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Effiziente Algorithmen (SS2015) Kapitel 3 Matchings Walter Unger

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(1)Effiziente Algorithmen (SS2015) Kapitel 3 Matchings. Walter Unger Lehrstuhl für Informatik 1. 21:08 Uhr, den 19. Oktober 2017.

(2) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Inhalt I. 1. Einleitung Definitionen maximales Matching. Beispiel. 5. mit Kosten Einleitung Erster Algorithmus Zweiter Algorithmus. 2. mit Flüssen Idee Transformation. 6. 3. Alternierende Pfade Idee Aussagen Algorithmus. Blüten Probleme bei ungeraden Kreisen Algorithmus Ergebnisse. 7. 4. verbesserte Laufzeit Idee Aussagen Algorithmus. Zwei Anwendungen Definitionen Aussagen Vorgehen Stabile Paarungen. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(3) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. Inhaltsverzeichnis. Motivation und Anwendungen vielfältige Zuordnungsprobleme:. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(4) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. Inhaltsverzeichnis. mit Kosten. Blüten. Motivation und Anwendungen vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(5) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Motivation und Anwendungen vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(6) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Motivation und Anwendungen vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(7) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Motivation und Anwendungen vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(8) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Motivation und Anwendungen vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(9) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Motivation und Anwendungen vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten. Grundsätzliche Probleme:. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(10) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Motivation und Anwendungen vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten. Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(11) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Motivation und Anwendungen vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten. Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(12) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Motivation und Anwendungen vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten. Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching. Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(13) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Inhaltsverzeichnis. Blüten. SS2015. Motivation und Anwendungen vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten. Grundsätzliche Probleme: Bestimme Bestimme Bestimme Bestimme maximum. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. größtes Matching. nicht erweiterbares Matching. größtes Matching mit Kantengewichten. günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen Matchings..

(14) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Inhaltsverzeichnis. Blüten. SS2015. Motivation und Anwendungen vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten. Grundsätzliche Probleme: Bestimme Bestimme Bestimme Bestimme maximum. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. größtes Matching. nicht erweiterbares Matching. größtes Matching mit Kantengewichten. günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen Matchings.. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, |V | = n, |E | = m.

(15) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Inhaltsverzeichnis. Blüten. SS2015. Motivation und Anwendungen vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten. Grundsätzliche Probleme: Bestimme Bestimme Bestimme Bestimme maximum. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. größtes Matching. nicht erweiterbares Matching. größtes Matching mit Kantengewichten. günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen Matchings.. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, |V | = n, |E | = m Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend, |V ∪ W | = n, |E | = m.

(16) Einleitung 3:2. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 1/5. Blüten. Definitionen. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. δG (v ) = |NG (v )| NG (v ) = {w ∈ V (G ) | {v , w } ∈ E (G )}. Definition (Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt Matching: ∀e, f ∈ M : e ∩ f = ∅ D.h. ∀v ∈ V : δG 0 (v ) 6 1 mit G 0 = (V , M)..

(17) Einleitung 3:2. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 2/5. Blüten. Definitionen. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. δG (v ) = |NG (v )| NG (v ) = {w ∈ V (G ) | {v , w } ∈ E (G )}. Definition (Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt Matching: ∀e, f ∈ M : e ∩ f = ∅ D.h. ∀v ∈ V : δG 0 (v ) 6 1 mit G 0 = (V , M)..

(18) Einleitung 3:2. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 3/5. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. Definitionen. SS2015. δG (v ) = |NG (v )| NG (v ) = {w ∈ V (G ) | {v , w } ∈ E (G )}. Definition (Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt Matching: ∀e, f ∈ M : e ∩ f = ∅ D.h. ∀v ∈ V : δG 0 (v ) 6 1 mit G 0 = (V , M). Definition ((inklusions-)maximales Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt maximales Matching: ∀M 0 : M ( M 0 ⊂ E : M 0 ist kein Matching..

(19) Einleitung 3:2. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 4/5. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. Definitionen. SS2015. δG (v ) = |NG (v )| NG (v ) = {w ∈ V (G ) | {v , w } ∈ E (G )}. Definition (Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt Matching: ∀e, f ∈ M : e ∩ f = ∅ D.h. ∀v ∈ V : δG 0 (v ) 6 1 mit G 0 = (V , M). Definition ((inklusions-)maximales Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt maximales Matching: ∀M 0 : M ( M 0 ⊂ E : M 0 ist kein Matching..

(20) Einleitung 3:2. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 5/5. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. Definitionen. SS2015. δG (v ) = |NG (v )| NG (v ) = {w ∈ V (G ) | {v , w } ∈ E (G )}. Definition (Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt Matching: ∀e, f ∈ M : e ∩ f = ∅ D.h. ∀v ∈ V : δG 0 (v ) 6 1 mit G 0 = (V , M). Definition ((inklusions-)maximales Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt maximales Matching: ∀M 0 : M ( M 0 ⊂ E : M 0 ist kein Matching. Definition (maximum Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt maximum Matching: ∀M 0 ⊂ E : |M| < |M 0 | : M 0 ist kein Matching..

(21) Einleitung 3:3. mit Flüssen. Definitionen. Beispiel. 1/8. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(22) Einleitung 3:3. mit Flüssen. Definitionen. Beispiel. 2/8. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(23) Einleitung 3:3. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. 3/8. Beispiel Betrachte Graph:. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(24) Einleitung 3:3. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. 4/8. Beispiel Betrachte Graph: {{a, b}} Matching. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(25) Einleitung 3:3. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 5/8. Beispiel Betrachte Graph: {{a, b}} Matching {{a, b}, {b, c}} kein Matching. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(26) Einleitung 3:3. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 6/8. Beispiel Betrachte Graph: {{a, b}} Matching {{a, b}, {b, c}} kein Matching {{a, f }, {c, d}} maximales Matching. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(27) Einleitung 3:3. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 7/8. Beispiel Betrachte Graph: {{a, b}} Matching {{a, b}, {b, c}} kein Matching {{a, f }, {c, d}} maximales Matching {{a, f }, {b, c}, {e, d}} maximum Matching. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(28) Einleitung 3:3. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 8/8. mit Kosten. Blüten. SS2015. Beispiel Betrachte Graph: {{a, b}} Matching. f. e. d. a. b. c. {{a, b}, {b, c}} kein Matching {{a, f }, {c, d}} maximales Matching {{a, f }, {b, c}, {e, d}} maximum Matching. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08.

