Effiziente Algorithmen (SS2015) Kapitel 3 Matchings Walter Unger
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(2) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3. Inhaltsverzeichnis. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Inhalt I 1. Einleitung Definitionen maximales Matching. 2. mit Flüssen Idee Transformation. 3. Alternierende Pfade Idee Aussagen Algorithmus. 4. verbesserte Laufzeit Idee Aussagen Algorithmus. Beispiel. 5. mit Kosten Einleitung Erster Algorithmus Zweiter Algorithmus. 6. Blüten Probleme bei ungeraden Kreisen Algorithmus Ergebnisse. 7. Zwei Anwendungen Definitionen Aussagen Vorgehen Stabile Paarungen. Z. Zwei Anwendungen SS2015.
(3) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3. verbesserte Laufzeit <. Inhaltsverzeichnis. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Motivation und Anwendungen. SS2015. vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching. Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten. Bestimme günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen maximum Matchings. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, ∣V ∣ = n, ∣E ∣ = m Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend, ∣V ∪ W ∣ = n, ∣E ∣ = m.
(4) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:2. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Definitionen. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Definitionen. SS2015. δG (v ) = ∣NG (v )∣ NG (v ) = {w ∈ V (G) ∣ {v , w } ∈ E (G)}. Definition (Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt Matching: ∀e, f ∈ M ∶ e ∩ f = ∅ D.h. ∀v ∈ V ∶ δG ′ (v ) ≤ 1 mit G ′ = (V , M). Definition ((inklusions-)maximales Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt maximales Matching: ∀M ′ ∶ M ⊊ M ′ ⊂ E ∶ M ′ ist kein Matching. Definition (maximum Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt maximum Matching: ∀M ′ ⊂ E ∶ ∣M∣ < ∣M ′ ∣ ∶ M ′ ist kein Matching..
(5) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:3. Definitionen. verbesserte Laufzeit. 1∕4. <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Beispiel. SS2015. Betrachte Graph: {{a, b}} Matching. f. e. d. b. c. {{a, b}, {b, c}} kein Matching {{a, f }, {c, d}} maximales Matching {{a, f }, {b, c}, {e, d}} maximum Matching. a. Σ=0.
(6) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:3. Definitionen. verbesserte Laufzeit. 2∕4. <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Beispiel. SS2015. Betrachte Graph: {{a, b}} Matching. f. e. d. b. c. {{a, b}, {b, c}} kein Matching {{a, f }, {c, d}} maximales Matching {{a, f }, {b, c}, {e, d}} maximum Matching. a. Σ=0.
(7) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:3. Definitionen. verbesserte Laufzeit. 3∕4. <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Beispiel. SS2015. Betrachte Graph: {{a, b}} Matching. f. e. d. b. c. {{a, b}, {b, c}} kein Matching {{a, f }, {c, d}} maximales Matching {{a, f }, {b, c}, {e, d}} maximum Matching. a. Σ=0.
(8) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:3. Definitionen. verbesserte Laufzeit. 4∕4. <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Beispiel. SS2015. Betrachte Graph: {{a, b}} Matching. f. e. d. b. c. {{a, b}, {b, c}} kein Matching {{a, f }, {c, d}} maximales Matching {{a, f }, {b, c}, {e, d}} maximum Matching. a. Σ=0.
(9) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:4. verbesserte Laufzeit. maximales Matching. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Algorithmus (maximales Matching) Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching. 1. Gegeben G = (V , E ). 2. M=∅. 3. Solange E nicht leer, mache: 1 2 3. 4. Wähle e ∈ E . Setze M = M ∪ {e} Setze E = {e ′ ∈ E ∣ e ′ ∩ e = ∅}. Ausgabe: M.. Z. Zwei Anwendungen SS2015.
(10) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:5. maximales Matching. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 1∕6. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(11) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:5. maximales Matching. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 2∕6. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(12) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:5. maximales Matching. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 3∕6. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(13) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:5. maximales Matching. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 4∕6. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(14) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:5. maximales Matching. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 5∕6. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(15) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:5. maximales Matching. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 6∕6. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(16) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:6. maximales Matching. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Probleme. Z. Zwei Anwendungen SS2015. Definition (Bipartites Matchingproblem) Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Gesucht: Maximum Matching auf G. Definition (Bipartites kostenminimales Matchingproblem) Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph und Kostenfunktion l ∶ E ↦ N. Gesucht: Kostenminimales maximum Matching auf G..
