Effiziente Algorithmen (SS2015) Kapitel 2 Weitere Flüsse Walter Unger
434
0
0
Volltext
(2) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2. Inhaltsverzeichnis. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. Inhalt I 3. 1. Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. 2. Spezielle Flüsse (Alternativen) Mit Alternativen. Flüsse mit Kostenfunktion Einleitung Idee Algorithmus Verbesserung der Laufzeit. SS2015. Z.
(3) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 1∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(4) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 2∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(5) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 3∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(6) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 4∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(7) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 5∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(8) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 6∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(9) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 7∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(10) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 8∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(11) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 9∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(12) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:2. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Mit Mindestfluss. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. Lösbarkeit Es muss nicht immer eine Lösung geben. Hier ein einfaches Beispiel: s. Σ=0. [2..3]. a. [4..6]. t. SS2015. Z.
(13) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:3. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 1∕2. Idee. b. [u..o]. t. s. Σ=0. a. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Z.
(14) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:3. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 2∕2. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Idee. b. o. b. s. x. o. o−u. y. Σ=0. a. Σ=0. a. t. ∞. s. u. s′. ∞. [u..o]. t. u. t′. Z.
(15) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. 1∕8. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c ′ ) einen neuen Graphen G ′ = (V ′ , E ′ , s ′ , t ′ , c ′′ ).. b. Σ=0. a. o. b. u. y. s. x. o. o−u. s′. Σ=0. a. t. ∞. Setze c ′′ (t, t ′ ) = c ′′ (s ′ , s) = ∑e∈E c(e).. s. ∞. für jede Kante (v , w ) erzeuge zwei neue Knoten x , y und setze: c ′′ (v , x ) = c(v , w ) und c ′′ (y , w ) = c(v , w ). c ′′ (x , y ) = c(v , w ) − c ′ (v , w ). c ′′ (s ′ , y ) = c ′ (v , w ) und c ′′ (x , t ′ ) = c ′ (v , w ).. t. [u..o]. Füge neue Quelle s ′ und neue Senke t ′ hinzu. Ersetze jede Kante (v , w ) durch einen Weg der Länge 3:. Z. u. t′.
(16) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. 2∕8. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c ′ ) einen neuen Graphen G ′ = (V ′ , E ′ , s ′ , t ′ , c ′′ ).. b. Σ=0. a. o. b. u. y. s. x. o. o−u. s′. Σ=0. a. t. ∞. Setze c ′′ (t, t ′ ) = c ′′ (s ′ , s) = ∑e∈E c(e).. s. ∞. für jede Kante (v , w ) erzeuge zwei neue Knoten x , y und setze: c ′′ (v , x ) = c(v , w ) und c ′′ (y , w ) = c(v , w ). c ′′ (x , y ) = c(v , w ) − c ′ (v , w ). c ′′ (s ′ , y ) = c ′ (v , w ) und c ′′ (x , t ′ ) = c ′ (v , w ).. t. [u..o]. Füge neue Quelle s ′ und neue Senke t ′ hinzu. Ersetze jede Kante (v , w ) durch einen Weg der Länge 3:. Z. u. t′.
(17) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. 3∕8. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c ′ ) einen neuen Graphen G ′ = (V ′ , E ′ , s ′ , t ′ , c ′′ ).. b. Σ=0. a. o. b. u. y. s. x. o. o−u. s′. Σ=0. a. t. ∞. Setze c ′′ (t, t ′ ) = c ′′ (s ′ , s) = ∑e∈E c(e).. s. ∞. für jede Kante (v , w ) erzeuge zwei neue Knoten x , y und setze: c ′′ (v , x ) = c(v , w ) und c ′′ (y , w ) = c(v , w ). c ′′ (x , y ) = c(v , w ) − c ′ (v , w ). c ′′ (s ′ , y ) = c ′ (v , w ) und c ′′ (x , t ′ ) = c ′ (v , w ).. t. [u..o]. Füge neue Quelle s ′ und neue Senke t ′ hinzu. Ersetze jede Kante (v , w ) durch einen Weg der Länge 3:. Z. u. t′.
(18) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. 4∕8. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c ′ ) einen neuen Graphen G ′ = (V ′ , E ′ , s ′ , t ′ , c ′′ ).. b. Σ=0. a. o. b. u. y. s. x. o. o−u. s′. Σ=0. a. t. ∞. Setze c ′′ (t, t ′ ) = c ′′ (s ′ , s) = ∑e∈E c(e).. s. ∞. für jede Kante (v , w ) erzeuge zwei neue Knoten x , y und setze: c ′′ (v , x ) = c(v , w ) und c ′′ (y , w ) = c(v , w ). c ′′ (x , y ) = c(v , w ) − c ′ (v , w ). c ′′ (s ′ , y ) = c ′ (v , w ) und c ′′ (x , t ′ ) = c ′ (v , w ).. t. [u..o]. Füge neue Quelle s ′ und neue Senke t ′ hinzu. Ersetze jede Kante (v , w ) durch einen Weg der Länge 3:. Z. u. t′.
(19) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. 5∕8. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c ′ ) einen neuen Graphen G ′ = (V ′ , E ′ , s ′ , t ′ , c ′′ ).. b. Σ=0. a. o. b. u. y. s. x. o. o−u. s′. Σ=0. a. t. ∞. Setze c ′′ (t, t ′ ) = c ′′ (s ′ , s) = ∑e∈E c(e).. s. ∞. für jede Kante (v , w ) erzeuge zwei neue Knoten x , y und setze: c ′′ (v , x ) = c(v , w ) und c ′′ (y , w ) = c(v , w ). c ′′ (x , y ) = c(v , w ) − c ′ (v , w ). c ′′ (s ′ , y ) = c ′ (v , w ) und c ′′ (x , t ′ ) = c ′ (v , w ).. t. [u..o]. Füge neue Quelle s ′ und neue Senke t ′ hinzu. Ersetze jede Kante (v , w ) durch einen Weg der Länge 3:. Z. u. t′.
(20) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. 6∕8. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c ′ ) einen neuen Graphen G ′ = (V ′ , E ′ , s ′ , t ′ , c ′′ ).. b. Σ=0. a. o. b. u. y. s. x. o. o−u. s′. Σ=0. a. t. ∞. Setze c ′′ (t, t ′ ) = c ′′ (s ′ , s) = ∑e∈E c(e).. s. ∞. für jede Kante (v , w ) erzeuge zwei neue Knoten x , y und setze: c ′′ (v , x ) = c(v , w ) und c ′′ (y , w ) = c(v , w ). c ′′ (x , y ) = c(v , w ) − c ′ (v , w ). c ′′ (s ′ , y ) = c ′ (v , w ) und c ′′ (x , t ′ ) = c ′ (v , w ).. t. [u..o]. Füge neue Quelle s ′ und neue Senke t ′ hinzu. Ersetze jede Kante (v , w ) durch einen Weg der Länge 3:. Z. u. t′.
(21) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. 7∕8. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c ′ ) einen neuen Graphen G ′ = (V ′ , E ′ , s ′ , t ′ , c ′′ ).. b. Σ=0. a. o. b. u. y. s. x. o. o−u. s′. Σ=0. a. t. ∞. Setze c ′′ (t, t ′ ) = c ′′ (s ′ , s) = ∑e∈E c(e).. s. ∞. für jede Kante (v , w ) erzeuge zwei neue Knoten x , y und setze: c ′′ (v , x ) = c(v , w ) und c ′′ (y , w ) = c(v , w ). c ′′ (x , y ) = c(v , w ) − c ′ (v , w ). c ′′ (s ′ , y ) = c ′ (v , w ) und c ′′ (x , t ′ ) = c ′ (v , w ).. t. [u..o]. Füge neue Quelle s ′ und neue Senke t ′ hinzu. Ersetze jede Kante (v , w ) durch einen Weg der Länge 3:. Z. u. t′.