(29) Einleitung 3:4. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 1/7. mit Kosten. Blüten. Algorithmus (maximales Matching) Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching. 1. Gegeben G = (V , E ). Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(30) Einleitung 3:4. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 2/7. mit Kosten. Blüten. Algorithmus (maximales Matching) Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching. 1. Gegeben G = (V , E ). 2. M=∅. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(31) Einleitung 3:4. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 3/7. mit Kosten. Blüten. Algorithmus (maximales Matching) Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching. 1. Gegeben G = (V , E ). 2. M=∅ Solange E nicht leer, mache:. 3. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(32) Einleitung 3:4. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 4/7. mit Kosten. Blüten. Algorithmus (maximales Matching) Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching. 1. Gegeben G = (V , E ). 2. M=∅ Solange E nicht leer, mache:. 3. 1. Wähle e ∈ E .. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(33) Einleitung 3:4. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 5/7. mit Kosten. Blüten. Algorithmus (maximales Matching) Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching. 1. Gegeben G = (V , E ). 2. M=∅ Solange E nicht leer, mache:. 3. 1 2. Wähle e ∈ E . Setze M = M ∪ {e}. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(34) Einleitung 3:4. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 6/7. mit Kosten. Blüten. Algorithmus (maximales Matching) Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching. 1. Gegeben G = (V , E ). 2. M=∅ Solange E nicht leer, mache:. 3. 1 2 3. Wähle e ∈ E . Setze M = M ∪ {e} Setze E = {e 0 ∈ E | e 0 ∩ e = ∅}. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(35) Einleitung 3:4. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 7/7. mit Kosten. Blüten. Algorithmus (maximales Matching) Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching. 1. Gegeben G = (V , E ). 2. M=∅ Solange E nicht leer, mache:. 3. 1 2 3 4. Wähle e ∈ E . Setze M = M ∪ {e} Setze E = {e 0 ∈ E | e 0 ∩ e = ∅}. Ausgabe: M.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(36) Einleitung 3:5. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 1/6. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(37) Einleitung 3:5. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 2/6. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(38) Einleitung 3:5. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 3/6. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(39) Einleitung 3:5. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 4/6. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(40) Einleitung 3:5. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 5/6. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(41) Einleitung 3:5. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 6/6. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(42) Einleitung 3:6. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 1/7. Probleme Definition (Bipartites Matchingproblem). mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(43) Einleitung 3:6. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 2/7. Probleme Definition (Bipartites Matchingproblem) Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph.. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(44) Einleitung 3:6. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 3/7. Probleme Definition (Bipartites Matchingproblem) Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Gesucht: Maximum Matching auf G .. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(45) Einleitung 3:6. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 4/7. Probleme Definition (Bipartites Matchingproblem) Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Gesucht: Maximum Matching auf G .. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(46) Einleitung 3:6. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 5/7. Blüten. Probleme Definition (Bipartites Matchingproblem) Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Gesucht: Maximum Matching auf G . Definition (Bipartites kostenminimales Matchingproblem). Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(47) Einleitung 3:6. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 6/7. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. Probleme Definition (Bipartites Matchingproblem) Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Gesucht: Maximum Matching auf G . Definition (Bipartites kostenminimales Matchingproblem) Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph und Kostenfunktion l : E 7→ N.. SS2015.