(17) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:7. Idee. verbesserte Laufzeit <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Idee (bipartites Matching und Flüsse) Matching von V nach W entspricht “Transport”. Jeder Knoten kann eine Einheit transportieren. Jede Matchingkante kann eine Einheit transportieren. Modelliere das durch Fluss, erweitere Graph: Füge Quelle s ein und verbinde s zu jedem Knoten aus V . Füge Senke t ein und verbinde jeden Knoten aus W zu t. Diese neuen Kanten können eine Einheit transportieren.. SS2015.
(18) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 1∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 11∕0 11∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 0∕. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕. a3 a3 0 0∕11 0∕11 ∕ 0∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 0∕ 0∕ 1∕00 11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 1∕0 1∕0 0∕1 ∕00∕1 ∕0 1 0∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(19) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 2∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. b4 b4 0. t 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 1 0∕. b7 b7 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a5 a5 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. a4 a4 0. 0∕1∕01 0∕1∕0 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕. a3 a3 0 0∕1 0∕1 ∕ 0∕1 00∕1 ∕0 ∕0 1 1 ∕0. b6 b6 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a2 a2 0. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 1. 1. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕ 0∕1∕01 0∕1∕0. ∕0 ∕0 0∕1 ∕00∕1 ∕0 1 0∕11 0∕. 1. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(20) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 3∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. b4 b4 0. t 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 1 0∕. b7 b7 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a5 a5 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. a4 a4 0. 0∕1∕01 0∕1∕0 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕. a3 a3 0 0 0∕ 1∕10 ∕1∕ ∕ 0∕1 0 ∕1 1∕0 1 1. b6 b6 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a2 a2 0. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕1 1 1 0∕1∕1. Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 1. 1. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕ 0∕1∕01 0∕1∕0. ∕0 ∕1 0∕1 ∕10∕1 ∕0 1 0∕11 0∕. 1. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(21) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 4∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 11∕0 11∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 0∕. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕11 1 ∕1 ∕0 ∕0 ∕1. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕1 1∕1 1∕1∕1 1 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 0∕ 0∕ 1∕00 11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. ∕11 1∕0 ∕ 1∕11 1∕10∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(22) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 5∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 11∕0 11∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 0∕. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 0∕ 0∕ 1∕00 11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. ∕10 1∕0 ∕ 1∕11 ∕00∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(23) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 6∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. b3 b3 0. b4 b4 0. b5 b5 0. 1 b6 b6 0. b7 b7 0. 1. b1 b1 0. s 0. 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕ 0∕1∕01 0∕1∕0. 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. a5 a5 0. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 1 0∕. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. t 0. 1. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 1. a4 a4 0. 0∕1∕01 0∕1∕0 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0 1. 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(24) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 7∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. b3 b3 0. b4 b4 0. b5 b5 0. 1 b6 b6 0. b7 b7 0. 1. b1 b1 0. s 0. 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕ 0∕1∕1 1 1 0∕1∕1. 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. a5 a5 0. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 1 0∕. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. t 0. 1. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕1 1∕ 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 1. a4 a4 0. 0∕1∕01 0∕1∕0 11 1∕ 1 0∕ 1∕ 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0 1. 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(25) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 8∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 11∕0 11∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 0∕. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 1 11∕ 1 11∕∕ 11∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕1 11∕ 1. b1 b1 0. 0∕1 0∕ 0∕ 1∕00 11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕ 1∕1∕1 1∕1 1∕1∕1 1. ∕10 1∕0 ∕ 1∕11 ∕00∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(26) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 9∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 11∕0 11∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 0∕. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 0∕ 0∕ 1∕00 11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 1∕0 ∕ 1∕11 ∕00∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(27) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 10∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. a5 a5 0. 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 1 0∕. b7 b7 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. b6 b6 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. b4 b4 0. 1. 1. b3 b3 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0 1. 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(28) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 11∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. a5 a5 0. 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 1 0∕. b7 b7 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 1 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. b6 b6 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕1 1 1 0∕1∕1 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. b4 b4 0. 1. 1. b3 b3 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 11 1∕ 1 0∕ 1∕ 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0 1. 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(29) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 12∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 11∕0 11∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 0∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 11∕ 1 1. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕1 1∕1 1∕1∕1 1 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 0∕ 0∕ 1∕00 11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 1 11∕ 1 11∕∕ 11∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 1∕0 ∕ 1∕11 ∕00∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(30) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 13∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 11∕0 11∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 0∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 0∕ 0∕ 1∕00 11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 1∕0 ∕ 1∕11 ∕00∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(31) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 14∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0 1. b3 b3 0. b7 b7 0. 1 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. a5 a5 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. b6 b6 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. b4 b4 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 1 0∕. 1. 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(32) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 15∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕1 1∕ ∕1∕ 1 1 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0 1. b3 b3 0. b7 b7 0. 1 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. a5 a5 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. b6 b6 0. 0∕1∕1 1 1 0∕1∕1 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. b4 b4 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 1. 0 1∕1 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕1 0∕ 1 0∕. 1. 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(33) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 16∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 ∕11 11∕ 11∕ 0∕ 1∕01∕ 11∕1 1∕ 0∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 1∕1∕1 1∕1 1∕1∕1 1 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 11∕ 0∕ 1∕01 ∕11∕1 1∕ ∕11∕ 1 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 1∕0 ∕ 1∕11 ∕00∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(34) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 17∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 ∕10 11∕ 11∕ 0∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 0∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 11∕ 0∕ 1∕01 ∕11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 1∕0 ∕ 1∕11 ∕00∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(35) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 18∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1 0∕ 1∕ 0∕ 1∕01 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. b7 b7 0. 1 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. a5 a5 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 0∕. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. b6 b6 0. 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. b4 b4 0. 1. b3 b3 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 1. 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. a6 a6 01. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(36) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 19∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1 0∕ 1∕ 0∕ 1∕01 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. b7 b7 0. 1 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. a5 a5 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 0∕. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕1 1∕ 1. b6 b6 0. 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕1 ∕1 ∕0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 1 1∕ 0∕ 1∕1 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1. Σ=0 a1 a1 0. b4 b4 0. 1. b3 b3 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 1. 1 ∕0 1∕1 1 ∕ 1 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. a6 a6 01. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(37) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 20∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 ∕10 11∕ 11∕ 0∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 0∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 1. 1∕ 1∕ 1∕1 11∕ 1. b6 b6 0. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 1 11∕∕11 1∕1 0 ∕11 ∕1 ∕1 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 1 1∕ 1∕ 1∕1 1∕1 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 11∕ 0∕ 1∕01 ∕11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 ∕∕11 ∕ 1∕11 ∕01∕11 1∕1 1 1∕1 1∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(38) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 21∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 ∕10 11∕ 11∕ 0∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 0∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 1 11∕∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 11∕ 0∕ 1∕01 ∕11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 ∕∕10 ∕ 1∕11 ∕01∕11 ∕0 1 1∕1 1∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(39) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 22∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1 0∕ 1∕ 0∕ 1∕01 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. 1 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. a5 a5 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 0∕. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b6 b6 0. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 1∕1 ∕ 1∕1 01∕1 ∕0 ∕0 ∕0. 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. b5 b5 0. 1. b4 b4 0. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 0 1∕ 0 1∕ 1 1∕1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b1 b1 0. 1. 1 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕01∕ 1∕ 1∕1 1∕. a6 a6 01. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(40) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 23∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1 0∕ 1∕ 0∕ 1∕01 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 10 ∕ 0∕ 1 ∕ 1∕ 1 1 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. 1 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. a5 a5 0. 1. 1 1∕0 1∕ 0∕ 1∕11∕ 1∕0 1∕ 0∕. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. 0∕ 0∕ 1∕1 1∕ 1. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b6 b6 0. 1 1 1∕ 0∕ 1∕1 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1 1 1 1∕ 0∕ 1∕1 0∕. a3 a3 0 1∕1 1∕1 ∕ 1∕1 01∕1 ∕0 ∕0 ∕0. 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. b5 b5 0. 1. b4 b4 0. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 1 1∕ 0∕ 1∕1 0∕. 0 1∕ 0 1∕ 1 1∕1∕ 0∕1∕1 1 1 0∕1∕1 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b1 b1 0. 