(22) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. 8∕8. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c ′ ) einen neuen Graphen G ′ = (V ′ , E ′ , s ′ , t ′ , c ′′ ).. b. Σ=0. a. o. b. u. y. s. x. o. o−u. s′. Σ=0. a. t. ∞. Setze c ′′ (t, t ′ ) = c ′′ (s ′ , s) = ∑e∈E c(e).. s. ∞. für jede Kante (v , w ) erzeuge zwei neue Knoten x , y und setze: c ′′ (v , x ) = c(v , w ) und c ′′ (y , w ) = c(v , w ). c ′′ (x , y ) = c(v , w ) − c ′ (v , w ). c ′′ (s ′ , y ) = c ′ (v , w ) und c ′′ (x , t ′ ) = c ′ (v , w ).. t. [u..o]. Füge neue Quelle s ′ und neue Senke t ′ hinzu. Ersetze jede Kante (v , w ) durch einen Weg der Länge 3:. Z. u. t′.
(23) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:5. Mit Mindestfluss. 1∕3. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Aussage. Z. Lemma b. s Σ=0. a b. o. Beachte: x und y sind neu eingefügte Knoten, also nicht s oder t. Beweis:. u. y. s. x. o. Zeige: ⇐Ô. Σ=0. a. t. ∞. ∞. o−u. s′. Zeige: Ô⇒. t. [u..o]. Es gibt in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt genau dann, wenn es in G ′ einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s ′ , y ) und (x , t ′ ) saturiert.. u. t′.
(24) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:5. Mit Mindestfluss. 2∕3. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Aussage. Z. Lemma b. s Σ=0. a b. o. Beachte: x und y sind neu eingefügte Knoten, also nicht s oder t. Beweis:. u. y. s. x. o. Zeige: ⇐Ô. Σ=0. a. t. ∞. ∞. o−u. s′. Zeige: Ô⇒. t. [u..o]. Es gibt in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt genau dann, wenn es in G ′ einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s ′ , y ) und (x , t ′ ) saturiert.. u. t′.
(25) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:5. Mit Mindestfluss. 3∕3. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Aussage. Z. Lemma b. s Σ=0. a b. o. Beachte: x und y sind neu eingefügte Knoten, also nicht s oder t. Beweis:. u. y. s. x. o. Zeige: ⇐Ô. Σ=0. a. t. ∞. ∞. o−u. s′. Zeige: Ô⇒. t. [u..o]. Es gibt in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt genau dann, wenn es in G ′ einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s ′ , y ) und (x , t ′ ) saturiert.. u. t′.
(26) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. <. 1∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0. 0∕ 0∕ 22∕0 2∕ 0. 0∕ 0∕ 44∕ 4∕ 0 0. a 0. 0∕3∕0 3 0∕3∕0. x 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0. y 0. 0∕3∕0 3 0∕3∕0. b 0. 0∕ 0∕ 22∕ 2∕ 0 0. Σ=0. 0∕6∕0 6 0∕6∕0. 0∕ 0∕ 44∕0 4∕ 0. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). t′ 0. x′ 0. 0∕2∕0 2 0∕2∕0. y′ 0. 0∕6∕0 6 0∕6∕0. c 0. Z.
(27) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. <. 2∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0. 0∕ 0∕ 2∕0 2∕ 0. 0∕ 0∕ 4∕ 4∕ 0 0. 2. 4. 0∕3∕03 0∕3∕0. x 0. 0∕1∕01 0∕1∕0. y 0. 0∕3∕03 0∕3∕0. 0∕ 0∕ 2∕ 2∕ 0 0 2 Σ=0. 0∕6∕06 0∕6∕0. b 0. 0∕ 0∕ 4∕0 4∕ 0. a 0. 4. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). t′ 0. x′ 0. 0∕2∕02 0∕2∕0. y′ 0. 0∕6∕0 6 0∕6∕0. c 0. Z.
(28) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. <. 3∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0. 0∕ 0∕ 2∕0 2∕ 0. 0∕ 0∕ 4∕ 4∕ 4 4. 2. 4. 0∕3∕03 0∕3∕0. x 0. 0∕1∕01 0∕1∕0. y 0. 0∕3∕03 0∕3∕0. 0∕ 0∕ 2∕ 2∕ 0 0 2 Σ=0. 0∕6∕06 0∕6∕0. b 0. 0∕ 0∕ 4∕0 4∕ 0. a 0. 4. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). t′ 0. x′ 0. 0∕2∕02 0∕2∕0. y′ 0. 0∕6∕4 4 6 0∕6∕4. c 0. Z.
(29) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. <. 4∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0. 0∕ 0∕ 22∕0 2∕ 0. 4∕ 4∕4 4∕ 4∕ 4 4. a 0. 0∕3∕0 3 0∕3∕0. x 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0. y 0. 0∕3∕0 3 0∕3∕0. b 0. 0∕ 0∕ 22∕ 2∕ 0 0. Σ=0. 0∕6∕0 6 0∕6∕0. 0∕ 0∕ 44∕0 4∕ 0. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). t′ 0. x′ 0. 0∕2∕0 2 0∕2∕0. y′ 0. 4∕6∕4 4∕6 4∕6∕4 4. c 0. Z.
(30) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. <. 5∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0. 0∕ 0∕ 22∕0 2∕ 0. 4∕ 4∕ 4∕ 4∕ 0 0. a 0. 0∕3∕0 3 0∕3∕0. x 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0. y 0. 0∕3∕0 3 0∕3∕0. b 0. 0∕ 0∕ 22∕ 2∕ 0 0. Σ=0. 0∕6∕0 6 0∕6∕0. 0∕ 0∕ 44∕0 4∕ 0. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). t′ 0. x′ 0. 0∕2∕0 2 0∕2∕0. y′ 0. 4∕6∕0 4∕6 4∕6∕0. c 0. Z.
(31) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. Flüsse mit Kostenfunktion. <. 6∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0. 4. 2. 0∕ 0∕ 2∕0 2∕ 0. 4∕ 4∕ 4∕ 4∕ 0 0. 0∕3∕03 0∕3∕0. x 0. 0∕1∕01 0∕1∕0. y 0. 0∕3∕03 0∕3∕0. 0∕ 0∕ 2∕ 2∕ 0 0 2 Σ=0. 0∕6∕06 0∕6∕0. b 0. 0∕ 0∕ 4∕0 4∕ 0. a 0. 4. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). t′ 0. x′ 0. 0∕2∕02 0∕2∕0. y′ 0. 4∕6∕0 4 2 4∕6∕0. c 0. Z.
(32) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. Flüsse mit Kostenfunktion. <. 7∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0. 4. 2. 0∕ 0∕ 2 ∕2 2∕ 2. 4∕ 4∕ 4∕ 4∕ 0 0. 0∕3∕03 0∕3∕0. x 0. 0∕1∕01 0∕1∕0. y 0. 0∕3∕2 2 3 0∕3∕2. 0∕ 0∕ 2∕ 2∕ 0 0 2 Σ=0. 0∕6∕2 2 6 0∕6∕2. b 0. 0∕ 0∕ 42∕2 4∕ 2. a 0. 4. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). t′ 0. x′ 0. 0∕2∕02 0∕2∕0. y′ 0. 4∕6∕0 4 2 4∕6∕0. c 0. Z.