(48) Einleitung 3:6. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 7/7. Blüten. Probleme Definition (Bipartites Matchingproblem) Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Gesucht: Maximum Matching auf G . Definition (Bipartites kostenminimales Matchingproblem) Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph und Kostenfunktion l : E 7→ N. Gesucht: Kostenminimales maximum Matching auf G .. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(49) Einleitung 3:7. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 1/7. mit Kosten. Blüten. Idee (bipartites Matching und Flüsse) Matching von V nach W entspricht “Transport”.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(50) Einleitung 3:7. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 2/7. mit Kosten. Blüten. Idee (bipartites Matching und Flüsse) Matching von V nach W entspricht “Transport”. Jeder Knoten kann eine Einheit transportieren.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(51) Einleitung 3:7. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 3/7. mit Kosten. Blüten. Idee (bipartites Matching und Flüsse) Matching von V nach W entspricht “Transport”. Jeder Knoten kann eine Einheit transportieren. Jede Matchingkante kann eine Einheit transportieren.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(52) Einleitung 3:7. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 4/7. mit Kosten. Blüten. Idee (bipartites Matching und Flüsse) Matching von V nach W entspricht “Transport”. Jeder Knoten kann eine Einheit transportieren. Jede Matchingkante kann eine Einheit transportieren. Modelliere das durch Fluss, erweitere Graph:. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(53) Einleitung 3:7. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 5/7. mit Kosten. Blüten. Idee (bipartites Matching und Flüsse) Matching von V nach W entspricht “Transport”. Jeder Knoten kann eine Einheit transportieren. Jede Matchingkante kann eine Einheit transportieren. Modelliere das durch Fluss, erweitere Graph: Füge Quelle s ein und verbinde s zu jedem Knoten aus V .. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(54) Einleitung 3:7. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 6/7. mit Kosten. Blüten. Idee (bipartites Matching und Flüsse) Matching von V nach W entspricht “Transport”. Jeder Knoten kann eine Einheit transportieren. Jede Matchingkante kann eine Einheit transportieren. Modelliere das durch Fluss, erweitere Graph: Füge Quelle s ein und verbinde s zu jedem Knoten aus V . Füge Senke t ein und verbinde jeden Knoten aus W zu t.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(55) Einleitung 3:7. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 7/7. mit Kosten. Blüten. Idee (bipartites Matching und Flüsse) Matching von V nach W entspricht “Transport”. Jeder Knoten kann eine Einheit transportieren. Jede Matchingkante kann eine Einheit transportieren. Modelliere das durch Fluss, erweitere Graph: Füge Quelle s ein und verbinde s zu jedem Knoten aus V . Füge Senke t ein und verbinde jeden Knoten aus W zu t. Diese neuen Kanten können eine Einheit transportieren.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(56) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 1/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0 a6 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0. a5 0. b6 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a4 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b5 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a3 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/1/0 1 0/1/0. a2 0. b4 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b3 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/1/0 1 0/1/0 a1 0. b2 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b1 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(57) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 2/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0 a6 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0. a5 0. b6 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a4 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b5 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a3 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/1/0 1 0/1/0. a2 0. b4 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. b3 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/1/0 1 0/1/0 a1 0. b2 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b1 0. 0/ 0/ 0/ 1 1/00 1 1/0 /1 1/ /0 0. 0 1/ 0 0/1 1/ 0/ 0/1/0 1 0/1/0. 0 0 / 1 1 1/ 0/ /00/1 /0 1 1 / / 0 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(58) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 3/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. t 0. 0 /0 1 1/ /1 1 0/ 1/00 1/0 0/ 0/. a6 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0 0/1 1/ 0/. 0/ 0/ 11 11 0/ /00/1 /0 1/ /0 0. a5 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a4 0. b6 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a3 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b5 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/1/0 1 0/1/0. a2 0. b4 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. b3 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/1/0 1 0/1/0 a1 0. b2 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b1 0. 0/ 0/ 0/ 1 1/00 1 1/0 /1 1/ /0 0. 0 1/ 0 0/1 1/ 0/ 0/1/0 1 0/1/0. 0 0 / 1 1 1/ 0/ /00/1 /0 1 1 / / 0 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(59) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 4/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. b4 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. a5 0. 0/1/01 0/1/0 01 1/ 0 0/ 1/ 0/. 0/ 0/ 1 1 0/ /00/1 /0 1/ /0 0 1. 1. t 0. 1. 0/1/0 1 0/1/0 1. a4 0. 0 /0 1/ /1 0/ 1/00 1/0 / / 0 0 1. b7 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. a3 0. b6 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. a2 0. b5 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 a1 0. b3 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. b2 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. b1 0. 1. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. 1. 0/ 0/ 0/ 1/00 1/0 /1 1/ / 0 1 0. 01 1/ 0 0/ 1/ 0/ 0/1/01 0/1/0. 0 /0 1/ 0/ /00/1 /0 1 1 / / 0 1 0. a6 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(60) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 5/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. b4 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. a5 0. 0/1/01 0/1/0 01 1/ 0 0/ 1/ 0/. 0/ 0/ 1 1 0/ 1 /10/1 /0 1/ /0 1 1. 1. t 0. 1. 0/1/0 1 0/1/0 1. a4 0. 0 /0 1/ /1 0/ 1/00 1/0 / / 0 0 1. b7 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. a3 0. b6 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. a2 0. b5 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/. 0/1/1 1 1 0/1/1 a1 0. b3 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. b2 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. b1 0. 1. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. 1. 0/ 0/ 0/ 1/00 1/0 /1 1/ / 0 1 0. 01 1/ 0 0/ 1/ 0/ 0/1/01 0/1/0. 1 /0 1/ 0/ 1 /10/1 /0 1 1 / / 0 1 0. a6 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(61) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 6/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. t 0. 0 /0 1 1/ /1 1 0/ 1/00 1/0 0/ 0/. a6 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0 0/1 1/ 0/. 0/ 1/ 11 1 1/1 /10/1 /0 1/ /0 1. a5 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a4 0. b6 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a3 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b5 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b4 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a2 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/1 1/1 1 1/1/1 a1 0. b3 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. b2 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b1 0. 0/ 0/ 0/ 1 1/00 1 1/0 /1 1/ /0 0. 0 1/ 0 0/1 1/ 0/ 0/1/0 1 0/1/0. 0 1 / 1 1/ 1/ 1/10/1 /0 1 1 / / 1 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(62) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 7/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. t 0. 0 /0 1 1/ /1 1 0/ 1/00 1/0 0/ 0/. a6 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0 0/1 1/ 0/. 0/ 1/ 11 1 1/ /00/1 /0 1/ /0 0. a5 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a4 0. b6 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a3 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b5 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b4 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a2 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/0 1/1 1/1/0 a1 0. b3 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. b2 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b1 0. 0/ 0/ 0/ 1 1/00 1 1/0 /1 1/ /0 0. 0 1/ 0 0/1 1/ 0/ 0/1/0 1 0/1/0. 0 0 1 / 1 1/ 1/ /00/1 /0 1 1 / / 1 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(63) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 8/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. 0 1/ 1/ /00/1 /0 1 1 1/ 1 0/ b2 0. b3 0. b4 0. b5 0. 1 b6 0. b7 0. 1. b1 0. 0/ 0/ 0/ 1/00 1/0 /1 1/ / 0 1 0. 01 1/ 0 0/ 1/ 0/ 0/1/01 0/1/0. 1 /0. a5 0. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. 0/1/01 0/1/0 01 1/ 0 0/ 1/ 0/. 0/ 1/ 1 1 1/ /00/1 /0 1/ /0 0. 1. t 0. 1. 0 /0 1/ /1 0/ 1/00 1/0 / / 0 0 1. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. a4 0. 0/1/0 1 0/1/0 1. a3 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. a2 1 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 1/1/0 1/1/0 a1 0. a6 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(64) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 9/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. 0 1/ 1/ /00/1 /0 1 1 1/ 1 0/ b2 0. b3 0. b4 0. b5 0. 1 b6 0. b7 0. 1. b1 0. 0/ 0/ 0/ 1/00 1/0 /1 1/ / 0 1 0. 01 1/ 0 0/ 1/ 0/ 0/1/1 1 1 0/1/1. 1 /0. a5 0. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. 0/1/01 0/1/0 11 11/ 1 0/ 1/ 0/. 0/ 1/ 1 1 1/ /00/1 /0 1/ /0 0. 1. t 0. 1. 0 /0 1/ /1 0/ 1/00 1/0 / / 0 0 1. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 11/1 1/ 1. a4 0. 0/1/0 1 0/1/0 1. a3 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. a2 1 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 1/1/0 1/1/0 a1 0. a6 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(65) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 10/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. t 0. 0 /0 1 1/ /1 1 0/ 1/00 1/0 0/ 0/. a6 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0/1/0 1 0/1/0. 