1. 1 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕01∕ 1∕ 1∕1 1∕. a6 a6 01. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(41) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 24∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 11 ∕10 11∕ 11∕∕ 1∕ 11∕11∕ 1∕0 1∕ 1∕. b7 b7 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 1 t 0. a5 a5 0 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 1∕ 1∕ 1∕1 11∕ 1. 0∕1 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 1 11∕∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 1 1∕ 1∕ 1∕1 1∕1 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 1∕ 1∕ 1∕1 1∕1. 1 1∕ 1∕ 1∕1 1∕1. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕1 1∕1 1∕1∕1 1 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 1∕ 1∕ 11∕∕1 11∕ 1 1. b2 b2 0. 0∕1 0∕ 11∕0 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 11∕ 0∕ 1∕01 ∕11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 ∕∕10 ∕ 1∕11 ∕01∕11 ∕0 1 1∕1 1∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(42) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 25∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 10 ∕10 11∕ 11∕∕ 1∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 1∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 1 11∕∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕. 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. b2 b2 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 11∕ 0∕ 1∕01 ∕11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 ∕∕10 ∕ 1∕11 ∕01∕11 ∕0 1 1∕1 1∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(43) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 26∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse. 1 0∕ 1∕ 0∕ 1∕01 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 1. 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. b3 b3 0. b4 b4 0. b5 b5 0. t 0. a5 a5 0. 1. 0 1∕0 1∕ 1∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 1∕. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 1. a4 a4 0 0∕1∕01 0∕1∕0. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a3 a3 0 1∕1 1∕1 ∕ 1∕1 01∕1 ∕0 ∕0 ∕0. 1. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 0 1∕ 0 1∕ 1 1∕1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕. a2 a2 10. b6 b6 0. 1. 1. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b1 b1 0. s 0. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. 1 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕01∕ 1∕ 1∕1 1∕. a6 a6 01. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(44) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 27∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse. 1 0∕ 1∕ 0∕ 1∕11 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 1. 1. 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. b3 b3 0. b4 b4 0. b5 b5 0. t 0. a5 a5 0. 1. 0 1∕0 1∕ 1∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 1∕. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕1 1∕ 1. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕1 1∕ 1. 1. 0∕ 0∕ 1∕1 1∕ 1. 1. 1. a4 a4 0 0∕1∕1 1 1 0∕1∕1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a3 a3 0 1∕1 1∕1 ∕ 1∕1 01∕1 ∕0 ∕0 ∕0. 1. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 0 1∕ 0 1∕ 1 1∕1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕. 1 1 1∕ 0∕ 1∕1 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 1∕ 1 ∕0 1∕. a2 a2 10. b6 b6 0. 1. 1. 1 1 1∕ 0∕ 1∕1 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1. Σ=0 a1 a1 0. 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b1 b1 0. s 0. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. 1 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕01∕ 1∕ 1∕1 1∕. a6 a6 01. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(45) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 28∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1∕ 1∕ 1∕1 11∕ 1. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 10 ∕10 11∕ 11∕∕ 1∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 1∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 0∕1 0∕ 11∕0 1∕ 0. 1. 1∕ 1∕ 1∕1 11∕ 1. b6 b6 0. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 1∕1∕1 1∕1 1∕1∕1 1. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 1 11∕∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 11∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 11∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 1 1∕ 1∕ 1∕1 1∕1 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 1 1∕ 1∕ 1∕1 1∕1 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕1 11∕ 1. b1 b1 0. 11∕∕ 11∕ 1∕1 11∕11 ∕11∕0 1∕ ∕1∕ 0 1. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 ∕∕10 ∕ 1∕11 ∕01∕11 ∕0 1 1∕1 1∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(46) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 29∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 10 ∕10 11∕ 11∕∕ 1∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 1∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 1 11∕∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 11∕∕ 11∕ 1∕ 11∕01 ∕11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 ∕∕10 ∕ 1∕11 ∕01∕11 ∕0 1 1∕1 1∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(47) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:8. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 30∕30. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Bipartites Matching und Flüsse. 1. 0 1∕0 1∕ 1∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 1∕. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 1. 1∕1∕0 1∕1∕0 t 0. a5 a5 0 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. a4 a4 0. b7 b7 0. 1. 1. 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. b6 b6 0. 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b5 b5 0. 0 1∕ 0 1∕ 1 1∕1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 1∕1 ∕ 1∕1 01∕1 ∕0 ∕0 ∕0. 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. 1 1 1∕ 1∕ 1∕ 1∕01 1∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0 1∕ 1 1∕1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 0 1∕ 0 1∕ 1 1∕1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b1 b1 0. s 0. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. 1 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕01∕ 1∕ 1∕1 1∕. a6 a6 01. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(48) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:9. verbesserte Laufzeit. Transformation. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } Et = {(w , t) ∣ w ∈ W } Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem transformiert werden. G hat Matching der Größe α genau dann, wenn w (G ′ ) = α. Theorem Das maximum Matching Problem ist auf bipartiten Graphen in Zeit O(n3 ) lösbar..