(33) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. <. 8∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0. 2∕ 2∕ 22∕∕22 22∕ 2. 4∕ 4∕ 4∕ 4∕ 0 0. a 0. 0∕3∕0 3 0∕3∕0. x 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0. y 0. 2∕3∕2 2∕3 2∕3∕2 2. b 0. 0∕ 0∕ 22∕ 2∕ 0 0. Σ=0. 2∕6∕2 2∕6 2∕6∕2 2. 2∕ 2∕ 24∕42 42∕ 2. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). t′ 0. x′ 0. 0∕2∕0 2 0∕2∕0. y′ 0. 4∕6∕0 4∕6 4∕6∕0. c 0. Z.
(34) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. <. 9∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0. 2∕ 2∕ 22∕∕20 2∕ 0. 4∕ 4∕ 4∕ 4∕ 0 0. a 0. 0∕3∕0 3 0∕3∕0. x 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0. y 0. 2∕3∕0 2∕3 2∕3∕0. b 0. 0∕ 0∕ 22∕ 2∕ 0 0. Σ=0. 2∕6∕0 2∕6 2∕6∕0. 2∕ 2∕ 24∕40 4∕ 0. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). t′ 0. x′ 0. 0∕2∕0 2 0∕2∕0. y′ 0. 4∕6∕0 4∕6 4∕6∕0. c 0. Z.
(35) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. Flüsse mit Kostenfunktion. <. 10∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0 2. 4. 2∕ 2∕ 2∕0 2∕ 0. 4∕ 4∕ 4∕ 4∕ 0 0. a 0. 0∕3∕03 0∕3∕0. x 0. 0∕1∕01 0∕1∕0. y 0. 2∕3∕0 2 1 2∕3∕0. b 0. 0∕ 0∕ 2∕ 2∕ 0 0 2 Σ=0. 2∕6∕0 2 4 2∕6∕0. 22 ∕ 2∕ 4∕0 4∕ 2 0. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). t′ 0. x′ 0. 0∕2∕02 0∕2∕0. y′ 0. 4∕6∕0 4 2 4∕6∕0. c 0. Z.
(36) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. Flüsse mit Kostenfunktion. <. 11∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0 2. 4. 2∕ 2∕ 2∕0 2∕ 0. 4∕ 4∕ 4∕ 4∕ 0 0. a 0. 0∕3∕2 2 3 0∕3∕2. x 0. 0∕1∕01 0∕1∕0. y 0. 2∕3∕0 2 1 2∕3∕0. b 0. 0∕ 0∕ 2∕ 2∕ 2 2 2 Σ=0. 2∕6∕0 2 4 2∕6∕0. 22 ∕ 2∕ 4∕0 4∕ 2 0. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). t′ 0. x′ 0. 0∕2∕02 0∕2∕0. y′ 0. 4∕6∕0 4 2 4∕6∕0. c 0. Z.
(37) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. <. 12∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0. 2∕ 2∕ 22∕∕20 2∕ 0. 4∕ 4∕ 4∕ 4∕ 0 0. a 0. 2∕3∕2 2∕3 2∕3∕2 2. x 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0. y 0. 2∕3∕0 2∕3 2∕3∕0. b 0. 2∕ 2∕2 2∕ 2∕ 2 2. Σ=0. 2∕6∕0 2∕6 2∕6∕0. 2∕ 2∕ 24∕40 4∕ 0. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). t′ 0. x′ 0. 0∕2∕0 2 0∕2∕0. y′ 0. 4∕6∕0 4∕6 4∕6∕0. c 0. Z.
(38) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. <. 13∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0. 2∕ 2∕ 22∕∕20 2∕ 0. 4∕ 4∕ 4∕ 4∕ 0 0. a 0. 2∕3∕0 2∕3 2∕3∕0. x 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0. y 0. 2∕3∕0 2∕3 2∕3∕0. b 0. 2∕ 2∕ 2∕ 2∕ 0 0. Σ=0. 2∕6∕0 2∕6 2∕6∕0. 2∕ 2∕ 24∕40 4∕ 0. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). t′ 0. x′ 0. 0∕2∕0 2 0∕2∕0. y′ 0. 4∕6∕0 4∕6 4∕6∕0. c 0. Z.
(39) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. Flüsse mit Kostenfunktion. <. 14∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0 2. 4. 2∕ 2∕ 2∕0 2∕ 0. 4∕ 4∕ 4∕ 4∕ 0 0. a 0. 2∕3∕0 2 1 2∕3∕0. x 0. 0∕1∕01 0∕1∕0. y 0. 2∕3∕0 2 1 2∕3∕0. b 0. 2∕6∕0 2 4 2∕6∕0. 2. 22 ∕ 2∕ 4∕0 4∕ 2 0. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). 2∕ 2∕ 2∕ 2∕ 0 0. Σ=0. t′ 0. x′ 0. 0∕2∕02 0∕2∕0. y′ 0. 4∕6∕0 4 2 4∕6∕0. c 0. Z.
(40) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. Flüsse mit Kostenfunktion. <. 15∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0 2. 4. 2∕ 2∕ 2∕0 2∕ 0. 4∕ 4∕ 4∕ 4∕ 0 0. a 0. 2∕3∕1 2 1 1 2∕3∕1. x 0. 0∕1∕1 1 1 0∕1∕1. y 0. 2∕3∕1 2 1 1 2∕3∕1. b 0. 2∕6∕1 2 1 4 2∕6∕1. 2. 22 ∕ 2∕ 41∕1 4∕ 2 1. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). 2∕ 2∕ 2∕ 2∕ 0 0. Σ=0. t′ 0. x′ 0. 0∕2∕02 0∕2∕0. y′ 0. 4∕6∕0 4 2 4∕6∕0. c 0. Z.
(41) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. <. 16∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0. 2∕ 2∕ 22∕∕20 2∕ 0. 4∕ 4∕ 4∕ 4∕ 0 0. a 0. 3∕3∕1 3∕3 3∕3∕1 1. x 0. 1∕1∕1 1∕1 1∕1∕1 1. y 0. 3∕3∕1 3∕3 3∕3∕1 1. b 0. 2∕ 2∕ 2∕ 2∕ 0 0. Σ=0. 3∕6∕1 3∕6 3∕6∕1 1. 3∕ 3∕ 34∕41 41∕ 1. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). t′ 0. x′ 0. 0∕2∕0 2 0∕2∕0. y′ 0. 4∕6∕0 4∕6 4∕6∕0. c 0. Z.
(42) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. <. 17∕17. Beispiel (warum a. (s ′ , y ). Σ=0. und. [2..3]. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. (x , t ′ )) [4..6]. b. c. s′ 0. 2∕ 2∕ 22∕∕20 2∕ 0. 4∕ 4∕ 4∕ 4∕ 0 0. a 0. 3∕3∕0 3∕3 3∕3∕0. x 0. 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. y 0. 3∕3∕0 3∕3 3∕3∕0. b 0. 2∕ 2∕ 2∕ 2∕ 0 0. Σ=0. 3∕6∕0 3∕6 3∕6∕0. 3∕ 3∕ 34∕40 4∕ 0. 2:6. Spezielle Flüsse (Alternativen). t′ 0. x′ 0. 0∕2∕0 2 0∕2∕0. y′ 0. 4∕6∕0 4∕6 4∕6∕0. c 0. Z.
(43) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:7. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 1∕6. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. Zeige: Ô⇒ b. o. b. u. [u..o]. x. o Σ=0. a. a. t. ∞. ∞ s. s. Σ=0. y o−u. s′ t. u. t′. SS2015. Z.
(44) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:7. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 2∕6. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. Zeige: Ô⇒ b. o. b. u. [u..o]. x. o Σ=0. u ≤ f (a, b) ≤ o. a. a. t. ∞. ∞ s. s. Σ=0. y o−u. s′ t. u. t′. SS2015. Z.