1 1/ 1 1/ 1/ 1 1/. 0/ 1/ 11 1 1/ /00/1 /0 1/ /0 0. a5 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a4 0. b6 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a3 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b5 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b4 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a2 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/0 1/1 1/1/0 a1 0. b3 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. b2 0. 1/ 1/ 1/1 1/ 1 1. b1 0. 0/ 0/ 0/ 1 1/00 1 1/0 /1 1/ /0 0. 0 1/ 0 0/1 1/ 0/ 1/1/1 1/1 1 1/1/1. 0 0 1 / 1 1/ 1/ /00/1 /0 1 1 / / 1 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(66) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 11/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. t 0. 0 /0 1 1/ /1 1 0/ 1/00 1/0 0/ 0/. a6 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/. 0/ 1/ 11 1 1/ /00/1 /0 1/ /0 0. a5 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a4 0. b6 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a3 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b5 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b4 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a2 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/0 1/1 1/1/0 a1 0. b3 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. b2 0. 1/ 1/ 1/10 1/ 0. b1 0. 0/ 0/ 0/ 1 1/00 1 1/0 /1 1/ /0 0. 0 1/ 0 0/1 1/ 0/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0 0 1 / 1 1/ 1/ /00/1 /0 1 1 / / 1 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(67) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 12/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1. 0 /0 1/ /1 0/ 1/00 1/0 / / 0 0 1. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. t 0. 0/1/0 1 0/1/0 1. 1. 0/1/01 0/1/0. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1. 0/ 1/ 1 1 1/ /00/1 /0 1/ /0 0. a5 0. b7 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. a4 0. b6 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0. a3 0. b5 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. a2 1 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 1/1/0 1/1/0 a1 0. b4 0. 1. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. b3 0. 1/ 1/ 1/0 1/ 0 1. b2 0. 1. b1 0. 0/ 0/ 0/ 1/00 1/0 /1 1/ / 0 1 0. 1. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. 0 1/ 1/ /00/1 /0 1 1 1/ 1 0/. 01 1/ 0 0/ 1/ 0/ 1/1/0 1/1/0. 1 /0. a6 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(68) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. 13/32. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 10 / 0/ 11/ 1/ 1 1. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 0/1/0 1 0/1/0 1. 1. 0 /0 1/ /1 0/ 1/00 1/0 / / 0 0 1. b7 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. t 0. 1. 1. a5 0. 0/1/01 0/1/0. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1. 0/ 1/ 1 1 1/ /00/1 /0 1/ /0 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. a4 0. b6 0. 0/1/1 1 1 0/1/1. a3 0. b5 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. a2 1 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 1/1/0 1/1/0 a1 0. b4 0. 1. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. b3 0. 1/ 1/ 1/0 1/ 0 1. b2 0. 1. b1 0. 0/ 0/ 0/ 1/00 1/0 /1 1/ / 0 1 0. 1. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. 0 1/ 1/ /00/1 /0 1 1 1/ 1 0/. 11 11/ 1 0/ 1/ 0/ 1/1/0 1/1/0. 1 /0. a6 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(69) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 14/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. t 0. 0 /0 1 1/ /1 1 0/ 1/00 1/0 0/ 0/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1 1/ 1 1. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/. 0/ 1/ 11 1 1/ /00/1 /0 1/ /0 0. a5 0. a6 0. 0/1/0 1 0/1/0. a4 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a3 0. b6 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/1 1/1 1 1/1/1. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b5 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b4 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a2 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/0 1/1 1/1/0 a1 0. b3 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. b2 0. 1/ 1/ 1/10 1/ 0. b1 0. 0/ 0/ 0/ 1 1/00 1 1/0 /1 1/ /0 0. 1 1/ 1 1/ 1/ 1 1/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0 0 1 / 1 1/ 1/ /00/1 /0 1 1 / / 1 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(70) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 15/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. t 0. 0 /0 1 1/ /1 1 0/ 1/00 1/0 0/ 0/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 10 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/. 0/ 1/ 11 1 1/ /00/1 /0 1/ /0 0. a5 0. a6 0. 0/1/0 1 0/1/0. a4 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a3 0. b6 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b5 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b4 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a2 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/0 1/1 1/1/0 a1 0. b3 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. b2 0. 1/ 1/ 1/10 1/ 0. b1 0. 0/ 0/ 0/ 1 1/00 1 1/0 /1 1/ /0 0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0 0 1 / 1 1/ 1/ /00/1 /0 1 1 / / 1 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(71) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 16/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1. 1. 0 /0 1/ /1 0/ 1/00 1/0 / / 0 0 1. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 01 0. t 0. 0/1/0 1 0/1/0 1. a5 0. 0/1/01 0/1/0. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1 1. b7 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. a4 0. 0/ 1/ 1 1 1/ /00/1 /0 1/ /0 0. b6 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 1/1/0 1/1/0. a3 0. b5 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. a2 1 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 1/1/0 1/1/0 a1 0. b4 0. 1. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. b3 0. 1/ 1/ 1/0 1/ 0 1. b2 0. 1. b1 0. 0/ 0/ 0/ 1/00 1/0 /1 1/ / 0 1 0. 1. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. 0 1/ 1/ /00/1 /0 1 1 1/ 1 0/. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1 1/1/0 1/1/0. 1 /0. a6 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(72) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 17/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1. 1. 0 /1 1/ /11 0/ 1/00 1/1 / / 0 0 1. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 01 0. t 0. 0/1/1 1 1 0/1/1 1. a5 0. 0/1/01 0/1/0. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1 1. b7 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. a4 0. 0/ 1/ 1 1 1/ /00/1 /0 1/ /0 0. b6 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 1/1/0 1/1/0. a3 0. b5 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. a2 1 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 1/1/0 1/1/0 a1 0. b4 0. 1. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. b3 0. 1/ 1/ 1/0 1/ 0 1. b2 0. 1. b1 0. 0/ 0/ 0/ 1/00 11/1 /1 1/ / 0 1 1. 1. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. 0 1/ 1/ /00/1 /0 1 1 1/ 1 0/. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1 1/1/0 1/1/0. 1 /0. a6 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(73) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 18/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. t 0. 0 /1 1 1/ /1 0/ 1/01 11/1 1/ 0/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 10 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/. 0/ 1/ 11 1 1/ /00/1 /0 1/ /0 0. a5 0. a6 0. 1/1/1 1/1 1 1/1/1. a4 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a3 0. b6 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b5 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b4 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a2 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/0 1/1 1/1/0 a1 0. b3 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. b2 0. 1/ 1/ 1/10 1/ 0. b1 0. 0/ 1/ 0/ 1 1/01 1/1 /11 1/ /1 0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0 0 1 / 1 1/ 1/ /00/1 /0 1 1 / / 1 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(74) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 19/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. t 0. 0 0 /1 1 1/ /1 0/ 1/01 1/0 1/ 0/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 10 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/. 0/ 1/ 11 1 1/ /00/1 /0 1/ /0 0. a5 0. a6 0. 1/1/0 1/1 1/1/0. a4 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a3 0. b6 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b5 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b4 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a2 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/0 1/1 1/1/0 a1 0. b3 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. b2 0. 1/ 1/ 1/10 1/ 0. b1 0. 0/ 1/ 0/ 1 1/01 1/0 /1 1/ /0 0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0 0 1 / 1 1/ 1/ /00/1 /0 1 1 / / 1 0. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(75) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 20/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1. 1. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 01 0 1. 1. t 0. 0 /0 1/ /1 0/ 1/01 1/0 1/ 0/. 1/1/0 1/1/0. a5 0. 0/1/01 0/1/0. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1 1. b7 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. a4 0. 0/ 1/ 1 1 1/ /00/1 /0 1/ /0 0. b6 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 1/1/0 1/1/0. a3 0. b5 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. a2 1 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 1/1/0 1/1/0 a1 0. b4 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. b3 0. 1/ 1/ 1/0 1/ 0 1. b2 0. 1. b1 0. 1 0/ 1/ 0/ 1/01 1/0 /1 1/ / 0 1 0. 1. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. 0 1/ 1/ /00/1 /0 1 1 1/ 1 0/. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1 1/1/0 1/1/0. 1 /0. a6 0. 1. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(76) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 21/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1. 1. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 01 0 1. 1. t 0. 0 /0 1/ /1 0/ 1/01 1/0 1/ 0/. 1/1/0 1/1/0. a5 0. 0/1/01 0/1/0. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1 1. b7 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. a4 0. 0/ 1/ 1 1 1/ /00/1 1 /1 1/ /1 0. b6 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 1/1/0 1/1/0. a3 0. b5 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/. 