(49) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:10. Transformation. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l ∶ E ↦ Z. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) und l ′ ∶ E ′ ↦ Z mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } und Et = {(w , t) ∣ w ∈ W }. ∀(v , w ) ∈ E ′′ ∶ l ′ (v , w ) = l(v , w ). ∀e ∈ Es ∪ Et ∶ l ′ (e) = 0. Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem mit Kosten kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem mit Kosten transformiert werden. Theorem G hat Matching der Größe α mit Kosten β genau dann, wenn w (G ′ ) = α und die Kosten des Flusses sind β..
(50) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:11. Idee. verbesserte Laufzeit <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Idee der Alternierenden Pfade. Betrachten wir die Berechnung eines Matchings auf bipartiten Graphen mit Hilfe von Flussalgorithmen genauer. Die Wirkung eines Flusspfades auf das Matching ist der Austausch von Matching und Nichtmatching Kanten. Diese ausgetauschten Kanten bilden dabei einen Pfad, der ein Matching vergrößert. Damit haben wir eine neue Idee, ein Matching schrittweise zu vergrößern. Aber es gibt noch eine zweite Möglichkeit, diese erweiternden alternierenden Pfade zu begründen. Betrachten wir zwei Matchings unterschiedlicher Größe. Wenn wir den Graphen betrachten, der aus diesen beiden Matchings besteht, so sehen wir ein System von Kreisen gerader Länge und Pfaden, welche keine gemeinsamen Knoten haben. Da das eine Matching mehr Kanten als das andere hat, muss es auch eine Komponente geben, wo das größere Matching mehr Kanten hat. Dies muss dann ein Pfad sein. Damit haben wir wieder einen alternierenden erweiternden Pfad. Diese Überlegung gilt auch für allgemeine Graphen. Damit haben wir eine Methode, ein maximales Matching zu berechnen..
(51) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:12. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 1∕10. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante.. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(52) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:12. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 2∕10. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante.. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(53) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:12. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 3∕10. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(54) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:12. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 4∕10. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(55) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:12. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 5∕10. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(56) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:12. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 6∕10. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(57) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:12. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 7∕10. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(58) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:12. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 8∕10. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(59) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:12. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 9∕10. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(60) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:12. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 10∕10. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(61) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:13. verbesserte Laufzeit <. Idee. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Idee der alternierende Pfade Damit arbeitet der Flussalgorithmus wie folgt: Bestimme “erweiternden Pfad”: Der Der Der Der Der. Pfad Pfad Pfad Pfad Pfad. startet an einem “freien” Knoten. startet mit einer Vorwärtskante. geht alternierend über Vorwärts- und Rückwärtskanten. endet mit einer Vorwärtskante. endet an einem “freien” Knoten.. Damit können wir einen weiteren Algorithmus angeben.. Z. Zwei Anwendungen.