(45) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:7. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 3∕6. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. Zeige: Ô⇒ b. o. b. u. [u..o]. x. u. o Σ=0 ′. u ≤ f (a, b) ≤ o. t. ∞. ∞ s. s. Σ=0. y o−u. s′ t. a. f (s , y ) = f (x , t ′ ) = u a. t′. SS2015. Z.
(46) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:7. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 4∕6. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. Zeige: Ô⇒ b. o. b. u. [u..o]. x. u. t′. o Σ=0 ′. u ≤ f (a, b) ≤ o. t. ∞. ∞ s. s. Σ=0. y o−u. s′ t. a. a. f (s , y ) = f (x , t ′ ) = u f (a, x ) = f (y , b) = f (a, b). SS2015. Z.
(47) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:7. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 5∕6. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. Zeige: Ô⇒ b. o. b. u. [u..o]. x. u. t′. o Σ=0 ′. u ≤ f (a, b) ≤ o. t. ∞. ∞ s. s. Σ=0. y o−u. s′ t. a. a. f (s , y ) = f (x , t ′ ) = u f (a, x ) = f (y , b) = f (a, b). SS2015. Z.
(48) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:7. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 6∕6. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. Zeige: Ô⇒ b. o. b. u. [u..o]. x. u. t′. o Σ=0 ′. u ≤ f (a, b) ≤ o. t. ∞. ∞ s. s. Σ=0. y o−u. s′ t. a. a. f (s , y ) = f (x , t ′ ) = u f (a, x ) = f (y , b) = f (a, b) f (x , y ) = f (a, b) − u. SS2015. Z.
(49) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:8. Mit Mindestfluss. 1∕3. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Zeige: ⇐Ô. o o−u. y. s. x. o. Dann definiert f (a, b) = f (a, x ) einen korrekten Fluss auf G.. u. s′. Σ=0. a. t. ∞. Dann gilt: f (a, x ) = f (y , b) für jede ursprüngliche Kante (a, b).. b. ∞. Zeige: Wenn es in G ′ einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s ′ , y ) und (x , t ′ ) saturiert, dann gibt es in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt.. Z. u. t′.
(50) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:8. Mit Mindestfluss. 2∕3. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Zeige: ⇐Ô. o o−u. y. s. x. o. Dann definiert f (a, b) = f (a, x ) einen korrekten Fluss auf G.. u. s′. Σ=0. a. t. ∞. Dann gilt: f (a, x ) = f (y , b) für jede ursprüngliche Kante (a, b).. b. ∞. Zeige: Wenn es in G ′ einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s ′ , y ) und (x , t ′ ) saturiert, dann gibt es in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt.. Z. u. t′.
(51) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:8. Mit Mindestfluss. 3∕3. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Zeige: ⇐Ô. o o−u. y. s. x. o. Dann definiert f (a, b) = f (a, x ) einen korrekten Fluss auf G.. u. s′. Σ=0. a. t. ∞. Dann gilt: f (a, x ) = f (y , b) für jede ursprüngliche Kante (a, b).. b. ∞. Zeige: Wenn es in G ′ einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s ′ , y ) und (x , t ′ ) saturiert, dann gibt es in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt.. Z. u. t′.
(52) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. 1∕9. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Algorithmus Sei f (resp. f ′ ) der Fluss auf G (resp. G ′ ). Sei weiter f ′′ der Fluss auf G ohne die untere Schranke c ′ . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G ′ gibt: f = f ′′ , denn untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr. f ′ = f + ∑e∈E (G) c ′ (e) Damit haben wir folgendes Verfahren: 1 2 3 4. Bestimme aus G: G ′ , G ′′ , f , f ′ , f ′′ . Bevorzuge auf G ′ die Kanten der Form (s ′ , y ) und (x , t ′ ). Falls f ′ < f + ∑e∈E (G) c ′ (e) gilt, so gibt es keine Lösung. Ansonsten bestimme f aus f ′ , d.h. f (a, b) = f (a, x ).. Z.
(53) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. 2∕9. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Algorithmus Sei f (resp. f ′ ) der Fluss auf G (resp. G ′ ). Sei weiter f ′′ der Fluss auf G ohne die untere Schranke c ′ . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G ′ gibt: f = f ′′ , denn untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr. f ′ = f + ∑e∈E (G) c ′ (e) Damit haben wir folgendes Verfahren: 1 2 3 4. Bestimme aus G: G ′ , G ′′ , f , f ′ , f ′′ . Bevorzuge auf G ′ die Kanten der Form (s ′ , y ) und (x , t ′ ). Falls f ′ < f + ∑e∈E (G) c ′ (e) gilt, so gibt es keine Lösung. Ansonsten bestimme f aus f ′ , d.h. f (a, b) = f (a, x ).. Z.
(54) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. 3∕9. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Algorithmus Sei f (resp. f ′ ) der Fluss auf G (resp. G ′ ). Sei weiter f ′′ der Fluss auf G ohne die untere Schranke c ′ . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G ′ gibt: f = f ′′ , denn untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr. f ′ = f + ∑e∈E (G) c ′ (e) Damit haben wir folgendes Verfahren: 1 2 3 4. Bestimme aus G: G ′ , G ′′ , f , f ′ , f ′′ . Bevorzuge auf G ′ die Kanten der Form (s ′ , y ) und (x , t ′ ). Falls f ′ < f + ∑e∈E (G) c ′ (e) gilt, so gibt es keine Lösung. Ansonsten bestimme f aus f ′ , d.h. f (a, b) = f (a, x ).. Z.
(55) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. 4∕9. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Algorithmus Sei f (resp. f ′ ) der Fluss auf G (resp. G ′ ). Sei weiter f ′′ der Fluss auf G ohne die untere Schranke c ′ . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G ′ gibt: f = f ′′ , denn untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr. f ′ = f + ∑e∈E (G) c ′ (e) Damit haben wir folgendes Verfahren: 1 2 3 4. Bestimme aus G: G ′ , G ′′ , f , f ′ , f ′′ . Bevorzuge auf G ′ die Kanten der Form (s ′ , y ) und (x , t ′ ). Falls f ′ < f + ∑e∈E (G) c ′ (e) gilt, so gibt es keine Lösung. Ansonsten bestimme f aus f ′ , d.h. f (a, b) = f (a, x ).. Z.
(56) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. 5∕9. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Algorithmus Sei f (resp. f ′ ) der Fluss auf G (resp. G ′ ). Sei weiter f ′′ der Fluss auf G ohne die untere Schranke c ′ . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G ′ gibt: f = f ′′ , denn untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr. f ′ = f + ∑e∈E (G) c ′ (e) Damit haben wir folgendes Verfahren: 1 2 3 4. Bestimme aus G: G ′ , G ′′ , f , f ′ , f ′′ . Bevorzuge auf G ′ die Kanten der Form (s ′ , y ) und (x , t ′ ). Falls f ′ < f + ∑e∈E (G) c ′ (e) gilt, so gibt es keine Lösung. Ansonsten bestimme f aus f ′ , d.h. f (a, b) = f (a, x ).. Z.
(57) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. 6∕9. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Algorithmus Sei f (resp. f ′ ) der Fluss auf G (resp. G ′ ). Sei weiter f ′′ der Fluss auf G ohne die untere Schranke c ′ . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G ′ gibt: f = f ′′ , denn untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr. f ′ = f + ∑e∈E (G) c ′ (e) Damit haben wir folgendes Verfahren: 1 2 3 4. Bestimme aus G: G ′ , G ′′ , f , f ′ , f ′′ . Bevorzuge auf G ′ die Kanten der Form (s ′ , y ) und (x , t ′ ). Falls f ′ < f + ∑e∈E (G) c ′ (e) gilt, so gibt es keine Lösung. Ansonsten bestimme f aus f ′ , d.h. f (a, b) = f (a, x ).. Z.