1 0 / 0/ 11/1 1/ 1. b4 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. a2 1 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 1 1 1/ 0/ 11/1 0/ 1/1/0 1 1/1/0 a1 0. 1. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. b3 0. 1/ 1/ 1/0 1/ 0 1. b2 0. 1. b1 0. 1 0/ 1/ 0/ 1/01 1/0 /1 1/ / 0 1 0. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1 1/1/0 1/1/0. 1 0 /1 1/ 1/ /00/11 /1 1 1 1/ 1 0/. a6 0. 1. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(77) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 22/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. t 0. 0 0 /1 1 1/ /1 0/ 1/01 1/0 1/ 0/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 10 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0 0 1/ 0 1/ 1/ 1/. 1/ 1/ 1 1 1/ /01/11 /1 1/ /1 0. a5 0. a6 0. 1/1/0 1/1 1/1/0. a4 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a3 0. b6 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b5 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 1/ 1/ 1/1 1/ 1 1. b4 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a2 0. 0/1/0 1 0/1/0. 1. b3 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 1 1/ 1/ 1/1 1 1/. 0/1/0 1 0/1/0 a1 0. b2 0. 1/ 1/ 1/10 1/ 0. b1 0. 0/ 1/ 0/ 1 1/01 1/0 /1 1/ /0 0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0 1 /1 1/ 1/ /01/1 1/1 1 1 / / 1 1. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(78) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 23/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. t 0. 0 0 /1 1 1/ /1 0/ 1/01 1/0 1/ 0/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 10 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/. 1/ 1/ 1 1 1/ /01/1 /0 1/ /0 0. a5 0. a6 0. 1/1/0 1/1 1/1/0. a4 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a3 0. b6 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 1/ 1/ 1/10 1/ 0. b5 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0/1/0 1 0/1/0. a2 0. b4 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/ 1/ 0 0. b3 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0 1/ 1/ 1/0 1/. 0/1/0 1 0/1/0 a1 0. b2 0. 1/ 1/ 1/10 1/ 0. b1 0. 0/ 1/ 0/ 1 1/01 1/0 /1 1/ /0 0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0 1 /10 1/ 1/ /01/1 /0 1 1 / / 1 1. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(79) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 24/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s. b4 0. 1. 1. 1. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 01 0. 0/1/01 0/1/0 t 0. 0 /0 1/ /1 0/ 1/01 1/0 1/ 0/. 1. a5 0. 1/1/0 1/1/0. a4 0. 1/ 1/ 1 1 1/ /01/1 /0 1/ /0 0. b7 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. a3 0. b6 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 1/1/0 1/1/0. 1. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1. a2 1 0. b5 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. 0 1/ 1/ /0 1 1/1 0/1/0 1 0/1/0 a1 0. b3 0. 1/ 1/ 1/0 1/ 0 1. b2 0. 1/ 1/ 1/0 1/ 0 1. b1 0. 1 0/ 1/ 0/ 1/01 1/0 /1 1/ / 0 1 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 10 / 0/ 1/ 1/ 0 0. 0 1/ 1/ /01/1 /0 1 1 1/ 1/. 0 1. 1. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1 1/1/0 1/1/0. 1 /0. a6 0. 1. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(80) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 25/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 01 0. 0/1/01 0/1/0 t 0. 1. 1. 1 /0 11/ /1 0/ 1/11 1/0 1/ 0/. 1. a5 0. 1/1/0 1/1/0. 1 0 / 0/ 11/1 1/ 1. b7 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. a4 0. 1/ 1/ 1 1 1/ /01/1 /0 1/ /0 0. b6 0. 1 1 1/ 0/ 11/1 0/ 1/1/0 1 1/1/0. a3 0. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1. 1. 1 1 1/ 0/ 11/1 0/. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0 1. 1 1/ 0/ 11/1 0/. 0 1/ 1/ 1/0 1/ a2 1 0. b5 0 1. 1. 0/1/1 1 1 0/1/1 a1 0. b4 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. b3 0. 1/ 1/ 1/0 1/ 0 1. b2 0. 1/ 1/ 1/0 1/ 0 1. b1 0. 1 0/ 1/ 0/ 1/01 1/0 /1 1/ / 0 1 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 10 / 0/ 11/ 1/ 1 1. 0 1/ 1/ /01/1 /0 1 1 1/ 1/. 0 1. 1. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1 1/1/0 1/1/0. 1 /0. a6 0. 1. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(81) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 26/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 1. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 10 0. t 0. 1 0 /1 1/ /1 1/ 11/11 1/0 1/ 1/. a6 0. 1/1/0 1/1 1/1/0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/. 1/ 1/ 1 1 1/ /01/1 /0 1/ /0 0. a5 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a4 0. b6 0. 1 1/ 1/ 1/1 1 1/. a3 0. 0/1/0 1 0/1/0. 1/ 1/ 1/1 1/ 1 1. b5 0. 1 1/ 1/ 1/1 1 1/. 0/ 1 0/ 11/0 1/ 0. b4 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a2 0. 0/1/0 1 0/1/0. 1 1/ 1/ 1/1 1 1/. 0 1 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/1 1/1 1 1/1/1 a1 0. b3 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1 1/ 1 1. b2 0. 0/ 1 0/ 11/0 1/ 0. b1 0. 0/ 1/ 0/ 1 1/01 1/0 /1 1/ /0 0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0 1 /10 1/ 1/ /01/1 /0 1 1 / / 1 1. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(82) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 27/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 10 0. t 0. 10 0 /1 1/ /1 1/ 1/01 1/0 1/ 1/. a6 0. 1/1/0 1/1 1/1/0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/. 1/ 1/ 1 1 1/ /01/1 /0 1/ /0 0. a5 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a4 0. b6 0. 0 1/ 1/ 1/0 1/. a3 0. 0/1/0 1 0/1/0. 1/ 1/ 1/10 1/ 0. b5 0. 0 1/ 1/ 1/0 1/. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b4 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a2 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 1/ 1/0 1/. 0 1/ 0/1 1/0 0/ 1/1/0 1/1 1/1/0 a1 0. b3 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 10 0. b2 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. b1 0. 0/ 1/ 0/ 1 1/01 1/0 /1 1/ /0 0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0 1 /10 1/ 1/ /01/1 /0 1 1 / / 1 1. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(83) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 28/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s. b5 0 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 01 0. 0 /0 1/ /1 1/ 1/01 1/0 1/ 1/. 1. t 0. 1. 1/1/0 1/1/0. 0/1/01 0/1/0. 1/ 1/ 1 1 1/ /01/1 /0 1/ /0 0. a5 0. b7 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1/ 1/ 1/0 1/. a4 0. 0 1/ 1/ /0 1 1/1 0/1/0 1 0/1/0. 1. a3 0. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1. 1. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 1/ 1/0 1/. a2 1 0. b6 0. 1. b4 0. 1. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/ 1/1/0 1/1/0 a1 0. b3 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. b2 0. 1/ 1/ 1/0 1/ 0 1. b1 0. 1 0/ 1/ 0/ 1/01 1/0 /1 1/ / 0 1 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 0 1/ 1/ /01/1 /0 1 1 1/ 1/. 0 1. 1/ 1/ 1/ 1/ 01 0. 1. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1 1/1/0 1/1/0. 1 /0. a6 0. 1. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(84) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 29/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s. b5 0 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 1 0 / 0/ 11/1 1/ 1. 1 0 / 0/ 11/1 1/ 1. 1/ 1/ 1/ 1/ 01 0. 0 /0 1/ /1 1/ 1/01 1/0 1/ 1/. 1. t 0. 1. 1/1/0 1/1/0. 0/1/1 1 1 0/1/1. 1/ 1/ 1 1 1/ /01/1 /0 1/ /0 0. a5 0. b7 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1/ 1/ 1 /0 1/. a4 0. 0 1/ 1/ /0 1 1/1 0/1/0 1 0/1/0. 1. a3 0. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1. 1. 1 1 1/ 0/ 11/1 0/ 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 1/ 1 /0 1/. a2 1 0. b6 0. 1. b4 0. 1. 1 1 1/ 0/ 11/1 0/ 1/1/0 1 1/1/0 a1 0. b3 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. b2 0. 1/ 1/ 1/0 1/ 0 1. b1 0. 1 0/ 1/ 0/ 11/11 1/0 /1 1/ / 1 1 0. 1 0 / 0/ 11/1 1/ 1. 0 1/ 1/ /01/1 /0 1 1 1/ 1/. 0 1. 1/ 1/ 1/ 1/ 01 0. 1. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1 1/1/0 1/1/0. 1 /0. a6 0. 1. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(85) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 30/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/1 1/ 1 1. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 10 0. t 0. 10 0 /1 1/ /1 1/ 1/01 1/0 1/ 1/. a6 0. 1/1/0 1/1 1/1/0. 1/1/1 1/1 1 1/1/1. 1/ 1/ 1/ 1/ 10 0 0 1/ 0 1/ 1/ 1/. 1/ 1/ 1 1 1/ /01/1 /0 1/ /0 0. a5 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a4 0. b6 0. 0 1/ 1/ 1/0 1/. a3 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0/ 1 0/ 11/0 1/ 0. b5 0. 0 1 1/ 0/1 1/0 0/. 1/ 1/ 1/1 1/ 1 1. b4 0. 1 1/ 1/ 1/1 1 1/. a2 0. 0/1/0 1 0/1/0. 1. b3 0. 0 1 1/ 0/1 1/0 0/. 1 1/ 1/ 1/1 1 1/. 0/1/0 1 0/1/0 a1 0. b2 0. 1/ 1/ 1/1 1/ 1 1. b1 0. 1/ 1/ 1/1 1/11 1/0 /1 1/ /0 1. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0 1 /10 1/ 1/ /01/1 /0 1 1 / / 1 1. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(86) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 31/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 0/ 0/ 11/0 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 10 0. t 0. 10 0 /1 1/ /1 1/ 1/01 1/0 1/ 1/. a6 0. 1/1/0 1/1 1/1/0. 1/1/0 1/1 1/1/0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/. 1/ 1/ 1 1 1/ /01/1 /0 1/ /0 0. a5 0. b7 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. a4 0. b6 0. 0 1/ 1/ 1/0 1/. a3 0. 0/1/0 1 0/1/0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 1/ 1/ 1/10 1/ 0. b5 0. 0 1/ 1/ 1/0 1/. 0/1/0 1 0/1/0. a2 0. b4 0. 1/ 1/ 1/10 1/ 0. 1/ 1/ 1/ 1/ 10 0. b3 0. 0 1/ 0/1 1/0 0/. 0 1/ 1/ 1/0 1/. 0/1/0 1 0/1/0 a1 0. b2 0. 1/ 1/ 1/10 1/ 0. b1 0. 1/ 1/ 1/ 1/01 1/0 /1 1/ /0 0. 0 1/ 0 1/ 1/ 1/ 1/1/0 1/1 1/1/0. 0 1 /10 1/ 1/ /01/1 /0 1 1 / / 1 1. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(87) Einleitung 3:8. Idee. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 32/32. Blüten. Bipartites Matching und Flüsse s. 1 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1 0 / 0/ 1/0 1/ 0. 1. 1/ 1/ 1/ 1/ 01 0. 0 /0 1/ /1 1/ 1/01 1/0 1/ 1/. 1. t 0. 1. 1/1/0 1/1/0. 1/1/0 1/1/0. 1/ 1/ 1 1 1/ /01/1 /0 1/ /0 0. a5 0. b7 0. 0 1/ 0/ 1/0 0/. a4 0. b6 0. 0 1/ 1 / /0 1 1/1 0/1/0 1 0/1/0. a3 0. b5 0. 0 1 1/ 0/ 1/0 0/. 1. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1. a2 1 0. 1 1/ 1/ 1/ 1/01 1/0 /1 1/ /0 0. b4 0. 0 1/ 1/ /0 1 1/1 0/1/0 1 0/1/0 1. 0 1/ 0/ 1/0 0/. 0 1/ 1/ /0 1 1/1 0/1/0 1 0/1/0 a1 0. b3 0. 1/ 1/ 1/0 1/ 0 1. b2 0. 1/ 1/ 1/0 1/ 0 1. b1 0. 1. 1/ 1/ 1/0 1/ 0 1. 0 1/ 1/ /01/1 /0 1 1 1/ 1/. 0 1. 1/ 1/ 1/ 1/ 01 0. 1. 0 1/ 0 1/ / 1 1/1 1/1/0 1/1/0. 1 /0. a6 0. 1. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. a7 0. SS2015.