(62) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:14. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Idee. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Alternierende Pfade. SS2015. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Sei G = (V , E ) ungerichteter Pfad und M ⊂ E ein Matching. Ein Knoten v ∈ V heißt frei, falls v ∈/ ∪e∈M e. Ein Pfad v0 , {v0 , v1 }, v1 , {v1 , v2 }, v2 , {v2 , v3 }, v3 , . . . , vl−1 , {vl−1 , vl }, vl heißt alternierend, falls {vi−1 , vi } ∈ M ⇔ {vi , vi+1 } ∈/ M (0 < i < l). Σ=0 vv00. vv11. vv22. vv33. vv44. vv55. vv66. Ein alterniernder Pfad v0 , {v0 , v1 }, v1 , {v1 , v2 }, v2 , {v2 , v3 }, v3 , . . . , vl−1 , {vl−1 , vl }, vl heißt erweiternd, falls v0 , vl frei sind. Σ=0 vv00. vv11. vv22. vv33. vv44. vv55. Bemerkung: eine Kante zwischen freien Knoten ist ein verbessernder Pfad. Damit arbeitet der Algorithmus wie folgt: 1 Setze M = ∅. 2 Solange es erweiternden Pfad P gibt, mache: 1 Erweitere M, d.h. M = M ⊕ E (P)..
(63) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 1∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(64) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 2∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(65) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 3∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(66) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 4∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(67) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 5∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(68) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 6∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(69) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 7∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(70) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 8∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(71) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 9∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(72) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 10∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(73) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 11∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(74) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 12∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(75) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 13∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(76) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 14∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(77) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 15∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(78) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 16∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(79) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 17∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. c4 c4. Z. Zwei Anwendungen. d2 d2.
(80) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 18∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. Z. Zwei Anwendungen. c4 c4. Ungerade Kreise können Probleme machen. d2 d2.
(81) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 19∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. Z. Zwei Anwendungen. c4 c4. Ungerade Kreise können Probleme machen. d2 d2.
(82) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 20∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. Z. Zwei Anwendungen. c4 c4. Ungerade Kreise können Probleme machen. d2 d2.
(83) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 21∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. Z. Zwei Anwendungen. c4 c4. Ungerade Kreise können Probleme machen. d2 d2.
(84) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 22∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. Z. Zwei Anwendungen. c4 c4. Ungerade Kreise können Probleme machen. d2 d2.
(85) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:15. Idee. verbesserte Laufzeit <. 23∕23. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel allgemeiner Graph. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:. a1 a1. b1 b1. b2 b2. c1 c1. c2 c2. d1 d1. a0 a0. b0 b0. b3 b3. c0 c0. c3 c3. d0 d0. Σ=0 a2 a2. b4 b4. Z. Zwei Anwendungen. c4 c4. Ungerade Kreise können Probleme machen. d2 d2.
(86) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:16. verbesserte Laufzeit. Aussagen. <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Aussagen zu verbessernden Pfaden. A ⊕ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Lemma (ein verbessernder Pfad) Sei G = (V , E ) Graph, M Matching und P verbessernder Pfad. Dann ist M ⊕ E (P) Matching mit ∣M ⊕ E (P)∣ = ∣M∣ + 1. Beweis: Sei G ′ = (V , M) und G ′′ = (V , M ⊕ E (P)). Sei v der Startknoten von P, dann gilt δG ′ (v ) = 0 und δG ′′ (v ) = 1. Sei w der Endknoten von P, dann gilt δG ′ (w ) = 0 und δG ′′ (w ) = 1. Sei u ein Zwischenknoten auf P, dann gilt δG ′ (u) = δG ′′ (u) = 1. Es wird eine Kante mehr hinzugefügt als entfernt..
(87) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:17. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Aussagen. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Aussagen zu verbessernden Pfaden. δ(G) = ∪v ∈V (G) δG (v ). Lemma (Differenz zweier Matchings) Sei G = (V , E ) Graph, M, N Matchings mit ∣M∣ < ∣N∣. Dann enthält H = (V , M ⊕ N) mindestens ∣N∣ − ∣M∣ knotendisjunkte verbessernde Pfade bezüglich M in G. Beweis: Sei GM = (V , M) und GN = (V , N). Es gilt: δ(GM ) ⊂ {0, 1} und δ(GN ) ⊂ {0, 1}. Damit folgt: δ(H) ⊂ {0, 1, 2}. Seien Gi = (V , Ei ) (1 ≤ i ≤ g) die Zusammenhangskomponenten von H. Wegen δ(Gi ) ⊂ {0, 1, 2} folgt: Gi Gi Gi Gi. ist ist ist ist. ein ein ein ein. isolierte Knoten oder Kreis gerader Länge oder Pfad gerader Länge oder Pfad ungerader Länge.. Die Kanten in Gi stammen alternierend aus M und N..