(58) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. 7∕9. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Algorithmus Sei f (resp. f ′ ) der Fluss auf G (resp. G ′ ). Sei weiter f ′′ der Fluss auf G ohne die untere Schranke c ′ . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G ′ gibt: f = f ′′ , denn untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr. f ′ = f + ∑e∈E (G) c ′ (e) Damit haben wir folgendes Verfahren: 1 2 3 4. Bestimme aus G: G ′ , G ′′ , f , f ′ , f ′′ . Bevorzuge auf G ′ die Kanten der Form (s ′ , y ) und (x , t ′ ). Falls f ′ < f + ∑e∈E (G) c ′ (e) gilt, so gibt es keine Lösung. Ansonsten bestimme f aus f ′ , d.h. f (a, b) = f (a, x ).. Z.
(59) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. 8∕9. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Algorithmus Sei f (resp. f ′ ) der Fluss auf G (resp. G ′ ). Sei weiter f ′′ der Fluss auf G ohne die untere Schranke c ′ . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G ′ gibt: f = f ′′ , denn untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr. f ′ = f + ∑e∈E (G) c ′ (e) Damit haben wir folgendes Verfahren: 1 2 3 4. Bestimme aus G: G ′ , G ′′ , f , f ′ , f ′′ . Bevorzuge auf G ′ die Kanten der Form (s ′ , y ) und (x , t ′ ). Falls f ′ < f + ∑e∈E (G) c ′ (e) gilt, so gibt es keine Lösung. Ansonsten bestimme f aus f ′ , d.h. f (a, b) = f (a, x ).. Z.
(60) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. 9∕9. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Algorithmus Sei f (resp. f ′ ) der Fluss auf G (resp. G ′ ). Sei weiter f ′′ der Fluss auf G ohne die untere Schranke c ′ . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G ′ gibt: f = f ′′ , denn untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr. f ′ = f + ∑e∈E (G) c ′ (e) Damit haben wir folgendes Verfahren: 1 2 3 4. Bestimme aus G: G ′ , G ′′ , f , f ′ , f ′′ . Bevorzuge auf G ′ die Kanten der Form (s ′ , y ) und (x , t ′ ). Falls f ′ < f + ∑e∈E (G) c ′ (e) gilt, so gibt es keine Lösung. Ansonsten bestimme f aus f ′ , d.h. f (a, b) = f (a, x ).. Z.
(61) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 1∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) oder f (e) = 0. ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen nicht trivialen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(62) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 2∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) oder f (e) = 0. ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen nicht trivialen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(63) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 3∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) oder f (e) = 0. ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen nicht trivialen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(64) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 4∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) oder f (e) = 0. ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen nicht trivialen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(65) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 5∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) oder f (e) = 0. ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen nicht trivialen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(66) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 6∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) oder f (e) = 0. ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen nicht trivialen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(67) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 7∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) oder f (e) = 0. ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen nicht trivialen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(68) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 8∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) oder f (e) = 0. ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen nicht trivialen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(69) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 9∕9. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c ′ ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = ∣V ∣, m = ∣E ∣) s, t ∈ V mit s =/ t c ∶ E ↦ N+ c ′ ∶ E ↦ N+ Ausgabe: f ∶ E ↦ R+0 mit: ∀e ∶ c ′ (e) ≤ f (e) ≤ c(e) oder f (e) = 0. ∀v ∈ V ∖ {s, t} ∶ ∑(a,v )∈E f ((a, v )) = ∑(v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einen nicht trivialen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = ∑(s,v )∈E f ((s, v )).. Z.
(70) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:11. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Reduktion Theorem Zu einem gegeben Flussproblem G = (V , E , s, t, c, c ′ ) ist es NP-vollständig zu bestimmen, ob es so einen nicht trivialen Fluss gibt. Beweis: Übung, b.z.w. Reduktion auf Exact-3-SAT.. Z.
(71) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:12. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 1∕5. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Exact-3-SAT Definition Eine Boolesche Formel F ist in Exact-3-KNF: F(x1 , x2 , ..., xr ). =. ⋀i=1 ci. (Klauseln). ci. =. (li1 ∨ li2 ∨ li3 ). (Literale). lij. =. {. k. ¬xl xl. oder } für ein l ∶ 1 ≤ l ≤ r. ∀ 1≤i ≤k ∀ 1 ≤ i ≤ k und ∀ 1≤j ≤3. Eine Belegung ist eine Funktion W ∶ {x1 , x2 , ..., xr } ↦ {0, 1}. Theorem (Exakt-3-SAT) Es ist NP-vollständig, festzustellen, ob es für F aus Exact-3-KNF eine erfüllende Belegung gibt, bei der in jeder Klausel genau ein Literal “true” ist.. Z.
(72) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:12. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 2∕5. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Exact-3-SAT Definition Eine Boolesche Formel F ist in Exact-3-KNF: F(x1 , x2 , ..., xr ). =. ⋀i=1 ci. (Klauseln). ci. =. (li1 ∨ li2 ∨ li3 ). (Literale). lij. =. {. k. ¬xl xl. oder } für ein l ∶ 1 ≤ l ≤ r. ∀ 1≤i ≤k ∀ 1 ≤ i ≤ k und ∀ 1≤j ≤3. Eine Belegung ist eine Funktion W ∶ {x1 , x2 , ..., xr } ↦ {0, 1}. Theorem (Exakt-3-SAT) Es ist NP-vollständig, festzustellen, ob es für F aus Exact-3-KNF eine erfüllende Belegung gibt, bei der in jeder Klausel genau ein Literal “true” ist.. Z.
(73) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:12. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 3∕5. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Exact-3-SAT Definition Eine Boolesche Formel F ist in Exact-3-KNF: F(x1 , x2 , ..., xr ). =. ⋀i=1 ci. (Klauseln). ci. =. (li1 ∨ li2 ∨ li3 ). (Literale). lij. =. {. k. ¬xl xl. oder } für ein l ∶ 1 ≤ l ≤ r. ∀ 1≤i ≤k ∀ 1 ≤ i ≤ k und ∀ 1≤j ≤3. Eine Belegung ist eine Funktion W ∶ {x1 , x2 , ..., xr } ↦ {0, 1}. Theorem (Exakt-3-SAT) Es ist NP-vollständig, festzustellen, ob es für F aus Exact-3-KNF eine erfüllende Belegung gibt, bei der in jeder Klausel genau ein Literal “true” ist.. Z.
(74) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:12. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 4∕5. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Exact-3-SAT Definition Eine Boolesche Formel F ist in Exact-3-KNF: F(x1 , x2 , ..., xr ). =. ⋀i=1 ci. (Klauseln). ci. =. (li1 ∨ li2 ∨ li3 ). (Literale). lij. =. {. k. ¬xl xl. oder } für ein l ∶ 1 ≤ l ≤ r. ∀ 1≤i ≤k ∀ 1 ≤ i ≤ k und ∀ 1≤j ≤3. Eine Belegung ist eine Funktion W ∶ {x1 , x2 , ..., xr } ↦ {0, 1}. Theorem (Exakt-3-SAT) Es ist NP-vollständig, festzustellen, ob es für F aus Exact-3-KNF eine erfüllende Belegung gibt, bei der in jeder Klausel genau ein Literal “true” ist.. Z.