(88) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 1/11. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph.. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(89) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 2/11. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) mit:. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(90) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 3/11. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(91) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 4/11. Blüten. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W }. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(92) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 5/11. Blüten. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) | v ∈ V }. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(93) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 6/11. Blüten. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) | v ∈ V } Et = {(w , t) | w ∈ W }. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(94) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 7/11. Blüten. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) | v ∈ V } Et = {(w , t) | w ∈ W }. Setze c : E 0 7→ N mit ∀e ∈ E 0 : c(e) = 1.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(95) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 8/11. Blüten. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) | v ∈ V } Et = {(w , t) | w ∈ W }. Setze c : E 0 7→ N mit ∀e ∈ E 0 : c(e) = 1.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(96) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 9/11. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) | v ∈ V } Et = {(w , t) | w ∈ W }. Setze c : E 0 7→ N mit ∀e ∈ E 0 : c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem transformiert werden. G hat Matching der Größe α genau dann, wenn w (G 0 ) = α..

(97) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 10/11. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) | v ∈ V } Et = {(w , t) | w ∈ W }. Setze c : E 0 7→ N mit ∀e ∈ E 0 : c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem transformiert werden. G hat Matching der Größe α genau dann, wenn w (G 0 ) = α..

(98) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 11/11. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) | v ∈ V } Et = {(w , t) | w ∈ W }. Setze c : E 0 7→ N mit ∀e ∈ E 0 : c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem transformiert werden. G hat Matching der Größe α genau dann, wenn w (G 0 ) = α. Theorem Das maximum Matching Problem ist auf bipartiten Graphen in Zeit O(n3 ) lösbar..