(88) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:18. verbesserte Laufzeit <. Aussagen. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Fortsetzung. δ(G) = ∪v ∈V (G) δG (v ). Setze d(Gi ) = ∣Ei ∩ N∣ − ∣Ei ∩ M∣. Damit gilt: d(Gi ) ∈ {−1, 0, 1}. Damit gilt weiter: d(Gi ) = 1 falls Gi verbessernder Pfad. ∑i=1 d(Gi ) = ∣N ∖ M∣ − ∣M ∖ N∣ = ∣N∣ − ∣M∣ g. Damit muss es mindestens ∣N∣ − ∣M∣ Komponenten Gi geben mit d(Gi ) = 1. Zusammengefasst gibt es mindestens ∣N∣ − ∣M∣ verbessernde Pfade. Nach Definition der Komponenten sind diese knotendisjunkt. Lemma Sei G = (V , E ) und M Matching in G. M ist maximum Matching genau dann, wenn keinen verbessernden Pfad bezüglich M gibt..
(89) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:19. verbesserte Laufzeit <. Algorithmus. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Algorithmus 1. Gegeben G = (V , W , E ). 2. M=∅. 3. Solange es verbessernden Pfad P gibt, mache: 1. 4. Setze M = M ⊕ E (P). Ausgabe: M.. Theorem Der obige Algorithmus hat eine Laufzeit von O(n ⋅ m). Beweis: Wegen ∣M∣ ≤ ⌊n/2⌋ gibt es höchstens ⌊n/2⌋ Schleifendurchläufe. Jede Schleife kann in Zeit O(m) ausgeführt werden.. Z. Zwei Anwendungen SS2015.
(90) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:20. Algorithmus. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 1∕5. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel (Schleifendurchlauf) b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(91) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:20. Algorithmus. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 2∕5. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel (Schleifendurchlauf) b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(92) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:20. Algorithmus. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 3∕5. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel (Schleifendurchlauf) b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(93) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:20. Algorithmus. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 4∕5. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel (Schleifendurchlauf) b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(94) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:20. Algorithmus. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 5∕5. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Beispiel (Schleifendurchlauf) b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7. b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(95) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:21. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Algorithmus. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Schleifendurchlauf Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und M Matching. Erzeuge G ′ = (V ∪ W , E ′ ∪ E ′′ ) mit: E ′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∖ M ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } und E ′′ = {(w , v ) ∣ {v , w } ∈ M ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W }. Damit wird die Suche nach einem verbessernden Pfad eine Suche in G ′ : Von einem freien Knoten in V zu einem freien Knoten in W . Damit ergibt sich eine Laufzeit von O(m) durch Tiefensuche.. Z. Zwei Anwendungen.
(96) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:22. Idee. verbesserte Laufzeit <. mit Kosten. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. Idee zur Verbesserung der Laufzeit. Z. Zwei Anwendungen SS2015. Zur Verbesserung der Laufzeit sollten, analog wie beim Flussproblem, mehr als ein alternierender Pfad gesucht werden. Damit die Suche strukturiert durchgeführt werden kann, wird ein System von kürzesten alternierenden Pfaden gesucht. Damit dieses System von alternierenden Pfaden sich nicht gegenseitig beeinflusst, wird ein System von knotendisjunkten Pfaden gesucht. Wir werden im Folgenden sehen, daß nach einem Vergrößern eines Matchings mit einem System von kürzesten alternierenden knotendisjunkten Pfaden, alle weiteren alternierenden knotendisjunkte Pfaden länger sind. Danach muss noch abgeschätzt werden, wie oft so ein System von kürzesten alternierenden knotendisjunkten Pfaden bestimmt werden muss. Der Beweis besteht aus zwei Teilen (virtuellen Phasen der Berechnung), wobei nur der erste Teil nicht trivial ist. Dieser erste Teil (Phase) benutzt die folgende Idee: Wenn uns noch x Kanten fehlen, um von einem Matching M der Größe g zu einem maximalen der Größe x + g zu kommen, dann können die kürzesten verbessernden Pfade nicht zu lang sein. Dazu betrachtet man die gemeinsamen Kanten eines Pfades mit dem Matching M. Ein einfaches Durchschnittsargument zeigt, daß damit ein kürzester verbessernder Pfad höchstens x /g Kanten mit M gemeinsam hat..