(75) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:12. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 5∕5. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Exact-3-SAT Definition Eine Boolesche Formel F ist in Exact-3-KNF: F(x1 , x2 , ..., xr ). =. ⋀i=1 ci. (Klauseln). ci. =. (li1 ∨ li2 ∨ li3 ). (Literale). lij. =. {. k. ¬xl xl. oder } für ein l ∶ 1 ≤ l ≤ r. ∀ 1≤i ≤k ∀ 1 ≤ i ≤ k und ∀ 1≤j ≤3. Eine Belegung ist eine Funktion W ∶ {x1 , x2 , ..., xr } ↦ {0, 1}. Theorem (Exakt-3-SAT) Es ist NP-vollständig, festzustellen, ob es für F aus Exact-3-KNF eine erfüllende Belegung gibt, bei der in jeder Klausel genau ein Literal “true” ist.. Z.
(76) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:13. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 1∕5. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Erste Variable x0. a0 a0. [2..2]. a1 a1. [2..2]. a2 a2. aal3l a3. b2 b2. bbl3l b3. ] ..2. s. [2..2]. Σ=0. [2 x 00 [2. ..2 ] b0 b0. [2..2]. b1 b1. [2..2]. Z.
(77) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:13. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 2∕5. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Erste Variable x0. a0 a0. [2..2]. a1 a1. [2..2]. a2 a2. aal3l a3. b2 b2. bbl3l b3. ] ..2. s. [2..2]. Σ=0. [2 x 00 [2. ..2 ] b0 b0. [2..2]. b1 b1. [2..2]. Z.
(78) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:13. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 3∕5. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Erste Variable x0. a0 a0. [2..2]. a1 a1. [2..2]. a2 a2. aal3l a3. b2 b2. bbl3l b3. ] ..2. s. [2..2]. Σ=0. [2 x 00 [2. ..2 ] b0 b0. [2..2]. b1 b1. [2..2]. Z.
(79) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:13. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 4∕5. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Erste Variable x0. a0 a0. [2..2]. a1 a1. [2..2]. a2 a2. aal3l a3. b2 b2. bbl3l b3. ] ..2. s. [2..2]. Σ=0. [2 x 00 [2. ..2 ] b0 b0. [2..2]. b1 b1. [2..2]. Z.
(80) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:13. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. 5∕5. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Erste Variable x0. a0 a0. [2..2]. a1 a1. [2..2]. a2 a2. aal3l a3. b2 b2. bbl3l b3. ] ..2. s. [2..2]. Σ=0. [2 x 00 [2. ..2 ] b0 b0. [2..2]. b1 b1. [2..2]. Z.
(81) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:14. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 1∕5. Flüsse mit Kostenfunktion. <. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. a2 a2. aall. SS2015. Zweite Variable x1 [2..2]. a1 a1. [2..2]. s. [2..2]. xx00. ] .2. b0 b0. .2 ]. ] .2. . [2. Σ=0. [2 .. [2 .. .2 ]. a0 a0. [2..2]. b1 b1. [2..2]. . [2 b2 b2. b bll. [2 xx11. ] ..2. c0 c0. [2..2]. c1 c1. [2 .. .2 ] d0 d0. [2..2]. d1 d1. Z.
(82) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:14. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 2∕5. Flüsse mit Kostenfunktion. <. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. a2 a2. aall. SS2015. Zweite Variable x1 [2..2]. a1 a1. [2..2]. s. [2..2]. xx00. ] .2. b0 b0. .2 ]. ] .2. . [2. Σ=0. [2 .. [2 .. .2 ]. a0 a0. [2..2]. b1 b1. [2..2]. . [2 b2 b2. b bll. [2 xx11. ] ..2. c0 c0. [2..2]. c1 c1. [2 .. .2 ] d0 d0. [2..2]. d1 d1. Z.
(83) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:14. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 3∕5. Flüsse mit Kostenfunktion. <. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. a2 a2. aall. SS2015. Zweite Variable x1 [2..2]. a1 a1. [2..2]. s. [2..2]. xx00. ] .2. b0 b0. .2 ]. ] .2. . [2. Σ=0. [2 .. [2 .. .2 ]. a0 a0. [2..2]. b1 b1. [2..2]. . [2 b2 b2. b bll. [2 xx11. ] ..2. c0 c0. [2..2]. c1 c1. [2 .. .2 ] d0 d0. [2..2]. d1 d1. Z.
(84) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:14. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 4∕5. Flüsse mit Kostenfunktion. <. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. a2 a2. aall. SS2015. Zweite Variable x1 [2..2]. a1 a1. [2..2]. s. [2..2]. xx00. ] .2. b0 b0. .2 ]. ] .2. . [2. Σ=0. [2 .. [2 .. .2 ]. a0 a0. [2..2]. b1 b1. [2..2]. . [2 b2 b2. b bll. [2 xx11. ] ..2. c0 c0. [2..2]. c1 c1. [2 .. .2 ] d0 d0. [2..2]. d1 d1. Z.
(85) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:14. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 5∕5. Flüsse mit Kostenfunktion. <. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. a2 a2. aall. SS2015. Zweite Variable x1 [2..2]. a1 a1. [2..2]. s. [2..2]. xx00. ] .2. b0 b0. .2 ]. ] .2. . [2. Σ=0. [2 .. [2 .. .2 ]. a0 a0. [2..2]. b1 b1. [2..2]. . [2 b2 b2. b bll. [2 xx11. ] ..2. c0 c0. [2..2]. c1 c1. [2 .. .2 ] d0 d0. [2..2]. d1 d1. Z.
(86) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 1∕10. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Erste zwei Klauseln k0 und k1. k0 k0. [2..2]. b0 b0. [2..2]. b1 b1. c0 c0. [2..2]. c1 c1. 2]. 2]. a3 a3. k1 k1. [2..2]. b2 b2. [2..2]. b3 b3. ] .2. Σ=0. .. [2. [2..2]. [2 ... . [2 c2 c2. [2..2]. c3 c3. 2]. [2..2]. . [2. ] .2. yyll. [2..2]. . [2. .2] [2.. a2 a2. [2 .. .2 ]. .2 ]. [2. .2]. a1 a1. [2 .. xxll. [2..2]. [2 ... a0 a0. ] .2. k2 k2. Z.
(87) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 2∕10. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Erste zwei Klauseln k0 und k1. k0 k0. [2..2]. b0 b0. [2..2]. b1 b1. c0 c0. [2..2]. c1 c1. 2]. 2]. a3 a3. k1 k1. [2..2]. b2 b2. [2..2]. b3 b3. ] .2. Σ=0. .. [2. [2..2]. [2 ... . [2 c2 c2. [2..2]. c3 c3. 2]. [2..2]. . [2. ] .2. yyll. [2..2]. . [2. .2] [2.. a2 a2. [2 .. .2 ]. .2 ]. [2. .2]. a1 a1. [2 .. xxll. [2..2]. [2 ... a0 a0. ] .2. k2 k2. Z.
(88) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 3∕10. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Erste zwei Klauseln k0 und k1. k0 k0. [2..2]. b0 b0. [2..2]. b1 b1. c0 c0. [2..2]. c1 c1. 2]. 2]. a3 a3. k1 k1. [2..2]. b2 b2. [2..2]. b3 b3. ] .2. Σ=0. .. [2. [2..2]. [2 ... . [2 c2 c2. [2..2]. c3 c3. 2]. [2..2]. . [2. ] .2. yyll. [2..2]. . [2. .2] [2.. a2 a2. [2 .. .2 ]. .2 ]. [2. .2]. a1 a1. [2 .. xxll. [2..2]. [2 ... a0 a0. ] .2. k2 k2. Z.