(99) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 1/12. Blüten. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l : E 7→ Z.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(100) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 2/12. Blüten. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l : E 7→ Z. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) und l 0 : E 0 7→ Z mit:. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(101) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 3/12. Blüten. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l : E 7→ Z. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) und l 0 : E 0 7→ Z mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(102) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 4/12. Blüten. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l : E 7→ Z. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) und l 0 : E 0 7→ Z mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W }. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(103) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 5/12. Blüten. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l : E 7→ Z. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) und l 0 : E 0 7→ Z mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) | v ∈ V } und Et = {(w , t) | w ∈ W }.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(104) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 6/12. Blüten. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l : E 7→ Z. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) und l 0 : E 0 7→ Z mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) | v ∈ V } und Et = {(w , t) | w ∈ W }. ∀(v , w ) ∈ E 00 : l 0 (v , w ) = l(v , w ).. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(105) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 7/12. Blüten. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l : E 7→ Z. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) und l 0 : E 0 7→ Z mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) | v ∈ V } und Et = {(w , t) | w ∈ W }. ∀(v , w ) ∈ E 00 : l 0 (v , w ) = l(v , w ). ∀e ∈ Es ∪ Et : l 0 (e) = 0.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(106) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 8/12. Blüten. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l : E 7→ Z. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) und l 0 : E 0 7→ Z mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) | v ∈ V } und Et = {(w , t) | w ∈ W }. ∀(v , w ) ∈ E 00 : l 0 (v , w ) = l(v , w ). ∀e ∈ Es ∪ Et : l 0 (e) = 0.. Setze c : E 0 7→ N mit ∀e ∈ E 0 : c(e) = 1.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(107) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 9/12. Blüten. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l : E 7→ Z. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) und l 0 : E 0 7→ Z mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) | v ∈ V } und Et = {(w , t) | w ∈ W }. ∀(v , w ) ∈ E 00 : l 0 (v , w ) = l(v , w ). ∀e ∈ Es ∪ Et : l 0 (e) = 0.. Setze c : E 0 7→ N mit ∀e ∈ E 0 : c(e) = 1.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(108) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 10/12. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l : E 7→ Z. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) und l 0 : E 0 7→ Z mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) | v ∈ V } und Et = {(w , t) | w ∈ W }. ∀(v , w ) ∈ E 00 : l 0 (v , w ) = l(v , w ). ∀e ∈ Es ∪ Et : l 0 (e) = 0.. Setze c : E 0 7→ N mit ∀e ∈ E 0 : c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem mit Kosten kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem mit Kosten transformiert werden..

(109) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 11/12. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l : E 7→ Z. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) und l 0 : E 0 7→ Z mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) | v ∈ V } und Et = {(w , t) | w ∈ W }. ∀(v , w ) ∈ E 00 : l 0 (v , w ) = l(v , w ). ∀e ∈ Es ∪ Et : l 0 (e) = 0.. Setze c : E 0 7→ N mit ∀e ∈ E 0 : c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem mit Kosten kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem mit Kosten transformiert werden..

(110) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. 12/12. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l : E 7→ Z. Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) und l 0 : E 0 7→ Z mit: E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) | v ∈ V } und Et = {(w , t) | w ∈ W }. ∀(v , w ) ∈ E 00 : l 0 (v , w ) = l(v , w ). ∀e ∈ Es ∪ Et : l 0 (e) = 0.. Setze c : E 0 7→ N mit ∀e ∈ E 0 : c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem mit Kosten kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem mit Kosten transformiert werden. Theorem G hat Matching der Größe α mit Kosten β genau dann, wenn w (G 0 ) = α und die Kosten des Flusses sind β..