(97) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:23. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 1∕5. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Idee. Falls Kanten oft die Rolle (Matching,nicht Matching) wechseln, erhalten wir eine schlechte Laufzeit. Am Anfang besteht der verbessernde Pfad aus einer Kante. Am Anfang sind die kürzesten verbessernden Pfade knotendisjunkt. Idee: suche kürzeste verbessernde Pfade. Falls diese knotendisjunkt sind, können diese gleichzeitig gesucht werden. Beispiel: g. h Σ=0. a. b. c. d. e. f. Matching: M = {{b, c}, {d, e}} Erster kürzester verbessernder Pfad: a, b, c, d, e, f Zweiter kürzester verbessernder Pfad: g, a, b, c, d, h Widerspruch, da (g, a) noch kürzerer verbessernder Pfad..
(98) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:23. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 2∕5. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Idee. Falls Kanten oft die Rolle (Matching,nicht Matching) wechseln, erhalten wir eine schlechte Laufzeit. Am Anfang besteht der verbessernde Pfad aus einer Kante. Am Anfang sind die kürzesten verbessernden Pfade knotendisjunkt. Idee: suche kürzeste verbessernde Pfade. Falls diese knotendisjunkt sind, können diese gleichzeitig gesucht werden. Beispiel: g. h Σ=0. a. b. c. d. e. f. Matching: M = {{b, c}, {d, e}} Erster kürzester verbessernder Pfad: a, b, c, d, e, f Zweiter kürzester verbessernder Pfad: g, a, b, c, d, h Widerspruch, da (g, a) noch kürzerer verbessernder Pfad..
(99) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:23. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 3∕5. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Idee. Falls Kanten oft die Rolle (Matching,nicht Matching) wechseln, erhalten wir eine schlechte Laufzeit. Am Anfang besteht der verbessernde Pfad aus einer Kante. Am Anfang sind die kürzesten verbessernden Pfade knotendisjunkt. Idee: suche kürzeste verbessernde Pfade. Falls diese knotendisjunkt sind, können diese gleichzeitig gesucht werden. Beispiel: g. h Σ=0. a. b. c. d. e. f. Matching: M = {{b, c}, {d, e}} Erster kürzester verbessernder Pfad: a, b, c, d, e, f Zweiter kürzester verbessernder Pfad: g, a, b, c, d, h Widerspruch, da (g, a) noch kürzerer verbessernder Pfad..
(100) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:23. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 4∕5. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Idee. Falls Kanten oft die Rolle (Matching,nicht Matching) wechseln, erhalten wir eine schlechte Laufzeit. Am Anfang besteht der verbessernde Pfad aus einer Kante. Am Anfang sind die kürzesten verbessernden Pfade knotendisjunkt. Idee: suche kürzeste verbessernde Pfade. Falls diese knotendisjunkt sind, können diese gleichzeitig gesucht werden. Beispiel: g. h Σ=0. a. b. c. d. e. f. Matching: M = {{b, c}, {d, e}} Erster kürzester verbessernder Pfad: a, b, c, d, e, f Zweiter kürzester verbessernder Pfad: g, a, b, c, d, h Widerspruch, da (g, a) noch kürzerer verbessernder Pfad..
(101) Einleitung mit Flüssen Altern. Pfade 3:23. Idee. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 5∕5. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 11:12. SS2015. Idee. Falls Kanten oft die Rolle (Matching,nicht Matching) wechseln, erhalten wir eine schlechte Laufzeit. Am Anfang besteht der verbessernde Pfad aus einer Kante. Am Anfang sind die kürzesten verbessernden Pfade knotendisjunkt. Idee: suche kürzeste verbessernde Pfade. Falls diese knotendisjunkt sind, können diese gleichzeitig gesucht werden. Beispiel: g. h Σ=0. a. b. c. d. e. f. Matching: M = {{b, c}, {d, e}} Erster kürzester verbessernder Pfad: a, b, c, d, e, f Zweiter kürzester verbessernder Pfad: g, a, b, c, d, h Widerspruch, da (g, a) noch kürzerer verbessernder Pfad..
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Pfade verbesserte Laufzeit mit Kosten Blüten Zwei Anwendungen.. (3:2.3) <> Walter Unger 17.1.2015 17:49