(89) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 4∕10. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Erste zwei Klauseln k0 und k1. k0 k0. [2..2]. b0 b0. [2..2]. b1 b1. c0 c0. [2..2]. c1 c1. 2]. 2]. a3 a3. k1 k1. [2..2]. b2 b2. [2..2]. b3 b3. ] .2. Σ=0. .. [2. [2..2]. [2 ... . [2 c2 c2. [2..2]. c3 c3. 2]. [2..2]. . [2. ] .2. yyll. [2..2]. . [2. .2] [2.. a2 a2. [2 .. .2 ]. .2 ]. [2. .2]. a1 a1. [2 .. xxll. [2..2]. [2 ... a0 a0. ] .2. k2 k2. Z.
(90) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 5∕10. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Erste zwei Klauseln k0 und k1. k0 k0. [2..2]. b0 b0. [2..2]. b1 b1. c0 c0. [2..2]. c1 c1. 2]. 2]. a3 a3. k1 k1. [2..2]. b2 b2. [2..2]. b3 b3. ] .2. Σ=0. .. [2. [2..2]. [2 ... . [2 c2 c2. [2..2]. c3 c3. 2]. [2..2]. . [2. ] .2. yyll. [2..2]. . [2. .2] [2.. a2 a2. [2 .. .2 ]. .2 ]. [2. .2]. a1 a1. [2 .. xxll. [2..2]. [2 ... a0 a0. ] .2. k2 k2. Z.
(91) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 6∕10. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Erste zwei Klauseln k0 und k1. k0 k0. [2..2]. b0 b0. [2..2]. b1 b1. c0 c0. [2..2]. c1 c1. 2]. 2]. a3 a3. k1 k1. [2..2]. b2 b2. [2..2]. b3 b3. ] .2. Σ=0. .. [2. [2..2]. [2 ... . [2 c2 c2. [2..2]. c3 c3. 2]. [2..2]. . [2. ] .2. yyll. [2..2]. . [2. .2] [2.. a2 a2. [2 .. .2 ]. .2 ]. [2. .2]. a1 a1. [2 .. xxll. [2..2]. [2 ... a0 a0. ] .2. k2 k2. Z.
(92) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 7∕10. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Erste zwei Klauseln k0 und k1. k0 k0. [2..2]. b0 b0. [2..2]. b1 b1. c0 c0. [2..2]. c1 c1. 2]. 2]. a3 a3. k1 k1. [2..2]. b2 b2. [2..2]. b3 b3. ] .2. Σ=0. .. [2. [2..2]. [2 ... . [2 c2 c2. [2..2]. c3 c3. 2]. [2..2]. . [2. ] .2. yyll. [2..2]. . [2. .2] [2.. a2 a2. [2 .. .2 ]. .2 ]. [2. .2]. a1 a1. [2 .. xxll. [2..2]. [2 ... a0 a0. ] .2. k2 k2. Z.
(93) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 8∕10. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Erste zwei Klauseln k0 und k1. k0 k0. [2..2]. b0 b0. [2..2]. b1 b1. c0 c0. [2..2]. c1 c1. 2]. 2]. a3 a3. k1 k1. [2..2]. b2 b2. [2..2]. b3 b3. ] .2. Σ=0. .. [2. [2..2]. [2 ... . [2 c2 c2. [2..2]. c3 c3. 2]. [2..2]. . [2. ] .2. yyll. [2..2]. . [2. .2] [2.. a2 a2. [2 .. .2 ]. .2 ]. [2. .2]. a1 a1. [2 .. xxll. [2..2]. [2 ... a0 a0. ] .2. k2 k2. Z.
(94) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 9∕10. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Erste zwei Klauseln k0 und k1. k0 k0. [2..2]. b0 b0. [2..2]. b1 b1. c0 c0. [2..2]. c1 c1. 2]. 2]. a3 a3. k1 k1. [2..2]. b2 b2. [2..2]. b3 b3. ] .2. Σ=0. .. [2. [2..2]. [2 ... . [2 c2 c2. [2..2]. c3 c3. 2]. [2..2]. . [2. ] .2. yyll. [2..2]. . [2. .2] [2.. a2 a2. [2 .. .2 ]. .2 ]. [2. .2]. a1 a1. [2 .. xxll. [2..2]. [2 ... a0 a0. ] .2. k2 k2. Z.
(95) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 10∕10. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Erste zwei Klauseln k0 und k1. k0 k0. [2..2]. b0 b0. [2..2]. b1 b1. c0 c0. [2..2]. c1 c1. 2]. 2]. a3 a3. k1 k1. [2..2]. b2 b2. [2..2]. b3 b3. ] .2. Σ=0. .. [2. [2..2]. [2 ... . [2 c2 c2. [2..2]. c3 c3. 2]. [2..2]. . [2. ] .2. yyll. [2..2]. . [2. .2] [2.. a2 a2. [2 .. .2 ]. .2 ]. [2. .2]. a1 a1. [2 .. xxll. [2..2]. [2 ... a0 a0. ] .2. k2 k2. Z.
(96) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 1∕13. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Anpassung: Variable xl in Klausel ki a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. [1..1] c0 c0. [2..2]. b1 b1. [1..1]. c1 c1. ] .2. Σ=0. k kii. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [2 .. .2 ]. [2..2]. [2 ..2. [2..2]. a2 a2. y. . [2 xn xn. [2..2]. [1..1]. [1..1]. x. a1 a1. [1..1]. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(97) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 2∕13. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Anpassung: Variable xl in Klausel ki a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. [1..1] c0 c0. [2..2]. b1 b1. [1..1]. c1 c1. ] .2. Σ=0. k kii. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [2 .. .2 ]. [2..2]. [2 ..2. [2..2]. a2 a2. y. . [2 xn xn. [2..2]. [1..1]. [1..1]. x. a1 a1. [1..1]. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(98) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 3∕13. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Anpassung: Variable xl in Klausel ki a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. [1..1] c0 c0. [2..2]. b1 b1. [1..1]. c1 c1. ] .2. Σ=0. k kii. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [2 .. .2 ]. [2..2]. [2 ..2. [2..2]. a2 a2. y. . [2 xn xn. [2..2]. [1..1]. [1..1]. x. a1 a1. [1..1]. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(99) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 4∕13. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Anpassung: Variable xl in Klausel ki a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. [1..1] c0 c0. [2..2]. b1 b1. [1..1]. c1 c1. ] .2. Σ=0. k kii. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [2 .. .2 ]. [2..2]. [2 ..2. [2..2]. a2 a2. y. . [2 xn xn. [2..2]. [1..1]. [1..1]. x. a1 a1. [1..1]. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(100) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 5∕13. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Anpassung: Variable xl in Klausel ki a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. [1..1] c0 c0. [2..2]. b1 b1. [1..1]. c1 c1. ] .2. Σ=0. k kii. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [2 .. .2 ]. [2..2]. [2 ..2. [2..2]. a2 a2. y. . [2 xn xn. [2..2]. [1..1]. [1..1]. x. a1 a1. [1..1]. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(101) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 6∕13. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Anpassung: Variable xl in Klausel ki a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. [1..1] c0 c0. [2..2]. b1 b1. [1..1]. c1 c1. ] .2. Σ=0. k kii. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [2 .. .2 ]. [2..2]. [2 ..2. [2..2]. a2 a2. y. . [2 xn xn. [2..2]. [1..1]. [1..1]. x. a1 a1. [1..1]. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(102) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 7∕13. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Anpassung: Variable xl in Klausel ki a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. [1..1] c0 c0. [2..2]. b1 b1. [1..1]. c1 c1. ] .2. Σ=0. k kii. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [2 .. .2 ]. [2..2]. [2 ..2. [2..2]. a2 a2. y. . [2 xn xn. [2..2]. [1..1]. [1..1]. x. a1 a1. [1..1]. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(103) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 8∕13. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Anpassung: Variable xl in Klausel ki a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. [1..1] c0 c0. [2..2]. b1 b1. [1..1]. c1 c1. ] .2. Σ=0. k kii. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [2 .. .2 ]. [2..2]. [2 ..2. [2..2]. a2 a2. y. . [2 xn xn. [2..2]. [1..1]. [1..1]. x. a1 a1. [1..1]. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(104) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 9∕13. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Anpassung: Variable xl in Klausel ki a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. [1..1] c0 c0. [2..2]. b1 b1. [1..1]. c1 c1. ] .2. Σ=0. k kii. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [2 .. .2 ]. [2..2]. [2 ..2. [2..2]. a2 a2. y. . [2 xn xn. [2..2]. [1..1]. [1..1]. x. a1 a1. [1..1]. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(105) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 10∕13. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Anpassung: Variable xl in Klausel ki a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. [1..1] c0 c0. [2..2]. b1 b1. [1..1]. c1 c1. ] .2. Σ=0. k kii. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [2 .. .2 ]. [2..2]. [2 ..2. [2..2]. a2 a2. y. . [2 xn xn. [2..2]. [1..1]. [1..1]. x. a1 a1. [1..1]. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(106) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 11∕13. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Anpassung: Variable xl in Klausel ki a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. [1..1] c0 c0. [2..2]. b1 b1. [1..1]. c1 c1. ] .2. Σ=0. k kii. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [2 .. .2 ]. [2..2]. [2 ..2. [2..2]. a2 a2. y. . [2 xn xn. [2..2]. [1..1]. [1..1]. x. a1 a1. [1..1]. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(107) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 12∕13. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Anpassung: Variable xl in Klausel ki a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. [1..1] c0 c0. [2..2]. b1 b1. [1..1]. c1 c1. ] .2. Σ=0. k kii. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [2 .. .2 ]. [2..2]. [2 ..2. [2..2]. a2 a2. y. . [2 xn xn. [2..2]. [1..1]. [1..1]. x. a1 a1. [1..1]. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(108) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 13∕13. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Anpassung: Variable xl in Klausel ki a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. [1..1] c0 c0. [2..2]. b1 b1. [1..1]. c1 c1. ] .2. Σ=0. k kii. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [2 .. .2 ]. [2..2]. [2 ..2. [2..2]. a2 a2. y. . [2 xn xn. [2..2]. [1..1]. [1..1]. x. a1 a1. [1..1]. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(109) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:17. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 1∕5. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Alternative Anpassung: Variable xl in Klausel ki. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. a1 a1. b1 b1. [2..2]. [2..2]. a2 a2. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [1 .. ] .1. .1 ]. . [1. c0 c0. [1..1]. c1 c1. ] .2. xn xn. Σ=0. k kii. [2..2]. [2 ..2. [2 .. .2 ]. . [2. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(110) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:17. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 2∕5. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Alternative Anpassung: Variable xl in Klausel ki. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. a1 a1. b1 b1. [2..2]. [2..2]. a2 a2. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [1 .. ] .1. .1 ]. . [1. c0 c0. [1..1]. c1 c1. ] .2. xn xn. Σ=0. k kii. [2..2]. [2 ..2. [2 .. .2 ]. . [2. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(111) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:17. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 3∕5. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Alternative Anpassung: Variable xl in Klausel ki. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. a1 a1. b1 b1. [2..2]. [2..2]. a2 a2. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [1 .. ] .1. .1 ]. . [1. c0 c0. [1..1]. c1 c1. ] .2. xn xn. Σ=0. k kii. [2..2]. [2 ..2. [2 .. .2 ]. . [2. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(112) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:17. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 4∕5. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Alternative Anpassung: Variable xl in Klausel ki. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. a1 a1. b1 b1. [2..2]. [2..2]. a2 a2. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [1 .. ] .1. .1 ]. . [1. c0 c0. [1..1]. c1 c1. ] .2. xn xn. Σ=0. k kii. [2..2]. [2 ..2. [2 .. .2 ]. . [2. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(113) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:17. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. <. 5∕5. > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Alternative Anpassung: Variable xl in Klausel ki. xxll. s. ] [2..2 [2..2 ]. a0 a0. b0 b0. [2..2]. [1..1]. a1 a1. b1 b1. [2..2]. [2..2]. a2 a2. aall. [2..2 ] ] [2..2. b2 b2. xxtt. b bll. [1 .. ] .1. .1 ]. . [1. c0 c0. [1..1]. c1 c1. ] .2. xn xn. Σ=0. k kii. [2..2]. [2 ..2. [2 .. .2 ]. . [2. d0 d0. [2..2]. d1 d1. [2..2] ] ..2 [2. ] e0 e0. [2..2]. e1 e1. k kjj. t. Z.
(114) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:18. Mit Alternativen. 1∕10. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Konstruktion 1. Z. Für jede Variable konstruiere einen Baustein, wie oben. Der obere Zweig entspricht der Variablen selber. Der untere Zweig entspricht der negierten Variablen.. 2. Für jede Klausel konstruiere einen Baustein, wie oben. Der erste Zweig entspricht dem ersten Literal in der Klausel. Die weiteren Zweige dem zweiten und dem dritten Literal in der Klausel.. 3. Hänge alle Bausteine für die Variablen und Klauseln hintereinander.. 4. Für jedes Auftreten eines Literals in einer Klausel mache die obige Anpassung.. 5. Falls es eine Belegung der Variablen gibt, die die Formel erfüllt, dann: geht ein Fluss von 2 durch jeweils den Zweig, der der Belegung der Variablen entspricht..
(115) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:18. Mit Alternativen. 2∕10. Spezielle Flüsse (Alternativen) <. Flüsse mit Kostenfunktion > Walter Unger 15.7.2015 10:55. SS2015. Konstruktion 1. Z. Für jede Variable konstruiere einen Baustein, wie oben. Der obere Zweig entspricht der Variablen selber. Der untere Zweig entspricht der negierten Variablen.. 2. Für jede Klausel konstruiere einen Baustein, wie oben. Der erste Zweig entspricht dem ersten Literal in der Klausel. Die weiteren Zweige dem zweiten und dem dritten Literal in der Klausel.. 3. Hänge alle Bausteine für die Variablen und Klauseln hintereinander.. 4. Für jedes Auftreten eines Literals in einer Klausel mache die obige Anpassung.. 5. Falls es eine Belegung der Variablen gibt, die die Formel erfüllt, dann: geht ein Fluss von 2 durch jeweils den Zweig, der der Belegung der Variablen entspricht..
ÄHNLICHE DOKUMENTE
Pro Knoten gibt es maximal eine Kante, die betrachtet, aber nicht saturiert wird.. Damit: maximal n Knoten
Wie bestimmt man Flüsse mit einem Mindestfluss auf den Kanten, wo aber auch ein leerer Fluss erlaubt ist?. Wie ist die Idee der Algorithmen zu
Man sieht aber auch im Folgenden, daß bei einer Suche nach beliebigen Kreisen eine pseudopolynomielle Laufzeit erhalten.... Spezielle Flüsse
vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten
Daher kann der Kreis durch einen Knoten ersetzt werden.... Einleitung mit
eine “primale Lösung” kann in polynomieller Zeit in eine “duale Lösung” überführt werden... eine “primale Lösung” kann in polynomieller Zeit in eine “duale
Damit ist eine zufällig gewählte Kante mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht im Schnitt.. Damit sind die inzidenten Knoten einer zufällig gewählten Kante mit hoher Wahrscheinlichkeit
Damit ist eine zufällig gewählte Kante mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht im Schnitt.. Damit sind die inzidenten Knoten einer zufällig gewählten Kante mit hoher Wahrscheinlichkeit
