥ ∣M∣ beachte: ∣Mmax (G)∣ ≤ τ (G).
(100) Einleitung 4:14. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 9∕12. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Vertex Cover Theorem. Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert werden. 1. 2. Bestimme inklusions-maximales Matching M ⊂ E auf Eingabegraph G = (V , E ). Wähle Vertex Cover C = ∪e∈M e und gib C aus. Zeige Korrektheit: Angenommen C = ∪e∈M e ist kein Vertex Cover, d.h. ∃e ∶ e ∩ C = ∅. Damit ist M kein inklusions-maximales Matching, Widerspruch. Zeige Approximationsfaktor: Setze τ (G) = ∣V ∣ − α(G) und Mmax (G) Maximales Matching von G. Schätze Approximationsfaktor ab: 2⋅∣M∣ τ (G). ≤ ≤ =. 2⋅∣Mmax (G)∣ τ (G) 2⋅∣Mmax (G)∣ ∣Mmax (G)∣. 2. beachte: ∣Mmax (G)∣ ≥ ∣M∣ beachte: ∣Mmax (G)∣ ≤ τ (G).
(101) Einleitung 4:14. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 10∕12. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Vertex Cover Theorem. Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert werden. 1. 2. Bestimme inklusions-maximales Matching M ⊂ E auf Eingabegraph G = (V , E ). Wähle Vertex Cover C = ∪e∈M e und gib C aus. Zeige Korrektheit: Angenommen C = ∪e∈M e ist kein Vertex Cover, d.h. ∃e ∶ e ∩ C = ∅. Damit ist M kein inklusions-maximales Matching, Widerspruch. Zeige Approximationsfaktor: Setze τ (G) = ∣V ∣ − α(G) und Mmax (G) Maximales Matching von G. Schätze Approximationsfaktor ab: 2⋅∣M∣ τ (G). ≤ ≤ =. 2⋅∣Mmax (G)∣ τ (G) 2⋅∣Mmax (G)∣ ∣Mmax (G)∣. 2. beachte: ∣Mmax (G)∣ ≥ ∣M∣ beachte: ∣Mmax (G)∣ ≤ τ (G).
(102) Einleitung 4:14. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 11∕12. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Vertex Cover Theorem. Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert werden. 1. 2. Bestimme inklusions-maximales Matching M ⊂ E auf Eingabegraph G = (V , E ). Wähle Vertex Cover C = ∪e∈M e und gib C aus. Zeige Korrektheit: Angenommen C = ∪e∈M e ist kein Vertex Cover, d.h. ∃e ∶ e ∩ C = ∅. Damit ist M kein inklusions-maximales Matching, Widerspruch. Zeige Approximationsfaktor: Setze τ (G) = ∣V ∣ − α(G) und Mmax (G) Maximales Matching von G. Schätze Approximationsfaktor ab: 2⋅∣M∣ τ (G). ≤ ≤ =. 2⋅∣Mmax (G)∣ τ (G) 2⋅∣Mmax (G)∣ ∣Mmax (G)∣. 2. beachte: ∣Mmax (G)∣ ≥ ∣M∣ beachte: ∣Mmax (G)∣ ≤ τ (G).
(103) Einleitung 4:14. Vertex Cover. Greedy. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 12∕12. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Z. Färbung SS2015. Vertex Cover Theorem. Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert werden. 1. 2. Bestimme inklusions-maximales Matching M ⊂ E auf Eingabegraph G = (V , E ). Wähle Vertex Cover C = ∪e∈M e und gib C aus. Zeige Korrektheit: Angenommen C = ∪e∈M e ist kein Vertex Cover, d.h. ∃e ∶ e ∩ C = ∅. Damit ist M kein inklusions-maximales Matching, Widerspruch. Zeige Approximationsfaktor: Setze τ (G) = ∣V ∣ − α(G) und Mmax (G) Maximales Matching von G. Schätze Approximationsfaktor ab: 2⋅∣M∣ τ (G). ≤ ≤ =. 2⋅∣Mmax (G)∣ τ (G) 2⋅∣Mmax (G)∣ ∣Mmax (G)∣. 2. beachte: ∣Mmax (G)∣ ≥ ∣M∣ beachte: ∣Mmax (G)∣ ≤ τ (G).
(104) Einleitung 4:15. Greedy. Vertex Cover. TSP und Delta-TSP. Steiner-Bäume <. 1∕3. Zentrumsproblem. > Walter Unger 25.7.2015 8:24. Beispiel c1 c1. c2 c2. c3 c3. c4 c4. c5 c5. c6 c6. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. c7 c7. c8 c8. Z. Färbung SS2015.
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