(111) Einleitung. mit Flüssen. 3:11. 1/14. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante.. b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(112) Einleitung. mit Flüssen. 3:11. 2/14. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante.. b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(113) Einleitung. mit Flüssen. 3:11. 3/14. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante.. b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(114) Einleitung. mit Flüssen. 3:11. 4/14. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante.. b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(115) Einleitung. mit Flüssen. 3:11. 5/14. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante.. b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(116) Einleitung. mit Flüssen. 3:11. 6/14. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante.. b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(117) Einleitung. mit Flüssen. 3:11. 7/14. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(118) Einleitung. mit Flüssen. 3:11. 8/14. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(119) Einleitung. mit Flüssen. 3:11. 9/14. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(120) Einleitung. mit Flüssen. 3:11. 10/14. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(121) Einleitung. mit Flüssen. 3:11. 11/14. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(122) Einleitung. mit Flüssen. 3:11. 12/14. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(123) Einleitung. mit Flüssen. 3:11. 13/14. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(124) Einleitung. mit Flüssen. 3:11. 14/14. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Nochmal das Beispiel Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t: Ein Fluss über eine Kante entspricht einer Matchingkante. Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine Rückwärtskante. Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss er vorher und hinterher eine Vorwärtskante passieren. b1. b2. b3. b4. b5. b6. b7. a1. a2. a3. a4. a5. a6. a7.

(125) Einleitung. mit Flüssen. 3:12. 1/8. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Idee der alternierende Pfade Damit arbeitet der Flussalgorithmus wie folgt:. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(126) Einleitung. mit Flüssen. 3:12. 2/8. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Idee der alternierende Pfade Damit arbeitet der Flussalgorithmus wie folgt: Bestimme “erweiternden Pfad”:. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(127) Einleitung. mit Flüssen. 3:12. 3/8. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Idee der alternierende Pfade Damit arbeitet der Flussalgorithmus wie folgt: Bestimme “erweiternden Pfad”: Der Pfad startet an einem “freien” Knoten.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(128) Einleitung. mit Flüssen. 3:12. 4/8. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Idee der alternierende Pfade Damit arbeitet der Flussalgorithmus wie folgt: Bestimme “erweiternden Pfad”: Der Pfad startet an einem “freien” Knoten. Der Pfad startet mit einer Vorwärtskante.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(129) Einleitung. mit Flüssen. 3:12. 5/8. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. Idee der alternierende Pfade Damit arbeitet der Flussalgorithmus wie folgt: Bestimme “erweiternden Pfad”: Der Pfad startet an einem “freien” Knoten. Der Pfad startet mit einer Vorwärtskante. Der Pfad geht alternierend über Vorwärts- und Rückwärtskanten.. SS2015.

(130) Einleitung. mit Flüssen. 3:12. 6/8. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Idee der alternierende Pfade Damit arbeitet der Flussalgorithmus wie folgt: Bestimme “erweiternden Pfad”: Der Der Der Der. Pfad Pfad Pfad Pfad. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. startet an einem “freien” Knoten. startet mit einer Vorwärtskante. geht alternierend über Vorwärts- und Rückwärtskanten. endet mit einer Vorwärtskante.. SS2015.

(131) Einleitung. mit Flüssen. 3:12. 7/8. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Idee der alternierende Pfade Damit arbeitet der Flussalgorithmus wie folgt: Bestimme “erweiternden Pfad”: Der Der Der Der Der. Pfad Pfad Pfad Pfad Pfad. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. startet an einem “freien” Knoten. startet mit einer Vorwärtskante. geht alternierend über Vorwärts- und Rückwärtskanten. endet mit einer Vorwärtskante. endet an einem “freien” Knoten.. SS2015.

(132) Einleitung. mit Flüssen. 3:12. 8/8. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Idee der alternierende Pfade Damit arbeitet der Flussalgorithmus wie folgt: Bestimme “erweiternden Pfad”: Der Der Der Der Der. Pfad Pfad Pfad Pfad Pfad. startet an einem “freien” Knoten. startet mit einer Vorwärtskante. geht alternierend über Vorwärts- und Rückwärtskanten. endet mit einer Vorwärtskante. endet an einem “freien” Knoten.. Damit können wir einen weiteren Algorithmus angeben.. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015.

(133) Einleitung. mit Flüssen. 3:13. 1/9. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Alternierende Pfade. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. A ⊕ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B). Sei G = (V , E ) ungerichteter Pfad und M ⊂ E ein Matching..

(134) Einleitung. mit Flüssen. 3:13. 2/9. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Alternierende Pfade. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. A ⊕ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B). Sei G = (V , E ) ungerichteter Pfad und M ⊂ E ein Matching. Ein Knoten v ∈ V heißt frei, falls v 6∈ ∪e∈M e..

(135) Einleitung. mit Flüssen. 3:13. 3/9. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Alternierende Pfade. A ⊕ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B). Sei G = (V , E ) ungerichteter Pfad und M ⊂ E ein Matching. Ein Knoten v ∈ V heißt frei, falls v 6∈ ∪e∈M e. Ein Pfad v0 , {v0 , v1 }, v1 , {v1 , v2 }, v2 , {v2 , v3 }, v3 , . . . , vl−1 , {vl−1 , vl }, vl heißt alternierend, falls {vi−1 , vi } ∈ M ⇔ {vi , vi+1 } 6∈ M (0 < i < l). v0. v1. v2. v3. v4. v5. v6.

(136) Einleitung. mit Flüssen. 3:13. 4/9. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. Walter Unger 19.10.2017 21:08. SS2015. Alternierende Pfade. A ⊕ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B). Sei G = (V , E ) ungerichteter Pfad und M ⊂ E ein Matching. Ein Knoten v ∈ V heißt frei, falls v 6∈ ∪e∈M e. Ein Pfad v0 , {v0 , v1 }, v1 , {v1 , v2 }, v2 , {v2 , v3 }, v3 , . . . , vl−1 , {vl−1 , vl }, vl heißt alternierend, falls {vi−1 , vi } ∈ M ⇔ {vi , vi+1 } 6∈ M (0 < i < l). v0. v1. v2. v3. v4. v5. v6. Ein alterniernder Pfad v0 , {v0 , v1 }, v1 , {v1 , v2 }, v2 , {v2 , v3 }, v3 , . . . , vl−1 , {vl−1 , vl }, vl heißt erweiternd, falls v0 , vl frei sind. v0. v1. v2. v3. v4. v5.

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